Intégrale indéfinie

L’intégrale indéfinie ou
la famille de primitives d’une fonction

f ( x )dx  F ( x )  C
où
d( F ( x ))  F ( x )dx  f ( x )dx
Introduction




Afin de pouvoir utiliser adéquatement le théorème fondamental
du calcul pour calculer des intégrales définies, il faut être
capable de déterminer les primitives de la fonction à intégrer,
appelée intégrande.
la recherche de primitives d’une fonction est essentiellement le
processus inverse de la différentiation.
Ces primitives ne diffèrent que par une constante. Elles forment
alors une famille de fonctions de la forme F(x)+C
L’intégrale indéfinie de f est cette famille de primitives et s’écrit
:
l’intégrande
le symbole
d’intégration

une primitive
f ( x )d x  F ( x )  C
la constante d’intégration
2
Primitive versus différentielle

Nous pouvons résumer le lien entre la primitive et la
différentielle par le schéma suivant :
Famille de primitives
Différentielle
F(x)+C
d(F(x)+C)=F’(x)
3
Propriétés des intégrales indéfinies
Ces propriétés sont identiques à certaines
propriétés de l’intégrale définie
1.
 k f ( x) dx  k  f ( x) dx
2.   f ( x)  g ( x)  dx   f ( x) dx   g ( x) dx
Voir page 112 du livre
4
Changement de variable
Comme la recherche de primitives est le processus inverse de
la dérivation, Nous allons nous en inspirer pour introduire la
technique de changement de variable.
Prenons l’exemple suivant :
Soit la fonction définie par f ( x )  ( x 3  2)10
forme u n
La dérivée de cette fonction est obtenue de la dérivation en chaîne
(ou la dérivée de fonctions composées):
f '( x )  10( x 3  2) 9  3 x 2  30 x 2 ( x 3  2) 9
En effectuant cette dérivation, on a considéré que la fonction f était
une fonction composée où u = (x3 + 2). On devra faire de même
pour intégrer.
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Exemple d’un changement de variable
Calculons l'intégrale
2 3
10
x
(
x

2)
dx

Comme nous sommes en présence d'une puissance de fonction,
la formule (3) semble être la plus appropriée, soit
u n1
 u du  n  1  C
n
Nous posons donc u = x3 + 2 donc du = 3x2dx. Nous pouvons
réécrire notre intégrale ainsi:
3
10 2
(
x

2
)
x dx

u10
Donc
du
3

10
u du 1 10
  u du
3
3
( x3  2)11
1 u11
 
 C 
C
3 11
33
( x  2)
 ( x  2) x dx  33  C
3
10 2
3
11
6