semaine 20 - Pierre

Lycée Madeleine Michelis - ECE1
Mathématiques - 2016/2017
Programme de colle : semaine 20
Les changements de variables autres que linéaires doivent être indiqués.
Exemples de questions que l'on peut vous poser cette semaine
ˆ N'importe quelle question de cours
ˆ VRAI/FAUX : soit u : I → R continue, une primitive de αuα est
uα+1
α+1
ˆ VRAI/FAUX : f continue sur [0 ; 1],
Z
f ≥ 0 ⇐⇒
1
f (t) dt ≥ 0
0
ˆ VRAI/FAUX : une primitive de 2x est
ˆ VRAI/FAUX :
Z
1
√
2x+1
x+1
et − 1 dt = 0
0
ˆ Soit f une fonction continue sur R, G(x) =
f (2x) − f (x)
Z
2x
f (t) dt est dérivable et sa dérivée est G0 (x) =
x
Chapitre 17.
1
Aire sous la courbe d'une fonction positive
ˆ Unité d'aire
ˆ Théorème montrant que la fonction aire A(x) d'une fonction continue, monotone et positive
f est dérivable et sa dérivée est A0 (x) = f (x)
2
Primitive d'une fonction continue sur un intervalle
ˆ Dénition d'une primitive d'une fonction f : c'est une fonction F dérivable telle que F 0 = f .
ˆ Théorème donnant l'existence d'une primitive
ˆ Unicité des primitives à constante additive près : F1 et F2 sont deux primitives de f
il existe k ∈ R, F2 = F1 + k
ssi
ˆ Corollaire : si on xe deux valeurs x0 et y0 , alors il n'y a qu'une seule primitive de f vériant
F (x0 ) = y0
3
Primitives usuelles
ˆ Les deux tableaux sont à connaître
1
Lycée Madeleine Michelis - ECE1
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Mathématiques - 2016/2017
Intégrale
ˆ Dénition de l'intégrale :
Z
b
f (t) dt = F (b) − F (a), avec F une primitive quelconque de f
a
ˆ Propriétés de l'intégrale : l'intégrale de a à a vaut 0, l'intégrale de la fonction nulle vaut 0,
signe − = renversement des bornes de l'intégrale, Relation de Chasles
ˆ Positivité de l'intégrale lorsque f ≥ 0
ˆ Si f ≥ 0, équivalence entre intégrale nulle et fonction nulle
Z b
f (x) dx ≤ M (b − a)
ˆ Corollaire : m ≤ f ≤ M =⇒ m(b − a) ≤
a
ˆ Théorème : inégalité triangulaire et son corollaire
5
Techniques de calculs d'intégrales
ˆ Changement de variable :
les changements de variables autres que linéaires doivent être in-
diqués.
ˆ Intégration par partie
ˆ Sommes de Riemann
Exercices corrigés en cours TD 17
ˆ Exercice 1
ˆ Exercice 2
ˆ Exercice 3 : I1 , I2 , I3 , I5 , I6 , I7 , I10 , I11 , I12 , I13
ˆ Exercice 4 : A, E , K
ˆ Exercice 8 : B , C , D, F , G
ˆ Exercice 14 : an et bn
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