Corrigé de l`exercice 1 (probabilités) du sujet Asie juin 2015

Corrigé de l’exercice 1 (probabilités) du sujet Asie juin 2015
Exercice 1
Partie A
1. Soit X une variable aléatoire qui compte le nombre de tirs ayant atteint la cible.
Chaque tir est une épreuve de Bernoulli où le succès est « la cible est atteinte » de probabilité p = 0,8.
Comme X compte le nombre de succès lors des 4 tentatives indépendants et identiques, X suit donc la loi
binomiale de paramètres n = 4 et p = 0,8.
4 
3
4–3
Ainsi, P(X = 3) =  3  0,8 (1 – 0,8)
= 0,4096 ≈ 0,410 .
 
2. Si le concurrent tire n fois, la variable aléatoire Y n qui compte le nombre de succès suit toujours une loi
binomiale mais de paramètres n, le nombre de tirs et p = 0,8.
Ainsi, le nombre moyen de tirs ayant atteint la cible est donc donné par E(X) = n p = 0,8 n.
Pour atteindre en moyenne 12 fois la cible, on doit donc avoir 0,8 n ≥ 12 ⇔ n ≥
12
0,8
⇔ n ≥ 15 .
Le concurrent doit donc prévoir 15 flèches .
Remarque :
L’indication décisive est bien sur donnée par l’expression « en moyenne » qui fait référence à l’Espérance.
Partie B
−
1. On a (Tir situé hors de la bande) = (Tir situé dans la bande).
D’où P(Tir situé hors de la bande) = 1 – P (Tir dans la bande)
= 1 – P (– 10 ≤ X ≤ 10) = 1 – P( X ∈ [ – 10 ;10])
Comme X suit une loi normale d’espérance µ = 0 et d’écart type σ = 10, l’intervalle [ – 10 ; 10] est tout
simplement l’intervalle « 1 sigma » d’où P( X ∈ [ – 10 ;10]) ≈ 0,683
⇔ P( Tir situé hors de la bande) ≈ 0,317 .
Remarques :
* On peut bien sûr obtenir grâce à la calculatrice P (– 10 ≤ X ≤ 10) sans reconnaître l’intervalle « un sigma »
* On peut aussi calculer « directement » et partir de P(– 10 < X ou X > 10) = P( (– 10 < X) ∪ (X > 10) )
Comme les évènements sont disjoints (X ne peut vérifier en même temps X > 10 et X < – 10)
On a alors P (– 10 < X ou X > 10) = P (– 10 < X) + P (X > 10)
= 2 P(X < – 10)) par symétrie par rapport à µ = 0
≈ 0,317
2. On recherche a ≥ 0 tel que P( X ∈ [ – a ; a ] ) = 0,6.
a
X
a
P (– a ≤ X ≤ a) = 0,6 ⇔ P(– 10 ≤ 10 ≤ 10 ) = 0,6.
Comme X suit la loi normale de paramètres µ = 0 et σ = 10, Z =
X
suit donc la loi normale Centrée Réduite.
10
P – 10 ≤ Z ≤ 10 = 0,6 ⇔ 1 – 2 P Z ≤ – 10 = 0,6
a
a

a



a

⇔ P Z ≤ –  = 0,2
10

En inversant la fonction de répartition grâce à la calculatrice, on trouve :
a
–
≈ – 0,842 ⇔ a ≈ 8,42 cm ≈ 8,4 cm .
10
On donne donc à la bande une largeur d’environ 8,4 cm de part et d’autre de la cible soit une longueur totale de
16,8 cm.
Partie C
1. T suit la loi exponentielle de paramètre λ = 10
On a donc P (T ≥ 2000) = e
– 0,0001×2000
→

–t–
–λt
pour t ∈ IR.
1
(qui n’est qu’une fonction affine !) ; t
λ
Par composition, t
→

e
– λt
= 0,0001.
≈ 0,819 .
2. Prouvons simplement que F ’(t) = λ t e
t
–4
→

– λt et t
→

t
e sont dérivables sur IR.
est dérivable sur IR puis par produit enfin, F est dérivable sur IR.
1
1
– λt 
– λt
Pour t ∈ IR, F ’(t) = – t – ’× e
+ – t – × e
λ
λ


)’ = – 1× e – λt + – t – λ1×(– λ e – λt)
(
=–e
=–e
– λt
– λt
1
– λt
+ – t – × – λ e
λ

(
+tλe
– λt
+e
– λt
) = – e – λt + (– λ e – λt )×(– t) + (– λ e – λt)× – λ1
=λte
– λt
= f(t).
On a bien prouvé que F est une primitive de f sur IR.
b.
Pour x ≥ 0, ⌠
⌡0
x
λte
– λt
x
dt = [F(t)] 0 = F(x) – F(0)
1 – λx 
1 – λ×0 
1 – λx 1
= – x –  e
– – 0 –  e
= – x –  e
+ .
λ
λ
λ
λ



1 – λx 1
Déterminons la limite de – x –  e
+ quand x tend vers + ∞ :
λ
λ

1 – λx 1
– λx 1 – λx 1
+ =–xe
– e
+ .
Pour x ≥ 0, – x –  e
λ
λ
λ
λ

1 – λx 1 1
1 – λx
e
= 0 car λ > 0 d’où lim – e
+ = .
λ λ
x→+∞ λ
x→+∞ λ
lim
–
Pour x ≥ 0, – x e
– λx
=–
1
1
λx
– λx
×λxe
= – × λx .
λ
λ e
X
λx
Posons X = λx, on a donc λx = X.
e
e
lim λx = + ∞ et
x→+∞
lim
λx
x→+∞e
λx
X
X = 0 (croissances comparées), on a donc par composition des limites,
X→+∞e
lim
= 0 d’où
lim
x→+∞
–
1 λx
×
= 0.
λ e λx
On a donc par somme des limites, lim
x→+∞
⌠
⌡0
x
λte
– λt
dt =
lim
x→+∞
–xe
– λx
–
1 – λx 1 1
e
+ = .
λ
λ λ
1
D’où E(T) = .
λ
L’espérance de T est donc égale à
1
– 4 = 10000 heures .
10
L’espérance de durée de vie du panneau électrique affichant le score des concurrents est donc de 10000 heures.
Utilisation de la Calculatrice
Calculatrice
* calcul de P (– 10 ≤ X ≤ 10) :
Texas Instrument
(2nd)
Casio
Menu STAT
Distrib
2 : Normalcdf( ou NormalFRep(
– 10,10,0,10)
* Détermination de –
Dist
NORM
Ncd
Lower : – 10
Upper : 10
σ:0
µ : 10
a
a
tel que P Z ≤ –  = 0,2
10
10

Texas Instrument
(2nd)
Distrib
3 : invNorm(
0.2, 0,10)
Casio
Menu STAT
Dist
NORM
InvN
Tail : Left
Area : 0.2
σ:0
µ : 10