Correction TES.DM1.07

TES – DM1
Correction
Chapitre : limites de fonction , continuité .
2
I . f est la fonction inverse définie sur ℝ* par f (x) =
1.
1
1 7

; g est la fonction définie sur ℝ par g (x) =  x −  +
x
2 4

Avec la calculatrice graphique, conjecturer le nombre de
points d'intersection des courbes représentatives des
fonctions f et g .
à l’aide de la calculatrice , je conjecture qu’il y a un
point d’intersection entre Cf et Cg .
2.
Montrer que, pour tout x non nul, l'équation
f (x) = g (x) équivaut à x 3 − x 2 + 2x − 1 = 0
2
1
1 7
1
1 
1 7
f (x) = g (x) s’écrit
=  x −  + soit
= x2 − x + +
⇔ = x 2 − x + 2 ⇔ 1 = x 3 − x 2 + 2x et x ≠ 0
x
4 4
x
x 
2 4
3
2
Ce qui équivaut à x − x + 2x − 1 = 0 pour x ≠ 0
h est la fonction définie sur R par
3.
h(x) = x 3 − x 2 + 2x − 1
a ) Etudier la limite de h en + ∞, puis en − ∞ .
lim h(x) = lim x 3 − x 2 + 2x − 1 = lim x 3 = +∞
x →+ ∞
x →+ ∞
x →+∞
et
lim h(x) = lim x 3 − x 2 + 2x − 1 = lim x 3 = − ∞
x → −∞
x → −∞
x → −∞
b ) Calculer la dérivée de la fonction h.
h '(x) = 3x 2 − 2x + 2
c ) Etudier les variations de h sur R .
pour le trinôme 3x 2 − 2x + 2
x -∞
h’(x)
α
, le discriminant ∆ = –20 est négatif donc h’(x) est toujours positif sur R .
+∞
+
+∞
h
−∞
0
d ) Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction h au point d’abscisse 1
au point d’abscisse 1 , une équation de la tangente est
soit y = 3 x – 2
e ) Calculer h(0).
y – h (1) = h’(1) ( x – 1 ) avec h’(1) = 3 et h (1) = 1
h (0) = –1
f ) Démontrer que l'équation h(x) = 0 a une solution unique dans R .
– Avec la calculatrice, donner un encadrement à 0,01 près de cette solution.
– Qu'en déduit-on à propos de l'intersection des courbes représentatives de f et g et de la conjecture faite dans le début de
l'exercice ?
la fonction h est continue et strictement croissante , elle réalise une bijection de R sur ]−∞ ; + ∞[
comme 0 ∈ ]−∞ ; + ∞[ , l’équation h (x) = 0 admet une unique solution α ∈R .
à la calculatrice , je trouve 0,56 < α < 0,57
il y a un seul point commun à Cf et Cg ce qui démontre la conjecture