Correction TES.DM1.07

Correction
TES – DM
1
Chapitre : limites de fonction , continuité .
I . f est la fonction inverse définie sur
*
ℝ
par
1
(x)
x
=
f ; g est la fonction définie sur
ℝ
par
2
1 7
(x) x
2 4
= − +
g
1. Avec la calculatrice graphique, conjecturer le nombre de
points d'intersection des courbes représentatives des
fonctions f et g .
à l’aide de la calculatrice , je conjecture qu’il y a un
point d’intersection entre C
f
et C
g
.
2. Montrer que, pour tout x non nul, l'équation
(x) (x)
=
f g
équivaut à
3 2
x x 2x 1 0
− + − =
(x) (x)
=
f g
s’écrit
2
1 1 7
x
x 2 4
= − +
soit
2
1 1 7
x x
x 4 4
= − + +
2 3 2
1
x x 2 1 x x 2x
x
⇔ = − + ⇔ = − +
et
x 0
≠
Ce qui équivaut à
3 2
x x 2x 1 0
− + − =
pour
x 0
≠
3. h est la fonction définie sur R par
3 2
(x) x x 2x 1
= − + −
h
a ) Etudier la limite de h en + ∞, puis en − ∞ .
3 2 3
x + x + x +
lim (x) lim x x 2x 1 lim xh
→ ∞ → ∞ → ∞
= − + − = = +∞
et
3 2 3
x x x
lim (x) lim x x 2x 1 lim x
h
→ −∞ → −∞ → −∞
= − + − = = − ∞
b ) Calculer la dérivée de la fonction h.
2
'(x) 3x 2x 2
h
= − +
c ) Etudier les variations de h sur R .
pour le trinôme
2
3x 2x 2
− +
, le discriminant
∆
= –20 est négatif donc h ’(x) est toujours positif sur R .
x
-
∞
α
+∞
h
’(x)
+
h 0
−∞
+∞
d ) Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction h au point d’abscisse 1
au point d’abscisse 1 , une équation de la tangente est y – h (1) = h ’(1) ( x – 1 ) avec h ’(1) = 3 et h (1) = 1
soit y = 3 x – 2
e ) Calculer h(0). h (0) = –1
f ) Démontrer que l'équation h(x) = 0 a une solution unique dans R .
– Avec la calculatrice, donner un encadrement à 0,01 près de cette solution.
– Qu'en déduit-on à propos de l'intersection des courbes représentatives de f et g et de la conjecture faite dans le début de
l'exercice ?
la fonction h est continue et strictement croissante , elle réalise une bijection de R sur
]
[
;
−∞ +∞
comme 0 ∈
]
[
;
−∞ +∞
, l’équation h (x) = 0 admet une unique solution
α
∈R .
à la calculatrice , je trouve 0,56 <
α
< 0,57
il y a un seul point commun à C
f
et C
g
ce qui démontre la conjecture