Topologie et analyse différentielle

Topologie et analyse diff´erentielle
Benoˆıt Perthame
November 10, 2007

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Entre le risque et la certitude, il faut choisir le risque
Jacques BREL
Car pour moi les id´ees claires sont (...) des id´ees mortes et termin´ees.
Antonin ARTAUD (le th´eˆatre et son double)

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PR´ EFACE
Ce cours contient quelques notions de topologie et d’analyse diff´erentielle enseign´es `a
l’´ Ecole Normale Sup´erieure au premier semestre de la premi`ere ann´ee, ce qui correspond
au niveau L3-M1. Le contenu est tr`es classique et doit beaucoup aux ouvrages de H.
Cartan, L. Schwartz et H. Br´ezis que l’on trouvera dans la bibliographie. L’esprit est
toutefois diff´erent de la tradition des cours enseign´es ici, ou du moins tente de l’ˆetre, de
deux points de vue. Contrairement `a la tradition qui veut que les math´ematiques soient
enseign´es lin´eairement (telle notion vient apr`es telle autre suivant un ordre ´etabli au cours
des ann´ees), ce cours voit d’abord l’Analyse comme une immense toile o`u les diff´erentes
notions sont connect´ees entre elles, admettent diff´erents niveau de compr´ehension et
d’abstraction. Ensuite, il contient des exemples pour illustrer les notions abstraites et
renvoyer `a d’autres th´eories qui d´epassent le niveau de ce cours. Surtout, ils tentent de
montrer que les objets de l’Analyse sont avant tout des outils de mod´elisation; la plu-
part d’entre eux ont ´et´e invent´es pour d´ecrire les lois de la nature. Mˆeme si la nature
que nous recherchons aujourd’hui est diff´erente de celle que d´ecouvraient Newton, Euler,
Maxwell, Boltzmann ou Riemann, les mˆemes outils de mod´elisation une fois correctement
´etendus et approfondis, servent de base pour tenter de comprendre la compression et le
traitement des donn´ees, les flots de donn´ees sur Internet, les nombreuses ´echelles du vi-
vant, la mati`ere dans ses nombreuses formes. En cons´equence on trouvera mentionn´es des
th´eor´emes qui peuvent ˆetre pass´es en premi`ere lecture, d’autres dont les d´emonstrations
d´epassent clairement le niveau L3-M1.
Plusieurs personnes ont particip´e `a la r´edaction de certaines parties de ce cours et je
voudrais les remercier ici. O. Dudas a r´edig´e la preuve du th´eor`eme de Stone-Weierstrass
et l’approximation par les polynˆomes de Bernstein et O. Gu´eant a r´edig´e la section concer-
nant la topologie de l’espace des fonctions C∞`a support compact (topologies de Whitney
et de Schwartz). F. Kassel a relu ce cours en d´etail et corrig´e de nombreuses coquilles .
P.-E. Jabin et A. Basson ont fourni pas mal d’exercices. A. Bentata et G. Raoul en ont
relu des parties. Merci ´egalement `a M. Desnous (INRIA, BANG) qui a r´ealis´e la plupart
des illustrations

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Table des mati`eres
1 Espaces m´etriques et distances 9
1.1 Espaces m´etriques et distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 D´efinitions................................ 9
1.1.2 Exemples ................................ 10
1.1.3 Exercices ................................ 10
1.2 Boulesetsph`eres ................................ 11
1.3 Espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 D´efinitions................................ 12
1.3.2 Normes et distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Exemples ................................ 13
1.4 Suites convergentes dans un espace m´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 L’espace de Schwartz, espaces de Fr´echet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Espaces topologiques 19
2.1 D´efinition d’une topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Topologie d’un espace m´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Voisinage ................................ 21
2.3.2 Ferm´e .................................. 21
2.3.3 Int´erieur................................. 21
2.3.4 Adh´erence, densit´e, s´eparabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.5 Fronti`ere, ext´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.6 Espaces s´epar´es ou espaces de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.7 Topologie induite (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.8 Pointisol´e................................ 26
2.4 Comparaison des topologies, normes ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.1 Topologie moins fine qu’une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Cas des espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.3 Cas des espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Base d’ouverts et construction de topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1 Base d’ouverts, syst`eme fondamental de voisinages . . . . . . . . . . 28
2.5.2 Syst`eme g´en´erateur d’une topologie, pr´ebase . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.3 Engendrer efficacement une topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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