Compacité * faible de l`ensemble des probabilités MAT 551

Compacit´e * faible de l’ensemble des probabilit´es MAT 551
Cette note ´etablit l’outil essentiel de la preuve du th´eor`eme de Krylov-Bogoliouboff:
la compacit´e de l’ensemble des mesures de probabilit´e sur un compact pour la
topologie * faible. La preuve se fait en deux temps: cas de la boule unit´e du dual
d’un espace vectoriel norm´e s´eparable, puis application `a l’ensemble des mesures
de probabilit´es grˆace au th´eor`eme de Riesz. On d´ecrit enfin le cas d’un espace
non-compact.
1. Boule unit´ e du dual
Soit Eun espace vectoriel norm´e. On dit que Eest s´eparable s’il existe une
partie d´enombrable {x1, x2, . . .}dense dans E. Soit E0son dual topologique, i.e.,
l’ensemble des formes lin´eaires continues sur E.
La topologie * faible de E0est la topologie engendr´ee1par les ensembles
V0(x, U) := {g∈E0:g(x)∈U}, x ∈Eet Uouvert de R.
La convergence au sens de cette topologie admet la caract´erisation:
fn→∗f⇐⇒ ∀x∈E fn(x)→f(x)
(`a comparer avec la topologie faible sur E).
Th´eor`eme 1. Si Eest un espace vectoriel norm´e s´eparable, alors B0:= {f∈E0:
kfk ≤ 1}munie de la topologie * faible, admet la distance
d(f, g) := max
n≥12−nmin(|f(xn)−g(xn)|,1).
o`u {x1, x2, . . .}est une partie dense de B:= {x∈E:kxk ≤ 1}.
Proof. Si f∈B0et  > 0, alors
B(f, ) := {g∈B0:d(f, g)< } ⊃
n
\
k=1
V0(xk, B(f(xk),2−k/2))
(la distance dest moins fine que la topologie * faible).
R´eciproquement, soit (y1, U1),...,(yr, Ur) avec yi∈Bet Uiouverts de Rtels
que Tr
i=1 V0(yi, Ui)3f. On peut supposer Ui=B(f(yi), ) pour un  > 0, quitte `a
r´eduire ces ensembles. Il existe n∈Ntel que pour tout i≤r,V0(yi, B(f(yi), /3))
contient un xk,k≤net donc:
d(f, g)<2−n/3 =⇒ ∀i|g(yi)−f(yi)| ≤ |g(xk)−f(xk)|+ 2/3< 
la premi`ere in´egalit´e d´ecoulant de ce que kgk,kfk ≤ 1 et kyi−xkk ≤ pour un
certain k≤n. Autrement dit,
B(f, 2−n/3) ⊂
r
\
k=1
V0(yi, Ui)
(la distance dest plus fine). 
Le r´esultat suivant est un cas particulier du th´eor`eme de Banach-Alaoglu (voir
[2, chap. 3, ´enonc´e 3.15]).
1Les ouverts sont les unions d’intersections finies d’ensembles de ce type.
1

2
Th´eor`eme 2. Si Eest un espace vectoriel norm´e s´eparable, alors B0est compacte
dans la topologie * faible.
Proof. Il suffit de montrer que toute suite f1, f2,· · · ∈ B0admet une sous-suite
convergente vers un f∗∈B0pour la distance dd´efinie par une suite {x1, x2, . . .}
dense dans Bcomme pr´ec´edemment.
D´efinissons inductivement sur kdes suites (nk
m)m∈N. Posons n0 m=mpour tout
m≥0. Pour k≥1, supposons (nk−1
m)m∈Nd´efinie.
Comme fn(xk)∈[−1,1] (fnet xksont de norme au plus 1 chacun), il existe une
suite nk
mtelle que nk m% ∞ quand m→ ∞,{nk m:m∈N}⊂{nk−1 m:m∈N}et
limm→∞ fnk
m(xk) existe.
On pose finalement nm:= nm
mpour tout m≥1 et f∗(xk) = limm→∞ fnk
m(xk).
Remarquons que f∗est uniform´ement continue: si k≤`,|f∗(xk)−f∗(x`)|=
limm→∞ |fn`
m(xk−x`)| ≤ |xk−x`|.f∗admet donc un prolongement continu unique
sur Equ’on note encore f∗.
f∗est lin´eaire vu f∗(tx +sy) = limm→∞ tfnm(x) + sfnm(y) = tf∗(x) + sf∗(y)
pour tous x, y ∈Eet s, t ∈R.kfnmk ≤ 1 passe `a la limite. f∗est bien un ´el´ement
de B0.
Par construction, limm→∞ fnm(xk)→f∗(xk) pour tout ket donc d(fnm, f∗)→
0. 
2. Probabilit´ es sur un espace compact
Soit Xun espace m´etrique compact. On pose E=C(X) l’ensemble des fonc-
tions continues de Xdans R. Soit P rob(X) l’ensemble des mesures bor´eliennes de
probabilit´e sur Xmuni de la topologie vague:
µn→∗µ⇐⇒ ∀f∈C(X)µn(f)→µ(f)
.
Le r´esultat pr´ec´edent montre:
Th´eor`eme 3. Si Xest un espace m´etrique compact alors P rob(X)est m´etrisable
et compact pour la topologie vague: toute suite µ1, µ2, . . . de mesures bor´eliennes de
probabilit´e sur Xadmet une valeur d’adh´erence pour la topologie * faible: il existe
µ∈P rob(X)et nk% ∞ telles que, pour tout f∈C(X),
ZX
f dµ = lim
k→∞ ZX
f dµnk
Proof. On pose E=C(X) muni de la norme sup. Le th´eor`eme de Riesz [1, chap.
6, ´enonc´e 6.19] permet d’identifier les ´el´ements du dual E0aux mesures bor´eliennes
finies. Les conditions µ≥0 et µ(X) = 1 pour que µ∈P rob(X) peuvent s’´ecrire
respectivement: f≥0 =⇒µn(f)≥0 et µn(1) = 1. Elles passent donc `a la limite
dans la topologie vague. Le th´eor`eme pr´ec´edent donne le r´esultat. 
3. Probabilit´ es sur un espace non-compact
Soit Xun espace m´etrique dont les boules ferm´ees soient compactes. On pose
E=Cc(X) l’ensemble des fonctions continues `a support compact sur X. Soit
M≤1(X) l’ensemble des mesures bor´eliennes positives et de mesure totale au plus
1 muni de la topologie vague:
µn→∗µ⇐⇒ ∀f∈Cc(X)µn(f)→µ(f)

3
.
Le r´esultat pr´ec´edent montre:
Th´eor`eme 4. Si Xest un espace m´etrique dont les boules ferm´ees sont compactes
alors M≤1(X)est m´etrisable et compact pour la topologie vague.
L’exemple X=R,µn=δnmontre qu’on peut ne pas avoir de valeur d’adh´erence
parmi les probabilit´es. On peut facilement d´eduire le cas compact ´etudi´e pr´ec´edemment
de ce nouvel ´enonc´e.
Preuve du th´eor`eme. On pose E=Cc(X) muni de la norme sup. Le th´eor`eme de
Riesz [1, chap. 6, ´enonc´e 6.19] permet d’identifier le dual E0aux mesures bor´eliennes
finies. Les in´egalit´es µn≥0 et µn(X)≤1 peuvent s’´ecrire respectivement: f≥
0 =⇒µn(f)≥0 et µn(X) = limk→∞ µn(fk) si fk∈Cc(X) avec 1B(x0,n)≤fn≤1.
Elles passent donc `a la limite dans la topologie vague. Le th´eor`eme 2 permet de
conclure. 
References
[1] W. Rudin, Real and complex analysis
[2] W. Rudin, Functional analysis