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Trigonométrie
Table des matières
1 mesure d’un angle 2
1.1 activité : cercle trigonométrique et mesure d’angle en radians . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 corrigé activité : cercle trigonométrique et mesure d’angle en radians . . . . . . . . . 3
1.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 sinus et cosinus d’un angle orienté 11
2.1 activité : sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 corrigé activité : sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 évaluation 18
4 devoir maison 19
5 TP 20
1

1 mesure d’un angle
1.1 activité : cercle trigonométrique et mesure d’angle en radians
Le but est d’indiquer sur le "cercle trigonométrique" (cercle orienté de rayon 1) la "mesure
principale" de l’angle d IOM (en degrés et en "radians") pour chacun des rayons ci dessous (figures
question c)
1. sachant que
(1) la mesure en radian, d’un angle non orienté α,
est égale à la longueur lde l’arc de cercle de rayon r= 1 qu’intercepte cet angle α
r= 1
l
(2) la longueur d’un arc de cercle intercepté est proportionnelle
à la mesure de l’angle
(a) calculer la longueur lde l’arc de cercle de rayon r= 1 et d’angle 360◦
en déduire la mesure en radian d’un angle de 360◦(rappel : p= 2πr)r= 1
(b) compléter le tableau ci dessous (valeurs exactes simplifiées et à 0,1 près pour 1 radian)
mesure en degrés 0 45 90 120 150 360
mesure en radians π
61π 3
3π
4π
calculs :
(c) placer les mesures principales (dans ]−180 ; 180] ou ]−π;π])d’angles d IOM ci dessous en
tenant compte de l’orientation
mesures d’angles en degrés mesures d’angles en radians
IO
+
−
O I
+
−
2. placer A, B, C, ... sur le cercle de droite et donner la mesure principale de l’angle sachant que
(a) d IOA a pour mesure 3π( que l’on notera d IOA = 3π)
(b) d IOB =−6π
(c) d IOC =7π
2
(d) d IOD =−5π
2
(e) d IOE =5π
4
(f) d IOF =−5π
4
(g) d IOG =4π
3
(h) d IOH =−40π
3
(i) d IOJ =15π
6
(j) d IOK =−75π
6

1.2 corrigé activité : cercle trigonométrique et mesure d’angle en radians
Le but est d’indiquer sur le "cercle trigonométrique" (cercle orienté de rayon 1) la "mesure
principale" de l’angle d IOM (en degrés et en "radians") pour chacun des rayons ci dessous (figures
question c)
1. sachant que
(1) la mesure en radian, d’un angle non orienté α,
est égale à la longueur lde l’arc de cercle de rayon r= 1 qu’intercepte cet angle α
r= 1
l
(2) la longueur d’un arc de cercle intercepté est proportionnelle
à la mesure de l’angle
(a) calculer la longueur lde l’arc de cercle de rayon r= 1 et d’angle 360◦
en déduire la mesure en radian d’un angle de 360◦(rappel : p= 2πr)
p= 2π×1 = 2πdonc ✞
✝☎ ✆
à360◦correspond 2πradians r= 1
(b) compléter le tableau ci dessous (valeurs exactes simplifiées et à 0,1 près pour 1 radian)
mesure en degrés 0 30 45 ≃
57,3
60 90 120 135 150 180 360
mesure en radians 0π
6
π
41π 3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π2π
calculs :
(360 ↔2π
x↔π
6⇒x= 360 ×π
6×1 2π=360 12 =✄
✂ ✁
30 360 ↔2π
x↔1⇒x= 360 ×1×1
2π
✞
✝☎ ✆
≃57,3
(c) placer les mesures principales (dans ]−180 ; 180] ou ]−π;π])d’angles d IOM ci dessous en
tenant compte de l’orientation
mesures d’angles en degrés mesures d’angles en radians
IO
+
−
60
45
30
−60 −45
−30
120
135
150
−120
−135
−150
0
90
−90
180 O I
+
−
π
3π
4π
6
−π
3
−π
4
−π
6
2π
3
3π
4
5π
6
−2π
3
−3π
4
−5π
6
0
π
2
−π
2
πA B
C=D=K
E
F
G=H
J
2. placer A, B, C, ... sur le cercle de droite et donner la mesure principale de l’angle sachant que
(a) ✞
✝
☎
✆
d
IOA = 3π≡π[2π]
(b) ✞
✝
☎
✆
d
IOB =−6π≡0[2π]
(c)
☛
✡
✟
✠
d
IOC =7π
2≡ −π 2[2π]
(d)
☛
✡
✟
✠
d
IOD =−5π
2≡ −π 2[2π]
(e)
☛
✡
✟
✠
d
IOE =5π
4≡ −3π 4[2π]
(f)
☛
✡
✟
✠
d
IOF =−5π
4≡3π 4[2π]
(g)
☛
✡
✟
✠
d
IOG =4π
3≡ −2π 3[2π]
(h)
☛
✡
✟
✠
d
IOH =−40π
3≡2π 3[2π]
(i)
☛
✡
✟
✠
d
IOJ =15π
6≡π 2[2π]
(j)
☛
✡
✟
✠
d
IOK =−75π
6≡ −π 2[2π]

Explications pour les mesures principales :
(a)
☛
✡
✟
✠
−40π
3
−40π
3/∈]−π;π]donc −40π 3n’est pas la mesure principale
(−40
3≃ −13,33 et −13,33 /∈]−1; 1] )
on ajoute autant de fois 2πqu’il faut à −40π
3pour que le résultat soit dans ]−π;π]
−40π
3
2π=−40π 3×1 2π=−40 6≃ −6,66
on peut donc ajouter 6 fois 2πà−40π
3
−40π
3+ 6 ×2π=−40π+ 36π 3=−4π 3
mais on a encore −4π
3/∈]−π;π]
on ajoute encore 2π
−4π
3+ 2π=−4π+ 6π 3=2π 3
et 2π
3∈]−π;π]
2π
3est alors la mesure principale de −40π 3et on écrit
☛
✡
✟
✠
−40π
3≡2π 3[2π]
−40π
3congru à 2π 3modulo 2π

1.3 à retenir
définition 1 :(mesure d’angle non orienté en radian)
quel que soit l’angle (non orienté) α
✄
✂ ✁
la mesure en radian de l’angle αest égale à la longueur l
de l’arc de cercle de rayon r= 1 intercepté par cet angle α
r= 1
l=
mesure
en radian
de α
remarques
i. "tour complet" : 2πr = 2π×1 = 2π
ii. "quart de tour" : par proportionnalité,1
4×2π=π 2
iii. on confond usuellement l’angle avec la valeur de sa mesure, mesure(α) = α
iv.
degrés 0 30 45 ≃57 60 90 120 135 150 180
radians 0π
6
π
41π 3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
exemples
α=π
4
r= 1
l=π
4α=π
2
r= 1
l=π
2
α=π
r= 1
l=π
définition 2 :(cercle trigonométrique et mesure d’angle orienté en radian)
(1) Le cercle trigonométrique
est le cercle de rayon r= 1 orienté négativement dans le sens horaire
orienté positivement dans le sens anti-horaire
+
−
r= 1
(2) Quel que soit l’angle orienté α,
si l’angle est dans le sens positif,
la mesure en radian de l’angle αest égale à la longueur l
de l’arc de cercle de rayon r= 1 intercepté par cet angle
sinon c’est -1 que multiplie cette longueur α=l
r= 1
l
α=−l
r= 1
l
exemples
α= +π
4
r= 1
l=π
4α=−π
2
r= 1
l=π
2
α= +π
r= 1
l=π
α=−π
r= 1
l=π
remarques
i. le sens positif est appelé le "sens trigonométrique" ou sens "direct"
ii. le sens négatif est appelé le "sens horaire" ou sens "indirect"
définition 3 :(angle orienté entre deux vecteurs)
Quels que soient les vecteurs non nuls −→ uet −→ v
+
OM
A
B
P
−→
u
−→
v
l’angle orienté entre les vecteurs −→ uet −→ vest noté (−→ u;−→ v)
✄
✂ ✁
une de ses mesures est celle de l’angle orienté d AOB
où 
Oest le centre du cercle trigonométrique C
Met Psont deux points tels que −−→ OM =−→ uet −−→ OP =−→ v
A=C∩[OM)et B=C∩[OP )
ainsi : (−→ u;−→ v) = d AOB
✄
✂ ✁
toutes les mesures de l’angle (−→ u;−→ v)sont de la forme ✞
✝
☎
✆
d
AOB + 2kπ
où k∈Zest un entier relatif quelconque