La fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien
1. Définition :
Dérivées des fonctions puissances
Fonction Dérivée
332
22
11
0=1 0
−1−−2
−2−2−3
donc en lecture inverse :
Primitives des fonctions puissances
Fonction Dérivée
23
3
2
2
11
00=1
−2−−1
−3−−3
2
Une question se pose alors à la lecture du second tableau : où est passé le 1
=−1? Quelle est donc sa primitive ?
Il ne s’agit pas vraiment d’un mystère, mais nous verrons dans le chapitre sur la continuité que la fonction inverse 1
admet
une primitive sur l’intervalle ]0; +∞[sauf que cette primitive n’est pas une fonction puissance. Et c’est même pire : cette
primitive ne peut pas s’exprimer à l’aide de fonctions classiques ; elle existe mais on ne peut pas l’exprimer
On est donc condamné à l’inventer ; la primitive de 1
sur l’intervalle ]0; +∞[est la fonction logarithme népérien notée ln ()
En fait ce qui est écrit précédemment manque de rigueur et de précision. La fonction 1
admet une infinité de primitives sur
]0; +∞[qui diffèrent d’une constante additive. Le logarithme népérien est celle qui s’annule en 1.
La fonction ln est donc définie par : (∀∈]0; +∞[(ln ())0=1
ln (1) = 0
Remarque : La fonction 1
admet aussi une primitive sur l’intervalle ]−∞;0[En apliquant le théorème de dérivation d’une
fonction composée, si 0ln (−)est définie et dérivable avec (ln (−))0=−1
−=1
ln (−)est donc une primitive de
1
sur l’intervalle ]−∞;0[On pourra retenir que ln ||est une primitive de 1
sur l’un ou l’autre des intervalles ]0; +∞[et
]−∞;0[
2. Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien :
2.1. Logarithme népérien d’un produit
∀ ∈]0; +∞[ln ()=ln()+ln()
Soit la fonction définie pour 0et 0par ()=ln()−ln ()
est dérivable sur ]0; +∞[commecomposéeetproduitdetellesfonctions.
Sa dérivée est définie par : ∀∈]0; +∞[
0()=
−1
On a donc ∀∈]0; +∞[
0()=0⇒est une fonction constante.
Comme on calcule (1) = ln ()il vient :∀∈]0; +∞[()=ln()
Ou encore, ∀∈]0; +∞[=ln()−ln ()=ln()⇒∀ ∈]0; +∞[=ln()=ln()+ln()
1
2.2. Logarithme népérien de l’inverse
∀∈]0; +∞[ln µ1
¶=−ln ()
C’esttoutsimple:∀∈]0; +∞[×1
=1⇒ln µ×1
¶=ln(1)donc ln ()+lnµ1
¶=0D’où le résultat.
2.3. Logarithme népérien d’un quotient
∀ ∈]0; +∞[ln ³
´=ln()−ln ()
Il suffit d’écrire
=×1
⇒ln ³
´=ln()+lnµ1
¶donc ln ³
´=ln()−ln ()
2.4. Logarithme népérien d’une puissance
∀∈]0; +∞[∀∈Zln ()=ln ()
FPour ∈N:se démontre facilement par récurrence : soit ()la propriété ln ()=ln ()
NInitialisation : ln ¡0¢=ln(1)=0×ln ()donc 0est vraie.
NHérédité : On supose vraie, c’est à dire ln ()=ln ()
Alors ln ¡+1¢=ln(×)⇒ln ¡+1¢=ln()+ln()
D’après l’hypothèse de récurrence :ln ¡+1¢=ln ()+ln()doncln ¡+1¢=(+1)ln()
La propriété est donc vraie à l’ordre +1
La propriété est vraie pour =0; la supposant vraie à l’ordre on démontre qu’elle l’est encore à l’ordre +1D’après
l’axiome de récurrence, elle est donc vraie pour tout ≥0
FPour 0−∈Ndonc d’après ce qui précède, ln (−)=−ln ()or ln (−)=lnµ1
¶
donc ln µ1
¶=−ln ()⇒−ln ()=−ln ()
Et en multipliant par −1on a donc bien, même pour 0ln ()=ln ()
3. Etude de la fonction ln :
FOn a vu que son ensemble de définition est ]0; +∞[
FEtude des limites
En +∞:lim
→+∞ln ()=+∞
On sait d’après ce qui précède que ∀∈]0; +∞[∀∈Zln ()=ln ()⇒lim
→+∞ln () = lim
→+∞ln ()
Or, pour 1lim
→+∞=+∞donc lim
→+∞ln () = lim
→+∞ln ()
de plus, 1⇒ln ()0donc lim
→+∞ln ()=+∞
On déduit de tout cela que lim
→+∞ln ()=+∞
2
En 0:lim
→0ln ()=−∞
On cherche lim
→0ln ()En posant cette fois =1
il vient : lim
→0ln () = lim
→+∞ln µ1
¶
Or ln µ1
¶=−ln ()donc lim
→0ln () = lim
→+∞(−ln ()) = −∞
FEtude des variations
ln est dérivable sur ]0; +∞[et ∀∈]0; +∞[(ln ())0=1
0La fonction ln est donc strictement croissante sur ]0; +∞[
D’où le tableau de variations et la courbe :
x
ln‘( x )
ln ( x )
+
0 +
-
+
246810 12 14 16 18 20
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
4. Une limite particulière en lien avec un nombre dérivé :
Le résultat, à connaître est le suivant : lim
→0
ln (1 + )
=1
Démonstration :
J’insiste sur le fait que cette levée d’indétermination est fréquemment utile dans le cas d’une forme indéterminée "0
0”notation
formellement interdite,même entre guillemets et que je ne m’autorise que vous la comprendrez mieux que toute autre à la
lecture.
Vous voyez effectivement que lim
→0ln (1 + )=0et lim
→0=0D’où l’indétermination.
La méthode, souvent utile donc, utilise la définition du nombre dérivé qui est : 0() = lim
→
()−()
−= lim
→0
(+)−()
En effet, ces deux expressions, qui font appel à un taux d’accroissement amènent TOUJOURS une forme indéterminée " 0
0”
et pourtant la limite est connue ; c’est le nombre dérivé.
L’idée est alors de faire apparaître un taux d’accroissement : ln (1 + )
=ln (1 + )−ln (1 + 0)
−0qui devient donc le taux
d’accroissement de la fonction ()=ln(1+)entre 0et
Ainsi lim
→0
ln (1 + )
= lim
→0
ln (1 + )−ln (1 + 0)
−0
= lim
→0
()−(0)
−0
=0(0) la fonction est dérivable évidemment. C’est bien le cas ici.
Il ne reste plus qu’à calculer la dérivée de ()=ln(1+)qui est 0()= 1
1+donc 0(0) = 1
On en déduit donc que lim
→0
ln (1 + )
=1
3
Remarque : un autre cas classique d’utilisation de cette méthode est la limite en 0de sin ()
=sin ()−sin (0)
−0
Cette limite vaut donc cos (0) = 1 (dérivée de sin())
5. Croissances comparées :
La courbe ci-dessous permet de conjecturer que le logarithme népérien tend vers l’infini moins vite que 2 et même moins
vite que √
1 2 3 4 5 6 7
-1
1
2
3
4
5
6
7
ln ( x )
x
x
x²
Nous traduirons ceci par :lim
→+∞
ln ()
=0 et lim
→+∞
ln ()
=0pour 0
Nous démontrerons aussi que lim
→0ln ()=0.
Preuves :
1. Soit la fonction définie sur ]0; +∞[par ()=ln()−√
est dérivable sur ]0; +∞[et sa dérivée est 0()= 1
−1
2√=2−√
2
La fonction est donc décroissante à partir de =4(abscise du maximum). Or (4) = ln (4) −√40
On a donc ∀∈]0; +∞[:()0⇒ln ()√et en divisant par 0:ln ()
1
√
Il suffit de prendre 1⇒ln ()0pour avoir 0ln ()
1
√⇒lim
→+∞
ln ()
=0d’après le théorème des gendarmes.
2. Toujours pour 10ln ()
ln ()
1
√⇒lim
→+∞
ln ()
=0
3. Il suffitdeposer=1
et lim
→0ln () = lim
→+∞
1
ln µ1
¶donc lim
→0ln ()= lim
→+∞−ln ()
puisque ln µ1
¶=−ln ()
Ainsi d’après ce qui précède lim
→0ln ()=0
4
6. Logarithme de base a (réel strictement positif) :
Ce paragraphe n’a un grand intérêt en maths mais est très utilisé en physique et en chimie.
On appelle logarithme de base 0la fonction définie sur ]0; +∞[par log()=ln ()
ln ()
Ce n’est éffectivement pas passionnant. Cela revient simplement à diviser le logarithme népérien par un nombre constant :
ln ()
Le physicien et surtout le chimiste utilise beaucoup (le mot est un peu fort) le logarithme décimal qui est log10 ()= ln ()
ln (10)
Vous comprendrez peut-être son intérêt quand je vous aurai fait remarquer que log10 (10)= ln (10)
ln (10)
=×ln (10)
ln (10)
=
C’estdonclafonctionréciproquedelafonction10 puissance et 1000 ≤10000 ⇒3≤log10 ()4
Le log10 renvoie "l’ordre de grandeur" du nombre.
5
1
/
5
100%
