PUISSANCES ET RADICAUX

Chapitre 2
PUISSANCES ET RADICAUX
2.1
Puissances à exposants naturels (rappels)
Définitions
1. Si a est un nombre réel et n un nombre naturel différent de 0 et 1 , alors an est le produit de n
facteurs égaux à a.
Si a ∈ IR et si n ∈ IN0 \ {1} , alors
an = a.a.
· · · .a}
| {z
n facteurs
2. Si a est un nombre réel non nul et n un nombre naturel, alors a−n est l’inverse de an .
Si a ∈ IR0 et n ∈ IN, alors
a−n =
1
.
an
Remarques
• ∀ a ∈ IR : a1 = a
• ∀ n ∈ IN0 : 0n = 0
• ∀ a ∈ IR0 : a0 = 1
• ∀ n ∈ IN : 1n = 1
½
• ∀ a ∈ IR0 , ∀ n ∈ IN : an
a le signe de a si n est impair,
est strictement positif si n est pair.
• Et 00 ?
D’un côté, n’importe quel nombre positif exposant 0 donne 1, donc par extension, on serait tenté
de poser que
00 = 1
Mais d’un autre côté, 0 à n’importe quelle puissance positive, c’est 0, donc par extension, il
faudrait poser que
00 = 0
A cause de ces deux comportements contradictoires, 00 demeure indéterminé!
Propriétés
∀ a ∈ IR, ∀ m, n ∈ IN :
∀ a, b ∈ IR, ∀ m ∈ IN :
∀ a ∈ IR, ∀ m, n ∈ IN :
∀ a ∈ IR, ∀ b ∈ IR0 , ∀ m ∈ IN :
an .am = an+m
(a.b)m = am .bm
(an )m = an.m
m
( ab )m = abm
16
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
:
:
:
:
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
17
Exercices
Applique les propriétés des puissances pour réduire les expressions suivantes.
1. a3 .a2 =
27. (−b5 )2 =
2. (a4 )2 =
28. −(b5 )2 =
3. (a.b)5 =
29. (−b2 )5 =
4. (2a)3 =
30. −(b2 )5 =
5. a.a2 =
31. (−2a3 )2 .(−3a2 )3 =
6. (x3 )2 =
32. (−2a2 b)3 .(5a6 b)2 =
7. 5x.2x =
33. 6xy 2 .(3x2 y)2 =
8. 4a2 .(−a5 ) =
9. (5ac)2 =
10. (−b5 )3 =
11. (a3 b2 )5 =
12. −2a5 .2a =
13. (−3a)2
14. 5a3 .(2a4 ) =
15. (−2b)3 =
16. (−b4 )3 =
34. (x4 )2 .(−x5 )2 =
35. (−x3 )2 .(−x)3 .(−x) =
36. ( ab )2 =
3
37. ( 2a
b ) =
3
38. (− 5a
c ) =
2
39. ( 2a
3b ) =
3
40. ( −4x
5y ) =
2
41. (− 4a
3 ) =
5
17. 3x3 y.2xy 2 =
42. ( a3 )2 =
18. (3a2 b)4 =
43. ( xy3 )3 =
19. (−a3 )2 =
20. (−2a2 b)5 =
21. (a2 )3 .(b2 )4 =
3 3
2 2
22. (x ) .(y ) =
2
3
2
44. ( 2x
3y ) =
4
3
45. ( −3a
b3 ) =
46.
(5a)2
3
=
23. (a5 )2 .(−b2 )3 =
2
47. ( 5a
3 ) =
24. (3a)2 .(2a3 )3 =
48.
25. −7x4 .(−3x3 )2 =
2
49. (− 5a
3 ) =
26. (b5 )2 =
2
50. −( 5a
3 ) =
(−5a)2
3
=
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
2.2
18
Puissances à exposants entiers
Propriété 2.1 (Produit de puissances de même base)
Pour multiplier des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants.
∀ a ∈ IR0 , ∀ m, n ∈ ZZ : am .an = am+n .
Exemples :
• a2 .a3 =
• a2 .a−5 =
• a−2 .a−3 =
Démonstration. Cette propriété est déjà connue pour des exposants naturels. Démontrons celleci lorsque les deux exposants sont négatifs.
Pour montrer que m et n sont négatifs, nous écrirons que m = −p et n = −q avec p et q positifs.
am .an
= a−p .a−q
Convention d’écriture
=
1 1
ap . aq
Définition d’une puissance à exposant négatif
=
1
ap .aq
Produit de deux fractions
=
1
ap+q
Propriété des puissances à exposants naturels
= a−(p+q)
Définition d’une puissance à exposant négatif
= a(−p)+(−q)
Suppression des parenthèses
= am+n
Convention d’écriture
Propriété 2.2 (Puissance d’une puissance)
Pour élever une puissance à une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants.
∀ a ∈ IR0 , ∀ m, n ∈ ZZ : (am )n = am.n .
Exemples :
• (a2 )3 =
• (a2 )−5 =
• (a−2 )−3 =
Démonstration. Cette propriété est déjà connue pour des exposants naturels. Démontrons celleci lorsque les deux exposants sont négatifs.
Pour montrer que m et n sont négatifs, nous écrirons que m = −p et n = −q avec p et q positifs.
(am )n
= (a−p )−q
=
=
=
Convention d’écriture
1
(a−p )q
Définition d’une puissance à exposant négatif
1
Définition d’une puissance à exposant négatif
q
( a1p )
1
1
ap.q
Propriété des puissances à exposants naturels
= ap.q
Quotient d’un nombre par une fraction
= a(−m).(−n)
Convention d’écriture
= am.n
Règle des signes d’un produit de facteurs
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
19
Propriété 2.3 (Puissance d’un produit)
Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance.
∀ a ∈ IR0 , ∀ m ∈ ZZ : (a.b)m = am .bm
Exemples :
• (a.b)3 =
• (a.b)−2 =
Démonstration. Cette propriété est déjà connue pour des exposants naturels. Démontrons celleci lorsque l’exposant est négatif.
Pour montrer que m est négatif, nous écrirons que m = −p avec p positif.
(a.b)m
= (a.b)−p
Convention d’écriture
=
1
(a.b)p
Définition d’une puissance à exposant négatif
=
1
ap .bp
Propriété des puissances à exposants naturels
=
1 1
ap . bp
Produit de deux fractions
= a−p .b−p
Définition d’une puissance à exposant négatif
= am.n
Convention d’écriture
Remarque
Nous savions déjà que si a ∈ IR0 et n ∈ IN, alors a−n =
Nous remarquons également que
an = a−(−n) =
1
an
.
1
a−n
Ce qui nous permet d’introduire sans difficulté la définition suivante.
Définition 2.4 (Généralisation de l’inverse d’une puissance)
∀ a ∈ IR0 , ∀ n ∈ ZZ : a−n
 −n
 a = a1n
1
= n ⇐⇒ ∀ a ∈ IR0 , ∀ n ∈ IN :
 n
a
1
a = a−n
Exemples :
• a2 =
1
a−2
• a−3 =
1
a3
Propriété 2.5 (Puissance d’un quotient)
Pour élever un quotient à une puissance, on élève numérateur et dénominateur à cette puissance.
µ ¶m
a
am
∀ a, b ∈ IR0 , ∀ m ∈ ZZ :
= m
b
b
Exemples :
• ( ab )3 =
• ( ab )−2 =
Démonstration. Cette propriété est déjà connue pour des exposants naturels. Démontrons celleci lorsque l’exposant est négatif.
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
20
Pour montrer que m est négatif, nous écrirons que m = −p avec p positif.
( ab )m
= ( ab )−p
Convention d’écriture
= ( ab )p
Définition d’une puissance à exposant négatif
=
bp
ap
Propriété des puissances à exposants naturels
=
a−p
b−p
Définition générale de l’inverse d’une puissance
=
am
bm
Convention d’écriture
Remarque
Cette propriété aurait pu être démontrée à l’aide de la propriété concernant la puissance d’un produit. En effet, ab = a.b−1 . Ce qui nous rappelle qu’un quotient n’est qu’une multiplication particulière,
le dénominateur doit juste être non nul.
Propriété 2.6 (Quotient de puissances de même base)
∀ a ∈ IR0 , ∀ m, n ∈ ZZ :
am
= am−n .
an
Exemples :
•
•
a2
a5
5
a
a2
=
•
=
•
a4
a−3
−4
a
a−3
=
•
a−4
a3
=
Démonstration. ∀ a ∈ IR0 , ∀ m, n ∈ ZZ :
am
an
= am . a1n
Quotient de deux nombres
= am .a−n
Définition de l’inverse d’une puissance
= am−n
propriété 2.1 page 18
Exercices 2.7
1. Ecrire plus simplement :
• a2 .a.b−3 .b.(−2).a5 = · · ·
• (a3 )2 = · · ·
• (7a2 )0 = · · ·
³
•
³
•
2ax
5by
x3
x2
´2 ³
´3
. −5by
= ···
ax
´2
= ···
=
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
21
2. Ecrire sous forme d’une puissance :
•
105
103
= ···
• −8a6 = · · ·
• 27a6 b3 = · · ·
• 0, 25 = · · ·
•
1
100
= ···
3. Si a et b désignent des réels non nuls, exprimer sous forme d’un produit de puissances de a et b
les expressions suivantes :
•
a2 b5
a3 b7
•
a−2 b3
a−3 b−2
•
a−1 b5
a3 b7
•
a4 b−2 a−3
a−1 b2
•
(ab)−2 a3
(ab)−3 b2
= ···
= ···
= ···
= ···
= ···
4. Transforme les nombres suivants en un produit d’un nombre entier le plus petit possible par une
puissance de 10.
(a) 0, 05 =
(i) 0, 000007235 =
(b) 3, 124 =
(j) 0, 000009 =
(c) 0, 01 =
(k) 0, 00042 =
(d) 400 =
(l) 7235000000 =
(e) 560000 =
(m) 0, 28 =
(f) 7, 235 =
(g) 0, 0007 =
(n) 12000000 =
(h) 0, 62 =
(o) 0, 000001 =
5. Complète la série suivante dans les deux sens et remplace chaque nombre par une puissance de
même base.
···
,
···
,
···
,
···
,
···
, 100 , 10 , 1 ,
1
,···
10
,
···
,
···
,
···
,
Fais de même avec la série suivante.
···
,
···
,
···
,
···
,
···
, 32 , 16 , 8 , 4 , · · ·
,
···
,
···
,
···
,
···
···
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
22
6. (a) La vitesse de la lumière dans le vide est de 299 792, 458 km/sec. La distance de la terre au
soleil est d’environ 15 . 107 km.
Evalue mentalement le temps mis par la lumière du soleil pour nous parvenir.
Vérifie ton résultat à la calculatrice.
(b) L’année-lumière est la distance parcourue par la lumière en une année.
Vérifie qu’un ordre de grandeur d’une année-lumière est 1013 km.
(c) Pour chaque calcul, choisis la valeur la plus proche du résultat parmi celles proposées.
3 972 356 . 198 531
20 704 . 315 704
70 245 . 2 957 856
2 125 376 . 0, 039 57
0, 000 375 . 0.000 007 86
2.3
2.3.1
4 . 1011
6 . 109
2 . 109
8 . 104
3 . 10−10
8 . 1011
6 . 1010
2 . 1010
8 . 103
3 . 10−9
3 . 1011
6 . 108
2 . 1011
6 . 104
2 . 10−9
Puissances de 10
Puissances entières de 10
Exemples
• 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
L’exposant indique le nombre de zéros à droite de 1 .
1
= 0, 001
• 10−3 = 1013 = 1000
L’exposant indique le nombre de rangs à droite de la virgule.
2.3.2
Nombre décimal - somme de produits de puissances de 10
Exemples
•
4856 =
4000 + 800 + 50 + 6
= 4 × 1000 + 8 × 100 + 5 × 10 + 6 × 1
= 4 . 103 + 8 . 102 + 5 . 101 + 6 . 100
•
7, 352 =
7 + 0, 3 + 0, 05 + 0, 002
= 7×1+3×
1
10
+5×
1
100
+2×
1
1000
= 7 . 100 + 3 . 10−1 + 5 . 10−2 + 2 . 10−3
Exercices 2.8
Calcule après avoir remplacé chaque nombre par un produit d’un nombre entier par une puissance de
10 et vérifie ton résultat à la calculatrice.
1. 4 000 000 . 12 000
7. (0, 0002)3
2. 0, 07 . 0, 002
8. (−0, 03)4
3. 0, 005 . 0, 000 009
9. (−0, 5)3
4. 6000 . 0, 000 02
10. (3 . 0, 007)2
5. 80 000 . 0, 0003
11. 24 000 . 0, 04
6. (0, 005)2
12. 0, 005.0, 4
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
13. (0, 07)2
23
15. (−0, 002)3
14. −0, 002 . 0, 75
2.3.3
Notation scientifique
Exercice 2.9
Effectuer en utilisant la calculatrice.
(1) 0, 000 000 000 008 + 0, 000 000 000 009
(3) 7 000 000 × 8 000 000
(2) 7 000 000 000 + 8 000 000 000
(4) 0, 000 005 × 0, 000 007
Notation 2.10
Tout nombre décimal strictement positif peut s’écrire sous la forme
½
1 ≤ a < 10
a .10p avec
p ∈ ZZ
Remarque
Le nombre a s’écrit avec un seul chiffre à gauche de la virgule et ce chiffre est différent de 0 .
Exemples
• 15 000 = 1, 5 . 104
Il y a 4 rangs à la droite du chiffre de rang le plus élevé dans 15 000 .
• 0, 000 078 2 = 7, 82 . 10−5
Le premier chiffre significatif est au 5ème rang à droite de la virgule.
• 32, 4 = 3, 24 . 101
Il y a 1 rang à la droite du chiffre de rang le plus élevé.
Exercices 2.11
1. Ecrire sous forme décimale.
(a) 7 . 103
(d) 0, 73 . 10−2
(b) 5 . 10−4
(e) 97, 5 . 105
(c) 6, 23 . 104
(f) 256, 6 . 10−3
2. Ecrire en notation scientifique et vérifier avec la calculatrice.
(a) 64, 3
(g) 6, 12 . 10−3
(b) 17 360
(h) 136 . 10−3
(c) 0, 148
(i) (14 . 102 ) . (7 . 10−3 )
(d) 0, 000 13
(j) 0, 02 . 4, 83
6
(e) 0, 035 . 10
(k) (72 . 106 ) : (4 . 105 )
(f) 48, 3 . 105
(l) (0, 63 . 103 ) : (0, 3 . 10−2 )
3. Effectuer et vérifier avec la calculatrice.
(a) 4, 33 . 10−3 × 7, 21 . 10−5
(b) 5, 24 . 10−2 × 3, 6 . 10−3
(c) 8, 4 . 105 × 2, 4 . 103
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
2.3.4
24
Les préfixes d’unités du Système International (SI)
Le système international utilise des préfixes qui s’appliquent également à toutes les unités pour les
multiplier.
10N
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
100
Préfixe
yotta
zetta
exa
péta
téra
giga
méga
kilo
hecto
déca
unité
Symbole
Y
Z
E
P
T
G
M
k
h
da
-
10N
100
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
Nombre
Quadrillion
Trilliard
Trillion
Billiard
Billion
Milliard
Million
Mille
Cent
Dix
Un, une
Préfixe
unité
déci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
Symbole
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
Nombre
Un, une
Dixième
Centième
Millième
Millionième
Milliardième
Billionième
Billiardième
Trillionième
Trilliardième
Quadrillionième
Exemple
3 Mw = 3 . 106 w = 3 . 1 000 000 w = 3 000 000 w
2.4
Les racines carrées
Exercice 2.12
Résoudre les équations suivantes :
1. x2 = 9
3. x2 = −4
2. x2 = 0
4. x2 = a avec a ∈ IR
Définition 2.13 Pour tout réel positif a,
√
a est le nombre réel positif dont le carré est a .
Vocabulaire
√
a se lit “racine (carrée positive) de a” et n’a de sens que si a ≥ 0.
Conséquence
Les deux nombres réels dont le carré est a (donc a est positif) sont
Ce sont les racines carrées algébriques de a.
Remarque
Pour démontrer que
√
½
a = x , il faut démontrer que
Exercice 2.14
Calculer les expressions suivantes
x≥0
x2 = a
√
√
a et − a.
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
1.
√
52 =
25
p
(−5)2 =
2.
Propriété 2.15
∀ a ∈ IR :
3. a ∈ IR,
√
√
a2 =
a2 = |a|
ATTENTION
Il ne faut pas confondre les expressions suivantes.
Quelle est la racine carrée de 9 ?
Quels sont les nombres dont le carré est 9 ?
On doit résoudre l’équation
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
Il y a
C’est le nombre réel positif dont le carré est 9.
x2 = 9
2
x −9=0
(x − 3) . (x + 3) = 0
x = 3 ou x = −3
deux nombres dont le carré est 9 .
√
9=3
Le nombre 9 a une seule racine carrée.
Exercices
1. A l’aide de la calculatrice, déterminer au 0, 001 près par défaut les racines carrées suivantes :
(a) 3
(c) 47, 56
(e) 56, 4589
(b) 6, 84
(d) 154, 62
(f) 246, 456
2. Déterminer les racines carrées suivantes.
Donner le résultat en notation scientifique et ensuite en notation décimale avec trois chiffres
significatifs.
(a) 3 . 103
(c) 5, 3 . 10−1
(e) 17, 2 . 10−3
(b) 0, 5 . 104
(d) 0, 87 . 105
(f) 0, 033 . 10−3
Donner les racines carrées algébriques des nombres suivants :
(a) 9
(b)
25
16
(c) 144
(e) 2, 25
(d) 0, 09
(f)
5
20
Règles de calcul
1. Racine carrée d’un produit
Si
a, b ∈ IR+ ,
alors
√
a.b =
√
a.
√
b.
Exemples :
2. Racine carrée d’un quotient
r
Si
Exemples :
+
a ∈ IR
et
b∈
IR+
0,
alors
√
a
a
= √ .
b
b
CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX
26
Quelques remarques très importantes
1. La racine carrée d’une expression est toujours positive ou nulle!
2. Tout ce qui se trouve en dessous du signe
√
doit être impérativement positif ou nul!
3. Attention!
√
a + b 6=
√
a+
√
b et
√
a − b 6=
√
a−
√
b.
Exercices
1. Simplifier les radicaux suivants :
√
1) √8
2) √27
3) √50
4) √75
5)
12
√
√128
√180
√242
√245
162
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
√
√1452
√1323
√2744
√15972
100000
2. Simplifier les radicaux suivants si a, b, c ∈ IR+ :
√
(a) 180a18 b13 c26 = · · ·
(b)
√
162a11 b17 c37 = · · ·
3. Préciser sous quelle(s) condition(s) les radicaux suivants existent :
√
(c) x + 1 ;
p
(d)
(x − 3) ;
√
(a) x ;
p
(b)
( − x) ;
(e)
p
(x − 1)2 ;
4. Rendre les dénominateurs rationnels:
(a)
(b)
√
√
a− b
√
√
a+ b
5. Simplifier
√
√
a+b+ a−b
√
√
a+b+ a−b
√
√
√
√
a+ b
a− b
√ +√
√
√
a− b
a+ b
6. Elever au carré :
(a)
√
a+
√
b
(b)
√
a−
√
b
(c) a +
7. Prouver que
√
∀ a, b ∈
IR+
0
:
√
b
√
1
1
a+ b
√
=√ +√
a
ab
b
8. Ecrire sans radicaux les expressions suivantes
p
p
(a) x + (x − 1)2 + (x + 1)2
p
(b)
(x − 1)2 (2x + 3)2
(c)
(d)
p
q
(x − 2)2 (x + 1)2
(2x−3)2
x2
(d) a +
√
a