PUISSANCES ET RADICAUX

Chapitre 2
PUISSANCES ET RADICAUX
2.1 Puissances `a exposants naturels (rappels)
D´efinitions
1. Si aest un nombre r´eel et nun nombre naturel diff´erent de 0 et 1, alors anest le produit de n
facteurs ´egaux `a a.
Si a∈IR et si n∈IN0\ {1}, alors
an=a.a. ··· .a
| {z }
nfacteurs
2. Si aest un nombre r´eel non nul et nun nombre naturel, alors a−nest l’inverse de an.
Si a∈IR0et n∈IN, alors
a−n=1
an.
Remarques
• ∀ a∈IR : a1=a
• ∀ a∈IR0:a0= 1
• ∀ n∈IN0: 0n= 0
• ∀ n∈IN : 1n= 1
• ∀ a∈IR0,∀n∈IN : an½a le signe de asi nest impair,
est strictement positif si nest pair.
•Et 00?
D’un cˆot´e, n’importe quel nombre positif exposant 0 donne 1, donc par extension, on serait tent´e
de poser que
00= 1
Mais d’un autre cˆot´e, 0 `a n’importe quelle puissance positive, c’est 0, donc par extension, il
faudrait poser que
00= 0
A cause de ces deux comportements contradictoires, 00demeure ind´etermin´e!
Propri´et´es
∀a∈IR,∀m, n ∈IN : an.am=an+mExemple :
∀a, b ∈IR,∀m∈IN : (a.b)m=am.bmExemple :
∀a∈IR,∀m, n ∈IN : (an)m=an.m Exemple :
∀a∈IR,∀b∈IR0,∀m∈IN : (a
b)m=am bmExemple :
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CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX 17
Exercices
Applique les propri´et´es des puissances pour r´eduire les expressions suivantes.
1. a3.a2=
2. (a4)2=
3. (a.b)5=
4. (2a)3=
5. a.a2=
6. (x3)2=
7. 5x.2x=
8. 4a2.(−a5) =
9. (5ac)2=
10. (−b5)3=
11. (a3b2)5=
12. −2a5.2a=
13. (−3a)2
14. 5a3.(2a4) =
15. (−2b)3=
16. (−b4)3=
17. 3x3y.2xy2=
18. (3a2b)4=
19. (−a3)2=
20. (−2a2b)5=
21. (a2)3.(b2)4=
22. (x3)3.(y2)2=
23. (a5)2.(−b2)3=
24. (3a)2.(2a3)3=
25. −7x4.(−3x3)2=
26. (b5)2=
27. (−b5)2=
28. −(b5)2=
29. (−b2)5=
30. −(b2)5=
31. (−2a3)2.(−3a2)3=
32. (−2a2b)3.(5a6b)2=
33. 6xy2.(3x2y)2=
34. (x4)2.(−x5)2=
35. (−x3)2.(−x)3.(−x) =
36. (a
b)2=
37. (2a
b)3=
38. (−5a
c)3=
39. (2a
3b)2=
40. (−4x
5y)3=
41. (−4a
3)2=
42. (a5
3)2=
43. (x2
y3)3=
44. (2x3
3y)2=
45. (−3a4
b3)3=
46. (5a)2
3=
47. (5a
3)2=
48. (−5a)2
3=
49. (−5a
3)2=
50. −(5a
3)2=

CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX 18
2.2 Puissances `a exposants entiers
Propri´et´e 2.1 (Produit de puissances de mˆeme base)
Pour multiplier des puissances de mˆeme base, on conserve la base et on additionne les exposants.
∀a∈IR0,∀m, n ∈ZZ : am.an=am+n.
Exemples :
•a2.a3=•a2.a−5=•a−2.a−3=
D´ emonstration. Cette propri´et´e est d´ej`a connue pour des exposants naturels. D´emontrons celle-
ci lorsque les deux exposants sont n´egatifs.
Pour montrer que met nsont n´egatifs, nous ´ecrirons que m=−pet n=−qavec pet qpositifs.
am.an=a−p.a−qConvention d’´ecriture
=1
ap.1 aqD´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
=1
ap.aqProduit de deux fractions
=1
ap+qPropri´et´e des puissances `a exposants naturels
=a−(p+q)D´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
=a(−p)+(−q)Suppression des parenth`eses
=am+nConvention d’´ecriture
Propri´et´e 2.2 (Puissance d’une puissance)
Pour ´elever une puissance `a une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants.
∀a∈IR0,∀m, n ∈ZZ : (am)n=am.n.
Exemples :
•(a2)3=•(a2)−5=•(a−2)−3=
D´ emonstration. Cette propri´et´e est d´ej`a connue pour des exposants naturels. D´emontrons celle-
ci lorsque les deux exposants sont n´egatifs.
Pour montrer que met nsont n´egatifs, nous ´ecrirons que m=−pet n=−qavec pet qpositifs.
(am)n= (a−p)−qConvention d’´ecriture
=1
(a−p)qD´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
=1
(1
ap)qD´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
=1
1
ap.q
Propri´et´e des puissances `a exposants naturels
=ap.q Quotient d’un nombre par une fraction
=a(−m).(−n)Convention d’´ecriture
=am.n R`egle des signes d’un produit de facteurs

CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX 19
Propri´et´e 2.3 (Puissance d’un produit)
Pour ´elever un produit de facteurs `a une puissance, on ´el`eve chaque facteur `a cette puissance.
∀a∈IR0,∀m∈ZZ : (a.b)m=am.bm
Exemples :
•(a.b)3=•(a.b)−2=
D´ emonstration. Cette propri´et´e est d´ej`a connue pour des exposants naturels. D´emontrons celle-
ci lorsque l’exposant est n´egatif.
Pour montrer que mest n´egatif, nous ´ecrirons que m=−pavec ppositif.
(a.b)m= (a.b)−pConvention d’´ecriture
=1
(a.b)pD´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
=1
ap.bpPropri´et´e des puissances `a exposants naturels
=1
ap.1 bpProduit de deux fractions
=a−p.b−pD´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
=am.n Convention d’´ecriture
Remarque
Nous savions d´ej`a que si a∈IR0et n∈IN, alors a−n=1
an.
Nous remarquons ´egalement que
an=a−(−n)=1
a−n
Ce qui nous permet d’introduire sans difficult´e la d´efinition suivante.
D´efinition 2.4 (G´en´eralisation de l’inverse d’une puissance)
∀a∈IR0,∀n∈ZZ : a−n=1
an⇐⇒ ∀ a∈IR0,∀n∈IN : 
a−n=1
an
an=1
a−n
Exemples :
•a2=1
a−2•a−3=1 a3
Propri´et´e 2.5 (Puissance d’un quotient)
Pour ´elever un quotient `a une puissance, on ´el`eve num´erateur et d´enominateur `a cette puissance.
∀a, b ∈IR0,∀m∈ZZ : µa
b¶m
=am
bm
Exemples :
•(a
b)3=•(a b)−2=
D´ emonstration. Cette propri´et´e est d´ej`a connue pour des exposants naturels. D´emontrons celle-
ci lorsque l’exposant est n´egatif.

CHAPITRE 2. PUISSANCES ET RADICAUX 20
Pour montrer que mest n´egatif, nous ´ecrirons que m=−pavec ppositif.
(a
b)m= (a b)−pConvention d’´ecriture
= ( b
a)pD´efinition d’une puissance `a exposant n´egatif
=bp
apPropri´et´e des puissances `a exposants naturels
=a−p
b−pD´efinition g´en´erale de l’inverse d’une puissance
=am
bmConvention d’´ecriture
Remarque
Cette propri´et´e aurait pu ˆetre d´emontr´ee `a l’aide de la propri´et´e concernant la puissance d’un pro-
duit. En effet, a
b=a.b−1. Ce qui nous rappelle qu’un quotient n’est qu’une multiplication particuli`ere,
le d´enominateur doit juste ˆetre non nul.
Propri´et´e 2.6 (Quotient de puissances de mˆeme base)
∀a∈IR0,∀m, n ∈ZZ : am
an=am−n.
Exemples :
•a2
a5=
•a5
a2=
•a4
a−3=
•a−4
a−3=
•a−4
a3=
D´ emonstration. ∀a∈IR0,∀m, n ∈ZZ :
am
an=am.1 anQuotient de deux nombres
=am.a−nD´efinition de l’inverse d’une puissance
=am−npropri´et´e 2.1 page 18
Exercices 2.7
1. Ecrire plus simplement :
•a2.a.b−3.b.(−2).a5=···
•(a3)2=···
•(7a2)0=···
•³2ax
5by ´2
.³−5by
ax ´3=···
•³x3
x2´2=···