Puissances à exposants fractionnaires : cours et exercices

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!
Dans!ce!qui!suit!
€
a
!et!
€
b
!sont!strictement!positifs,!m!et!n!sont!strictement!positifs.!
On!peut!définir!
€
ap
!où!
€
p=m
n
!;!les!règles!de!calcul!sur!les!puissances!à!exposants!
fractionnaires!sont!les!mêmes!que!sur!les!puissances!entières!et!les!puissances!
€
1
n
.!
!
12 34/#&#.#-&)5() )
!
On!définit!
€
ap
!où!
€
p=m
n
!:!
€
a
m
n=am
n=a
n
( )
m
n≥2
( )
!
!
Exple!:!!
€
0,25
( )
1,5 =0,25
( )
3
2=0,25
( )
3=0,25
( )
3=0,125
!
€
32
( )
0,6 =32
( )
3
5=32
( )
3
5=32
5
( )
3=8
!
!
112 !0-,0#4.4$)6
€
p
)(.)
€
q
)$-&.)5($)0%.#-&&(7$)
€
>0
8)
!
(0)!
€
ap=a×ap−1
!
!
(1)!
€
ap×aq=ap+q
!! et! (2)!
€
ap−q=ap
aq
!
!
(3)!
€
ap
( )
q=apq =aq
( )
p
!
!
(4)!
€
a−p=1
ap
!
!

(5)!
€
ab
( )
p=ap×bp
! et! (6)!
€
a
b
p
=ap
bp
!
!
Ces!propriétés!permettant!de!calculer!à!l’aide!de!la!machine!les!expressions!contenant!
des!puissances!et!des!racines!de!nombres!rationnels,!et!en!particulier!de!nombres!
décimaux,!qu’on!utilise!en!pratique.!
Remarque!1!:!
€
a>0⇒ap et a−p >0
!
Remarque!2!:!
€
0
m
n=0⇒0−m n
!n’est!pas!défini!
€
1
m
n=1⇒1−m n=1 =10
( )
!
Remarque!3!:!
€
a
km
kn =a
m
n
!autrement!dit!
€
akm
km =am n=a
n
( )
m
!
Remarque!4!:!
€
m
n
!étant!une!fraction!réduite!
€
−a
( )
m
n
!n’existe!pas!si!
€
n
!est!pair!
€
−a
( )
m
n
!existe!si!
€
n
!est!impair!
€
=−a
m
n
si m est impair
=a
m
n
si m est pair
!
!
Cette!dernière!remarque!n’a!pas!d’incidence!dans!la!pratique,!dans!la!mesure!où!on!
n’utilise!pas!des!puissances!de!bases!négatives!dans!les!sciences.!
!
1112 9-7".#-&$)5()7):4;"%.#-&)
€
xp=a a >0
( )
)
!
Le!problème!a!une!solution!unique!réelle.!
€
xp=x
m
n=a
a>0
 ⇔x=a
1
p=a
n
m
!
!
Exercice!:!Ecrire!l’expression!
€
8
3 3
5
×2×27
8
3
!sous!forme!d’une!seule!puissance.!