Puissance à exposants fractionnaires

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Puissance à exposants fractionnaires Dans ce qui suit a et b sont strictement positifs, m et n sont strictement positifs. m
; les règles de calcul sur les puissances à exposants n
€ €
1
fractionnaires sont les mêmes que sur les puissances entières et les puissances . n
€
€
On peut définir a p où p =
I. Définition de €
m
On définit a p où p =
m
: a n = n a m =
n
( a)
n
m
( n ≥ 2) €
Exple : €
1,5
(0,25)
(32)
€
0,6
€
3
= (0,25) 2 =
(0,25)
3
3
= ( 32) 5 = 5 ( 32) =
(
3
5
=
(
32
)
0,25
3
)
3
= 0,125 = 8 II. Propriétés ( p et q sont des rationnels > 0 ) €
(0) a p = a€× a p−1€
€
€
(1) a p × a q = a p +q et (2) €
(3) p q
p
(a )
= a pq = ( a q ) a− p =
1
ap
€ (4) €
€
a p−q =
ap
aq
(5) (ab)
p
= a ×b p
et p
(6)  ap ap
  = p b
b
€ Ces propriétés permettant de calculer à l’aide de la machine les expressions contenant €
des puissances et des racines de nombres rationnels, et en particulier de nombres décimaux, qu’on utilise en pratique. Remarque 1 : a > 0 ⇒ a p et a− p > 0 m
−
m
Remarque 2 : 0 n = 0 ⇒ 0 n n’est pas défini €
m
m
−
n
1 = 1 ⇒ 1 n = 1 (= 10 ) €
Remarque 3 : a
€
km
kn
m
n
= a autrement dit km a km = n a m =
( a)
n
m
m
Remarque 4 : étant une fraction réduite n
€
€
m
(−a) n n’existe pas si n est pair €
€
€
  m
= − a n  si m est impair
m
  
€
(−a) n existe si n est impair  m
  n
=  a  si m est pair
  
€
Cette dernière remarque n’a pas d’incidence dans la pratique, dans la mesure où on €
n’utilise pas des puissances de bases négatives dans les sciences. III.
Solutions de l ‘équation x p = a ( a > 0) Le problème a une solution unique réelle. €
m
1

n
x p = x n = a ⇔ x = a p = a m 
a>0
€
 8  5  2 × 27  3
Exercice : Ecrire l’expression 
 ×
 sous forme d’une seule puissance. 8
3 3 

€
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