série 1 - TuniSchool

Cinématique
Série 3ème
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A- Essentiel à retenir
1- L’étude d’un mouvement nécessite la désignation : d’un référentiel c à d :
* D’un repère d’espace.
* et d’un repère de temps.
2- Le vecteur position :
OM x(t).i y(t).j
; x(t) et y(t) sont les coordonnées du mobile dans le repère
orthonormé (O,i,j) x=f(t) et y=(t) sont les équations ( ou lois ) horaires du mouvement.
3- Equation de la trajectoire : L’équation qui donne y en fonction de x , s’appelle
équation de la trajectoire.
4- Le vecteur vitesse d’un mobile :
xy
d(OM) dx dy
v .i j v .i v .j
dt dt dt
Direction : La tangente à la trajectoire au point considéré.
Sens : celui du mouvement.
Valeur :
xy
v v v
22
4- Le vecteur accélération :
y
xxy
dv
dv
d(v)
a .i .j a .i a .j
dt dt dt
Coordonnées du vecteur accélération dans le repère de Freinet
TN
a a .T a .N
avec
TN
C
dv v
a et a
dt R
2
RC rayon de courbure de la
trajectoire au point M.
B- Exercices :
Exercice 1 :
Une bille supposée ponctuelle se déplace dans un plan muni d’un repère
orthonormé ( O ;
i
;
j
) A l’origine du temps, son vecteur position est
OM0
=3
i
+3
j
et son vecteur vitesse est
V0
=3
i
+ 3
j
. A tout instant , le
vecteur accélération du mobile est
a
=4
j
1 / Déterminer en fonction du temps, l’expression du :
a- Vecteur vitesse
V
.
b- Vecteur position
OM
2/ Montrer que l’équation de la trajectoire est donnée par
M
v
Sens du mvt
M
aN
Sens positif choisi
T
N
aT
a

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y=0,5x2 –x-1.5
3/ on donne l’allure de la trajectoire du mouvement du mobile relativement au repère ( O ;
i
;
j
) (figure ci-
contre). Indiquer sur la trajectoire à t=0s , le point M0 ainsi que les vecteurs qui représentent :
-la vitesse -l’accélération
-l’accélération normale -l’accélération tangentielle
4/ Déterminer à t=0s
a- L’angle β que fait le vecteur
V0
avec l’axe des abscisses.
b- Les valeurs de l’accélération tangentielle aT et de l’accélération normale aN
c- Le rayon de courbure
5/ Sachant que l’expression de l’accélération tangentielle est donné par : aT = 4(t-1)
t2 – 2t + 1,25 Retrouver celle de
l’accélération normale aN
Exercice 2
Un mobile M est en mouvement dans un repère orthonormé R( O ;
i
;
j
). Le vecteur position de M est donné
par
OM
=(b.t + c).
i
+ (d.t2 + e.t + f).
j
; avec b,c,d,e et f sont des constantes.
1- a- Sachant qu’à la date t=0 s OM0 = 0 et v0 =
i
+ 4
j
et que l’équation de la trajectoire du mouvement est
y(x)= -x2 + 4x, déterminer les valeurs de ces constantes.
b- Déduire l’expression des vecteurs position et vitesse de M.
2- A quelle date t1 le mobile M passe par le point A(4,0) ?
3- Tracer la trajectoire de M pour t [0 ;t1]. Échelle : 2 cm pour 1 m.
4- Déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse à t = 2 s.
5- Déterminer l’expression du vecteur vitesse au point A. Préciser si le mouvement est accéléré ou retardé lors
du passage par ce point.
Exercice n :3
Dans un repère ( O ;
i
;
j
), le vecteur position d’un mobile est
OM
= 2t.
i
+(-5t2+4t).
j
L’unité de mesure et le mètre et le mouvement débute à t=0.
1/ Donner les lois horaires du mouvement et établire l’équation cartésienne du mouvement.
2/ Représenter graphiquement cette trajectoire.
3/ a- donner les caractéristiques du vecteur vitesse du mobile au point sommet S de la trajectoire.
b-A quel instant le mobile passe t-il de se point S.
4/ Donner le vecteur accélération du mobile .

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5/ Représenter cette accélération au point S. Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire au point S.
6/ Déterminer l’accélération normale et tangentielle à l’instant t = 1s.
Exercice 4
Dans un repère orthonormé ( O ;
i
;
j
), un mobile M est lancé , à l’origine du temps , de l’origine O du repère
avec une vitesse initiale V0 = 2
i
- 8
j
. Le vecteur accélération du mouvement est
a
= 8
j
.L’unité de mesure
dans le repère ( O ;
i
;
j
)est le mètre.
1/ a- Déterminer l’expression du vecteur vitesse du mobile au cours du temps.
b- Déterminer les lois horaires du mouvement . En déduire l’équation cartésienne de la trajectoire.
Représenter cette trajectoire selon l’échelle suivant : 1m  1cm.
2/ a- Déterminer les caractéristique du vecteur vitesse à l’instant t = 1s .Représenter ce vecteur vitesse
ainsi que le vecteur accélération sur la trajectoire. Préciser l’échelle choisie.
b- Calculer le rayon de courbure de la trajectoire à cet instant.
3/ a- Déterminer la position du mobile pour laquelle le vecteur vitesse fait un angle de 45° avec le vecteur
accélération.
b- Calculer en cette position le rayon de courbure de la trajectoire.
4/ Si la vitesse avec laquelle est lancé le mobile à l’origine du temps est
a
= 2
i
+ V0y .
j
.
Quelle valeur doit avoir V0y pour que le mobile passe par le point A ( 5 ; 0 ). Justifier la réponse