Chapitre 2 : Nombres complexes et trigonométrie

Chapitre 2 : Nombres complexes et trigonom´etrie
1 Ensemble des nombres complexes
1.1 Construction de C
D´efinition 1.1
• On appelle ensemble des nombres complexes et l’on note C l’ensemble des couples (a, b)
de nombres r´eels ´ecrits sous la forme a+ib.
• Si z=a+ib est un nombre complexe, on appelle partie r´eelle de z et l’on note Re(z) le r´eel
a. On appelle partie imaginaire de zet l’on note Im(z) le r´eel b.
• Si z=a+ib et z0=c+id sont deux nombres complexes, on note z+z0 et z×z0 (ou zz0 ) les
nombres complexes
z+z0= (a+c) + i(b+d) et z×z0= (ac −bd) + i(ad +bc)
Rem
• La d´efinition du produit se retrouve en d´eveloppant l’expression (a+ib)(c+id) avec la relation
i2=−1.
•Si a∈R, on note simplement ale nombre complexe a+i0. Ceci permet d’avoir Rinclus dans C.
• Si a∈R , on note simplement ia le nombre complexe 0 + ia , appel´e imaginaire pur . On note iR
l’ensemble des imaginaires purs.
Proposition 1.1
•Associativit´e de + : (z1+z2) + z3=z1+ (z2+z3) pour tout (z1, z2, z3)∈C3.
•Commutativit´e de + : z1+z2=z2+z1pour tout (z1, z2)∈C2.
•´ El´ement neutre de + : z+ 0 = 0 + z=zpour tout z∈C.
•Associativit´e de ×: (z1×z2)×z3=z1×(z2×z3) pour tout (z1, z2, z3)∈C3.
•Commutativit´e de ×:z1×z2=z2×z1pour tout (z1, z2)∈C2.
•´ El´ement neutre de ×:z×1=1×z=zpour tout z∈C.
• Distributivit´e : z1×(z2+z3) = z1×z2+z1×z3 et (z1+z2)×z3=z1×z3+z2×z3 pour tout (z1, z2, z3)∈C3 .
Rem
• Toutes ces propri´et´es, a priori anodines, sont essentielles pour la manipulation des symboles sommes
et produits.
• Lorsqu’un nombre complexe est ´ecrit sous la forme a+ib , on dit qu’il est ´ecrit sous forme cart´esienne
(ou forme alg´ebrique).
D´efinition 1.2 Dans le plan, muni d’une rep`ere orthonorm´e, on peut associer `a tout point
(repectivement vecteur) un unique couple de coordonn´ees (x, y) . On appelle alors affixe du point
(respectivement du vecteur) le nombre complexe x+iy.
Rem On identifie ainsi Cau plan usuel, muni d’un rep`ere orthonorm´e.
1

1.2 Conjugaison, module
D´efinition 1.3 Si z=a+ib ∈C , on appelle conjugu´e de z , et l’on note z le nombre complexe
a−ib.
Proposition 1.2
•La conjugaison est bijective, de r´eciproque elle-mˆeme.
•Si (z1, z2)∈C2,z1+z2=z1+z2et z1×z2=z1×z2.
•Pour tout z∈C,z=zsi et seulement si z∈R.
•Pour tout z∈C,z+z= 2 Re(z) et z−z= 2iIm(z).
Rem
Si Mun point du plan d’affixe
z, le point d’affixe z est le sy-
m´etrique de Mpar rapport `a
l’axe des abscisses.
D´efinition 1.4 Si z=a+ib ∈C, on appelle module de zet l’on note |z|le r´eel pa2+b2.
Rem •Si Aet Bsont deux points du plan d’affixes z1et z2, alors |z2−z1|=AB.
•Si ~u est un vecteur du plan d’affixe z,k~uk=|z|.
•Si a∈ R , la valeur absolue de aet le module de asont ´egaux (car
√a2
=|a|). On peut donc bien
employer la mˆeme notation.
Proposition 1.3
•Pour tout z∈C,|Re(z)|6|z|et |Im(z)|6|z|.
•Pour tout z∈C,|z|=|z|.
•Pour tout (z1, z2)∈C2,|z1z2|=|z1|×|z2|.
Proposition 1.4 Pour tout z∈C,zz =|z|2.
D´efinition 1.5 Soit z∈ C , avec z6= 0. y=
z
|z|2
est l’unique nombre compexe v´erifiant y×z=
z×y= 1. On l’appelle inverse de z.
Rem
Pour calculer l’inverse d’un nombre complexe z, ou simplifier une expression du type
z1
z2
on multipliera
toujours en haut et en bas par l’expression conjugu´ee du d´enominateur.
Exemple 1.1 On a
2

4+3i
−2+7i=
Proposition 1.5
•Pour tous (z1, z2)∈C2, avec z26= 0, z1
z2=z1 z2
.
•Pour tous (z1, z2)∈C2, avec z26= 0, 
z1
z2
=|z1|
|z2|.
Proposition 1.6 (In´egalit´e triangulaire) Pour tout (z
1
, z
2
)∈ C2 , on a |z
1
+z
2
| 6 |z
1
|+|z
2
|, avec ´egalit´e si et
seulement si on a λ∈R+tel que z2=λz1ou z1= 0.
Rem •
Si z1 est l’affixe d’un point A et z2 l’affixe d’un point B , le point C d’affixe z1+z2 est
le quatri`eme sommet du parall`elogramme OACB . L’in´egalit´e triangulaire exprime alors
le fait que OC 6OA +AC (car OB =AC).
• Le cas d’´egalit´e de l’in´egalit´e triangulaire n’a lieu que si le triangle OAC est aplati,
c’est-`a-dire O,Aet Calign´es dans ce sens, donc ~ OC =λ~ OA avec λ∈R+.
Corollaire 1.7 Pour tout (z1, z2)∈C2,|z1+z2|>||z1|−|z2||.
Rem
1.3 Nombres complexes de module 1
D´efinition 1.6
•On note Ul’ensemble des nombres complexes de module 1.
•Si t∈R, on note eit le nombre complexe cos t+isin t.
3

Proposition 1.8 On a U={eit ;t∈R}.
Proposition 1.9 Pour tout t∈R,e−it =eit.
Proposition 1.10 (Formules d’Euler) Pour tout t∈R,
cos t=eit +e−it
2sin t=eit −e−it 2i.
Proposition 1.11 Soient t, u ∈Ret n∈N
eiteiu =ei(t+u)1
eit =e−it (eit)n=eint
Rem La d´efinition de zn, o`u z∈Cet n∈Z, est la mˆeme que dans le cas r´eel 1.
Corollaire 1.12 Pour tout (t, u)∈R2,eit
eiu =ei(t−u).
Corollaire 1.13 (Formule de De Moivre) Pour tout t∈ R , et
n∈N,
(cos(t) + isin(t))n= cos(nt) + isin(nt)
1. En revanche, pour un r∈R\Z,zrn’a pas de sens.
4

1.4 Trigonom´etrie
Proposition 1.14 (formules d’addition pour cos et sin)
Pour tous r´eels (a, b),
•cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b)
•sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
•cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
•sin(a−b) = sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b)
Proposition 1.15 (formules d’addition pour tan) Pour tous r´eels (a, b) non-congrus `a π
2modulo π,
•Si a+bn’est pas congru `a π/2 modulo π, tan(a+b) = tan(a) + tan(b)
1−tan(a) tan(b).
•Si a−bn’est pas congru `a π/2 modulo π, tan(a−b) = tan(a)−tan(b)
1 + tan(a) tan(b).
Corollaire 1.16 Soit aun r´eel non congru `a π
2modulo πou `a π 4modulo π 2. Alors
tan(2a) = 2 tan(a)
1−tan2(a).
Proposition 1.17 (angle double) Pour tout a∈R,
cos(2a) = cos2(a)−sin2(a) = 2 cos2(a)−1 sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
cos2(a) = 1 + cos(2a)
2sin2(a) = 1−cos(2a) 2
Proposition 1.18 (transformation de produits en sommes)
Pour tous r´eels (a, b),
cos(a) cos(b) = 1
2(cos(a+b) + cos(a−b))
sin(a) sin(b) = 1
2(cos(a−b)−cos(a+b))
sin(a) cos(b) = 1
2(sin(a+b) + sin(a−b))
M´ethode 1.1 Pour factoriser 1 + eit ou 1 −e−it :
•On factorise par eit
2
•On fait ainsi apparaitre un cos ou un sin.
Exemple 1.2 Factoriser 1 + eiπ
4et 1 −eiπ 4.
Exemples 1.3
1. Factoriser cos(p) + cos(q).
2. Factoriser sin(p) + sin(q).
1.5 Argument d’un nombre complexe
Proposition 1.19 (forme polaire) Soit z∈ C∗ , alors il existe (r, θ)∈ R+∗ × R tel que z=re
iθ
.r=|z|et θest
unique modulo 2π.
reiθ est appel´e forme polaire de z.
5