Chapitre 2 : Nombres complexes et trigonométrie

Chapitre 2 : Nombres complexes et trigonométrie
1
Ensemble des nombres complexes
1.1
Construction de C
Définition 1.1
• On appelle ensemble des nombres complexes et l’on note C l’ensemble des couples (a, b)
de nombres réels écrits sous la forme a + ib.
• Si z = a + ib est un nombre complexe, on appelle partie réelle de z et l’on note Re(z) le réel
a. On appelle partie imaginaire de z et l’on note Im(z) le réel b.
• Si z = a + ib et z 0 = c + id sont deux nombres complexes, on note z + z 0 et z × z 0 (ou zz 0 ) les
nombres complexes
z + z 0 = (a + c) + i(b + d) et z × z 0 = (ac − bd) + i(ad + bc)
Rem
• La définition du produit se retrouve en développant l’expression (a + ib)(c + id) avec la relation
i2 = −1.
• Si a ∈ R, on note simplement a le nombre complexe a + i0. Ceci permet d’avoir R inclus dans C.
• Si a ∈ R, on note simplement ia le nombre complexe 0 + ia, appelé imaginaire pur. On note iR
l’ensemble des imaginaires purs.
Proposition 1.1
• Associativité de + : (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) pour tout (z1 , z2 , z3 ) ∈ C3 .
• Commutativité de + : z1 + z2 = z2 + z1 pour tout (z1 , z2 ) ∈ C2 .
• Élément neutre de + : z + 0 = 0 + z = z pour tout z ∈ C.
• Associativité de × : (z1 × z2 ) × z3 = z1 × (z2 × z3 ) pour tout (z1 , z2 , z3 ) ∈ C3 .
• Commutativité de × : z1 × z2 = z2 × z1 pour tout (z1 , z2 ) ∈ C2 .
• Élément neutre de × : z × 1 = 1 × z = z pour tout z ∈ C.
• Distributivité : z1 × (z2 + z3 ) = z1 × z2 + z1 × z3 et (z1 + z2 ) × z3 = z1 × z3 + z2 × z3 pour tout (z1 , z2 , z3 ) ∈ C3 .
Rem
• Toutes ces propriétés, a priori anodines, sont essentielles pour la manipulation des symboles sommes
et produits.
• Lorsqu’un nombre complexe est écrit sous la forme a+ib, on dit qu’il est écrit sous forme cartésienne
(ou forme algébrique).
Définition 1.2 Dans le plan, muni d’une repère orthonormé, on peut associer à tout point
(repectivement vecteur) un unique couple de coordonnées (x, y). On appelle alors affixe du point
(respectivement du vecteur) le nombre complexe x + iy.
Rem
On identifie ainsi C au plan usuel, muni d’un repère orthonormé.
1.2
Conjugaison, module
Définition 1.3 Si z = a + ib ∈ C, on appelle conjugué de z, et l’on note z le nombre complexe
a − ib.
Proposition 1.2
• La conjugaison est bijective, de réciproque elle-même.
• Si (z1 , z2 ) ∈ C2 , z1 + z2 = z1 + z2 et z1 × z2 = z1 × z2 .
• Pour tout z ∈ C, z = z si et seulement si z ∈ R.
• Pour tout z ∈ C, z + z = 2 Re(z) et z − z = 2i Im(z).
Rem
Si M un point du plan d’affixe
z, le point d’affixe z est le symétrique de M par rapport à
l’axe des abscisses.
Définition 1.4 Si z = a + ib ∈ C, on appelle module de z et l’on note |z| le réel
Rem
p
a2 + b2 .
• Si A et B sont deux points du plan d’affixes z1 et z2 , alors |z2 − z1 | = AB.
• Si ~u est un vecteur du plan d’affixe z, k~uk = |z|.
√
• Si a ∈ R, la valeur absolue de a et le module de a sont égaux (car a2 = |a|). On peut donc bien
employer la même notation.
Proposition 1.3
• Pour tout z ∈ C, | Re(z)| 6 |z| et | Im(z)| 6 |z|.
• Pour tout z ∈ C, |z| = |z|.
• Pour tout (z1 , z2 ) ∈ C2 , |z1 z2 | = |z1 | × |z2 |.
Proposition 1.4 Pour tout z ∈ C, zz = |z|2 .
Définition 1.5 Soit z ∈ C, avec z 6= 0. y =
z
est l’unique nombre compexe vérifiant y × z =
|z|2
z × y = 1. On l’appelle inverse de z.
Rem
Pour calculer l’inverse d’un nombre complexe z, ou simplifier une expression du type
toujours en haut et en bas par l’expression conjuguée du dénominateur.
Exemple 1.1 On a
z1
on multipliera
z2
4 + 3i
=
−2 + 7i
Proposition 1.5
z1
z1
= .
z2
z2
z1
|z1 |
• Pour tous (z1 , z2 ) ∈ C2 , avec z2 =
6 0, =
.
z2
|z2 |
• Pour tous (z1 , z2 ) ∈ C2 , avec z2 6= 0,
Proposition 1.6 (Inégalité triangulaire) Pour tout (z1 , z2 ) ∈ C2 , on a |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |, avec égalité si et
seulement si on a λ ∈ R+ tel que z2 = λz1 ou z1 = 0.
Rem
• Si z1 est l’affixe d’un point A et z2 l’affixe d’un point B, le point C d’affixe z1 + z2 est
le quatrième sommet du parallèlogramme OACB. L’inégalité triangulaire exprime alors
le fait que OC 6 OA + AC (car OB = AC).
• Le cas d’égalité de l’inégalité triangulaire n’a lieu que si le triangle OAC est aplati,
~ = λOA
~ avec λ ∈ R+ .
c’est-à-dire O, A et C alignés dans ce sens, donc OC
Corollaire 1.7 Pour tout (z1 , z2 ) ∈ C2 , |z1 + z2 | > ||z1 | − |z2 ||.
Rem
1.3
Nombres complexes de module 1
Définition 1.6
• On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.
• Si t ∈ R, on note eit le nombre complexe cos t + i sin t.
Proposition 1.8 On a U = {eit ; t ∈ R}.
Proposition 1.9 Pour tout t ∈ R, e−it = eit .
Proposition 1.10 (Formules d’Euler) Pour tout t ∈ R,
cos t =
eit + e−it
2
sin t =
eit − e−it
.
2i
Proposition 1.11 Soient t, u ∈ R et n ∈ N
eit eiu = ei(t+u)
Rem
1
= e−it
eit
(eit )n = eint
La définition de z n , où z ∈ C et n ∈ Z, est la même que dans le cas réel 1 .
Corollaire 1.12 Pour tout (t, u) ∈ R2 ,
eit
= ei(t−u) .
eiu
Corollaire 1.13 (Formule de De Moivre) Pour tout t ∈ R, et
n ∈ N,
(cos(t) + i sin(t))n = cos(nt) + i sin(nt)
1. En revanche, pour un r ∈ R\Z, z r n’a pas de sens.
1.4
Trigonométrie
Proposition 1.14 (formules d’addition pour cos et sin)
Pour tous réels (a, b),
• cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
• sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
• cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
• sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)
Proposition 1.15 (formules d’addition pour tan) Pour tous réels (a, b) non-congrus à
• Si a + b n’est pas congru à π/2 modulo π,
• Si a − b n’est pas congru à π/2 modulo π,
Corollaire 1.16 Soit a un réel non congru à
π
modulo π,
2
tan(a) + tan(b)
.
1 − tan(a) tan(b)
tan(a) − tan(b)
tan(a − b) =
.
1 + tan(a) tan(b)
tan(a + b) =
π
π
π
modulo π ou à
modulo . Alors
2
4
2
2 tan(a)
.
tan(2a) =
1 − tan2 (a)
Proposition 1.17 (angle double) Pour tout a ∈ R,
cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2 cos2 (a) − 1
cos2 (a) =
1 + cos(2a)
2
sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
sin2 (a) =
1 − cos(2a)
2
Proposition 1.18 (transformation de produits en sommes)
Pour tous réels (a, b),
1
(cos(a + b) + cos(a − b))
2
1
sin(a) sin(b) = (cos(a − b) − cos(a + b))
2
1
sin(a) cos(b) = (sin(a + b) + sin(a − b))
2
cos(a) cos(b) =
Méthode 1.1 Pour factoriser 1 + eit ou 1 − e−it :
t
• On factorise par ei 2
• On fait ainsi apparaitre un cos ou un sin.
π
π
Exemple 1.2 Factoriser 1 + ei 4 et 1 − ei 4 .
Exemples 1.3
1. Factoriser cos(p) + cos(q).
2. Factoriser sin(p) + sin(q).
1.5
Argument d’un nombre complexe
Proposition 1.19 (forme polaire) Soit z ∈ C∗ , alors il existe (r, θ) ∈ R+∗ × R tel que z = reiθ . r = |z| et θ est
unique modulo 2π.
reiθ est appelé forme polaire de z.
Rem
On parle également de forme trigonométrique.
Exemple 1.4
π
1. Mettre sous forme polaire 1 − ei 4 .
2. Calculer les parties réelles et imaginaires de (1 + i)2016 .
Définition 1.7 Cet unique (modulo 2π) réel θ tel que z = |z|eiθ est appelé argument de z et
noté arg(z).
Rem
• Un nombre complexe non nul admet toujours une infinité d’arguments. Si θ en est un, ses arguments
sont les θ + 2kπ, k ∈ Z.
• Un argument n’étant défini que modulo 2π, on utilisera toujours des signes congrus (et non des égalités)
lorsqu’on manipulera arg(z).
• La forme polaire d’un nombre complexe est très pratique pour le calcul de puissances, grâce à la
formule de De Moivre.
Proposition 1.20
0
0
• Si z et z 0 ∈ C∗ , arg(zz
z )≡ arg(z) + arg(z ) [2π].
• Si z et z 0 ∈ C∗ , arg 0 ≡ arg(z) − arg(z 0 ) [2π].
z
• Si z ∈ C∗ et n ∈ Z, arg(z n ) ≡ n arg(z) [2π].
Exemples 1.5
π
1. Quel est l’argument de 1 + ei 4 ?
it 5
e
2. Calculer l’argument de
, où t ∈ R.
1+i
3. Si x ∈] − π, π[, calculer l’argument de 1 + eix
Proposition 1.21 Si z = a + ib est un nombre complexe non nul, alors un argument de z est
b
• arctan
si a > 0,
a
b
• arctan
+ π si a < 0,
a
π
π
•
ou − si a = 0.
2
2
Proposition 1.22 Si (a, b) ∈ R2 , il existe (A, ϕ) ∈ R+ × R tel que pour tout t ∈ R, a cos t + b sin t = A cos(t − ϕ).
Rem
1.6
Une telle fonction t 7→ a cos t + b sin t est appelée signal sinusoı̈dal. Physiquement, le réel A représente
son amplitude, et ϕ sa phase.
Exponentielle complexe
Définition 1.8 Si z ∈ C, z = a + ib avec (a, b) ∈ R2 , on appelle exponentielle de z et l’on note
exp(z) le nombre complexe ea eib .
Proposition 1.23
• On a | exp(z)| = eRe z et Im z est un argument de exp(z).
• Pour tout (z, z 0 ) ∈ C2 , exp(z + z 0 ) = exp(z) exp(z 0 ).
• Pour tout (z, z 0 ) ∈ C2 , exp(z) = exp(z 0 ) si et seulement si z − z 0 est de la forme 2iπk, k ∈ Z.
L’exponentielle complexe se comporte comme l’exponentielle réelle. . .
Rem
2
Calculs algébriques
X
2.1
La notation
: sommes
X
permet une écriture compacte de la somme de plusieurs termes.
Exemples 2.1
5
X
1
1.
=
k
3.
k=1
2. Soit A = {1, 3, 5, 7}.
X
k3 =
n
X
1 =.
k=0
k∈A
• Dans l’écriture
4
X
k 2 , k peut être changée en toute autre lettre qui n’intervient pas par ailleurs dans
k=0
l’expression :
4
X
k2 =
k=0
Rem
• Une somme du type
• Une somme du type
4
X
j 2 . C’est une variable muette. k n’a aucun sens hors du symbole
X
.
j=0
n
X
k=0
n
X
. . . porte sur n + 1 termes.
. . . porte sur n termes.
k=1
• Plus généralement, une somme du type
n
X
. . . , avec p 6 n porte sur
k=p
Proposition 2.1
Pour tout n ∈ N,
n
X
k=
k=0
n(n + 1)
.
2
Exemple 2.2
Montrer les égalités suivantes :
n
n
X
X
n(n + 1)(2n + 1)
n2 (n + 1)2
Pour tout n ∈ N,
k2 =
et
k3 =
.
6
4
k=0
k=0
Proposition 2.2 (relation de Chasles)
Soit (un )n∈N une suite réelle, p, q, r des entiers naturels, avec p 6 q < r.
Alors
q
r
r
X
X
X
uk +
uk =
uk .
k=p
Proposition 2.3 (calculs avec les Σ)
Alors
k=q+1
k=p
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites à valeurs réelles, n ∈ N, et λ ∈ R.
n
X
uk + vk =
k=0
n
X
uk +
k=0
n
X
vk
k=0
et
n
X
k=0
Rem
λuk = λ
n
X
uk
k=0
On peut changer le 0 par 1, ou par n’importe quel autre entier, mais il faut que l’on somme sur le même
ensemble pour pouvoir effectuer ces opérations.
Exemples 2.3
1. Pour tout n ∈ N∗ , calculer la somme des n premiers entiers pairs.
2. Pour tout n ∈ N∗ , calculer la somme des n premiers entiers impairs.
Rem
A priori, on ne peut pas simplifier les expressions de la forme
n
X
ui vi .
i=0
Changement d’indice
Exemple 2.4 Calculer, pour tout n ∈ N,
n+1
X
(j − 1)2 .
j=1
Exemple 2.5 Calculer, pour tout n ∈ N,
n
X
k en utilisant un changement d’indice.
k=0
Proposition 2.4
Soient (a, b) ∈ R2 , et n ∈ N∗ . Alors an − bn = (a − b)
n−1
X
ak bn−1−k .
k=0
Exemples 2.6
• a2 − b2 =
• a3 − b3 =
• a4 − b4 =
Sommes télescopiques
Exemple 2.7
Calculer, pour tout n ∈ N, n > 2, l’expression suivante :
n
X
j=2
1
.
j(j + 1)
Corollaire 2.5 (Somme des termes d’une suite géométrique)
q
X
xp − xq+1
Si x ∈ C, on a
xk =
si x 6= 1, q − p + 1 si x = 1.
1−x
k=p
Rem

Ne pas oublier de distinguer le cas x = 1 dans l’utilisation de cette formule
Exemple 2.8 Calculer
n
X
cos(kx).
k=0
Termes pairs et impairs
Proposition 2.6 (Décomposition en termes pairs et impairs)
n
X
X
X
uk =
u2k +
u2k+1 .
k=0
2.2
062k6n
Y
062k+16n
: produit
La notation
Y
Exemples 2.9
permet une écriture compacte du produit de plusieurs facteurs.
Soit n ∈ N∗ . On appelle factorielle de n et on note n! la quantité
Définition 2.1
n! =
n
Y
i.
i=1
On adopte de plus la convention 0! = 1.
Valeurs à connaitre :
Exemple 2.10
Proposition 2.7
Pour tout n ∈ N∗ , n! = (n − 1)!n.
Pour tout n ∈ N, (n + 1)! = (n + 1)n!.
Proposition 2.8 (calculs avec les
Y
)
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites à valeurs réelles, n ∈ N, et
n
Y
k=0
uk vk =
n
Y
k=0
uk
n
Y
vk
k=0
Exemples 2.11
1. Soit n ∈ N∗ . Calculer
n
Y
2i.
i=1
2. Exprimer
25
Y
k à l’aide de factorielles.
k=15
Rem
A priori, on ne peut pas simplifier les expressions de la forme
n
Y
(ui + vi ).
i=0
2.3
XX
: sommes doubles
Exemples
2.12


3
2
X X 1

=
i+j
i=1
j=1
Proposition 2.9 Soit (ui,j )i∈N,j∈N une suite indicée par deux entiers et (n, p) ∈ N2 . Alors
p
n X
X
p X
n
X
uk,j =
k=0 j=0
uk,j .
j=0 k=0
Cette somme double peut-être notée
X
uk,j .
06k6n
06j6p
Proposition 2.10 Soient (ui,j )i∈N,j∈N , (vi,j )i∈N,j∈N deux suites indicées par deux entiers, (n, p) ∈ N2 , et λ ∈ R.
Alors
p
p
p
n X
n X
n X
X
X
X
uk,j + vk,j =
uk,j +
vk,j
k=0 j=0
k=0 j=0
k=0 j=0
et
p
n X
X
λuk,j = λ
k=0 j=0
p
n X
X
uk,j
k=0 j=0
Proposition 2.11 Soit (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites réelles, n ∈ N. Alors



! p
p
p
n
n X
n
X
X
X
X
X
uk
vj  =
vj  =
uk vj .
uk 
j=0
k=0
Exemple 2.13 Soit (n, p) ∈ N2 . Calculer
j=0
k=0
k=0 j=0
p
n X
X
(j + k).
k=0 j=0
Exemple 2.14 Soit (n, p) ∈ N2 . Calculer
p
n X
X
(jk).
k=0 j=0
Règle d’or : une quantité qui dépend de l’indice de la somme
ne doit jamais être sortie de la somme.
Sommes doubles avec des indices liés Il s’agit des sommes doubles où l’indice de la somme extérieure intervient
dans les bornes de la somme intérieure. Les cas les plus courants sont les suivants :
Exemples 2.15
n X
i
X
X
uij =
i=0 j=0
n X
n
X
uij
i=0 j=i
06j6i6n
Exemple 2.16 Calculer, pour tout n ∈ N,
X
X
uij =
uij
06i6j6n
(ij)
06i6j6n
Proposition 2.12 (Inversion de sommes doubles avec indices liés) Soit n ∈ N, et (ui,j )i∈N,j∈N une suite
indicées par deux entiers. Alors
j
n X
n
n X
X
X
X
ui,j =
ui,j =
ui,j .
i=0 j=i
Exemple 2.17 Calculer S =
Exemple 2.18 Calculer
06i6j6n
j=0 i=0
n X
n
X
i
pour n ∈ N∗ .
j
i=1 j=i
X
06i<j6n
i. En déduire S =
X
06i,j6n
min(i, j) pour n ∈ N.
2.4
Formule du binôme de Newton
Définition 2.2 Si n ∈ N et k ∈ J0, nK, on note
n
n!
l’entier
.
k
k!(n − k)!
Proposition 2.13 n
n
• Pour tout n ∈ N,
=
= 1.
n
0 n
n
• Pour tout n ∈ N et k ∈ J0, nK,
=
.
k
n−k
Proposition 2.14 (Formule de Pascal) Si n ∈ N∗ et si k ∈ J1, n − 1K, on a
n
n−1
n−1
=
+
.
k
k−1
k
Corollaire 2.15 Pour tout n ∈ N et k ∈ J0, nK,
Rem
n
est un entier naturel.
k
Cette formule permet de calculer explicitement les coefficients binomiaux en construisant le triangle de
Pascal.
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
Exemple de triangle de Pascal.
Chaque terme est la somme des
deux termes au-dessus, les côtés
étant remplis de 1.
1
3
6
10 10
1
4
1
5
1
Proposition 2.16 (Formule du binôme de Newton) Pour tout (a, b) ∈ C2 , pour tout n ∈ N, on a
(a + b)n =
n X
n
k=0
Exemples 2.19
n X
n
• On a
=
k
k=0
n X
n k
• On a
a =
k
k=0
k
ak bn−k .
2.5
Applications à la trigonométrie
Méthode 2.1 Pour linéariser une expression trigonométrique cosk x sinl x (en combinaison linéaire
de termes en cos(αx) ou sin(βx)), on procède comme suit :
1. On utilise les formules d’Euler pour changer cos x et sin x en termes avec eix et e−ix .
2. On développe complètement, avec le binôme de Newton.
3. On regroupe les termes deux à deux conjugués pour reconnaı̂tre des cos(αx) ou sin(βx).
Exemple 2.20 Linéariser cos3 (x) sin(x).
Rem
La linéarisation permet de calculer une primitive de fonctions de la forme x 7→ cosk x sinl x.
Méthode 2.2 Pour transformer cos(nx) (ou sin(nx)) en un polynôme en cos (ou en sin), on
procède comme suit :
1. On écrit cos(nx) = Re (eix )n = Re ((cos x + i sin x)n ) grâce à la formule de De Moivre.
2. On développe avec le binôme de Newton.
3. On ne garde que la partie réelle (ou imaginaire dans le cas d’un sinus).
Exemple 2.21
3
Exprimer cos(4x) sous forme d’un polynôme en cos(x)
Équations algébriques dans C
3.1
Racines carrées d’un nombre complexe
Définition 3.1 On appelle racine carrée d’un nombre complexe z tout nombre complexe u
vérifiant u2 = z.
Proposition 3.1 Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées.
Rem

√
•
La notation
est réservée aux nombres réels positifs.
• 0 n’admet qu’une seule racine carrée, lui-même.
Méthode 3.1 Pour déterminer les racines carrées d’un nombre complexe :
• on peut les chercher sous forme polaire ;
• sinon on cherche les racines de z = a + ib sous la forme u = c + id. L’équation u2 = z donne le
c2 − d2 = a
système
. On ajoute l’équation |u|2 = |z| pour trouver les valeurs de c2 et d2 .
2cd = b
On prend ensuite les racines carrées, en faisant attention aux signes relatifs de c et d, donnés
par l’équation 2cd = b.
Exemples 3.1
• Les racines carrées de −2i sont
• Trouver les racines carrées de 1 + i sous la forme u = x + iy.
3.2
Équation du second degré à coefficients complexes
Proposition 3.2 Soit ax2 + bx + c = 0 une équation d’inconnue x ∈ C à coefficients (a, b, c) ∈ C3 avec a 6= 0. On
appelle discriminant de l’équation et l’on note ∆ le nombre b2 − 4ac.
b
• Si ∆ = 0, l’équation a une unique solution, appelée racine double, − .
2a
−b ± δ
, où δ est une racine carrée de ∆.
• Si ∆ 6= 0, l’équation a deux solutions,
2a
Rem
On retrouve en particulier les résultats vus en terminale sur les solutions de l’équation à coefficients
réels.
Exemples 3.2
1. Résoudre l’équation x2 − 2 cos θx + 1 = 0, où θ ∈ R.
2. Résoudre l’équation x2 − 2x − i = 0.
Proposition 3.3 (Relations coefficients racines) Si r1 et r2 sont les deux solutions de l’équation ax2 +bx+c = 0
b
c
(avec r1 = r2 dans le cas d’une racine double) alors r1 + r2 = − et r1 r2 = .
a
a
3.3
Racines n-ièmes
Définition 3.2 On appelle racine nème de l’unité un nombre complexe z tel que z n = 1. On
note Un l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité.
Proposition 3.4 Pour tout n ∈ N∗ , il existe exactement n racines n-ièmes de l’unité, qui sont les e2ikπ/n ,
k ∈ J0, n − 1K.
Exemples 3.3
• Les racines carrées de l’unité sont
• Si l’on note j = e2iπ/3 , les racines cubiques de l’unité sont
• Les racines quatrièmes de l’unité sont
Rem
Les points dont les affixes sont les racines n-ièmes de l’unité forment un polygône régulier à n côtés
inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 1.
Proposition 3.5 Soit a ∈ C∗ , alors a admet exactement n racines n-ièmes. Si z0 est une racine n-ième de a, les
racines n-ièmes de a sont les z0 e2ikπ/n , k ∈ J0, n − 1K.
Rem
• Cet énoncé est la généralisation de celui vu pour les racines carrées.
• Comme dans la preuve, pour trouver une racine n-ième de a particulière, on le met sous forme polaire.
Exemples 3.4
• Calculer les racines 5ème de 2 − 2i.
• Résoudre l’équation (z + i)n = (z − i)n d’inconnue z ∈ C.
4
Nombres complexes et géométrie plane
Proposition 4.1
Soient A, B et C des points du plan, d’affixes respectives zA , zB et zC .
• La distance entre A et B est |zA − zB |.
\ est arg(zC − zA ) − arg(zB − zA ) ≡ arg zC − zA [2π].
• Une mesure de l’angle BAC
zB − zA
Rem
Tout comme l’argument, l’angle n’est défini que modulo 2π.
Proposition 4.2 Soient A, B et C des points distincts du plan, d’affixes respectives zA , zB et zC .
• (AB) et (AC) sont orthogonales Ssi
• A, B et C sont alignés Ssi
Dans la suite, on confond un point du plan et son affixe.
Définition 4.1 On appelle rotation de centre O et d’angle θ l’application rθ du plan dans
le plan définie par rθ : z 7→ zeiθ .
Définition 4.2 On appelle translation de vecteur b l’application du plan dans le plan définie
par tb : z 7→ z + b
Définition 4.3 On appelle homothétie de rapport k (avec k ∈ R∗ ) l’application du plan dans
le plan définie par hk : z 7→ kz
Définition 4.4 On appelle symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses l’application
du plan dans le plan définie par s : z 7→ z.
Proposition 4.3
• Une rotation et une translation conservent les distances.
• Une rotation, une translation et une homothétie conservent les angles.
• Une rotation, une translation et une homothétie préservent donc l’alignement et l’orthogonalité.
Proposition 4.4 La symétrie s : z 7→ z conserve les distances, l’alignement, et l’orthogonalité.