1 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 Exercices sur les développements limités Apprendre à manier les DL Exercice 1 (Des exemples) 1. On note f : x 7→ (x − 2)2 + (x − 2)3 ln x. Justifier que f admet un développement limité au voisinage de 2 à tout ordre, puis expliciter ce DL aux ordres 1, 2, 3 et 4. 2. La fonction ln admet-elle un DL1 en 0 ? 3. La fonction racine carrée admet-elle un DLn (0) pour n ∈ N ? 4. Déterminer le DL3 en π 3 de la fonction cos. 5. Déterminer le DL3 en 1 de ln(1 + x) par deux méthodes différentes. Exercice 2 (Opérations sur les DL) Déterminer les DL suivants au voisinage de 0 : √ 2. (1 + cos x) sh(x2 ) à l’ordre 6. 3. tan x à l’ordre 4. 1. 2 + 3x à l’ordre 3. √ √ 4. 1 + sin x à l’ordre 3. 5. 1 + cos x à l’ordre 4. 6. esin x à l’ordre 3. 7. ln(cos(2x) à l’ordre 6. 10. ch 2x sh x à l’ordre 5. 8. ecos x à l’ordre 4. 11. e cos x x 9. à l’ordre 4. 12. ln(1+x) à l’ordre 1+x x sh x à l’ordre 5. 3. Exercice 3 Déterminer le DL7 (0) de la fonction F définie par Z x 2 e−t dt. F (x) = 1 Exercice 4 Déterminer le DL3 (0) de th (on pourra exprimer th′ (x) à l’aide de th2 (x)). Exercice 5 (Un DL implicite) Soit f une fonction de classe C 2 sur R vérifiant la relation x(f (x) − 2) + ef (x)−1 − 1 = 0. 1. Justifier que f admet un DL2 en 0 puis déterminer ce DL. 2. En déduire l’allure de la courbe de f au voisinage de 0. Exercice 6 (Un serpent pour contredire) On note f la fonction définie sur [0, +∞[ par f (x) = x2 sin x1 pour x 6= 0 et f (0) = 0. 1. Montrer que f est dérivable sur [0, +∞[. 2. Soit x > 0, calculer f ′ (x), puis montrer que la limite en 0 de f ′ n’existe pas. La fonction f est-elle de classe C 1 ? 3. Pour quels entiers n, la fonction f possède-t-elle un DLn en 0 ? Utilisation des DL Exercice 7 (Prolongement) On considère la fonction f : x 7→ 1 − cos x . tan2 x 1. Donner l’ensemble de définition de la fonction f puis un ensemble sur lequel il suffit d’éudier f . 2. Donner un équivalent de f en 0. En déduire que f peut être prolongée par continuité en 0. 3. Donner un DL3 en 0 de la fonction f . 2 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 4. En déduire que la fonction f ainsi prolongée est dérivable sur [0, π2 [. Préciser l’allure locale de la courbe au voisinage de 0. 5. Pour cette question, vous pouvez utiliser la calculatrice. La fonction f peut-elle être prolongée en une fonction continue ou dérivable sur [0, π2 ] ? sur [0, π] ? Exercice 8 (Prolongement bis) Démontrer que la fonction x 7→ de classe C 1 sur [0, π2 ]. 1 1 − peut être prolongée en une fonction x sin x Exercice 9 (Étude d’une fonction) Soit f la fonction définie par f (x) = 1 ex − 1 ln . x x 1. Démontrer que pour x au voisinage de 0, on a f (x) = 1 x x3 + − + o(x3 ). 2 24 2880 2. En déduire que f se prolonge par continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable en 0. Préciser la position de la tangente. 3. Déterminer l’ensemble de définition de f , puis exprimer f (−x) en fonction de f (x). Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f ? 4. Étudier les variations et les limites de f , puis tracer sa courbe représentative. Exercice 10 Étudier la fonction f : x 7→ sin x au voisinage de 0. arcsin x Exercice 11 (Branches infinies) Étudier les branches infinies des fonctions r 1 x−1 x et g : x 7→ x . f : x 7→ (x + 1)e x+1 Exercice 12 (Tangentes) Déterminer l’équation et la position de la tangente au point d’abscisse x0 . 1. f (x) = ln x avec x0 = 1. x 2. f (x) = 1 avec x0 = 0. 1 + ex Exercice 13 (Encore cette suite) On considère la suite u définie par un = 1 1+ n n . 1. Déterminer la limite l de cette suite. 2. Démontrer que −e 1 + o( ). 2n n La convergence est-elle rapide ? Comparer avec d’autres suites qui convergent vers l. un − l = Exercice 14 (Recherche d’équivalents) Donner un équivalent simple de : 1. x cos x − sin x au voisinage de 0. ln(1 + x) 1 1 2. (n + 1) n − n n au voisinage de +∞. Exercice 15 (Se ramener à 0 à tout prix) Déterminer un équivalent au voisinage de +∞ de f (x) = x( π 3x2 . − arctan x) − 2 1 + 3x2 Exercice 16 (Raccord de solutions d’ED) Résoudre sur R l’équation différentielle (ex − 1)y ′ (x) + ex y(x) = cos x. On pourra étudier la fonction f : x 7→ sin x + a . ex − 1