Développements limités - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1
Exercices sur les développements limités
Apprendre à manier les DL
Exercice 1 (Des exemples)
1. On note f:x7→ (x−2)2+ (x−2)3ln x. Justifier que fadmet un développement limité au voisinage de
2 à tout ordre, puis expliciter ce DL aux ordres 1,2,3 et 4.
2. La fonction ln admet-elle un DL1en 0 ?
3. La fonction racine carrée admet-elle un DLn(0) pour n∈N?
4. Déterminer le DL3en π
3de la fonction cos.
5. Déterminer le DL3en 1 de ln(1 + x) par deux méthodes différentes.
Exercice 2 (Opérations sur les DL) Déterminer les DL suivants au voisinage de 0 :
1. √2 + 3xà l’ordre 3. 2. (1 + cos x) sh(x2) à l’ordre 6. 3. tan xà l’ordre 4.
4. √1 + sin xà l’ordre 3. 5. √1 + cos xà l’ordre 4. 6. esin xà l’ordre 3.
7. ln(cos(2x) à l’ordre 6. 8. ecos xà l’ordre 4. 9. ln(1+x)
1+xà l’ordre 3.
10. ch 2xsh xà l’ordre 5. 11. ex
cos xà l’ordre 4. 12. x sh xà l’ordre 5.
Exercice 3 Déterminer le DL7(0) de la fonction Fdéfinie par
F(x) = Zx
1
e−t2dt.
Exercice 4 Déterminer le DL3(0) de th (on pourra exprimer th′(x) à l’aide de th2(x)).
Exercice 5 (Un DL implicite) Soit fune fonction de classe C2sur Rvérifiant la relation
x(f(x)−2) + ef(x)−1−1 = 0.
1. Justifier que fadmet un DL2en 0 puis déterminer ce DL.
2. En déduire l’allure de la courbe de fau voisinage de 0.
Exercice 6 (Un serpent pour contredire) On note fla fonction définie sur [0,+∞[ par f(x) = x2sin 1
x
pour x6= 0 et f(0) = 0.
1. Montrer que fest dérivable sur [0,+∞[.
2. Soit x > 0, calculer f′(x), puis montrer que la limite en 0 de f′n’existe pas. La fonction fest-elle de
classe C1?
3. Pour quels entiers n, la fonction fpossède-t-elle un DLnen 0 ?
Utilisation des DL
Exercice 7 (Prolongement) On considère la fonction f:x7→ 1−cos x
tan2x.
1. Donner l’ensemble de définition de la fonction fpuis un ensemble sur lequel il suffit d’éudier f.
2. Donner un équivalent de fen 0. En déduire que fpeut être prolongée par continuité en 0.
3. Donner un DL3en 0 de la fonction f.

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4. En déduire que la fonction fainsi prolongée est dérivable sur [0,π
2[. Préciser l’allure locale de la courbe
au voisinage de 0.
5. Pour cette question, vous pouvez utiliser la calculatrice. La fonction fpeut-elle être prolongée en une
fonction continue ou dérivable sur [0,π
2] ? sur [0, π] ?
Exercice 8 (Prolongement bis) Démontrer que la fonction x7→ 1
x−1 sin xpeut être prolongée en une fonction
de classe C1sur [0,π
2].
Exercice 9 (Étude d’une fonction) Soit fla fonction définie par f(x) = 1
xln ex−1 x.
1. Démontrer que pour xau voisinage de 0, on a
f(x) = 1
2+x 24 −x3 2880 +o(x3).
2. En déduire que fse prolonge par continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable en 0. Préciser la
position de la tangente.
3. Déterminer l’ensemble de définition de f, puis exprimer f(−x) en fonction de f(x). Que peut-on en déduire
pour la courbe représentative de f?
4. Étudier les variations et les limites de f, puis tracer sa courbe représentative.
Exercice 10 Étudier la fonction f:x7→ sin x
arcsin xau voisinage de 0.
Exercice 11 (Branches infinies) Étudier les branches infinies des fonctions
f:x7→ (x+ 1)e 1
xet g:x7→ xrx−1
x+ 1.
Exercice 12 (Tangentes) Déterminer l’équation et la position de la tangente au point d’abscisse x0.
1. f(x) = ln x
xavec x0= 1. 2. f(x) = 1 1 + exavec x0= 0.
Exercice 13 (Encore cette suite) On considère la suite udéfinie par un=1 + 1
nn
.
1. Déterminer la limite lde cette suite.
2. Démontrer que
un−l=−e
2n+o(1 n).
La convergence est-elle rapide ? Comparer avec d’autres suites qui convergent vers l.
Exercice 14 (Recherche d’équivalents) Donner un équivalent simple de :
1. xcos x−sin x
ln(1 + x)au voisinage de 0. 2. (n+ 1) 1
n−n1 nau voisinage de +∞.
Exercice 15 (Se ramener à 0 à tout prix) Déterminer un équivalent au voisinage de +∞de
f(x) = x(π
2−arctan x)−3x2 1 + 3x2.
Exercice 16 (Raccord de solutions d’ED) Résoudre sur Rl’équation différentielle
(ex−1)y′(x) + exy(x) = cos x.
On pourra étudier la fonction
f:x7→ sin x+a
ex−1.