Chp. 3. Compléments sur les DL 3.1 DL des fonctions trigonométriques En se souvenant de la formule magique : e i x = cos x +i sin x, et du développement de l’exponentielle, on peut écrire formellement : ei x = n (i x)k X ¡ ¢ + o xn k=0 k! et, comme : i 2 k = (−1)k , et : i 2 k+1 = (−1)k i , en déduire : cos x = n (−1)k x 2 k n (−1)k x 2 k+1 X X ¡ ¡ ¢ ¢ + o x 2 n+1 et : sin x = + o x 2 n+2 (2k)! (2 k + 1)! k=0 k=0 formules qui se vérifient facilement en calculant les dérivées sucessives du cosinus et du sinus : cos(2 k) (0) = sin(2 k+1) (0) = (−1)k , et : sin(2 k) (0) = cos(2 k+1) (0) = 0 (k ≥ 0) Les développements de tan x et cotan x s’en déduisent en utilisant la règle sur le quotient . ¡ ¢ ¡ 3¢ x − x 3 /6 + o x 3 x3 sin x ¡ ¢ =x+ = + o x Exemple : tan x = cos x 1 − x 2 /2 + o x 3 3 3.2 DL d’une fonction réciproque On rappelle que, si f est une fonction réelle strictement monotone d’un intervalle I de R, voisinage de 0, sur un intervalle J , nulle en 0, elle admet une fonction réciproque f −1 : J 7→ I , nulle en 0. Si f est n-fois dérivable en 0, f −1 également, et les deux fonctions admettent alors un DLn en 0. S’il existe bien une formule donnant la dérivée de f −1 en fonction de celle de f : ¡ ¢0 f −1 = 1 f 0 ◦ f −1 le calcul des dérivées sucessives de la fonction réciproque peut s’avérer compliqué : Exemple : arcsin0 x = 1 1 x =p , arcsin00 x = , . . . , etc. cos ( arcsin x ) (1 − x 2 )3/2 1 − x2 Il est alors possible de déterminer le DLn en 0 de f −1 par identification, en utilisant l’unicité du DL et la règle sur la composition. ¡ ¢ Exemple : si : arcsin x = a x + b x 3 + o x 3 (arcsin est impair) : µ ¶ µ ¶ ¡ ¢ ¡ ¢ 3 ¡ ¢ x3 x3 x = arcsin(sin x) = a x − + o x3 + b x − + o x3 + o x3 6 6 d’où, par identification : a = 1 et b = 1/6. 10 3.3 Etude locale d’une fonction Exemple : f : D = R\{0} ⊂ R 7→ R : x 7→ On récrit : f (x) = 1 1 − x arcsin x arcsin x − x x , et on déduit : du DL3 de arcsin x en 0 : f (x) = + o (x) qui prouve que x arcsin x 6 f est prolongeable par continuité en 0 en posant : f (0) = 0, que la fonction ainsi prolongée est dérivable, 1 6 et que sa dérivée est : f 0 (0) = . La courbe représentative des variations de f au voinage de 0 est donc tangente à la droite d’équation : y = x . 6 x 6 Pour connaître la position de la courbe par rapport à sa tangente, on cherche un équivalent de : f (x)− . Pour cela, on calcule un DL3 (0) de f (x) ( f est impaire), en espérant que le terme d’ordre trois sera non nul (sinon, il faudra chercher un DL5 (0) . . . etc.) ¡ ¢ x 17 3 On trouve : f (x) = + x + o x 3 , et on conclut que le graphe de f traverse sa tangente en : x = 0 : 6 360 Fig 4.1 : Graphe de f : D = R\{0} ⊂ R 7→ R : x 7→ au voisinage de l’origine 1 1 − x arcsin x 3.4 Développements asymptotiques Exemple : Etude au voisinage de +∞, de : f (x) = En posant : u = 1 , il vient : x 3 u u3 + u2 + 1 1 = 1+ 2 3 u +u u u +1 µ f (x) = x3 + x + 1 . x2 + 1 ¶ = ³1´ ¡ ¢¢ 1 ¡ ¢ 1 ¡ 1 1 + u3 + o u3 = + u2 + o u2 = x + 2 + o 2 u u x x qui montre que le graphe de f est asymptote(1), au voisinage de +∞ à la première bissectrice du système d’axes, et situé, au voisinage de +∞, au dessus de son asymptote(2). 1. Asymptote : adjectif invariant en genre, du grec ασυµπτωτoς : qui ne s’affaisse pas . Une courbe est asymptote à une autre lorsqu’elle s’en approche indéfiniment. 2. Asymptote : nom féminin. Droite dont une courbe s’approche indéfiniment. Voir la note précédente. 11