chp3: Compléments sur les DL

Chp. 3. Compléments sur les DL
3.1 DL des fonctions trigonométriques
En se souvenant de la formule magique : ei x =cos x+isin x, et du développement de l’exponentielle,
on peut écrire formellement :
ei x =
n
X
k=0
(i x)k
k!+o¡xn¢
et, comme : i2k=(−1)k, et : i2k+1=(−1)ki, en déduire :
cos x=
n
X
k=0
(−1)kx2k
(2k)! +o¡x2n+1¢et : sin x=
n
X
k=0
(−1)kx2k+1
(2k+1)! +o¡x2n+2¢
formules qui se vérifient facilement en calculant les dérivées sucessives du cosinus et du sinus :
cos(2k)(0) =sin(2k+1)(0) =(−1)k, et : sin(2k)(0) =cos(2k+1)(0) =0 (k≥0)
Les développements de tanxet cotan xs’en déduisent en utilisant la règle sur le quotient .
Exemple : tan x=sin x
cos x=x−x3/6 +o¡x3¢
1−x2/2 +o¡x3¢=x+x3
3+o¡x3¢
3.2 DL d’une fonction réciproque
On rappelle que, si fest une fonction réelle strictement monotone d’un intervalle Ide R, voisinage
de 0, sur un intervalle J, nulle en 0, elle admet une fonction réciproque f−1:J7→ I, nulle en 0. Si fest
n-fois dérivable en 0, f−1également, et les deux fonctions admettent alors un DLnen 0. S’il existe bien
une formule donnant la dérivée de f−1en fonction de celle de f:
¡f−1¢0=1
f0◦f−1
le calcul des dérivées sucessives de la fonction réciproque peut s’avérer compliqué :
Exemple : arcsin0x=1
cos(arcsin x)=1
p1−x2, arcsin00 x=x
(1 −x2)3/2 ,...,etc.
Il est alors possible de déterminer le DLnen 0 de f−1par identification, en utilisant l’unicité du DL et
la règle sur la composition.
Exemple : si : arcsin x=a x +b x3+o¡x3¢(arcsin est impair) :
x=arcsin(sin x)=aµx−x3
6+o¡x3¢¶+bµx−x3 6+o¡x3¢¶3
+o¡x3¢
d’où, par identification : a=1 et b=1/6.
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3.3 Etude locale d’une fonction
Exemple :f:D=R
\
{0} ⊂R7→ R:x7→
1
x
−
1
arcsin x
On récrit : f(x)=
arcsin x−x
xarcsin x
, et on déduit : du DL3de arcsin xen 0 : f(x)=
x
6
+o(x)qui prouve que
fest prolongeable par continuité en 0 en posant : f(0) =0, que la fonction ainsi prolongée est dérivable,
et que sa dérivée est : f0(0) =
1
6
. La courbe représentative des variations de fau voinage de 0 est donc
tangente à la droite d’équation : y=
x
6
.
Pour connaître la position de la courbe par rapport à sa tangente, on cherche un équivalent de : f(x)−
x
6
.
Pour cela, on calcule un DL3(0) de f(x) (fest impaire), en espérant que le terme d’ordre trois sera non
nul (sinon, il faudra chercher un DL5(0) . . . etc.)
On trouve : f(x)=
x
6
+
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x3+o¡x3¢, et on conclut que le graphe de ftraverse sa tangente en : x=0 :
Fig 4.1 : Graphe de f:D=R
\
{0} ⊂R7→ R:x7→
1
x
−
1
arcsin x
au voisinage de l’origine
3.4 Développements asymptotiques
Exemple : Etude au voisinage de +∞, de : f(x)=
x3+x+1
x2+1
.
En posant : u=
1
x
, il vient :
f(x)=
u3+u2+1
u3+u
=
1
u
µ1+u3
u2+1¶=
1
u
¡1+u3+o¡u3¢¢=
1
u
+u2+o¡u2¢=x+
1
x2
+o³
1
x2
´
qui montre que le graphe de fest asymptote(1), au voisinage de +∞ à la première bissectrice du système
d’axes, et situé, au voisinage de +∞, au dessus de son asymptote(2).
1. Asymptote : adjectif invariant en genre, du grec ασυµπτωτoς:qui ne s’affaisse pas . Une courbe est asymptote à une
autre lorsqu’elle s’en approche indéfiniment.
2. Asymptote : nom féminin. Droite dont une courbe s’approche indéfiniment. Voir la note précédente.
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