cosinus -objet -sous -vraie on

Limites et continuité en deux mots
Rappel. On dira que f converge vers l lorsque x tend vers a, que l’on notera par
lim
x!af(x)=l
si pour tout
voisinage
Vl
de l, il existe un voisinage
Ua
*
de a tel que
f Ua
*
( )
!Vl
, en d’autres termes, si ,
! " >0# $ >0t.q. si 0< x%a< $ alorsf(x)%l< "
.
Par ailleurs, si f est bien définie en a et que
lim
x!af(x)=f(a)
alors on dira que f est continue en a.
Une fonction f est dite continue sur
!
si f est continue en tout point
a!!
.
Propriétés élémentaires de la limite et de la continuité.
Lemme. a) Si f admet une limite en a alors cette dernière est unique.
b) Si f est continue en a alors f est localement bornée en a.
c) Si f est continue en a et
f(a)!0
alors il existe un vge
Ua
de a tel que
f Ua
( )
!0
{ }
="
(c’est-à-dire f ne s’annule en aucun point du voisinage
Ua
de a).
Preuve.
a) Par l’absurde. Supposons
l1=lim
x!af(x)<l2=lim x!af(x)
. Posons
l2!l1= " >0
,
V
1=l1!
"
2;l1+
"
2
#
$
%&
'
(
,
V2=l2!
"
2;l2+
"
2
#
$
%&
'
(
,
U1
*
le vge épointé de a tel que
f U1
*
( )
!V1
,
U2
*
le vge
épointé de a tel que
f U2
*
( )
!V2
, et enfin
U*=U1
*!U2 *
voisinage épointé de a. Si
x!U*
alors
! =l2"l1=l2"f(x)+f(x)"l1#l2"f(x)+f(x)"l1<
!
2
+
!
2
= !
.
b) Par définition de la continuité en a, si
! =1
alors il existe un voisinage
Ua
de a tel que tout
x!Ua
est à une distance maximale de 1 du point
f(a)
. Ainsi,
f Ua
( )
!f(a)"1; f(a)+1
] [
.
c) Par définition de la continuité en a, en prenant
! =f(a)÷2
il existe un voisinage
Ua
de a tel que
f Ua
( )
!f(a)" # ;f(a)+ #
] [
, dont l’intersection de cette dernière avec l’axe des abscisses est donc vide.
Théorème. Si f et g sont des fonctions continues en a alors
les fonctions
f+g
,
f!g
,
f!g
et
f÷g
sont continues en a (à condition d’être bien définie).
Preuves pour
f+g
et
f!g
1) A prouver
lim
x!a
(f+g)(x)=f(a)+g(a)
. Soit un
! >0
donné. Considérons :
(f+g)(x)!(f+g)(a)=f(x)!f(a)+g(x)!g(a)"f(x)!f(a)+g(x)!g(a)
(*)
Par hypothèse, il existe un voisinage
U1
de a tel que le terme
f(x)!f(a)< " / 2
.
De même, il existe un voisinage
U2
de a tel que le terme
g(x)!g(a)< " / 2
.
Si l’on pose
U=U1!U2
alors on aura (*)
< !
.
2) A prouver
lim
x!a
(f"g)(x)=f(a)"g(a)
. Soit un
! >0
donné. Considérons :
(f!g)(x)"(f!g)(a)=f(x)g(x)"f(x)g(a)+f(x)g(a)"f(a)g(a)#f(x)g(x)"g(a)+g(a)f(x)"f(a)
Par le lemme f et g sont bornés au voisinage de a et donc < N. De plus, par la continuité en a il existe un
voisinage
U1
tel que
f(x)!f(a)< " / (2N)
et un voisinage
U2
tel que
g(x)!g(a)< " / (2N)
.
Si l’on pose
U=U1!U2
alors la ‘grande inégalité ci-dessus’ vérifiera la condition d’être
< !
.

Corollaire. Comme les fonctions
Id :x!x
et
Cnte:x!c
sont continues alors
- toute fonction polynomiale est continue sur tout
!
- toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
Au vu de la définition géométrique des fonctions sinus et cosinus on admettra que ces dernières sont
continues sur tout
!
, et donc que la fonction tangente l’est aussi sur
!\k !
{ }
où
k!!
.
Etude de sin(x)/x lorsque x tend vers 0
Nous prenons appui sur les définitions géométriques du sin, du cos et de la tangente.
Rappel. 1) Pour un angle x mesuré en radians que l’on va supposer compris entre
0<x< ! / 2
les
projections orthogonales sur l’axe des abscisses et des ordonnées définissent le cos(x) et le sin(x). La tan(x)
n’est autre que la 2e coordonnée de T (c’est-à-dire de l’intersection entre la droite perpendiculaire à l’axe
des abscisses passant par I avec la demi-droite issue de O passant par l’extrémité de l’arc circulaire de
longueur x (le point A)). Par le théorème de Thalès l’on déduit que tan(x) = sin(x)/cos(x) et par le théorème
de Pythagore l’on a
sin2(x)+cos2(x)=1
.
2) Comme l’aire du disque unité est π alors pour des raisons de proportionnalité l’aire du secteur circulaire
OIA (dont l’arc mesure x radians) est x/2.
3) La fonction f (x) = sin(x) / x définie sur
!*
est le quotient de deux fonctions impaires (c’est-à-dire pour
lesquelles
g(!x)=!g(x)
). D’où la fonction f est paire !
Nous allons démontrer que la fonction f (non définie en 0) peut être prolongée par continuité en une
f
continue sur tout
!
en posant
f(x)=f(x) si x!0 et f(0) =1
.
Théorème.
lim
x!0+
sin(x)
x
=1
d’où comme f est paire alors la limite est la même à gauche.
Preuve. Méthode générale : comparer l’aire du triangle OIA avec celle du secteur OIA avec enfin celle du
triangle OIT. Pour des raisons géométriques (chacune des figures est incluse dans la « suivante » on a alors
aire(!OIA)<aire(!OIA)<aire(!OIT )"1
2
#1#sin(x)<1
2
#x<1
2
#1#sin(x)
cos(x)
Multiplions chacune des expressions par
2
sin(x)
, puis prenons leur inverse (rappel si
0<a<b alors 1
a
>1
b
>0
. D’où :
1>sin(x)
x
>cos(x)
. Si l’on fait tendre x vers 0+ l’on obtient (par le
théorème du « sandwich ») le résultat désiré (puisque cos est continue).