Nom : Conversions radians - degrés

Nom :
Prénom :
Exercice 1 : Savoir calculer des angles remarquables
Angles associés , équations et
iné
q
uations tri
g
onométri
q
ues Date : 8/12/2011
Classe : 1STL
Simplifier le plus possible : A = cos( - π ) + cos(
4
3
) + cos(
2
) + cos( 4 ) .
B = cos 0 + cos 4 + cos 2 + cos(
4
3
) + cos π ; C = sin
6
+ sin 3 + sin 2 + sin
3
2
+ sin 6
5
+ sin π .
Exercice 2 : Savoir utiliser la calculatrice pour résoudre des équations trigonométriques
Déterminer les valeurs arrondies à des solutions des équations suivantes :
3
10
1/ cos x = - 0,6 , x  [ 0 ; 2π ] ; 2/ cos x = 3
1 , x
[ 0 ; 2π ] ; 3/ sin x = - 0,6 , x  [ 0 ; 2π ] .
Exercice 3 : Déterminer des lignes trigonométriques
1/ Soit t  IR tel que sin t = 5
4 . Sachant que t
[ 0 ; 2 ] , déterminer la valeur exacte de cos t .
2/ Soit t  IR tel que sin t =
3
2 . Sachant que t
[ 2 ; ] , déterminer la valeur exacte de cos t .
Exercice 4 : Equations trigonométriques : Résoudre les équations suivantes :
pour
2;0x ; 2/ sin x =
2
3 pour
; x ; 3/ cos x = 2
3 pour
2;0x ; 1/ cos x =
2
2
4/ cos² x =1 pour ;x ; 5/ sin² x = 4
1 pour
2;0 x ; 6/ 2(cos x)² - 1 = 0 pour 
2 ;
2
x ;
7/ 4cos²x - 3 = 0 pour ;x ; 8/ sin 2x =
2
1
pour
DM 3
; x ; 9/ (sin x)² - 2
1= 0 pour
; x.
Exercice 5 : Démontrer les relations trigonométriques DM 3
Démontrer , pour tout réel x , les égalités suivantes :
1/ ( cos x + sin x ) ² = 1 + 2cos x × sin x ; 2/ ( cos x - sin x ) ² = 1 - 2cos x × sin x ;
3/ ( cos x + sin x ) ² + ( cos x - sin x ) ² = 2 ; 4/ ( cos x + sin x ) ² - ( cos x - sin x ) ² = 4cos x × sin x .
5/ ( 1+ cos x + sin x ) ² = 2(1 + cos x ) ( 1 + sin x ) ; 6/ cos 4 x - sin 4 x = cos² x - sin² x .
Exercice 6 : Angles associés : Exprimer en fonction de cos x ou sin x les nombres suivants :
DM 3
1/ cos(2π + x ) ; 2/ sin(- π - x ) ; 3/ cos( x -
2
) ; 4/ cos( x
2
7
) ; 5/ cos( x
11 ) .
Exercice 7 : Ligne trigonométrique
DM 3
On donne sin x =
4
62  et x 
 . Calculer la valeur exacte de cos x .
2
;
2
Exercice 8 : Inéquations trigonométriques
A l’aide du cercle trigonométrique sur lequel on représentera les solutions , résoudre les inéquations suivantes :
1/ Dans l’intervalle
; : a/ sin x ≥ 0 ; b/ cos x < 0 ; c/ sin x ≥
2
2 ; d/ cos x ≤
2
1
.
2/ Dans l’intervalle
2;0 : a/ sin x < 0 ; b/ cos x > 0 ; c/
2
1 ≤ sin x ≤
2
3 ; d/ cos x ≤ - 1 .
Exercice 9 : Périodicité des fonctions trigonométriques
Démontrer que les fonctions suivantes sont périodiques , de période 3
2
: 1/ f(x)= sin 
 ; 2/g(x)= sin (6x) – cos (3x) .
DM 3
5
3
x
DM 3
Exercice 10 : Etudier une fonction trigonométrique
Soit f une fonction définie sur IR par : f(x) = -3 + 4cos(2x) . 1/ Montrer que f est périodique de période π .
2/ Montrer que f est une fonction paire .Que peut-on en déduire pour sa courbe (Cf ) ?
3/ Démontrer que pour tout réel x : 1)(7  xf . 4/ Donner le tableau de variation de f sur 
.
2
;0
5/ Calculer les valeurs exactes de 
12
k
f pour toutes les valeurs entières de k comprises entre 0 et 6.
6/ Tracer la courbe (Cf ) sur l’intervalle 
 .
2
;0
7/ En utilisant les questions précédentes , en déduire la représentation graphique de (Cf ) sur l’intervalle 
2
;
2
,
puis sur l’intervalle
;.
Exercice 44 : page 63 et 45 page 64 : DM n° 3 : à rendre pour le jeudi 5 janvier 2012.
DM 3