Nom : Conversions radians - degrés

Nom :
Prénom :
Date : 8/12/2011
Classe : 1STL
Angles associés , équations et
inéquations trigonométriques
Exercice 1 : Savoir calculer des angles remarquables
Simplifier le plus possible : A = cos( - π ) + cos(  3 ) + cos(   ) + cos(   ) .
4
2
4

B = cos 0 + cos + cos  + cos(  3 ) + cos π ; C = sin  + sin  + sin  + sin 2 + sin 5 + sin π
4
6
2
2
3
3
6
4
.
Exercice 2 : Savoir utiliser la calculatrice pour résoudre des équations trigonométriques
Déterminer les valeurs arrondies à 10 3 des solutions des équations suivantes :
1
1/ cos x = - 0,6 , x  [ 0 ; 2π ] ; 2/ cos x =
, x  [ 0 ; 2π ] ; 3/ sin x = - 0,6 , x  [ 0 ; 2π ] .
3
Exercice 3 : Déterminer des lignes trigonométriques
1/ Soit t  IR tel que sin t = 4 . Sachant que t  [ 0 ;  ] , déterminer la valeur exacte de cos t .
2
5

2/ Soit t  IR tel que sin t = 2 . Sachant que t  [ ;  ] , déterminer la valeur exacte de cos t .
3
2
Exercice 4 : Equations trigonométriques : Résoudre les équations suivantes :
1/ cos x = 
2
2
pour x  0 ; 2  ; 2/ sin x = 
3
2
pour x    ;   ; 3/ cos x =  3 pour x  0 ; 2  ;
2
1
4/ cos² x =1 pour x    ;   ; 5/ sin² x = pour x  0 ; 2  ; 6/ 2(cos x)² - 1 = 0 pour x     ;   ;
 2 2 
4
DM 3
7/ 4cos²x - 3 = 0 pour x    ;   ; 8/ sin 2x =  1 pour x    ;   ; 9/ (sin x)² - 1 = 0 pour x    ;   .
2
2
Exercice 5 : Démontrer les relations trigonométriques
DM 3
Démontrer , pour tout réel x , les égalités suivantes :
1/ ( cos x + sin x ) ² = 1 + 2cos x × sin x ;
2/ ( cos x - sin x ) ² = 1 - 2cos x × sin x ;
3/ ( cos x + sin x ) ² + ( cos x - sin x ) ² = 2 ; 4/ ( cos x + sin x ) ² - ( cos x - sin x ) ² = 4cos x × sin x .
4
5/ ( 1+ cos x + sin x ) ² = 2(1 + cos x ) ( 1 + sin x ) ; 6/ cos x - sin 4 x = cos² x - sin² x . DM 3
Exercice 6 : Angles associés : Exprimer en fonction de cos x ou sin x les nombres suivants :
1/ cos(2π + x ) ; 2/ sin(- π - x ) ; 3/ cos( x -  ) ; 4/ cos( 7  x ) ; 5/ cos( 11  x ) .
2
2
Exercice 7 : Ligne trigonométrique
On donne sin x = 2  6 et x     ;   . Calculer la valeur exacte de cos x .
4
 2
2 
DM 3
Exercice 8 : Inéquations trigonométriques
A l’aide du cercle trigonométrique sur lequel on représentera les solutions , résoudre les inéquations suivantes :
1/ Dans l’intervalle   ;   : a/ sin x ≥ 0 ; b/ cos x < 0 ; c/ sin x ≥  2 ; d/ cos x ≤  1 .
2
2
2/ Dans l’intervalle 0 ; 2  : a/ sin x < 0 ; b/ cos x > 0
; c/
1
2
≤ sin x ≤
3 ; d/ cos x ≤ - 1 .
2
DM 3
DM 3
Exercice 9 : Périodicité des fonctions trigonométriques
Démontrer que les fonctions suivantes sont périodiques , de période 2 : 1/ f(x)= sin  3 x    ; 2/g(x)= sin (6x) – cos (3x) .
3

5
Exercice 10 : Etudier une fonction trigonométrique
Soit f une fonction définie sur IR par : f(x) = -3 + 4cos(2x) . 1/ Montrer que f est périodique de période π .
2/ Montrer que f est une fonction paire .Que peut-on en déduire pour sa courbe (Cf ) ?
3/ Démontrer que pour tout réel x :  7  f ( x)  1 . 4/ Donner le tableau de variation de f sur 0;   .
 2 
5/ Calculer les valeurs exactes de f  k  pour toutes les valeurs entières de k comprises entre 0 et 6.
 12 
6/ Tracer la courbe (Cf ) sur l’intervalle
 
0; 2 
.
7/ En utilisant les questions précédentes , en déduire la représentation graphique de (Cf ) sur l’intervalle
puis sur l’intervalle   ;   .
Exercice 44 : page 63 et 45 page 64 : DM n° 3 : à rendre pour le jeudi 5 janvier 2012.
DM 3
   
 2 ; 2 
,