Limites et continuité d`une fonction numérique

MPSI2 Limites et continuit´e d’une fonction num´erique 2014-2015
Limites et continuit´e
1On consid`ere la fonction d´efinie sur R\ {−1,1}par f(x) = 1
1−x−2 1−x2. Cette fonction peut-elle ˆetre prolong´ee
par continuit´e en −1 et 1 ?
2Soit T > 0 et f∈ F(R,R) une fonction p´eriodique non constante, montrer que fne poss`ede pas de limite dans R.
3FSoit f:x7→ xx
E(x)E(x)d´efinie sur [1,+∞[. `
A l’aide de deux suites divergeant vers +∞, montrer que fne poss`ede
pas de limite en +∞.
4FSoit (a, b)∈R∗
+. D´eterminer les limites en 0+de f(x) = x
aEb xet g(x) = b xEx a.
5♥FD´eterminer les limites suivantes lorsque celles-ci existent :
a) lim
x→4
√x−2
x2−5x+ 4 b) lim
x→+∞px2+x−xc) lim
x→1
ln(x)
x−1d) lim
x→0xln(x)
e) lim
x→0xxf) lim x→0
√1 + x−√1−x
xg) lim
x→0
3
√1 + x−3 √1−x
xh) lim
x→0
1−cos(x)
x2
i) lim
x→0+√xE(1
x) j) lim
x→+∞exE(1
x) k) lim
x→+∞
E(x)
xl) lim
x→+∞sin(ln(x))
m) lim
x→+∞
x3+x2+ 5
5x3−x2+ 2 n) lim
x→0
tan(5x)
sin(x)o) lim
x→+∞
e3x+ 2x+ 7
ex+e−xp) lim
x→0
x2+ 1
sin2(x)
q) lim
x→0
sin(x)−sin(5x)
sin(x) + sin(5x)r) lim
x→0
tan(x)−sin(x)
x3s) lim
x→0+
sin( 1
x)
e1
x+ 1 t) lim
x→+∞ex−sin(x)
u) lim
x→+∞
x+ arctan(x)
xv) lim
x→1+ln(x) ln(ln(x)) w) lim
x→1x+E(x) x) lim x→0
sin(xln(x))
x
y) lim
x→+∞1 + 1
xx
z) lim
x→1
1−x
arccos x
6♥FEtudier la continuit´e en tout point des applications :
a) f:x7→ x−E(x)−(x−E(x))2b) g:x7→ (−1)E(x)x−E(x)−1
2
c) h:x7→ E(x) + px−E(x) d) i:x7→ x2E1
xsur R∗
+
7♥FSoit f:R→Rcontinue en 0 et en 1 telle que ∀x∈R, f(x2) = f(x). Montrer que fest constante.
8FF Etudier la continuit´e de f:x7→ sup
n∈N
xn
n!d´efinie sur R+.
9FF On note El’ensemble des fonctions continues f:R→Rv´erifiant :
∀(x, y)∈R2, fx+y
2=f(x) + f(y) 2.
a) Soit D=np
2n, p ∈Zet n∈No. Montrer que Dest dense dans R.
b) Soit f∈E. On suppose f(0) = f(1) = 0. Montrer que fest la fonction nulle.
c) Montrer que Eest l’ensemble des fonctions affines sur R.
10 FFF D´eterminer les fonctions fcontinues sur Rtelles que ∀x∈R, f(2x+ 1) = f(x).
11 FFF Trouver une bijection de [0,1] dans lui-mˆeme qui soit discontinue en tout point.
Th´eor`emes g´en´eraux sur la continuit´e
12 Soit f∈ C(R) telle que lim
x→−∞ f(x) = lim x→+∞f(x)=+∞. Montrer que fa un minimum absolu sur R.
13 Que dire de f∈ C(R) telle que f(R)⊂Z?
14 Soient f∈ F(R,R) born´ee et g∈ C(R). Montrer que g◦fet f◦gsont born´ees.
1 Chapitre 12

MPSI2 Limites et continuit´e d’une fonction num´erique 2014-2015
15 ♥Soit f∈ C(R) telle que lim
x→−∞ f(x) = let lim x→+∞f(x) = l0avec (l, l0)∈R2. Montrer que fest born´ee sur R.
16 FMontrer que toute fonction p´eriodique et continue sur Rest born´ee.
17 FSoient f:I→R∗et g:I→R∗deux fonctions continues telles que : ∀x∈I, |f(x)|=|g(x)|.
Montrer que f=gou f=−g.
18 FSoit f:R→Rcontinue et d´ecroissante, montrer que fadmet un unique point fixe.
19 FMontrer que f(x) = x
1 + |x|est une bijection de Rdans un intervalle que l’on d´eterminera. Trouver sa bijection
r´eciproque.
20 ♥FUn automobiliste parcourt 200 kilom`etres en 2 heures. Montrer qu’il y a un intervalle d’une heure pendant
lequel exactement l’automobiliste a parcouru 100 kilom`etres.
21 FF Soit f: [0,+∞[→[0,+∞[ continue v´erifiant f◦f= id. D´eterminer f.
22 FF Soit f∈ C([a, b]) avec f(a)6=f(b) et (u, v)∈(R∗
+)2. Montrer qu’il existe c∈]a, b[ tel que :
uf(a) + vf (b)=(u+v)f(c).
23 FF Soit f∈ C([0,1]) telle que f(0) = f(1). Montrer que ∀p∈N∗,∃αp∈[0,1], fαp+1
p=f(αp).
24 FFF Soit f∈ C(R). On suppose que tout y∈Radmet au plus 2 ant´ec´edents par f. Montrer qu’il existe un r´eel
qui admet un unique ant´ec´edent par f.
Continuit´e uniforme
25 D´emontrer l’uniforme continuit´e de :
a) f1: [−1,1] →R
x7→ arcsin(x)b) f2:R+→R
x7→ 3
√x
26 ♥FF Montrer que f(x) = sin(x2) n’est pas uniform´ement continue sur R.
27 FFF Soit f:R→Runiform´ement continue, montrer qu’il existe (A, B)∈R2tels que ∀x∈R,|f(x)| ≤ A|x|+B.
28 FFF Soit a∈R. On consid`ere f∈ C([a, +∞[) telle que lim
x→+∞f(x) = l∈R. Montrer que fest uniform´ement
continue sur [a, +∞[.
Fonctions lipschitziennes
29 Montrer que la fonction sinus est 1-lipschitzienne.
30 ♥Soit f∈ F(R,R)k-lipschitzienne avec k∈[0,1[ et f(0) = 0. Soit a∈Ret (un) la suite d´efinie par r´ecurrence par
u0=a
un+1 =f(un). Montrer que lim
n→+∞un= 0.
31 FF Soient (f, g)∈ C([0,1])2. On pose φ:t7→ sup
x∈[0,1]
(f(x) + tg(x)). Montrer que φest bien d´efinie sur Ret qu’elle y
est lipschitzienne.
2 Chapitre 12