séries numériques

séries numériques
1. Déterminer la nature des séries de terme général un égal à :
(a) (1 + 1/n)n − e
(b) 2 ln(n3 + 1) − 3 ln(n2 + 1)
√
√
(c) (1 + 1/ 3 n)− n
p
√
(d) 1 + (−1)n / n − 1
√
(e) (−1)n / n2 + n
√
(f) (−1)n /( n + (−1)n )
(g) (ch(n))α − (sh(n))α pour α ∈ R.
(h) n1/n − 1
(i) (ln(n))− ln(n)
(j) arccos((n3 + 1)/(n3 + 2))
(k) 1/n si n est un carré et 1/n2 sinon.
2. Séries de Bertrand.
Soit (a, b) ∈ R2 . Montrer que la série de terme général
(a = 1) ∧ (b > 1).
n
3. (a) Soit la série de terme général un = √ (−1)
α
n +(−1)n
1
b
na ln n
est convergente ssi a > 1 ou
avec α ∈ R∗+ .
i. Montrer que
un ∼
1
1
(−1)n
− 3α/2 + o( 3α/2 )
α/2
n
2n
n
ii. En déduire que la série de terme général un est convergente si et seulement si α > 2/3.
(b) Soit a ∈ R∗+ . Déterminer la nature de la série de terme général
un = ln(1 +
1
(−1)n
+ 2a )
a
n
2n
4. Calcul de somme.
Montrer la convergence des séries suivantes et calculer leur somme :
P+∞ 1
(a)
k=2 k2 −1 = 3/4
P+∞
1
(b)
k=1 k(k+1)(k+2) = 1/4
P+∞
2
(c)
k=2 ln((1 − 1/k ) = − ln(2)
P+∞
k
(d)
k=0 ln(cos(α/2 ) = ln(sin(2α)/2α)
1
5. Nature de la série de terme général Pn (ln(k))
2.
k=1
Pn
P
+∞
α
α
6. Soit α > 1, Sn =
k=1 1/k et Rn =
k=n+1 1/k . Déterminer un équivalent de Rn . En
déduire la nature de la série de terme général Rn /Sn .
7. Soit un > 0 le terme général d’une série convergente. Montrer que les séries de terme général
√
un /(1 + un ), u2n et un /n sont convergentes.
8. Utilisation du groupement de termes.
1/5
(a) Soit A l’ensemble des entiers strictement positifs n’ayant aucun 9 dans leur écriture décimale. On indice A de manière croissante en posant A = (kn )n∈N . On veut déterminer la
nature de la série de terme général 1/kn .
i. Soit le paquet Ap des nombres de A ayant p chiffres dans leur écriture décimale.
Montrer que
X
1/k ≤ 8(9/10)p−1
k∈Ap
ii. En déduire que les sommes partielles de la série étudiée sont majorées puis que la
série est convergente.
(b) Soit α ∈ R. On veut déterminer la nature de la série de terme général
(−1)E(
nα
√
n)
i. Montrer que la série est absolument convergente si α > 1 et grossièrement divergente
si α ≤ 0.
On suppose dorénavant α ∈]0, 1]. on note
p2 +2p
Sp =
X 1
nα
2
n=p
ii. Montrer que
Sp ∼
2
p2α−1
En déduire la divergence de la série si α ≤ 1/2.
iii. Montrer que
Sp =
2
p2α−1
+ O(
1
)
p2α
En déduire la convergence de la série si α > 1/2.
9. Soit un > 0. On suppose que un+1 /un = 1 − α/n + O(1/n2 ). On pose alors bn = ln(nα un ) et
an = bn+1 − bn . Montrer que an = O(1/n2 ). En déduire que la suite bn est convergente puis
qu’il existe c > 0 tel que un ∼ c/nα .
On remarquera l’utilisation de la série télescopique des logarithmes pour l’étude d’une suite
pour laquelle on possède des informations sur le rapport des termes consécutifs.
P
10. Soit n≥1 un une série divergente à termes positifs. Que dire de la nature des séries :
P
(a)
n≥1 un /(1 + un )
P
(b)
n≥1 un /(1 + nun )
P
α
(c)
n≥1 un /(1 + n un ) avec α > 1
P
2
(d)
n≥1 un /(1 + un )
2
Pour (b) et (d), on montrera que la série peut-être divergente ou convergente en donnant un
exemple pour chaque cas. Pour un exemple de convergence, on utilisera des séries lacunaires de
la forme un = 0 si n 6= 2p et u2p = qqchose. Pour (a), montrer en différenciant les cas un → 0
et un 9 0 que la série est toujours divergente.
11. Produits infinis.
Soit un 6= −1. On suppose que Q
un > −1 à partir d’un certain rang, pour
Q pouvoir définir
ln(1 + un ). On dit que le produit n∈N (1 + un ) est convergent si la suite nk=0 (1 + uk ) admet
Q
(1 + uk ).
une limite finie non nulle notée +∞
Q k=0
P
(a) Montrer que le produit n∈N (1 + un ) est convergent ssi la série n∈N ln(1 + un ) converge.
Montrer que dans ce cas un → 0.
2
(b) Q
On suppose que la série de terme général
P un est convergente. Montrer que le produit
n∈N (1 + un ) est convergent ssi la série
n∈N un converge.
(c) On supposeQque la série de terme général un est absolument convergente. Montrer qu’alors
le produit n∈N (1 + un ) est convergent.
Q
(d) P
On suppose que un ≥ 0. Montrer que le produit n∈N (1 + un ) est convergent ssi la série
n∈N un converge.
Q
√
(e) Etudier la nature du produit n≥1 (1 + (−1)n / n).
12. Exemples d’utilisation du groupement de termes.
(a) Cas des sommes partielles.
√
P
Soit Sn = nk=1 (−1)k+1 k.
i. Montrer que
p
p
−1
up = 2p − 1 − 2p ∼ √
2 2p1/2
P
ii. Montrer que S2n = np=1 up . En déduire que
r
n
S2n ∼ −
2
iii. En déduire
√
Sn ∼ (−1)n+1 n/2
La technique proposée consiste à grouper les termes de la somme par paquets de deux
termes consécutifs. Cela est utile car les paquets sont à signe constant. Un DA des
paquets permet alors de conclure.
(b) Cas des restes.
Soit (un ) une suite décroissante de réels tendant vers 0 telle que
un − un+1 ∼ un+1 − un+2
On rappelle que
Rn−1 =
+∞
X
k=n
3
(−1)k uk
i. Montrer que Rn ∼ −Rn−1 .
ii. En déduire Rn−1 ∼ (−1)n un /2.
iii. Application : déterminer un équivalent en +∞ de
+∞
X
(−1)k
k=n+1
lnk
k
13. Méthode de Césaro.
On rappelle le lemme de Césaro :
P
Si un → l et vn = ( nk=1 uk )/n, alors vn → l.
Soit f : [0, a] → [0, a], continue, admettant en 0 le DA f (x) = x − λxα + o(xα ) avec λ > 0 et
α > 1. On suppose 0 < f (x) < x pour x ∈]0, a]. On définit une suite un en posant u0 ∈]0, a] et
un+1 = f (un ).
(a) Montrer que un → 0.
(b) Déterminer l’unique β ∈ R tel que uβn+1 − uβn → l ∈ R∗ .
On trouve β = 1 − α.
(c) En utilisant le lemme de Césaro, montrer que
un ∼
1
((α − 1)λn)1/(α−1)
En déduire la nature de la série de terme général un .
(d) Application : étudier le cas u0 ∈]0, 1] et f : x → sin(x).
La technique est particulièrement adaptée pour l’étude des suites définies par une relation
de récurrence avec fonction tangente à la première bissectrice. Elle peut cependant se
généraliser.
14. Transformation d’Abel.
(a) Soit (an ) et (bn ) deux suites numériques. On note An =
q
X
ak bk = Aq bq − Ap−1 bp +
k=p
q−1
X
Pn
p=0
ap . Montrer l’égalité :
Ak (bk − bk+1 ).
k=p
On remarquera l’analogie avec une intégration par partie pour des fonctions.
(b) Montrer, en utilisant le critère de Cauchy que si An est bornée et bn est positive, décroissante, tendant vers 0 alors la série de terme général an bn est convergente.
P
P
P
(c) En déduire la nature des séries n≥1 cos(nθ)/nα , n≥1 sin(nθ)/nα et n≥1 cos2 (nθ)/nα
avec (α, θ) ∈ R∗+ × R.
La transformation d’Abel est particulièrement adaptée à l’étude des séries trigonométriques, i.e. celles de la forme du (c).
4
15. Un exemple de comparaison série-intégrale avec une fonction à signe variable.
√
Pour x > 0 on pose
√ f (x) = cos( x)/x. On souhaite déterminer la nature de la série de terme
général un = cos( n)/n.
(a) RMontrer, en effectuant le changement de variable x = u2 , que pour a > 0, l’intégrale
+∞
f (x)dx est convergente.
a
Rn
(b) On pose vn = f (n) − n−1 f (x)dx. Montrer que vn = O(n−3/2 ). En déduire que la série de
terme général vn est convergente.
(c) En déduire que la série de terme général un est convergente.
16. On définit la suite de réels (un ) par u0 ∈ R et un+1 = (un + u2n )/2.
(a) Montrer que un tend vers 0 si et seulement si u0 ∈] − 2, 1[.
(b) Montrer que si u0 ∈] − 2, 1[, alors il existe k ∈ [0, 1[ tel que un = O(k n ) (k dépend de u0 ).
En déduire que la série de terme général un est convergente.
On suppose dorénavant 0 < u0 < 1. On note vn = 2n un .
(c) Montrer que
ln(vn+1 ) − ln(vn ) = ln(1 + un )
En déduire que 2n un tend vers une limite l 6= 0.
(d) Montrer que
ln(l) − ln(vn ) ∼
l
2n−1
(e) En déduire
l
l2
1
+
+
o(
)
2n 22n−1
22n
17. Soit (pn )n≥1 la suite croissante des nombres premiers.
Q
(a) Soit α > 1. Montrer que le produit n≥1 (1 − p1α ) est convergent.
un =
n
(b) Montrer que pour N ≥ 1
pN
X
1
1
≤ QN
α
k
n=1 (1 −
k=1
+∞
X
1
≤
1
kα
)
pα
k=1
n
(c) En déduire l’égalité
+∞
X
1
1
ζ(α) =
= Q+∞
α
k
n=1 (1 −
k=1
1
)
pα
n
ζ est la fonction Zeta de Riemann.
(d) Montrer, en s’inspirant de la question (b) que la série
P
n
1/pn est divergente.
18. Un exemple de produit de séries non absolument convergentes.
P
Soit an = bn = (−1)n /(n + 1)1/3 et cn = np=0 ap bn−p . Montrer que la série de terme général an
est convergente et que celle de terme général cn est divergente.
On montrera que cn est non bornée.
5