séries numériques

séries numériques
1. Déterminer la nature des séries de terme général unégal à :
(a) (1 + 1/n)n−e
(b) 2 ln(n3+ 1) −3 ln(n2+ 1)
(c) (1 + 1/3
√n)−√n
(d) p1+(−1)n/√n−1
(e) (−1)n/√n2+n
(f) (−1)n/(√n+ (−1)n)
(g) (ch(n))α−(sh(n))αpour α∈R.
(h) n1/n −1
(i) (ln(n))−ln(n)
(j) arccos((n3+ 1)/(n3+ 2))
(k) 1/n si nest un carré et 1/n2sinon.
2. Séries de Bertrand.
Soit (a, b)∈R2. Montrer que la série de terme général 1
nalnbnest convergente ssi a > 1ou
(a= 1) ∧(b > 1).
3. (a) Soit la série de terme général un=(−1)n
√nα+(−1)navec α∈R∗
+.
i. Montrer que
un∼(−1)n
nα/2−1 2n3α/2+o(1 n3α/2)
ii. En déduire que la série de terme général unest convergente si et seulement si α > 2/3.
(b) Soit a∈R∗
+. Déterminer la nature de la série de terme général
un= ln(1 + (−1)n
na+1 2n2a)
4. Calcul de somme.
Montrer la convergence des séries suivantes et calculer leur somme :
(a) P+∞
k=2
1
k2−1= 3/4
(b) P+∞
k=1
1
k(k+1)(k+2) = 1/4
(c) P+∞
k=2 ln((1 −1/k2) = −ln(2)
(d) P+∞
k=0 ln(cos(α/2k) = ln(sin(2α)/2α)
5. Nature de la série de terme général 1
Pn
k=1(ln(k))2.
6. Soit α > 1,Sn=Pn
k=1 1/kαet Rn=P+∞ k=n+1 1/kα. Déterminer un équivalent de Rn. En
déduire la nature de la série de terme général Rn/Sn.
7. Soit un>0le terme général d’une série convergente. Montrer que les séries de terme général
un/(1 + un),u2
net √un/n sont convergentes.
8. Utilisation du groupement de termes.
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(a) Soit Al’ensemble des entiers strictement positifs n’ayant aucun 9dans leur écriture déci-
male. On indice Ade manière croissante en posant A= (kn)n∈N. On veut déterminer la
nature de la série de terme général 1/kn.
i. Soit le paquet Apdes nombres de Aayant pchiffres dans leur écriture décimale.
Montrer que
X
k∈Ap
1/k ≤8(9/10)p−1
ii. En déduire que les sommes partielles de la série étudiée sont majorées puis que la
série est convergente.
(b) Soit α∈R. On veut déterminer la nature de la série de terme général
(−1)E(√n)
nα
i. Montrer que la série est absolument convergente si α > 1et grossièrement divergente
si α≤0.
On suppose dorénavant α∈]0,1]. on note
Sp=
p2+2p
X
n=p2
1
nα
ii. Montrer que
Sp∼2
p2α−1
En déduire la divergence de la série si α≤1/2.
iii. Montrer que
Sp=2
p2α−1+O(1 p2α)
En déduire la convergence de la série si α > 1/2.
9. Soit un>0. On suppose que un+1/un= 1 −α/n +O(1/n2). On pose alors bn= ln(nαun)et
an=bn+1 −bn. Montrer que an=O(1/n2). En déduire que la suite bnest convergente puis
qu’il existe c > 0tel que un∼c/nα.
On remarquera l’utilisation de la série télescopique des logarithmes pour l’étude d’une suite
pour laquelle on possède des informations sur le rapport des termes consécutifs.
10. Soit Pn≥1unune série divergente à termes positifs. Que dire de la nature des séries :
(a) Pn≥1un/(1 + un)
(b) Pn≥1un/(1 + nun)
(c) Pn≥1un/(1 + nαun)avec α > 1
(d) Pn≥1un/(1 + un2)
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Pour (b) et (d), on montrera que la série peut-être divergente ou convergente en donnant un
exemple pour chaque cas. Pour un exemple de convergence, on utilisera des séries lacunaires de
la forme un= 0 si n6= 2pet u2p=qqchose. Pour (a), montrer en différenciant les cas un→0
et un90que la série est toujours divergente.
11. Produits infinis.
Soit un6=−1. On suppose que un>−1à partir d’un certain rang, pour pouvoir définir
ln(1 + un). On dit que le produit Qn∈N(1 + un)est convergent si la suite Qn
k=0(1 + uk)admet
une limite finie non nulle notée Q+∞
k=0(1 + uk).
(a) Montrer que le produit Qn∈N(1 + un)est convergent ssi la série Pn∈Nln(1 + un)converge.
Montrer que dans ce cas un→0.
(b) On suppose que la série de terme général u2
nest convergente. Montrer que le produit
Qn∈N(1 + un)est convergent ssi la série Pn∈Nunconverge.
(c) On suppose que la série de terme général unest absolument convergente. Montrer qu’alors
le produit Qn∈N(1 + un)est convergent.
(d) On suppose que un≥0. Montrer que le produit Qn∈N(1 + un)est convergent ssi la série
Pn∈Nunconverge.
(e) Etudier la nature du produit Qn≥1(1 + (−1)n/√n).
12. Exemples d’utilisation du groupement de termes.
(a) Cas des sommes partielles.
Soit Sn=Pn
k=1(−1)k+1√k.
i. Montrer que
up=p2p−1−p2p∼−1
2√2p1/2
ii. Montrer que S2n=Pn
p=1 up. En déduire que
S2n∼ −rn
2
iii. En déduire
Sn∼(−1)n+1√n/2
La technique proposée consiste à grouper les termes de la somme par paquets de deux
termes consécutifs. Cela est utile car les paquets sont à signe constant. Un DA des
paquets permet alors de conclure.
(b) Cas des restes.
Soit (un)une suite décroissante de réels tendant vers 0telle que
un−un+1 ∼un+1 −un+2
On rappelle que
Rn−1=
+∞
X
k=n
(−1)kuk
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i. Montrer que Rn∼ −Rn−1.
ii. En déduire Rn−1∼(−1)nun/2.
iii. Application : déterminer un équivalent en +∞de
+∞
X
k=n+1
(−1)klnk
k
13. Méthode de Césaro.
On rappelle le lemme de Césaro :
Si un→let vn= (Pn
k=1 uk)/n, alors vn→l.
Soit f: [0, a]→[0, a], continue, admettant en 0le DA f(x) = x−λxα+o(xα)avec λ > 0et
α > 1. On suppose 0< f(x)< x pour x∈]0, a]. On définit une suite unen posant u0∈]0, a]et
un+1 =f(un).
(a) Montrer que un→0.
(b) Déterminer l’unique β∈Rtel que uβ
n+1 −uβ
n→l∈R∗.
On trouve β= 1 −α.
(c) En utilisant le lemme de Césaro, montrer que
un∼1
((α−1)λn)1/(α−1)
En déduire la nature de la série de terme général un.
(d) Application : étudier le cas u0∈]0,1] et f:x→sin(x).
La technique est particulièrement adaptée pour l’étude des suites définies par une relation
de récurrence avec fonction tangente à la première bissectrice. Elle peut cependant se
généraliser.
14. Transformation d’Abel.
(a) Soit (an)et (bn)deux suites numériques. On note An=Pn
p=0 ap. Montrer l’égalité :
q
X
k=p
akbk=Aqbq−Ap−1bp+
q−1
X
k=p
Ak(bk−bk+1).
On remarquera l’analogie avec une intégration par partie pour des fonctions.
(b) Montrer, en utilisant le critère de Cauchy que si Anest bornée et bnest positive, décrois-
sante, tendant vers 0alors la série de terme général anbnest convergente.
(c) En déduire la nature des séries Pn≥1cos(nθ)/nα,Pn≥1sin(nθ)/nαet Pn≥1cos2(nθ)/nα
avec (α, θ)∈R∗
+×R.
La transformation d’Abel est particulièrement adaptée à l’étude des séries trigonomé-
triques, i.e. celles de la forme du (c).
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15. Un exemple de comparaison série-intégrale avec une fonction à signe variable.
Pour x > 0on pose f(x) = cos(√x)/x. On souhaite déterminer la nature de la série de terme
général un= cos(√n)/n.
(a) Montrer, en effectuant le changement de variable x=u2, que pour a > 0, l’intégrale
R+∞
af(x)dx est convergente.
(b) On pose vn=f(n)−Rn
n−1f(x)dx. Montrer que vn=O(n−3/2). En déduire que la série de
terme général vnest convergente.
(c) En déduire que la série de terme général unest convergente.
16. On définit la suite de réels (un)par u0∈Ret un+1 = (un+u2
n)/2.
(a) Montrer que untend vers 0si et seulement si u0∈]−2,1[.
(b) Montrer que si u0∈]−2,1[, alors il existe k∈[0,1[ tel que un=O(kn)(kdépend de u0).
En déduire que la série de terme général unest convergente.
On suppose dorénavant 0< u0<1. On note vn= 2nun.
(c) Montrer que
ln(vn+1)−ln(vn) = ln(1 + un)
En déduire que 2nuntend vers une limite l6= 0.
(d) Montrer que
ln(l)−ln(vn)∼l
2n−1
(e) En déduire
un=l
2n+l2 22n−1+o(1 22n)
17. Soit (pn)n≥1la suite croissante des nombres premiers.
(a) Soit α > 1. Montrer que le produit Qn≥1(1 −1
pα
n)est convergent.
(b) Montrer que pour N≥1
pN
X
k=1
1
kα≤1
QN
n=1(1 −1
pα
n)≤
+∞
X
k=1
1
kα
(c) En déduire l’égalité
ζ(α) =
+∞
X
k=1
1
kα=1
Q+∞
n=1(1 −1
pα
n)
ζest la fonction Zeta de Riemann.
(d) Montrer, en s’inspirant de la question (b) que la série Pn1/pnest divergente.
18. Un exemple de produit de séries non absolument convergentes.
Soit an=bn= (−1)n/(n+ 1)1/3et cn=Pn
p=0 apbn−p. Montrer que la série de terme général an
est convergente et que celle de terme général cnest divergente.
On montrera que cnest non bornée.
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