1.3 La conversion des unités

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1.3 La conversion des unités 3
3 560 000 000 m 3,56 109m (1.2)
et 0,000 000 492 s 4,92 107s. (1.3)
Sur les ordinateurs, la notation scientifique prend parfois une forme encore plus courte,
par exemple 3,56 E9 ou 4,92 E-7, où E signifie « exposant de 10 ». Certaines calculatrices
affichent une notation encore plus abrégée en remplaçant le E par un espace.
Pour simplifier les calculs lorsqu’on utilise de très grandes ou de très petites mesures,
on emploie les préfixes énumérés dans le tableau 1.2. Chaque préfixe représente une
puissance donnée de 10, sous forme de facteur. En reliant un de ces préfixes à une unité
du SI, on la multiplie par le facteur correspondant. Ainsi, on peut exprimer une puissance
électrique donnée par
1,27 109watts 1,27 gigawatts 1,27 GW (1.4)
ou un intervalle de temps donné par
2,35 109s 2,35 nanosecondes 2,35 ns. (1.5)
Certains de ces préfixes vous sont sûrement familiers, comme ceux qui apparaissent
dans « millimètre », « centimètre », « kilogramme » et « méga-octet ».
1.3 La conversion des unités
On doit souvent convertir les unités qui servent à exprimer une grandeur physique.
On peut procéder suivant une méthode de conversion en chaîne qui consiste à multiplier
la mesure initiale par un facteur de conversion (un rapport d’unités équivalent à l’unité
mathématique – le chiffre 1). Par exemple, comme 1 min et 60 s représentent le même
intervalle de temps, on peut écrire:
1 min
60 s =1et 60 s 1 min =1.
Par conséquent, les rapports (1 min)/(60 s) et (60 s)/(1 min) peuvent servir de facteurs
de conversion. Évidemment, ce n’est pas la même chose que d’écrire 1
60 1 et 60 1.
Chaque nombre et son unité doivent être traités ensemble.
Comme la multiplication d’une quantité par l’unité mathématique ne change rien
à cette quantité, on peut se servir des facteurs de conversion chaque fois qu’on en a
besoin. Dans la conversion en chaîne, on utilise ces facteurs pour éliminer des unités
non désirées. Par exemple, pour transformer 2 min en secondes, on écrit :
2 min =(2 min)(1)=(2 min)60 s
1 min=120 s.(1.6)
Si la façon dont vous employez un facteur de conversion ne vous permet pas d’éliminer
les unités non voulues, inversez ce facteur et essayez de nouveau. Dans les conversions,
les unités suivent les mêmes règles algébriques que les variables et les nombres.
TABLEAU 1.2 Les préfixes du SI
Facteur Préfixe*Symbole
1024 yotta- Y
1021 zetta- Z
1018 exa- E
1015 peta- P
1012 téra- T
109giga- G
106méga- M
103kilo- k
102hecto- h
101déca da
101déci- d
102centi- c
103milli- m
106micro-
µ
109nano- n
1012 pico- p
1015 femto- f
1018 atto- a
1021 zepto- z
1024 yocto- y
*Les préfixes les plus couramment utilisés
sont inscrits en caractères gras.
Exemple 1.1
Lorsque Pheidippides a couru de Marathon jusqu’à Athènes pour
annoncer la victoire des Grecs sur les Perses, en 490 avant J.-C., il se
déplaçait probablement à une vitesse d’environ 23,0 rides par heure
(rides/h). La ride est une ancienne unité grecque de longueur, comme
le stade et le plèthre. Par définition, une ride équivaut à 4 stades, alors
qu’un stade vaut 6 plèthres. En unités modernes, un plèthre correspond
à 30,8 m. À quelle vitesse Pheidippides courait-il en kilomètres
par seconde (km/s) ?
SOLUTION: Le concept clé dans les conversions en chaîne est d’écrire
les facteurs de conversion sous forme de rapports pour éliminer
les unités non désirées. On écrit donc :
23,0rides/h=23,0rides
h4 stades 1ride 6 plèthres 1 stade 
×30,8m
1 plèthre 1km 1000 m 1h 3 600 s
=4,7227 ×10−3km/s≈4,72 ×10−3km/s.(réponse)

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4Chapitre 1 Les mesures
1.4 La longueur
En 1792, la République française naissante a établi un nouveau système de poids et
de mesures. Son élément fondamental était le mètre, défini comme le dix millionième
de la distance entre le pôle Nord et l’équateur. Plus tard, pour des raisons pratiques, cet
étalon a été abandonné et on a défini le mètre comme étant la distance entre deux traits
fins gravés près des extrémités d’une barre faite d’un alliage de platine et d’iridium,
la barre étalon du mètre, conservée au Bureau international des poids et mesures, près
de Paris. On a alors distribué des reproductions exactes de cette barre à des laboratoires
de normalisation partout dans le monde. Ces étalons secondaires ont servi à fabriquer
d’autres étalons encore plus accessibles de sorte qu’en fin de compte, tous les instruments
de mesure tiraient leur légitimité de la barre du mètre étalon par une chaîne complexe
de comparaisons.
La science et la technologie modernes requéraient cependant un étalon plus précis
que la distance entre deux traits fins sur une barre de métal. Par conséquent, on a adopté
en 1960 un nouvel étalon pour le mètre basé sur la longueur d’onde de la lumière.
Plus précisément, le mètre a été redéfini comme étant 1 650 763,73 longueurs d’onde
de la lumière rouge-orangé émise par les atomes du krypton 86 (un isotope, ou type, de
krypton) dans un tube à décharge gazeuse. On a choisi ce nombre peu commode
de longueurs d’onde pour que le nouvel étalon soit très rapproché de l’ancien, celui
de la barre du mètre.
Toutefois, en 1983, le besoin d’une plus grande précision était devenu tel que même
l’étalon du krypton 86 ne pouvait le satisfaire. Cette année-là, on a donc redéfini
le mètre comme étant la distance franchie par la lumière dans un intervalle de temps
donné. La définition précise de la 17e Conférence générale des poids et mesures
s’énonce comme suit :
Exemple 1.2
Le cran est une unité de volume britannique qui sert à mesurer les
harengs fraîchement pêchés : 1 cran 170,474 litres () de poissons,
soit environ 750 harengs. Supposons que, pour passer les douanes
en Arabie saoudite, on doive déclarer une livraison de 1 255 crans
en covidos cubes. Le covido est une unité de longueur arabe :
1 covido 48,26 cm. Quelle quantité doit-on déclarer?
SOLUTION: 1 équivaut à 1000 cm3. Le concept clé qui peut servir ici est
le suivant : pour convertir des centimètres cubes en covidos cubes,
il faut élever au cube le rapport de conversion entre les centimètres
et les covidos. Par conséquent, on se sert de la conversion en chaîne
suivante :
1 255 crans
=(1 255 crans)170,474 
1cran 1 000 cm3 11covido 48,26 cm3
=1,903 ×103covidos3.
Résolution de problèmes
1re statégie: Les chiffres significatifs et les décimales
Si on calculait la réponse à l’exemple 1.1 sans que la calculatrice
arrondisse automatiquement le résultat, on obtiendrait
4,722 666 666 67 103. La précision de ce nombre n’a aucun sens.
On a arrondi la réponse à 4,72 103km/s pour ne pas donner
l’impression qu’elle est plus précise que les données fournies. En effet,
la vitesse de 23,0 rides/h contient trois chiffres, appelés chiffres
significatifs. Par conséquent, il faut arrondir la réponse à trois chiffres
significatifs. Dans ce manuel, nous arrondirons souvent les résultats
finaux des calculs pour qu’ils correspondent au plus petit nombre de
chiffres significatifs présents dans les données. (Cependant, il arrive
parfois qu’on conserve un chiffre supplémentaire.) Lorsque l’élément
le plus à gauche des chiffres à éliminer est égal ou supérieur à 5, le
dernier chiffre qui est conservé est arrondi à la hausse. Autrement,
il reste tel quel. Par exemple, si on arrondit 11,351 6 à trois chiffres
significatifs, on obtiendra 11,4. De même, si on arrondit 11,327 9 à
trois chiffres significatifs, on aura 11,3. (Les réponses des exemples de
ce manuel sont généralement précédées du symbole plutôt que du
symbole ≈, même lorsqu’elles sont arrondies.)
Lorsqu’on a un nombre comme 3,15 ou 3,15 103dans un
problème, on voit tout de suite combien il compte de chiffres significatifs.
Toutefois, que penser du nombre 3 000? Compte-t-il seulement un
chiffre significatif (peut-on l’écrire sous la forme 3 103?) ou, au
contraire, quatre chiffres significatifs (si on peut l’écrire sous la forme
3,000 103) ? Dans ce manuel, nous supposons qu’à l’intérieur de
nombres donnés comme 3 000, tous les zéros qui suivent un chiffre
non nul sont significatifs ; cependant, cette hypothèse ne s’applique
pas nécessairement ailleurs.
Il ne faut pas confondre «chiffres significatifs » et « décimales ».
Considérons les longueurs suivantes: 35,6 mm ; 3,56 m et 0,003 56 m.
Chacune d’elles compte trois chiffres significatifs mais elles ont
respectivement une, deux et cinq décimales. (Remarquez que les
zéros qui précèdent le premier chiffre significatif nous indiquent
seulement l’ordre de grandeur.)
(réponse)

Exercices et problèmes 9
5E. La Terre a une forme presque sphérique d’un rayon de 6,37 106m.
Quelle est la valeur a) de sa circonférence en kilomètres, b) de son
aire en kilomètres carrés et c) de son volume en kilomètres cubes?
6E. D’après un vieux manuscrit, un propriétaire de l’époque du roi
Arthur possédait 3,00 acres de terre cultivée et une terre destinée au
bétail de 25,0 perches sur 4,00 perches. Quelle aire totale possédait-il
si on l’exprime à l’aide a) de l’ancienne unité appelée quart d’arpent
et b) de l’unité moderne qu’est le mètre carré ? Dans ce cas, 1 acre
a une aire de 40 perches sur 4 perches, 1 quart d’arpent correspond
à 40 perches sur 1 perche et 1 perche vaut 16,5 pieds.
(1 mètre 3,281 pieds)
7P. L’Antarctique a une forme
presque semi-circulaire de rayon
de 2 000 km (figure 1.5). Sa calotte
de glace a une épaisseur moyenne
de 3 000 m. Combien l’Antarctique
contient-il de centimètres cubes
de glace ? (Ne tenez pas compte de la sphéricité de la Terre.)
8P. Certaines maisons de poupées sont construites à une échelle
de 1 : 12 par rapport aux vraies maisons. (Autrement dit, chaque
longueur d’une maison de poupées correspond à 1
12 d’une longueur
d’une vraie maison.) Le rapport entre une maison miniature (une maison
de poupées qui entre dans la maison de poupées) et une vraie maison
est de 1 : 144. Supposez qu’une vraie maison (figure 1.6) a une façade
d’une longueur de 20 m, une profondeur de 12 m et une hauteur de
6,0 m. Son toit en pente standard (avec des aires triangulaires verti-
cales aux deux extrémités) a une hauteur de 3,0 m. Quels
sont, en mètres cubes, les volumes a) de la maison de poupées et
b) de la maison miniature correspondantes?
Figure 1.6 Problème 8
9P. Aux États-Unis, les ingénieurs en hydraulique utilisent encore
l’« acre-pied » comme unité de mesure des volumes d’eau. Cette unité
est définie comme le volume d’eau pouvant couvrir une acre de terrain
sur une hauteur d’un pied. Un gros orage a déversé 2,00 pouces
de pluie en 30,0 minutes sur une ville d’une superficie de 26,0 km2.
Quel volume d’eau, en acres-pieds, est tombé sur cette ville ?
(1 acre 43 560 pieds carrés; 1 pied 12 pouces ; 1 mètre 3,281
pieds)
SECTION 1.5 Le temps
10E. Le physicien Enrico Fermi a déjà fait remarquer que la durée
habituelle d’un cours (50 min) se rapproche de 1 microsiècle.
a) Combien de temps dure un microsiècle en minutes ? b) À l’aide
de l’équation suivante :
pourcentage d’écart nombre exact −approximation
nombre exact 100,
www
déterminez la différence, en pourcentage, entre votre résultat en
a) et l’approximation de Fermi.
11E. Exprimez la vitesse de la lumière, 3,00 108m/s, a) en pieds par
nanoseconde et b) en millimètres par picoseconde. (1 mètre 3,281 pieds)
12E. En microphysique, on utilise parfois une unité de temps appelée
le shake. Un shake équivaut à 108s. a) Y a-t-il plus de shakes dans
une seconde que de secondes dans une année ? b) Les êtres humains
sont apparus il y a environ 106années, alors que l’univers compte à peu
près 1010 années d’existence. Si l’âge actuel de l’univers représente 1
« jour-univers», depuis combien de «secondes-univers » les humains
existent-ils ?
13P. On vérifie l’exactitude de cinq horloges en laboratoire. Quotidien-
nement, pendant une semaine, à midi juste au signal horaire de
la WWV, on a inscrit l’heure de chaque horloge dans le tableau
ci-dessous. Ordonnez les cinq horloges d’après leur exactitude relative,
de la meilleure à la pire. Justifiez votre choix.
Horloge DIM LUN MAR MER JEU VEN SAM
A 12:36:40 12:36 :56 12:37:12 12 :37:27 12:37:44 12:37:59 12:38:14
B 11 :59:59 12:00 :02 11:59:57 12 :00:07 12:00:02 11:59:56 12:00:03
C 15 :50:45 15 :51 :43 15:52:41 15:53:39 15:54:37 15:55:35 15:56:33
D 12:03:59 12:02:52 12:01:45 12:00:38 11:59:31 11:58:24 11:57:17
E 12:03:59 12:02:49 12:01:54 12:01:52 12:01:32 12:01:22 12:01:12
14P. Trois horloges à affichage numérique, A, B et C, fonctionnent
à des rythmes différents et n’atteignent pas zéro en même temps.
La figure 1.7 donne des lectures simultanées de paires d’horloges
en quatre occasions. (À la première occasion, par exemple, Bindique
25,0 s et C, 92,0 s.) S’il y a un intervalle de 600 s entre deux
événements sur l’horloge A, quel intervalle de temps les sépare sur
a) l’horloge Bet b) l’horloge C? c) Lorsque l’horloge Aindique
400 s, qu’indique l’horloge B? d) Lorsque l’horloge Cindique 15,0 s,
qu’indique l’horloge B? (Supposez que les instants avant zéro ont
des valeurs négatives.)
Figure 1.7 Problème 14
15P. Une unité astronomique (UA) correspond à la distance moyenne
de la Terre au Soleil, soit approximativement 1,50 108km.
La vitesse de la lumière est d’environ 3,00 108m/s. Exprimez
la vitesse de la lumière en unités astronomiques par minute.
16P. Jusqu’en 1883, chaque grande ou petite ville américaine avait
son heure locale. De nos jours, les voyageurs remettent leur montre
à l’heure uniquement lorsque le décalage horaire est d’une heure
complète (1,0 h). En moyenne, combien de degrés de longitude
doit-on franchir avant de remettre sa montre à l’heure ? (Indice: la Terre
accomplit une rotation de 360° en approximativement 24 h.)
17P. En supposant que la longueur des jours augmente de façon régulière
de 0,001 00 s par siècle, calculez l’effet cumulatif de cette augmentation
sur la mesure du temps en 20 siècles. (Le ralentissement de la rotation
de la Terre a été constaté grâce à des observations d’éclipses solaires
pendant cette période.)
18P. Les étalons de temps sont maintenant basés sur des horloges
atomiques. Un deuxième étalon très prometteur est basé sur les pulsars,
des étoiles à neutrons en rotation. (Il s’agit, en fait, d’étoiles très
compactes, entièrement constituées de neutrons.) Certaines de ces
www
Physique 1 © Les Éditions de la Chenelière inc.
3 000 m
2 000 km
Figure 1.5 Problème 7
6,0 m
12 m
20 m
3,0 m
A (s)
B (s)
C (s)
312 512
29020012525,0
92,0 142

Physique 1 © Les Éditions de la Chenelière inc.
34 Chapitre 3 Le mouvement rectiligne
VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 3: Les équations suivantes donnent la position x(t) d’une par-
ticule pour quatre situations. (Dans chaque équation, xest exprimé en mètres et t, en secondes.
De plus, t> 0.) 1) x3t 2 ; 2) x4t2 2 ; 3) x2/t2; et 4) x2. a) Dans laquelle
ou lesquelles de ces situations la vitesse vxde la particule est-elle constante ? b) Dans laquelle
ou lesquelles de ces situations vxest-il, pour tout temps t, négatif ?
3.5 L’accélération
Lorsque la vitesse d’une particule varie, on dit que cette particule est soumise à une
accélération ou qu’elle accélère. Dans le cas d’un mouvement s’effectuant le long de
l’axe des x, la composante xde l’accélération moyenne, amoy, x,pendant un intervalle
de temps test définie par :
amoy,x=vfx−vix
tf−ti=vx t,(3.7)
où la particule a une vitesse initiale vixau temps tiet une vitesse finale vfxau temps tf.
L’accélération instantanée ax(ou, simplement, l’accélération) est obtenue à partir
de l’accélération moyenne amoy, xen réduisant l’intervalle de temps tpour le rapprocher
de plus en plus de zéro. À mesure que tdiminue, l’accélération moyenne tend vers
une valeur limite qui correspond à l’accélération à l’instant choisi. L’accélération axest
donc la dérivée de la vitesse par rapport au temps.
ax=lim
t→0
vx
t=dvx dt .(3.8)
Autrement dit, l’accélération d’une particule à n’importe quel instant correspond au taux
de variation de sa vitesse à l’instant choisi. Graphiquement, l’accélération à n’importe
quel temps est égale à la pente de la tangente à la courbe de vx(t) au temps choisi.
On peut combiner l’équation 3.8 et l’équation 3.4 pour obtenir ce qui suit :
ax=dvx
dt =d dt dx dt=d2x dt2.(3.9)
Sous forme verbale, la fonction accélération ax(t) d’une particule est la dérivée seconde
de sa fonction position x(t) par rapport au temps.
Le mètre par seconde par seconde, m/(s •s) ou m/s2, est l’unité courante de
l’accélération. D’autres unités apparaîtront dans les problèmes, mais elles auront toujours
la forme « longueur/(temps •temps) » ou « longueur/temps2». L’accélération possède
un module et une direction (elle est donc une autre quantité vectorielle). Son signe
algébrique indique sa direction par rapport à l’axe, exactement comme pour le déplacement
et la vitesse. Autrement dit, l’accélération qui a une valeur positive est orientée dans la direc-
tion positive d’un axe, et une accélération négative est orientée dans sa direction négative.
La figure 3.6 c) présente le graphique de l’accélération de l’ascenseur dont il a été
question dans l’exemple 3.2. En comparant cette courbe ax(t) à la courbe v
x(t), on constate
que chaque point de la courbe ax(t) est la dérivée (la pente de la tangente) de la courbe
vx(t) au temps correspondant. Lorsque vxest constant (soit à 0 et à 4 m/s), la dérivée
est nulle et, par conséquent, l’accélération aussi. Lorsque l’ascenseur commence à
se déplacer, la courbe v
x(t) a une dérivée positive (la pente de la tangente est positive),
ce qui signifie que ax(t) est positif. Lorsqu’il ralentit avant de s’arrêter, la dérivée et
la pente de la tangente de la courbe vx(t) sont négatives, et ax(t) est négatif.
On peut maintenant comparer les pentes de la courbe v
x(t) au cours des deux périodes
d’accélération non nulle. La pente associée à la portion de la courbe où l’ascenseur ralentit
(un mouvement couramment appelé « décélération ») est plus forte, en valeur absolue,
parce que l’ascenseur s’arrête en moitié moins de temps qu’il met à atteindre sa vitesse
maximale lors du début du mouvement. La forte pente, en valeur absolue, indique
que le module de la décélération est supérieur à celui de l’accélération, comme le
montre la figure 3.6 c).
Les sensations qu’on éprouverait dans l’ascenseur de la figure 3.6 sont indiquées
par les bonshommes dessinés au bas des graphiques. Lorsque la vitesse de l’ascenseur
augmente (phase d’accélération), le passager a l’impression de subir une pression vers le bas.
Un peu plus tard, lorsque l’ascenseur ralentit pour s’immobiliser (phase de décélération),
✔

Physique 1 © Les Éditions de la Chenelière inc.
36 Chapitre 3 Le mouvement rectiligne
3.6 Le mouvement rectiligne
uniformément accéléré
Dans certains types de mouvements, l’accélération est soit constante, soit presque con-
stante ; on dit que l’objet est uniformément accéléré. Par exemple, la vitesse d’une
voiture peut augmenter à un taux presque constant lorsqu’un feu de circulation tourne
du rouge au vert. Les graphiques de sa position, de sa vitesse et de son accélération en
fonction du temps ressembleraient alors à ceux de la figure 3.8. (Remarquez que, à la
figure 3.8 c], ax(t) est constant, de sorte que la courbe vx(t) possède une pente constante à la
figure 3.8 b].) Plus loin, lorsque le conducteur applique les freins jusqu’à ce que la voiture
s’immobilise, la décélération pourrait aussi être presque constante.
De tels cas sont si fréquents qu’on a spécialement dérivé un ensemble d’équations
pour les décrire, soit les équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré.
Vous trouverez une méthode pour dériver ces équations dans la présente section, et
une autre à la section suivante. Tout au long de ces sections, et plus tard, lorsque
vous travaillerez sur les problèmes, rappelez-vous que ces équations sont valables
uniquement dans le cas d’une accélération constante (ou dans des situations où on peut
estimer que l’accélération est presque constante).
Lorsque l’accélération est constante, l’accélération moyenne et l’accélération
instantanée sont égales. On peut alors écrire l’équation 3.7, en apportant quelques
changements à la notation, sous la forme suivante:
ax=amoy,x=vx−v0x
t−0.
dont les solutions sont :
t3 s. (réponse)
Par conséquent, la vitesse est nulle 3 s avant et 3 s après que t0.
c) Décrivez le mouvement de la particule lorsque t0.
SOLUTION: Le concept clé qui s’applique ici est le suivant : il s’agit
d’examiner les expressions de x(t), vx(t) et ax(t).
À t0, la particule se situe au point x(0) 4 m et se déplace
à une vitesse de vx(0) 27 m/s, soit dans la direction négative
de l’axe des x. Son accélération est ax(0) 0 ; donc, à cet instant
précis, la vitesse de la particule ne varie pas.
Lorsque 0 t3 s, la particule a encore une vitesse négative,
de sorte qu’elle continue à se déplacer dans la direction négative de l’axe
des x. Toutefois, son accélération n’est plus nulle. Elle est croissante
et positive. Comme les signes de la vitesse et de l’accélération sont
opposés, la particule ralentit.
En fait, on sait déjà qu’elle s’immobilise momentanément à
t3 s. À cet instant, la particule se trouve au point le plus éloigné
qu’elle puisse atteindre vers les xnégatifs. Si on remplace tpar 3 s
dans l’expression de x(t),on constate que la position de la particule à
cet instant-là est x50 m. Son accélération est toujours positive.
Lorsque t3 s, la particule se déplace dans la direction positive
de l’axe. Son accélération reste positive et le module de cette
accélération s’accroît progressivement. La vitesse est maintenant
positive et son module s’accroît lui aussi peu à peu.
La position d’une particule se déplaçant le long de l’axe des xest
donnée par
x4 27tt3,
où xest exprimé en mètres et t, en secondes.
a) Déterminez la fonction vitesse vx(t) et la fonction accélération ax(t)
de cette particule.
SOLUTION: Un premier concept clé qui s’applique ici est le suivant :
pour obtenir la fonction vitesse vx(t), il suffit de prendre la dérivée
de la fonction position x(t) par rapport au temps. Dans le cas présent,
on détermine que :
vx27 3t2, (réponse)
où vxest exprimé en mètres par seconde.
On applique un second concept clé pour obtenir la fonction
accélération, ax(t) ; il suffit de prendre la dérivée de la fonction vitesse
vx(t) par rapport au temps.
On obtient ainsi :
ax6t, (réponse)
où axest exprimé en mètres par seconde au carré.
b) Y a-t-il un ou des instant(s) où vx0?
SOLUTION: Si on pose que vx(t) 0, on obtient l’équation suivante :
0 27 3t2,
Exemple 3.4
✔VÉRIFIEZ VOS CONNAISSANCES 4: Un train se déplace le long de l’axe des x. Quel est
le signe de son accélération s’il se déplace a) dans la direction des xpositifs avec un module
de vitesse croissant, b) dans la direction des xpositifs avec un module de vitesse décroissant,
c) dans la direction des xnégatifs avec un module de vitesse croissant et d) dans la direction
des xnégatifs avec un module de vitesse décroissant ?