Calcul littéral et équations

Maths 4e!
prgm 2007
Calcul littéral et équations
1. Calcul littéral
Distributivité (rappel) : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
Attention : Avant une lettre, une parenthèse ou un symbole, on supprime le signe
de la multiplication.
Exemples : • 2(3x + 7) = 6x + 14 ; • x(4 − 3x) = 4x − 3x2 ;
• 2x + 5(x − 4) − 6
x
2
= 2x + 5x − 20 − 3x = 4x − 20 .
Définitions :
- Quand on utilise la distributivité pour supprimer les parenthèses d’une expression on
dit que l’on développe cette expression.
- Inversement, lorsque l’on utilise la distributivité dans l’autre sens on dit que l’on
factorise l’expression.
- Réduire une expression c’est calculer au maximum cette expression (ou des parties).
Exemples : développer et réduire les expressions suivantes :
• A = 4x + 3(x + 2) − 7 = 4x + 3x + 6 − 7 = 7x − 1
• B = 4(3x − 5) + 2x(x + 7) = 12x − 20 + 2x2 + 14x = 2x2 + 26x − 20
Factoriser : pour factoriser il faut chercher un facteur commun
• C = 3x2 − 12x = 3x(x − 4) (ici 3x est le facteur commun)
• D = 4x2 + 12x − 8(x2 − 3x) = 4x(x + 3 − 2(x − 3)) = 4x(x + 3 − 2x + 6) = 4x(9 − x)
• E = 2x(3x − 4) + (3x − 4)(x + 5) = (3x − 4) ⎡2x + (x + 5) ⎤ = (3x − 4)(3x + 5)
⎣
⎦
• F = (x − 3)(4x + 1) − (x − 3)2 = (x − 3) ⎡ (4x + 1) − (x − 3) ⎤ = (x − 3)(3x + 4)
⎣
⎦
2. Double distributivité
Théorème : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemple : G = (x + 3)(2x + 5) = 2x2 + 5X + 6x + 15 = 2x2 + 11x + 15 ;
H = (3x − 2)(x + 4) = 3x2 + 12X − 2x − 8 = 3x2 + 10x − 8 ;
I = (x + 7)(3x − 2) = 3x2 − 2x + 21x − 14 = 3x2 + 19x − 14 ;
J = (5 − 2x)(4x − 3) = 20x − 15 − 8x2 + 6x = −8x2 + 26x − 15 ;
F.Bonomi!
1/2
Maths 4e!
prgm 2007
K = (3 − x)(−2x − 5) = −6x − 15 + 2x2 + 5x = 2x2 − x − 15 ;
L = (2x + 5)2 = (2x + 5)(2x + 5) = 4x2 + 10x + 10x + 25 = 4x2 + 20x + 25 ;
M = (x − 7)2 = (x − 7)(x − 7) = x2 − 14x − 14x + 49 = x2 − 28x + 49 .
3. Équations
Définition : Une équation est une égalité entre deux expressions contenant une
inconnue, c’est-à-dire un nombre représenté par une lettre.
Exemple : 3x − 2 = 10 est une équation et x est l’inconnue ;
x = 1 n’est pas solution de cette équation car 3 × 1 − 2 = 3 − 2 = 1 ≠ 10 ;
x = 4 est solution de cette équation car 3 × 4 − 2 = 12 − 2 = 10 .
Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient
l’égalité.
Théorème 1 : On peut additionner un même nombre aux deux membres d’une égalité.
Exemples : [1.] x + 5 = 21 ; x + 5 + (−5) = 21 + (−5) ; x = 16 ;
Remarque : Soustraire un nombre c’est additionner son opposé ; ici l’opposé de 5
est (−5) .
[2.] 5 − 2x = 2 − 3x ; −2x = 2 − 5 − 3x ; −2x + 3x = −3 ; x = −3 .
Théorème 2 :" On peut multiplier les deux membres d’une égalité par un même nombre.
Exemples : [3.] 3x = 15 ;
1
3
× 3x = 15 ×
1
3
; x = 5 ;
Remarque : Diviser par un nombre c’est multiplier par son inverse ; ici l’inverse de
3 est
1
3
.
[4.] 4x − (2x − 3) = 13 ; 4x − 2x + 3 = 13 ; 4x = 13 − 3 ; 2x = 10 ; 2x =
10
2
;
x = 5.
[5.] 4x − 7 = 21 − 3x ; 4x + 3x = 21 + 7 ; 7x = 28 ; x =
F.Bonomi!
28
7
; x = 4 .
2/2