Calcul littéral et équations

Calcul littéral et équations
1.Calcul littéral
Distributivité (rappel)!:
k(a +b) =ka +kb
et
k(a −b) =ka −kb
Attention!: Avant une lettre, une parenthèse ou un symbole, on supprime le signe
de la multiplication.
Exemples!: •!
2(3x +7) =6x +14
!; •!
x(4 −3x) =4x −3x2
!;
•!
2x +5(x −4) −6x
2
=2x +5x −20 −3x =4x −20
.
Définitions!:
-!Quand on utilise la distributivité pour supprimer les parenthèses d’une expression on
dit que l’on développe cette expression.
-!Inversement, lorsque l’on utilise la distributivité dans l’autre sens on dit que l’on
factorise l’expression.
-!Réduire une expression c’est calculer au maximum cette expression (ou des parties).
Exemples!: développer et réduire les expressions suivantes!:
•!
A=4x +3(x +2) −7=4x +3x +6−7=7x −1
•!
B=4(3x −5) +2x(x +7) =12x −20 +2x2+14x =2x2+26x −20
Factoriser!: pour factoriser il faut chercher un facteur commun
•!
C=3x2−12x =3x(x −4)
!(ici
3x
est le facteur commun)
•!
D=4x2+12x −8(x2−3x) =4x(x +3−2(x −3)) =4x(x +3−2x +6) =4x(9 −x)
•!
E=2x(3x −4) +(3x −4)(x +5) =(3x −4) 2x +(x +5)
⎡
⎣⎤ ⎦=(3x −4)(3x +5)
•!
F=(x −3)(4x +1) −(x −3)2=(x −3) (4x +1) −(x −3)
⎡
⎣⎤ ⎦=(x −3)(3x +4)
2.Double distributivité
Théorème!:
(a +b)(c +d) =ac +ad +bc +bd
Exemple!:
G=(x +3)(2x +5) =2x2+5X +6x +15 =2x2+11x +15
!;
H=(3x −2)(x +4) =3x2+12X −2x −8=3x2+10x −8
!;
I=(x +7)(3x −2) =3x2−2x +21x −14 =3x2+19x −14
!;
J=(5 −2x)(4x −3) =20x −15 −8x2+6x =−8x2+26x −15
!;
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F.Bonomi!1/2

K=(3 −x)(−2x −5) =−6x −15 +2x2+5x =2x2−x−15
!;
L=(2x +5)2=(2x +5)(2x +5) =4x2+10x +10x +25 =4x2+20x +25
!;
M=(x −7)2=(x −7)(x −7) =x2−14x −14x +49 =x2−28x +49
.
3.Équations
Définition!: Une équation est une égalité entre deux expressions contenant une
inconnue, c’est-à-dire un nombre représenté par une lettre.
Exemple!:
3x −2=10
est une équation et
x
est l’inconnue!;
x=1
n’est pas solution de cette équation car
3×1−2=3−2=1≠10
!;
x=4
est solution de cette équation car
3×4−2=12 −2=10
.
Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient
l’égalité.
Théorème 1!: On peut additionner un même nombre aux deux membres d’une égalité.
Exemples!: [1.]!
x+5=21
!;
x+5+(−5) =21 +(−5)
!;
x=16
!;
Remarque!: Soustraire un nombre c’est additionner son opposé!; ici l’opposé de
5
est
(−5)
.
[2.]!
5−2x =2−3x
!;
−2x =2−5−3x
!;
−2x +3x =−3
!;
x=−3
.
Théorème 2!:"On peut multiplier les deux membres d’une égalité par un même nombre.
Exemples!: [3.]!
3x =15
!;
1
3
×3x =15 ×1
3
!;
x=5
!;
Remarque!: Diviser par un nombre c’est multiplier par son inverse!; ici l’inverse de
3
est
1
3
.
[4.]!
4x −(2x −3) =13
!;
4x −2x +3=13
!;
4x =13 −3
!;
2x =10
!;
2x =10
2
!;
x=5
.
[5.]!
4x −7=21 −3x
!;
4x +3x =21 +7
!;
7x =28
!;
x=28
7
!;
x=4
.
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