l18

18
Équations du second
degré à coefficients
réels ou complexes
LEÇON
Niveau : Première S (mise sous forme canonique, coef réels, résolution dans R) ; Termi-
nale S (coef réels, résolution dans C) ; BTS groupement A (coef complexes).
Prérequis : nombres complexes, définition et propriétés, polynôme, trinôme, résolution
d’équations, fonctions du second degré.

Premières définitions et mise sous forme canonique
1
11Définition d’une équation du second degré
On appelle équation du second degré à coefficients réels (resp. complexes), une équation du
type
ax2+bx +c= 0 avec (a, b, c)R3(resp. C3), a= 0 (E)
Définition 18.1
Exemple 18.2. 2x23x+ 1 = 0 est une équation du second degré à coefficients réels.
12Mise sous forme canonique
Pour tout trinôme f:ax2+bx +cavec a= 0 et (a, b, c)R3, il existe deux nombres αet
βtels que :
f(x) = a[(xα)2β].
Cette écriture est appelée forme canonique.
Théorème 18.3
Développement
Démonstration. Comme a= 0, on peut écrire
ax2+bx +c=a x2+b
ax+c a
.
On reconnaît le début du développement de  x+b
2a
2avec x2+b
ax. En effet
x+b
2a
2
=x2+b
ax+
b
2a
2
,
d’où
x2+b
ax=
x+b
2a
2
b
2a
2
.
Ainsi :
ax2+bx +c=a
x+b
2a
b2
4a2+c a
=a x+b
2a
2
b24ac
4a2
=a[(xα)2β]avec α=b
2aet β=b24ac 4a2
�
Exemple 18.4. Mettre sous forme canonique 2x26x1.
Développement
Solution. On a :
2x26x1=2 x23x1
2
.
x23xest le début du développement de 
x3
2
2.
x3
2
2
=x23x+9
4
x23x=
x3
2
2
9
4.
82 LEÇON 18. ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS OU COMPLEXES

Ainsi :
2 x23x1
2
= 2 x3
2
2
9
41 2
= 2 x3
2
2
11
4
.
et on trouve : α=3
2et β=11 4.
�
Résolution dans Cdes équations du second degré à coefficients réels
2
21Discriminant
On appelle discriminant de l’expression ax2+bx +c, avec a= 0, le nombre Δ=b24ac.
Définition 18.5
22Résolution
Soit l’équation ax2+bx +c= 0, avec a= 0, de discriminant Δ.
Si Δ>0l’équation a deux sollutions réelles distincts x1et x2:
x1=b
Δ
2aet x2=b+
Δ
a
Ona:ax2+bx +c=a(xx1)(xx2).
Si Δ= 0 l’équation admet une solution x0=b
2a.
Si Δ<0alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :
x1=bi
Δ
2ax2=b+ i
Δ
2a.
Théorème 18.6
Développement
Démonstration. Soit l’équation ax2+bx +c= 0 (avec a= 0 et (a, b, c)R3). L’équation s’écrit :
a x+b
2a
2
b24ac
4a2
= 0.
On pose Δ=b24ac, elle s’écrit donc
a x+b
2a
2
Δ
4a2
= 0,
soit à résoudre : 
x+b
2a
2
Δ
4a2
= 0
car a= 0.
Si Δ>0alors Δest le carré de  Δ:
x+b
2a
2
Δ
2a
2
= x+b
2a+
Δ
2a
x+b
2a
Δ
2a
.
18.2. RÉSOLUTION DANS CDES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS 83

L’équation s’écrit : 
x+b
2a+
Δ
2a
x+b
2a
Δ
2a
= 0.
Donc soit x+b
2a+
√
Δ
2a= 0 ou soit x+b 2a
√
Δ
2a= 0 et ainsi :
x=b
Δ
2aou x=b+
Δ
2a.
Si Δ= 0 alors  x+b
2a
2Δ
4a2= 0 s’écrit 
x+b
2a
2= 0. Ce carré est nul si et seulement si, 
x+b
2a
= 0, soit
x=b
2a.
Si Δ<0pas de solutions réels mais en passnat par les complexes, Δ
4a2est le carré de i
√−Δ
2aet l’on revient au cas Δ>0.
�
23Exemples de résolution
Exemples 18.7.
1. Résoudre 2x25x4=0.
2. Résoudre, dans C,2z2+ 10z+ 25 = 0.
Développement
Solution.
1. Soit à résoudre 2x25x4=0. Le discriminant de l’expression 2x25x4est Δ= 25 +4×4×2 = 25+32 =
57 >0. Donc l’équation 2x25x4=0admet deux solutions :
x1=5 +
57
4et x2=5
57
4.
2. Soit à résoudre 2z2+ 10z+ 25 = 0. Le discriminant de l’expression 2z2+ 10z+ 25 est Δ= 1024×25 ×2 =
100 <0. Il y a donc deux racines complexes :
z1=10 + 10i
2×2=5 2+5 2i = 5 2(1 + i)
z2=10 + 10i
2×2=5 25 2i.
Ne nous arrêtons pas en si bon chemin. Calculons la forme exponentielle de z1et z2. Tout d’abord, on calcul le
module de z1et z2:
|z1|=|z2|=5
2
12+ (1)2=5
2
2.
On calcule maintenant l’argument θ1de z1:
z1
|z1|= cos θ1+ i sin θ1= eiθ1=
5
2(1 + i)
5
2
2=
2
2+
2
2
donc :
cos θ1=√
2
2
sin θ1=
√
2
2
θ1=3π
4(mod 2π).
Donc :
z1=5
2
2e3iπ/4.
Pour z2, son argument θ2est tel que :
z2
|z2|= cos θ2+ i sin θ2= eiθ2=
5
2(1i)
5
2
2=
2
2
2
2i
donc
cos θ2=√
2
2
sin θ2=√
2
2
θ2=3π
4(mod 2π)
et ainsi,
z2=5
2
2e−3iπ/4.
�
84 LEÇON 18. ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS OU COMPLEXES

Applications
3
31Nombres consécutifs
Déterminer deux nomrbes entiers relatifs consécutifs dont la somme des carrés est 221.
Développement
Solution. On forme l’équation :
n2+ (n+ 1)2= 221 n2+n2+ 2n+ 1 = 221 2n2+ 2n+ 1 = 221
2n2+ 2n220 = 0 n2+n+ 110 = 0
Le discriminant de l’expression n2+n+ 110 est Δ=1+4×110 + 441 >0, d’où 
Δ= 441 = 21 et il y a deux
solutions pour l’équation n2+n+ 110 = 0 :
n1=1 + 21
2= 11 et n2=121 2=10.
�
32Périmètre et diagonale d’un rectangle
Soit ABCD un rectangle dont la diagonale [BD]mesure 15 cm et le périmètre Pdu rectangle
vaut 42 cm. Quels sont les dimensions du rectangle ABCD ?
15 cm
PABCD = 45 cm
A B
CD
Développement
Solution. Soit Lla longueur du rectangle (ce qui correspond à la mesure du côté [AB]) et �la largueur du rectangle (ce
qui correspond à la mesure du côté [AD]). �et Lvérifient le système d’équations suivant :
2(�+L) = 42
�2+L2= 152(d’après le thm. de Pythagore)
(�, L 0,�< L)
�+L= 21
�2+L2= 152
L= 21 �
�2+ (21 �)2= 225 (2)
On résoud l’équation (2) :
(2) �2+ (21 �)2= 225 �2+�242�+ 441 225 = 0
2�242�+ 216 = 0 �221�+ 108 = 0.
Le discriminant de l’expression �221�+ 108 est Δ= 441 432 = 9 >0donc 
Δ= 3 et l’équation (2) admet deux
solutions : 
�1=21+3
2=24 2= 12
L1= 21 12 = 9 et
�2=21−3
2=18 2= 9
L2= 21 9 = 12.
Or L>�, donc les dimensions du rectangle ABCD sont �= 9 cm et L= 12 cm. �
18.3. APPLICATIONS 85