Calcul intégral

Calcul intégral
Primitive
Définition
La fonction F est une primitive de f sur I ∁ ℝ.
F’(x) = f(x) ∀ x ∈ I
On note alors :
∫ f(x)dx = F(x) + c avec c ∈ ℝ
Linéarité
∫[α f(x) + β g(x)] dx = α ∫ f(x) dx + β ∫ g(x) dx
Primitives
∫ a dx = ax + c
xn+1
∫ x n dx = n + 1 + c
∫ cos(x) dx = sin(x) + c
∫ sin(x) dx = – cos(x) + c
∫
dx
x
= ln|x| + c
∫ ex dx = ex + c
dx
∫ 1 + x² = arctan(x) + c
∫√
dx
1 − x²
= arcsin(x) + c
dx
∫ 1 − x² = argtanh(x) + c
dx
∫√
1 + x²
∫√
x² − 1
dx
= argsinh(x) + c
= argcosh(x) + c
Intégrale définie sur un intervalle
Aire entre la courbe et l’axe des abscisses
b
∫a f(x) dx = [f(x)]ba = F(b) – F(a)
Aire entre 2 courbes qui se croisent
b
∫a (f(x) − g(x)) dx avec a et b points d’intersections des 2 courbes
Valeur moyenne
b
∫a f(x) dx = f̅ × (b – a) avec f̅ valeur moyenne
D’où
1
b
f̅ = b – a ∫a f(x) dx
Intégrer en pratique
Méthode
 Intégration directe
 Intégration par partie
 Intégration par changement de variable
Intégration par partie
On sait d’après le cours sur la dérivée que :
(u v)’ = u’ v + u v’
u v = ∫ u′ v dx + ∫ u v′ dx
∫ u′ v dx = (u v) – ∫ u v′ dx
Donc
∫ v du = [u v] – ∫ u dv
On pose
u=
dv =
du =
v=
On remplace dans la formule précédente et on obtient un nouveau résultat.
Intégration par changement de variable
Exemple :
On a une intégrale de la forme :
π
3
I = ∫0 ∫ cos(3x) dx
On pose u = 3x
1ière étape :
On a u = 3x
Donc du = 3dx
du
Ainsi dx = 3
2ième étape :
cos(3x) = cos(u)
On obtient
π
I = ∫0 cos(u)
du
3
1
= 3 [sin(u)]π0 = 0
3ième étape :
x=0u=0
π
x=3u=π