Cinématique du mouvement circulaire

Physique - 6 ème année - Ecole Européenne
Chapitre n° 4 : CINEMATIQUE DU MOUVEMENT CIRCULAIRE
Dans cette leçon, qui fait suite à la leçon générale sur la cinématique, nous allons étudier plus
particulièrement le mouvement circulaire.
Le mouvement des satellites et l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ
magnétique constitueront des applications importantes du mouvement circulaire.
I) Grandeurs cinématiques associées au mouvement circulaire :
On considère le mouvement d'un point mobile M dans un référentiel (R).
Le point mobile M a un mouvement circulaire lorsqu'il se déplace sur un cercle fixe, de centre
O, et de rayon R.
1) Repérage d'un point mobile :
a) Abscisse curviligne :
Soit M0 un point quelconque choisi sur le cercle trajectoire.
On oriente la trajectoire dans un sens arbitraire.
La position du mobile est repérée par son abscisse
curviligne :
s(t) = arc algébrique M0M
b) Abscisse angulaire :
On peut aussi repérer la position du mobile sur le cercle
trajectoire par la donnée de l'angle θ(t) orienté au centre
du cercle :
→
→
θ(t) = ( OM0 , OM )
c) Relation entre abscisse curviligne et abscisse angulaire :
Il existe une relation géométrique simple entre abscisse curviligne et abscisse angulaire :
s(t) = R.θ(t)
2) Vitesse linéaire et vitesse angulaire :
a) Vitesse linéaire :
Le vecteur vitesse est défini d'une façon générale par :
→
ds( t ) →
.T
v( t) =
dt
→
Où T est le vecteur unitaire tangent au cercle trajectoire au point où se trouve le mobile à
l'instant de date t et dirigé dans le sens arbitraire choisi pour orienter la trajectoire.
→
T est le premier vecteur d'un repère particulier d'origine M (qui évolue au cours du temps)
qu'on appelle repère de Frénet.
b) Vitesse angulaire :
La mesure algébrique de la vitesse (dont le signe dépend du choix d'orientation de la
ds( t )
dθ( t )
trajectoire) s'exprime en m.s−1 :
= R.
dt
dt
On appelle vitesse angulaire qu'on désigne par ω(t) la mesure algébrique qui s'exprime en
dθ( t )
rad.s−1 (en °.s−1 ou en tr.s−1) :
ω(t) =
dt
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3) Vecteur accélération :
a) Définition cinématique :
Par définition, le vecteur accélération est le taux de variation instantanée du vecteur
→
→
dv( t )
a( t) =
dt
vitesse :
b) expression dans le repère de Frénet :
→
Comme v( t) =
ds( t ) →
. T , on montre que (et nous admettrons) :
dt
2
→
→
→
2
a( t) = d s2 . T + 1 .  ds  .N
R  dt 
dt
→
Où N est le vecteur unitaire normal centripète (tourné vers le centre du cercle trajectoire).
→
dθ( t) →
Comme v( t) = R.
. T , on peut aussi écrire :
dt
2
→
→
→
2
a( t) = R. d θ2 . T + R.  dθ  .N
dt
 dt 
4) Composantes dans le repère de Frénet :
a) Repère de Frénet :
Comme nous l'avons déjà un peu vu, le repère de Frénet est un repère orthonormé (trois
vecteurs de base unitaires et orthogonaux.
En fait, le mouvement circulaire étant un mouvement plan, nous n'aurons besoin que de
deux vecteurs unitaires du repère de Frénet :
Le repère de Frénet est défini par :
- son origine : le point mobile M lui-même
- deux vecteurs unitaires orthogonaux :
→
* T tangent au cercle en M et ayant le même sens que celui choisi pour orienter la
trajectoire (sans rapport avec le sens du mouvement de M).
→
→
* N orthogonal à T dans le plan du cercle trajectoire et orienté vers le centre du cercle.
→
On appelle composante tangentielle VT d'un vecteur V , la composante suivant le vecteur
→
→
→
T et composante normale VN de V , la composante suivant le vecteur N
b) Vecteur vitesse :
On a vu que le vecteur vitesse n'a qu'une composante tangentielle :
ds( t )
dθ( t )
vT =
= R.
dt
dt
c) Vecteur accélération :
On retiendra que le vecteur accélération a, en général, deux composantes :
2
2
et aN = 1 .  ds  = R.  dθ 
R  dt 
 dt 
L'existence d'une composante tangentielle traduit la variation de la mesure de la vitesse.
Remarque : Si la vitesse est constante en mesure (mouvement uniforme) il n'y a pas de
composante tangentielle de l'accélération !
2
2
aT = d s2 = R. d θ2
dt
dt
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Remarque : Inversement, dès qu'un point mobile a un mouvement de rotation sur un
cercle, il subit une accélération : le vecteur accélération a toujours au moins
une composante centripète aN, non nulle !
II) Cas particulier du mouvement circulaire uniforme :
1) Vitesse angulaire :
Si le mouvement circulaire du point mobile M est uniforme :
ds = R. dθ = cte, on désigne la vitesse angulaire par dθ = ω0.
dt
dt
dt
Remarque : La vitesse angulaire ω0 s'exprime en rad.s−1 dans le système S.I., on peut
l'exprimer en tr.s−1 ou en tr.min−1 mais il faut faire attention aux unités des
autres grandeurs, dans ce cas.
→
Remarque : On retrouve que la mesure de la vitesse est constante : v( t) = v0 = R.ω0
→
Remarque : Le vecteur vitesse v( t) , lui, n'est pas constant puisqu'il change constamment de
direction !
2) Vecteur accélération :
Puisque la vitesse angulaire ω0 est constante, la variation de cette vitesse angulaire est
nulle : dω0 = 0
dt
On en déduit que le vecteur accélération n'a pas de composante tangentielle : aT = 0
Donc, le vecteur accélération n'est que normal à la trajectoire circulaire : aN = R.ω02
→
La mesure du vecteur accélération est donc constante : a( t) = a0 = R.ω02
3) Période de rotation :
Le mobile ayant un mouvement circulaire uniforme parcourt régulièrement le cercle
trajectoire, et en particulier, le mobile met toujours le même temps pour effectuer un tour.
On appelle période de rotation du point mobile M, la durée T qu'il met pour effectuer un tour
sur sa trajectoire circulaire de rayon R.
La circonférence de la trajectoire est C = 2.π.R. Le mobile la parcourt à la vitesse de mesure
constante v0 = R.ω0. v0 est exprimé en m.s−1 et ω0. est exprimé en rad.s−1.
La période est donc T = C :
v0
T est exprimé en s.
T = 2.π
ω0
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POUR S'ENTRAÎNER
I) Cinématique du cycliste.
La roue arrière d'un vélo a un rayon R = 34 cm. Elle comporte 5 pignons dentés de n1 = 25, 21,
18, 16 et 13 dents. Le pédalier est formé de deux plateaux de n2 = 51 et 41 dents.
a) Calculer les 10 "développements" (distance parcourue par le vélo pour 1 tour du pédalier),
correspondant aux différentes positions de la chaîne.
b) Calculer la plus petite vitesse de rotation ωm (exprimée en tr/s) du pédalier pour obtenir une
vitesse du cycliste de v = 36 km.h−1.
c) Calculer la plus grande vitesse de rotation ωM (exprimée en tr/s) du pédalier pour obtenir une
vitesse du cycliste de v = 36 km.h−1.
II) Vitesse linéaire, vitesse angulaire.
a) Une année-lumière (a.l) est la distance que parcourt la lumière dans le vide en un an.
Le Soleil tourne autour du centre de la Galaxie en se déplaçant avec une vitesse linéaire de
vS = 500 km.s−1. Sachant qu'il se situe à une distance RS = 28 000 a.l du centre de la
Galaxie, combien de temps T (en a) mettra-t-il pour faire un tour ? 1 a.l = 9,47.1012 km.
b) Deux poulies, solidaires, de rayons respectifs r1 = 0,20 m; r2 = 0,50 m
sont mobiles autour d'un axe horizontal ∆. Sur chaque poulie est
enroulée une corde fixée à la poulie.
i. Quelle est la mesure de la vitesse angulaire (rad.s−1) de la double
poulie, lorsque le point B se déplace à une vitesse vB = 2 m.s−1.
ii. Quelle est la mesure vA de la vitesse de déplacement du point A ?
III) Mesure d'une masse.
Un mobile autoporteur a une masse m = 0,600 kg, déterminée à l'aide d'une balance.
On désire retrouver cette valeur, en appliquant la relation fondamentale de la dynamique.
Le mobile est accroché à l'extrémité A d'un dynamomètre.
Il peut tourner sans frottement sur la table à air horizontale,
autour d'un point O de l'axe de rotation ∆. On lance
l'ensemble dynamomètre et mobile. On observe l'indication
du dynamomètre durant un certain temps. Cette indication
est constante, mais la lecture n'étant pas aisée, on lit
environ 0,35 N.
On réalise simultanément l'enregistrement de la projection du centre d'inertie G du mobile sur la
table, à intervalles de temps réguliers ∆t = 60 ms, à l'aide d'un dispositif à étincelles. On
observe que toutes les traces sont sur un cercle de centre O', de rayon R = 0,150 m, et que 21
traces consécutives (20 intervalles !) déterminent un angle au centre de 135 ° (angle mesuré
avec le rapporteur).
a) Représenter les forces agissant sur le mobile en rotation.
b) Quelle est la nature de son mouvement ?
c) Déduire des observations de l'enregistrement, la vitesse angulaire ω0 de rotation du mobile.
d) En appliquant la loi fondamentale de la dynamique et en projetant son expression dans le
repère de Frénet, calculer la masse m du mobile.
Comparer avec la valeur m donnée par la balance.
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