Licence de Mathématiques - Université de Montpellier

Université de Montpellier II Année Universitaire 2012-2013
Faculté des Sciences
Mathématiques
Licence de Mathématiques : Troisième Année
GLMA 506 Analyse Numérique des Équations
différentielles ordinaires
Pascal Azerad - Michel Cuer
10 janvier 2013

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Table des matières
0.1 Organisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.3 Signification des termes utilisés dans le programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Représention des nombres en machines et arithmétiques des ordinateurs 10
1.1 La représentation des nombres en machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Le codage des entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Le codage des flottants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Quelques particularités des calculs en flottants illustrées par des exemples . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Calcul d’une somme évidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Calcul de πpar la méthode d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 Un autre exemple d’élimination catastrophique de décimales. . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Un dernier exemple : un calcul rapide d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Appendice A Le code float.gui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Résolution des équations scalaires non linéaires 23
2.1 Quelques rappels d’analyse réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Deux démonstrations du théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1.1 Première démonstration théorique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1.2 Deuxième démonstration constructive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Le théorème du point fixe de Banach et la méthode des approximations successives . . 24
2.2 La méthode de Newton (ou de Newton-Raphson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Première démonstration. Cas où fest de classe C2, strictement monotone et convexe
ou concave et change de signe sur un intervalle [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Deuxième démonstration : convergence locale au voisinage d’un zéro ξoù f′(ξ)6= 0
qui englobe le cas d’un zéro qui est un point d’inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2.1 Troisième démonstration : un résultat voisin du théorème de Kantorovich
(mais moins complet) qui établit l’existence et l’unicité du zéro dans un ouvert 30
2.3 Quelques procédés d’accélération de convergence de suites qui font plutôt parties de notions
élémentaires d’analyse numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 La méthode d’accélération de convergence appelée ∆2d’Aitken . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Le procédé ∆2diagonal et la méthode de Aitken-Steffensen . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Les méthodes de la fausse position, de la sécante et l’algorithme de Dekker-Brent . . . . . . . 33
2.4.1 Les méthodes de la fausse position et de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1.1 La méthode de la fausse position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1.2 La méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2 L’algorithme de Dekker-Brent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Compléments : notions sur le calcul de zéros multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Appendice Le code fzerotx.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 TD et TP des deux premiers chapitres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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