Suite de Sturm. - Sandrine Caruso

Sandrine CARUSO
Suite de Sturm.
Référence : Francinou - Gianella - Nicolas, Oraux X-ENS, Algèbre 1
Proposition. Soit P∈R[X]. On considère la suite (Si)16i6p+1 définie par S0=P,
S1=P0, et pour i>1,Si+1 est l’opposé du reste dans la division euclidienne de Si−1
par Si(autrement dit, deg Si+1 <deg Siet il existe Qitel que Si−1=QiSi−Si+1). On
suppose que Sp+1 = 0 et donc que Sp=PGCD(P, P 0). Pour x∈R, on note
V(x) = #{(i, j),06i < j 6p, Si(x)Sj(x)<0et ∀k∈Ji, jK, Sk(x) = 0}
le nombre de changements de signes dans la suite S0, . . . , Sp. Soient a < b ∈R, non
racines de P. Alors le nombre de racines (réelles) distinctes dans l’intervalle [a, b]est
égal à V(a)−V(b).
Dans un premier temps, on commence par se ramener au cas où Pn’a que des
racines simples. Notons que pour tout i,Sp=PGCD(Si, Si+1), et en particulier Spdivise
Si. On pose Ti=Si
Sp. Alors T0=P PGCD(P,P 0)a exactement les mêmes racines (distinctes)
que P, mais elles sont simples. De plus, la suite Tivérifie encore Ti−1=QiTi−Ti+1,
et enfin, pour tout x, le nombre de changements de signe dans la suite Ti(x)est égal au
nombre de changements de signes dans la suite Si(x)puisqu’on a divisé tous ces termes
par un même nombre Sp(x).
On peut donc supposer que Pn’a que des racines simples, et par conséquent que
Sp= 1. Par suite, Siet Si+1 sont premiers entre eux pour tout i, et donc n’ont pas de
racine commune. Sur chaque intervalle sur lequel aucun des Sine s’annule, la fonction
Vest constante. L’ensemble des racines des Siest un ensemble fini, et par conséquent,
pour établir le résultat souhaité, il suffit de montrer que
– Si x« traverse » une racine de P, alors V(x)diminue de 1.
– Si x«traverse » une racine d’un Siqui n’est pas racine de P, alors V(x)ne change
pas.
En effet, par une récurrence immédiate, V(a)−V(b)sera bien égal au nombre de racines
distinctes de Pdans [a, b].
Soit donc αune racine de P. Alors αest nécessairement un minimum de P2. La
dérivée de ce polynôme est 2P P 0, qui est alors négative puis positive sur un voisinage
de α. Ainsi, pour h∈Rtel que |h|est assez petit, P(α+h)P0(α+h)est du signe
(strict) de h, et il y a donc un changement de signe de plus avant αqu’après α.
Soit maintenant αune racine de Si,i6= 0. On a Si−1=QiSi−Si+1 et donc
Si−1(α) = −Si+1(α). Grâce à l’hypothèse faite sur P, on sait que ni Si−1, ni Si+1 n’a
de racine commune avec Si, et on déduit de l’égalité précédente que
Si−1(α)Si+1(α)<0.
Par continuité, pour tout xassez proche de α,Si−1(x)Si+1(x)<0ce qui prouve que V
reste constante au voisinage de α.
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