Partie B :
La fonction f considérée dans la partie A est la fonction définie sur IR par f(x) = x2e – x.
On appelle g la fonction définie sur IR par g(x) = e – x
On désigne par et les courbes représentant respectivement les fonctions f et g dans un
repère orthogonal
. Les courbes sont tracées en annexe.
1) a) Montrer que les variations de la fonction f sont bien celles données dans la partie
A.
On ne demande pas de justifier les limites.
b) Etudier les positions relatives des courbes et
2) Soit h la fonction définie sur IR par h(x) = (x2 – 1)e – x
a) Montrer que la fonction H définie sur IR par : H(x) = (– x2 – 2x – 1)e – x est
une primitive de la fonction h sur IR.
b) Soit un réel supérieur ou égal à 1.On considère la partie du plan limitée par
les courbes et et les droites d'équations x = 1 et x = .
Déterminer l'aire A(), exprimer en unités d'aire, de cette partie du plan.
c) Déterminer la limite de A() lorsque tend vers + .
3) On admet que, pour tout réel m strictement supérieure à 4e – 2, la droite d'équation
y = m coupe la courbe au point P(xP ; m) et la courbe au point Q(xQ ; m).
L'objectif de cette question est de montrer qu'il existe une seule valeur de xP
appartenant à l'intervalle ]– ; – 1] telle que la distance PQ soit égale à 1.
a) Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe) les points P et Q tels que xP ]– ; – 1] et PQ = 1.
b) Exprimer la distance PQ en fonction de xP et de xQ. Justifier l'égalité f(xP) = g(xQ).
c) Déterminer la valeur de xP telle que PQ = 1.
Exercice 5;
Partie A :
On considère les fonctions f et g définies sur IR par f(x) =
et g(x) = x2
; On note respectivement f et g les courbes
représentatives de f et g dans un repère orthogonal
, dont les tracés se
trouvent sur la feuille annexe (à rendre avec la copie).
1) Identifier f et g sur la figure fournie (justifier la réponse apportée).
2) Etudier la parité des fonctions f et g.
3) Etudier le sens de variation de f et de g. Etudier les limites éventuelles
de f et de g en + .
4) Etudier la position relative de f et g.
Partie B :
On considère la fonction G définie sur IR par G(x) =
1) Que représente G pour la fonction g?
2) Donner, pour x > 0, une interprétation de G(x) en termes d'aires.
3) Etudier le sens de variation de G sur IR.
On définit la fonction F sur IR par : pour tout réel x, F(x) =
4) Démontrer, que, pour tout réel x, G(x) = (on pourra commencer par comparer les fonctions dérivées de G et de
.
On admet que la fonction F admet une limite L en + , et que cette limite L est égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine ∆ limité
par la courbe f et les demi-droites
et
.
5) a) Démontrer que la fonction G admet une limite en + que l'on précisera.
b) interpréter en termes d'aires le réel N =
c) En admettant que la limite de G en + représente l'aire P en unités d'aire du domaine D limité par la demi-droite
et la
courbe g, montrer graphiquement que :
(On pourra illustrer le raisonnement sur la figure fournie)
Exercice 6;
Partie A :
Etude d'une fonction f et construction de sa courbe
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = e – x ln(1 + ex). On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère
orthogonal
. L'unité graphique est 1 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.
1) a) On rappelle que :
= 1
Déterminer la limite de f en – .