Math - Devoir.tn

Lycée : Habib Thamer
Classe : 4 ème Math
Prof : Regaig Farhat
A.scolaire : 2008/2009
Fonction exponentielle
Exercice 1;
1) Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = x2e1 – x. On désigne par  sa courbe représentative dans un repère

 

orthonormé O; i , j d'unité graphique 2 cm.
a) Déterminer les limites de f en –  et en +  ; quelle conséquence graphique pour  peut-on en tirer?
b) Montrer que f est dérivable sur IR. Déterminer sa fonction dérivée f'.
c) Dresser le tableau de variation de f et tracer la courbe .
2) Soit n un entier naturel non nul. On considère l'intégrale In définie par In =

1
0
x n e1x dx
a) Etablir une relation entre In + 1 et In.
b) Calculer I1 puis I2.
c) Donner une interprétation graphique du nombre I2. On la fera apparaître sur le graphique de la question 1). c).
3) a) Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l'inégalité suivante :
xn ≤ xne1 – x ≤ exn.
b) En déduire un encadrement de In puis la limite de In quand n tend vers + .
Exercice 2;
On s'intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers e 2.
On définit, pour tout entier naturel n ≥ 1, l'intégrale : In =

1
(2  x) n e x dx
0 n!
2
1) Calculer I1.
2n 2
(e  1)
n!
2) Etablir que pour tout entier naturel n ≥ 1, 0 ≤ I n ≤
2 n 1
3) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n ≥ 1, I n + 1 =In –
n  1!
Exercice 3;
On s'intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers e 2.
On définit, pour tout entier naturel n ≥ 1, l'intégrale : I n =

2
0
1
(2  x) n e x dx
n!
1) Calculer I1.
2n 2
2) Etablir que pour tout entier naturel n ≥ 1, 0 ≤ I n ≤
(e  1)
n!
3) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n ≥ 1, I n + 1 =In –
2 n 1
n  1!
2 22
2n
4) Démontrer par récurrence que e = 1 + 
 ... 
 In
1! 2!
n!
2n
5) On pose, pour tout entier naturel n ≥ 1, un =
n!
u
1
a) Calculer n 1 et prouver que pour tout entier naturel n ≥ 3, un + 1 ≤ un.
2
un
2
1

2
n 3
b) En déduire que pour tout entier naturel n ≥ 3, 0 ≤ un ≤ u3 
6) En déduire la limite de la suite (un), puis celle de la suite (In).
7) Montrer enfin que e2 =
 2 22
2n 
lim 1  
 ...  
n 
n! 
 1! 2!
Exercice 4;
Partie A :
On donne le tableau des variations d'une fonction f dérivable sur IR :
x
On définit la fonction F sur IR par F(x) =
 f (t)dt
2
1) Déterminer les variations de la fonction F sur IR.
2) Montrer que 0 ≤ F(3) ≤ 4e – 2
x –
+
f
0
0
2
4e – 2
+
0
Partie B :
La fonction f considérée dans la partie A est la fonction définie sur IR par f(x) = x 2e – x.
On appelle g la fonction définie sur IR par g(x) = e – x
On désigne par  et  les courbes représentant respectivement les fonctions f et g dans un

 

repère orthogonal O; i , j . Les courbes sont tracées en annexe.
1) a) Montrer que les variations de la fonction f sont bien celles données dans la partie
A.
On ne demande pas de justifier les limites.
b) Etudier les positions relatives des courbes  et 
2) Soit h la fonction définie sur IR par h(x) = (x2 – 1)e – x
a) Montrer que la fonction H définie sur IR par : H(x) = (– x2 – 2x – 1)e – x est
une primitive de la fonction h sur IR.
b) Soit un réel  supérieur ou égal à 1.On considère la partie du plan limitée par
les courbes  et  et les droites d'équations x = 1 et x = .
Déterminer l'aire A(), exprimer en unités d'aire, de cette partie du plan.
c) Déterminer la limite de A() lorsque  tend vers + .
3) On admet que, pour tout réel m strictement supérieure à 4e – 2, la droite d'équation
y = m coupe la courbe  au point P(xP ; m) et la courbe  au point Q(xQ ; m).
L'objectif de cette question est de montrer qu'il existe une seule valeur de x P
appartenant à l'intervalle ]–  ; – 1] telle que la distance PQ soit égale à 1.
a) Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe) les points P et Q tels que xP  ]–  ; – 1] et PQ = 1.
b) Exprimer la distance PQ en fonction de xP et de xQ. Justifier l'égalité f(xP) = g(xQ).
c) Déterminer la valeur de xP telle que PQ = 1.
Exercice 5;
Partie A :
x²
x² ;
et g(x) = x2 e
On note respectivement f et g les courbes
 
représentatives de f et g dans un repère orthogonal O; i , j , dont les tracés se
On considère les fonctions f et g définies sur IR par f(x) = e


trouvent sur la feuille annexe (à rendre avec la copie).
1) Identifier f et g sur la figure fournie (justifier la réponse apportée).
2) Etudier la parité des fonctions f et g.
3) Etudier le sens de variation de f et de g. Etudier les limites éventuelles
de f et de g en + .
4) Etudier la position relative de f et g.
Partie B :
On considère la fonction G définie sur IR par G(x) =

x
0
t² e t dt
2
1) Que représente G pour la fonction g?
2) Donner, pour x > 0, une interprétation de G(x) en termes d'aires.
3) Etudier le sens de variation de G sur IR.
On définit la fonction F sur IR par : pour tout réel x, F(x) =

x
0
e  t dt
2
4) Démontrer, que, pour tout réel x, G(x) = (on pourra commencer par comparer les fonctions dérivées de G et de
2
1
x   F ( x)  x e x  .

2
On admet que la fonction F admet une limite L en + , et que cette limite L est égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine ∆ limité
   
par la courbe f et les demi-droites O, i et O, j .
5) a) Démontrer que la fonction G admet une limite en +  que l'on précisera.
1
b) interpréter en termes d'aires le réel N =
 (1  t
0
2
) e t dt
2
 
c) En admettant que la limite de G en +  représente l'aire P en unités d'aire du domaine D limité par la demi-droite O, i et la
courbe g, montrer graphiquement que :
1
 (1  t
0
2
) e  t dt 
2
L
(On pourra illustrer le raisonnement sur la figure fournie)
2
Exercice 6;
Partie A :
 Etude d'une fonction f et construction de sa courbe
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = e – x ln(1 + ex). On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère

 

orthogonal O; i , j . L'unité graphique est 1 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.
ln(1  h)
1) a) On rappelle que : lim
=1
h0
h
Déterminer la limite de f en – .
b) Vérifier que, pour tout réel x : f(x) =
x –x
+e ln (1 + e – x) .
ex
Déterminer la limite de f en + .
c) En déduire que la courbe C admet deux asymptotes que l'on précisera.
t
 ln(1  t )
1 t
a) Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; + {
b) En déduire le signe de g(t) lorsque t > 0.
3) a) Calculer f '(x) et l'exprimer en fonction de g(ex), f ' désignant la fonction dérivée de f.
b) En déduire le sens de variation de la fonction f puis dresser son tableau de variation.
4) Tracer les asymptotes à la courbe C et la courbe C.
2) On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]– 1 ; + [ par : g(t) =
Partie B :
 Comportements asymptotiques d'une primitive F de f sur IR
Soit F la fonction définit sur IR par f(x) =  x f (t )dt
0
1) Etudier le sens de variation de la fonction F.
2) a) Vérifier que, pour tout nombre réel t,
1
et
et calculer

1

1 et
1 et

x
0
f (t )dt
b) En déduire, à l'aide d'une intégration par parties, le calcul de F(x).
c) Vérifier que F(x) peut s'écrire sous les formes suivantes :
(1) F(x) = x – ln(1 + ex) f(x) + 2ln2.
(2) F(x) =
 ex
ln 
x
1 e

 – f(x) + 2ln2.

3) Déterminer lim F( x )
x  
4) Déterminer lim F( x )  x  . Donner une interprétation graphique de ce résultat.
x  
Exercice 7;
Partie A :
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = e x cosx. On appelle f la représentation graphique de f dans un repère orthogonal.
1) Montrer que, pour tout réel x, – ex ≤ f(x) ≤ ex. En déduire que f admet une asymptote au voisinage de – . Quelle est cette
asymptote?
2) Déterminer les abscisses des points d'intersection de f avec l'axe des abscisse.
  
3) On étudie f sur l'intervalle   ;  
 2 2

  

Démontrer que, pour tout réel x    ;   on a : cosx – sinx = 2 cos  x  
4
 2 2

4) Calculer f '(x), où f ' désigne la fonction dérivée de f.
  
  
Montrer que f est croissante sur   ;   et décroissante sur   ;  
2
4


 4 2
  
Dresser le tableau des variations de d sur   ;  
 2 2
Indiquer les valeur prises par f en 
  
, et .
2 4
2
  
5) Tracer f sur l'intervalle   ;   en utilisant la feuille annexe que l'on rendra
 2 2
avec la copie.
1
 
, l'équation f(x) = admet une solution unique .

2
 2
6) Démontrer que, sur l'intervalle 0;
Trouver, à l'aide de la calculatrice, la valeur approchée décimale de  arrondie au centième.
7) On note f " la fonction dérivée seconde de f.
Montrer que : f "(x) = – 2exsinx
  
En déduire que, sur l'intervalle   ;   , le coefficient directeur de la tangente à f au point d'abscisse x atteint, pour x = 0, une
 2 2
valeur maximale que l'on précisera.
Trouver l'équation de la tangente T à f en 0 et tracer T sur la feuille annexe.
Partie B :

Pour tout entier naturel n, on pose In =
e
0
x
cos( nx )dx
a) Montrer que, pour tout entier naturel n, cos(n) = (– 1)n et que sin(n) = 0.
b) A l'aide de deux intégrations par parties, montrer que : I n =
c) Montrer que, pour tout entier naturel n,
(1) n e   1
1  n²
e  1
.
1  n²
In 
En déduire lim I n .
n  
Exercice 8;
On considère la fonction f, définie sur l'intervalle ]– 1 ; + [ par f(x) =
ex
.
(1  x )²

 

On désigne par (  ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal O, i , j .
 I) Etude de la fonction f et tracé de (  )
1) a) Calculer la limite de cette fonction lorsque x tend vers +.
b) Calculer la limite de cette fonction lorsque x tend vers – 1.
Que peut-on en déduire pour la courbe (  )?
2) Calculer f '(x) et montrer que son signe est celui de
x 1
x 1
3) Dresser le tableau de variation de f.
4) Tracer la courbe (  ), les droites d'équations respectives x = – 1 et y = 1, ainsi que la tangente à cette courbe en son point
d'abscisse 0 (unité graphique : 4 cm)
5) Montrer que l'équation f(x) = 1 admet une unique solution, notée , dans l'intervalle [1 : 10].
Utiliser le graphique précédent pour donner deux nombres entiers consécutifs a et b tels que  appartient à l'intervalle [a ; b].
 II) Calcul d'une aire :
1) Soit g la fonction définie sur ]-1 ; +[ par g(x) =
ex
1 x
a) Etudier le sens de variation de g dans l'intervalle [1 ; 2].
b) Montrer que, pour tout x appartenant à [1 ; 2], on a : 1 ≤ g(x) ≤ 2,5.
c) En déduire un encadrement de A1 =

2
1
g( x )dx
2) Soit A2 l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les droites d'équations respectives
x = 1 et x = 2, la courbe (  ) et l'axe des abscisses.
A l'aide d'une intégration par parties, exprimer A2 en fonction de A1 et en déduire un encadrement de A2.
 III) Approximation d'un nombre à l'aide d'une suite :
Pour cette partie, on utilisera sans justification le fait que l'équation f(x) = x a une unique solution  et
1 
que celle-ci est élément de l'intervalle  ;1 .
2 
Soit h la fonction définie sur ] – 1; +[ par h(x) =
ex
(1  x ) 3
1) a) Vérifier que, pour tout x appartenant à ] – 1; +[, on a : f '(x) = f(x) – 2h(x)
b) Calculer h'(x).
c) En utilisant la question a), calculer f "(x).
1 
En déduire le sens de variation de f ' dans l'intervalle  ;1
2 
1 
1
d) En déduire que, pour tout x appartenant à  ;1 , on a : f ' ( x ) 
4
2 
2) On définit la suite (Un) pour tout nombre entier naturel n, par : U 0 = 1 et Un + 1 = f(Un) pour n ≥ 0
a) Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a : U n 1   
1
Un  
4
1
b) Montrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a : U n     
4
c) En déduire une valeur approchée numérique de  à 10 – 3 près.
n
Exercice 4 :
Partie A :
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = e – x ln(1 + ex). On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère

 

orthogonal O; i , j . L'unité graphique est 1 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.
ln( 1  h )
= 1 . Déterminer la limite de f en – .
h 0
h
x
b) Vérifier que, pour tout réel x : f(x) = x +e – x ln(1 + e – x) . la limite de f en + .
e
1) a) On rappelle que : lim
c) En déduire que la courbe C admet deux asymptotes que l'on précisera.
2) On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]– 1 ; + [ par : g(t) =
t
 ln( 1  t )
1 t
c) Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; + {
d) En déduire le signe de g(t) lorsque t > 0.
3) a) Calculer f '(x) et l'exprimer en fonction de g(ex), f ' désignant la fonction dérivée de f.
b) En déduire le sens de variation de la fonction f puis dresser son tableau de variation.
4) Tracer les asymptotes à la courbe C et la courbe C.
Partie B :
Soit F la fonction définit sur IR par f(x) =

x
0
f (t )dt
1) Etudier le sens de variation de la fonction F.
2) a) Vérifier que, pour tout nombre réel t,
1
et
et calculer

1

1 et
1 et

x
0
f (t )dt
b) En déduire, à l'aide d'une intégration par parties, le calcul de F(x).
c) Vérifier que F(x) peut s'écrire sous les formes suivantes :
(1) F(x) = x – ln(1 + ex) f(x) + 2ln2.
(2) F(x) =
 ex
ln 
x
1 e

 – f(x) + 2ln2.

3) Déterminer lim F( x )
x  
4) Déterminer lim F( x )  x  . Donner une interprétation graphique de ce résultat.
x  
Exercice 9 :
Le but de ce problème est d' étudier dans la partie A la fonction numérique f définie sur ]0 ; +[ par
1 ln x
f (x)  x  
,de déterminer ensuite dans la partie B la position de sa courbe représentative par rapport à son
x x²
asymptote oblique et enfin d'étudier une suite récurrente dans la partie C, cette dernière partie étant, dans une large
mesure, indépendante des deux autres.
Partie A :
1) Soit g la fonction numérique définie sur ]0 ; + [ par g(x) = x3 – x – 2 ln x + 1.
a) Montrer que la fonction g est dérivable et que, pour tout x  ]0 ; + [,
( x  1)(3x ²  3x  2)
g' ( x ) 
x
b) Etudier les variations de la fonction g puis déterminer le signe de g(x).
2) a) Déterminer les limites de f en 0 et en + .
g(x )
b) Montrer que, pour tout x  ] 0 ; +  [, f '(x) = 3 ,puis donner le tableau de variation de f.
x
Partie B :
 
(  ) désigne la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormal O, i , j , unité graphique 2
cm.
1) Soit h la fonction définie sur ]0 ; + [ par h(x) = x + ln x.
a) Etudier le sens de variation de h, puis montrer que l'équation h(x) = 0 admet une solution
unique  sur l'intervalle [0,4 ; 0,7].
b) Montrer que l'on a : e –  = .
2) a) Vérifier que la droite (∆) d'équation y = x est asymptote oblique à (  ) en + .
b) Utiliser les résultats de la question 1) a) pour déterminer les positions relatives de (  ) et (∆)
 
3) Construire (  ) et (∆) dans le repère onhonormal O, i , j




ln t
dt
1 t²
b) En déduire l'aire, en cm2, de la portion de plan limitée par la courbe ( ∆ ), la droite (∆) et les
droites parallèles à l'axe des ordonnées d'équations x = 1 et x = 2.
4) a) Calculer, au moyen d'une intégration par parties, l'intégrale I  
Partie C :
 Étude d'une suite (hors programme en 2002)
Dans cette partie :
 I désigne l'intervalle [0,4 ; 0,7]
  est le réel mis en évidence au B.l)
  est la fonction définie sur IR par (x) = e – x
u 0  0,4

 u est la suite récurrente définie par et
u  (u ), pour tout n  IN
n
 n 1
2
1) Montrer qu'on a, pour tout x  I :
a) (x)  1.
b) |'(x)| ≤ 0,7
c) |(x) – | ≤ 0,7 |x – |
2) a) Montrer qu'on a, pour tout n  IN, |un + 1 – | ≤ 0,7 |un – a|, puis en déduire par récurrence qu'on a, pour
tout n  N, |un – | ≤ 0,3 (0,7)n.
b) Conclure alors quant à la convergence de la suite u.
3) Déterminer un entier p tel que, pour n ≥ p, on ait |un – | ≤ 10 – 3, puis donner à l'aide de la calculatrice une
valeur approchée de up à 10 – 3 près.