DS 05 Seconde Exercice 1 : 5 points Soit (O,I,J) un repère

DS 05 Seconde
Exercice 1 : 5 points Soit (O,I,J) un repère orthonormé du plan, A(1;-2), B(5;0), C(3;4), D(-1;2).
1) Démontrer que [AC] et [BD] ont le même milieu. 1,5
2) Démontrer que AC=BD. 2
3) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier 1,5
Exercice 2 : 9 points Soit f la fonction définie sur
ℝ
par f(x)=3x²-12x+17
1) Montrer que pour tout réel x,
f(x)=3(x−2)2+5
1
2) En déduire que la fonction f admet un extremum sur
ℝ.
1,5
3) Quelles sont les coordonnées du sommet S de la parabole? 1
4) Déterminer une équation de l'axe de symétrie de la parabole. 1
On se propose de déterminer le sens de variation de la fonction f.
5a) Recopier et compléter en utilisant les symboles
⩾,⩽,>,<
et en justifiant chaque étape
Soient u et v deux nombres réels tels que
2≤u<v.
Alors
0u−2v−2
Donc
(u−2)2(v−2)2
d'où
3(u−2)23(v−2)2
et enfin
3(u−2)2+5 3(v−2)2+5
1,5
b) Qu'en déduit-on pour la fonction f? 0,5
6) On admet que la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]
−∞
;2]
Déterminer le tableau de variations de la fonction f 1,5
7) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la parabole avec l'axe des ordonnées. 1
Exercice 3 : 6 points Dans cet exercice, l'unité de longueur sera le centimètre.
On considère un triangle ABC rectangle en B tel que AB=x, BC=5-x
1) Dans quel intervalle le réel x appartient-il? On note I cet intervalle 1
2) Notons désormais f la fonction qui associe à tout nombre réel x de I associe AC²
Montrer que
f(x)=2x²−10x +25
1,5
3 a ) Soit
x∈I.
Montrer que
f(x)−13=2(x−2)(x−3)
1
b) Résoudre sur I l'équation f(x)=13 1,5
c) En déduire les dimensions du triangle ABC pour lesquelles AC²=13 1