Université Pierre et Marie Curie Licence - Mathématiques

Université Pierre et Marie Curie
Licence - Mathématiques - LM346
Année 2012–2013
Processus et simulations
Contrôle continu n˚1
15/03/2013
Calculatrices, téléphones et documents sont interdits
Exercice 1 : Simulation de la loi Gamma (6pts) Soit λ > 0. On rappelle que la loi expo-
nentielle de paramètre λ, notée E(λ), admet pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue la
fonction
fλ(x) = λexp(−λx)1I[0,+∞[(x).
1. Calculer la fonction de répartition de E(λ)et en déduire une méthode de simulation de la loi
exponentielle de paramètre λ.
2. Soit (Xi)i∈Nune suite i.i.d de loi E(λ). On définit la variable aléatoire Snpar Sn=X1+
X2+··· +Xn.Montrer par récurrence sur nque la loi de Snadmet pour densité
fn,λ(x) = λn
(n−1)!xn−1e−λx.
Cette loi est appelée loi Gamma de paramètres net λet notée Γ(n, λ)
3. Proposer une méthode de simulation pour Γ(n, λ).
Exercice 2 : Simulation de la loi Beta (6pts) Soient a > 0,b > 0deux réels. La loi Beta
de paramètres aet b, notée β(a, b)admet pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue la
fonction
fa,b(x) = xa−1(1 −x)b−1
B(a, b)1I[0,1](x).
1. Exprimer la valeur de la constante B(a, b)à l’aide d’une intégrale.
2. Reconnaître la loi β(1,1). Si X∼ U([0,1]), montrer que X2appartient à la famille des loi
β(on précisera ses paramètres).
3. Pour a > 1et b > 1, calculer le mode de cette distribution, c’est à dire le point x∗en le-
quel la densité fa,b(x∗)est maximale.
4. En remarquant que les distributions βsont à support compact, déduire de 3. une méthode
de simulation pour β(a, b).
Intervalles de confiance et sondages (8pts) Soit (Yi)une suite i.i.d de variables aléatoires
bornées avec a≤Yi≤b. En notant µ=E[Y1]la moyenne de cette distribution, on donne l’inégalité
de Hoeffding :
P 
1
n
n
X
i=1
Yi−µ≥!≤2 exp −2n2
(b−a)2
1. Soit α∈]0,1[. Donner une fonction f(α, n)telle qu’on ait
P µ∈"1
n
n
X
i=1
Yi−(b−a)f(α, n); 1
n
n
X
i=1
Yi+ (b−a)f(α, n)#!≥1−α
Quel intervalle de confiance avez-vous construit ?
1

2. Soit (Yi)i∈Nest une suite i.i.d suivant B(p). Quelle est la limite du ratio
√n
1
nPn
i=1 Yi−p
pp(1 −p)?
En utilisant que pour ∀x∈[0,1],x(1 −x)≤1
4, en déduire un intervalle de confiance asymptotique
de niveau 100(1 −α)% pour le paramètre p. Pour α= 0.05, comparer avec l’intervalle de confiance
que l’on peut obtenir avec la méthode de la question 1.
3. Sur le site
http://www.huffingtonpost.fr/2013/01/31/sondage--intervention-au-mali-francais
-allemands-britanniques_n_2591442.html
on peut lire que 55% des 884 Français interrogés se sont déclarés favorables à l’intervention au
Mali. En déduire un intervalle de confiance (non asymptotique) à 95% de la proportion de Français
favorables à l’intervention au Mali. Peut-t-on déclarer avec probabilité au plus 5% de se tromper
que la majorité des Français est favorable à ce conflit ? Et avec probabilité 1% de se tromper ?
(Pour cette question, on n’attend pas des calculs trop précis)
Données : Pour q= 1.96,P(−q≤ N(0,1) ≤q)=0.95.
plog(20)/2 = 1.22 plog(40)/2=1.36 plog(100)/2 = 1.52 plog(200)/2=1.63.
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