Université Pierre et Marie Curie Licence - Mathématiques

Université Pierre et Marie Curie
Licence - Mathématiques - LM346
Année 2012–2013
Processus et simulations
Contrôle continu n˚1
15/03/2013
Calculatrices, téléphones et documents sont interdits
Exercice 1 : Simulation de la loi Gamma (6pts) Soit λ > 0. On rappelle que la loi exponentielle de paramètre λ, notée E(λ), admet pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue la
fonction
fλ (x) = λ exp(−λx)1I[0,+∞[ (x).
1. Calculer la fonction de répartition de E(λ) et en déduire une méthode de simulation de la loi
exponentielle de paramètre λ.
2. Soit (Xi )i∈N une suite i.i.d de loi E(λ). On définit la variable aléatoire Sn par Sn = X1 +
X2 + · · · + Xn . Montrer par récurrence sur n que la loi de Sn admet pour densité
fn,λ (x) =
λn
xn−1 e−λx .
(n − 1)!
Cette loi est appelée loi Gamma de paramètres n et λ et notée Γ(n, λ)
3. Proposer une méthode de simulation pour Γ(n, λ).
Exercice 2 : Simulation de la loi Beta (6pts) Soient a > 0, b > 0 deux réels. La loi Beta
de paramètres a et b, notée β(a, b) admet pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue la
fonction
xa−1 (1 − x)b−1
fa,b (x) =
1I[0,1] (x).
B(a, b)
1. Exprimer la valeur de la constante B(a, b) à l’aide d’une intégrale.
2. Reconnaître la loi β(1, 1). Si X ∼ U([0, 1]), montrer que X 2 appartient à la famille des loi
β (on précisera ses paramètres).
3. Pour a > 1 et b > 1, calculer le mode de cette distribution, c’est à dire le point x∗ en lequel la densité fa,b (x∗ ) est maximale.
4. En remarquant que les distributions β sont à support compact, déduire de 3. une méthode
de simulation pour β(a, b).
Intervalles de confiance et sondages (8pts) Soit (Yi ) une suite i.i.d de variables aléatoires
bornées avec a ≤ Yi ≤ b. En notant µ = E[Y1 ] la moyenne de cette distribution, on donne l’inégalité
de Hoeffding :
n
!
1 X
2n2
P Yi − µ ≥ ≤ 2 exp −
n
(b − a)2
i=1
1. Soit α ∈]0, 1[. Donner une fonction f (α, n) telle qu’on ait
" n
#!
n
1X
1X
P µ∈
Yi − (b − a)f (α, n);
Yi + (b − a)f (α, n)
≥1−α
n i=1
n i=1
Quel intervalle de confiance avez-vous construit ?
1
2. Soit (Yi )i∈N est une suite i.i.d suivant B(p). Quelle est la limite du ratio
P
√ n1 ni=1 Yi − p
n p
?
p(1 − p)
En utilisant que pour ∀x ∈ [0, 1], x(1 − x) ≤ 14 , en déduire un intervalle de confiance asymptotique
de niveau 100(1 − α)% pour le paramètre p. Pour α = 0.05, comparer avec l’intervalle de confiance
que l’on peut obtenir avec la méthode de la question 1.
3. Sur le site
http://www.huffingtonpost.fr/2013/01/31/sondage--intervention-au-mali-francais
-allemands-britanniques_n_2591442.html
on peut lire que 55% des 884 Français interrogés se sont déclarés favorables à l’intervention au
Mali. En déduire un intervalle de confiance (non asymptotique) à 95% de la proportion de Français
favorables à l’intervention au Mali. Peut-t-on déclarer avec probabilité au plus 5% de se tromper
que la majorité des Français est favorable à ce conflit ? Et avec probabilité 1% de se tromper ?
(Pour cette question, on n’attend pas des calculs trop précis)
Données : Pour q = 1.96, P(−q ≤ N (0, 1) ≤ q) = 0.95.
p
p
p
log(20)/2 = 1.22
log(40)/2 = 1.36
log(100)/2 = 1.52
2
p
log(200)/2 = 1.63.