Chapitre 07 – Les nombres complexes

Chapitre 07 – Les nombres complexes – Deuxième partie
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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 07 – Les nombres complexes
Deuxième partie
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
( )
O;Ä OI ;Ä OJ .
I. Module, argument et forme trigonométrique d’un nombre complexe
1. Définitions
Définitions :
Soit z un nombre complexe non nul et soit M son point image.
• On appelle module de z et on note
| |
z la distance OM.
• On appelle argument de z et on note arg(z) une mesure de l’angle orienté
( )
Ä
OI ;Ä OM .
• Tout nombre complexe non nul peut s’écrire sous la forme trigonométrique
z=r(cosθ+isinθ) avec r=
| |
z (don c r > 0 ) et θ=arg(z) (2π)
Remarques :
• si M a pour coordonnées polaires [r,θ] alors
| |
z=r et arg(z)=θ (2π).
• Si z est un nombre complexe non nul et Å u son vecteur image.
Alors
| |
z=
| |
z
Åu
=
║ ║
Å
u et arg(z)=arg
( )
z
Åu
=
( )
Ä
OI ;Å u (2π)
Cas particuliers :
• Si z=0 alors M est en O, la distance OM est nulle. On définit alors le module de 0 par
| |
0=0.
Mais attention, 0 n’a pas d’argument. Par conséquent, 0 n’a pas de forme trigonométrique.
• Si x ☻IR alors la valeur absolue de x est égale au module de x
Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique :
Si z est un nombre complexe non nul, de forme algébrique z=x+iy (x et y réels) et de forme
trigonométrique z=r(cosθ+isinθ) alors:
x=rcosθ
y=rsinθ et
| |
z=r=x
2
+y
2
cosθ=
x
r
=
x
x
2
+y
2
et sinθ=
y
r
=
y
x
2
+y
2
2. Propriétés
Propriétés :
Soit z et z′ deux nombres complexes.
• z=0 ñ
| |
z=0
• z=z′ ñ
| |
z=
| |
z′
arg(z)=arg(z′)(2π).
• z☻IR ñ z=0 ou arg(z)=0 (2π) ou arg(z)=π (2π) ñ z=0 ou arg(z)=0 (π) .
• z est imaginaire pur ñ z=0 ou arg(z)=
π
2
(2π) ou arg(z)=-
π
2
(2π) ñ z=0 ou arg(z)=
π
2
(π)

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Opérations sur les modules et arguments :
Soit z et z′ deux nombres complexes non nuls
•
| |
z=zÒz donc
| |
z
2
=zÒz.
• Produit :
| |
zz′ =
| |
z
| |
z′ et arg(zz′)=arg(z)+a rg(z′) (2π)
┐n☻IN ,
| |
z
n
=
| |
z
n
et arg
( )
z
n
=n×arg(z) (2π)
• Inverse :
1
z
=
1
| |
z
et arg
1
z
=-arg(z) (2π).
• Quotient :
z′
z
=
| |
z′
| |
z
et arg
z′
z
=arg(z′)−arg(z) (2π).
• Conjugué :
| |
Òz=
| |
z et arg
( )
Òz=-arg(z) (2π)
• Opposé :
| |
-z=
| |
z et arg(-z)=arg(z)+π (2π)
Interprétation géométrique
3. Distances et angles orientés.
Soient A, B, C trois points distincts deux à deux d’affixes respectives z
A
, z
B
et z
C
.
•
| |
z
B
−z
A
=AB et arg
( )
z
B
−z
A
=
( )
Ä
OI ,Ä AB (2π) ●
z
C
−z
A
z
B
−z
A
=
AC
AB
et arg
z
C
−z
A
z
B
−z
A
=
( )
Ä
AB ;Ä AC (2π)
Application géométrique du calcul du quotient
z
C
−z
A
z
B
−z
A
:
• Si
z
C
−z
A
z
B
−z
A
=k
( )
k☻IR alors Ä AC et Ä AB sont colinéaires et alors les points A, B et C sont alignés.
• Si
z
C
−z
A
z
B
−z
A
=r
( )
r☻IR
+
alors
AC
AB
=r. Si de plus r=1, alors AC=AB.
• Si arg
z
C
−z
A
z
B
−z
A
=θ (2π) alors
( )
Ä
AB ,Ä AC =θ(2π).
Ainsi si θ=0 (π) alors A, B, C sont alignés.
si θ=
π
2
(π) alors ( AB) et (AC) sont perpendiculaires.
II. Forme exponentielle d’un nombre complexe
1. Définition
Soit la fonction f définie sur IR et à valeurs dans IC par f(θ)=cosθ+isinθ.
Justifions que f(θ) peut s’écrire sous la forme exponentielle e
iθ
en montrant que f vérifie la propriété fonctionnelle caractéristique des
fonctions exponentielles càd montrons que f(θ+θ’)=cos( θ+θ’)+isin(θ+θ’) (*)
• Calculons f(θ)×f(θ’)=(cosθ+isinθ)×(cosθ’+isinθ’) =cosθcosθ’−sinθsinθ’+i(cosθsinθ’+cosθ’sinθ).
• Or on sait que cos(θ+θ’)=cosθcosθ’−sinθsinθ’ et sin(θ+θ’)=cosθsinθ’+cosθ’sinθ
• Conclusion : cette fonction f vérifie bien la relation (*) donc il devient légitime d’écrire f(θ)=cosθ+isinθ=e
iθ
Définition : Le nombre complexe de module 1 et dont un argument est θ est noté e
iθ
. Ainsi e
iθ
=cosθ+isinθ.
Conséquence : Tout nombre complexe non nul peut s’écrire sous la forme dite exponentielle z=re
iθ
avec r=
| |
z et θ=arg(z) (2π)
Remarques :
• 0 n’a pas de forme exponentielle. • On peut écrire que z=re
iθ
est une forme exponentielle uniquement si r>0.
• Lorsque θ décrit Ë, l ’ ensemble des points d ’ affixe z tel que z=re
iθ
(r >0 ) est le cercle de centre O et
de rayon r. De manière plus générale, lorsque θ décrit Ë, l
’ ensemble des points d ’ affixe z tel que
z=z
I
+re
iθ
(r >0 ) est le cercle de centre I et de rayon r.

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En notant x+iy la forme algébrique de z, les coordonnées (x;y) des points du cercle de centre I et de rayon r vérifient le
système
x=x
I
+rcosθ
y=y
I
+rsinθ(θ☻Ë). On dit que ce système est une représentation paramétrique de paramètre θ de ce cercle.
Cas particuliers (à retenir…):
•
| |
1 =1 et arg(1)=0(2π) donc 1= e
i0
•
| |
i=1 et arg(i)=
π
2
(2π) donc i=e
i
π
2
.
•
| |
-1=1 et arg(-1)=π(2π) donc -1=e
iπ
.
•
| |
-i=1 et arg(-i)=-
π
2
(2π) donc –i=e
-i
π
2
2. Règles de calculs
Avec la forme exponentielle, les opérations sur les modules et arguments (vues à la page 2) se retiennent plus facilement…
Soit z=re
iθ
et z′=r′e
iθ′
deux nombres complexes non nuls écrits sous forme exponentielle.
• zz′=rr′e
i(θ+θ′)
• ┐n☻IN, z
n
=r
n
e
in θ
•
1
z
=
1
r
e
-iθ
•
z
z′
=
r
r′
e
i(θ−θ′)
III. Exercices Pour tous ces exercices, lorsque c’est nécessaire, le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O;I;J)
Exercice 1
1. Ecrire chacun des nombres suivants sous forme trigonométrique :
z
1
=3 +i; z
2
=1−i; z
3
=- 2 +i2 ; z
4
=4−4i; z
5
=-2i; z
6
=-
1
4
+i
3
4
2. Ecrire chacun des nombres suivants sous forme trigonométrique : z
1
z
5
; -z
1
; z
2
;
z
3
z
4
.
3. Soit z le nombre complexe de module 3 et d’argument -
π
4
. Déterminer la forme algébrique de z.
Exercice 2
Soient A, B, C, D et E les points d’affixes respectives z
A
=2+4i, z
B
=-1−2i, z
C
=-3+4i, z
D
=
3
2
+
11
2
i, z
E
=5i.
Les questions sont indépendantes.
1. Montrer que A appartient au cercle C de diamètre [OE].
2. Montrer que le triangle BAE est rectangle en A.
3. Montrer que O, A et B sont alignés.
4. Montrer que D est le projeté orthogonal de A sur
(CE).
Exercice 3
Soient A et B deux points d’affixes respectives z
A
=2+i et z
B
=4−i. Déterminer algébriquement puis géométriquement :
1. l’ensemble des points M d’affixe z tel que
| |
z−2−i=4
2. l’ensemble des points M d’affixe z tel que
| |
z−2−i=
| |
z−4+i.
Tracer les ensembles trouvés dans le plan complexe.
Exercice 4
1. Placer dans le plan complexe, les points M
1
, M
2
et M
3
images respectives des complexes
z
1
=2
e
i
π
4
; z
2
=
3
2
e
i
π
3
; z
3
=3 e
-2i
π
3
. Déterminer la forme algébrique de chacun de ces complexes.
2. Ecrire sous forme exponentielle: z
1
×z
2
;
z
1
z
2
; z
1
; -z
2
; z
3
5
3. Donner la forme exponentielle de chacun des nombres suivants :
z=(2+2i)(1−i) z=
1+i3
-1+i3
z=i ( ) 6 −i2 z=(-1+i)
12
z=
2−2i
3 +i
Exercice 5
Soit z=3e
i
π
3
. Démontrer que z
57
est un réel. Préciser son signe.
Exercice 6
Soit z= ( ) -3 +i(1−i)
1. Donner la forme algébrique puis la forme exponentielle
de z.
2. En déduire les valeurs exactes de cos
7π
12
et sin
7π
12
.
Exercice 7
1. Donner la forme algébrique du nombre
z= ( ) 1−i3
5
(Astuce : déterminer d’abord la forme
exponentielle de 1−i3 )
2. Donner la forme algébrique de z=
(1+i)
4
( ) 3 +i
3
.
3. Donner la forme algébrique de (1+i)
2002
et
(-1+i)
2002