Lycée Louis-Le-Grand, Paris MPSI 4 – Mathématiques A. Troesch 2013/2014 Fondements 3 – Ensembles, applications Exercice 1 – Soit A, B ⊂ E, et A ∗ B = ∁E A ∩ ∁E B. Exprimer ∁E A, A ∪ B et A ∩ B à l’aide de l’opération ∗. Exercice 2 – Montrer que X ⊂ Y si et seulement s’il existe Z tel que Z ∩ X ⊂ Z ∩ Y et Z ∪ X ⊂ Z ∪ Y . Exercice 3 – Montrer que : a) X \ (Y ∪ Z) = (X \ Y ) ∩ (X \ Z); c) X \ (Y \ Z) = (X \ Y ) ∪ (X ∩ Z); b) X \ (Y ∩ Z) = (X \ Y ) ∪ (X \ Z); d) (X \ Y ) \ Z = X \ (Y ∪ Z). Exercice 4 – Soit k un entier au moins égal à 2, et soit A1 , . . . , Ak des parties d’un ensemble. Montrer : A1 ∪ · · · ∪ Ak = (A1 − A2 ) ∪ (A2 − A3 ) ∪ · · · ∪ (Ak−1 − Ak ) ∪ (Ak − A1 ) ∪ (A1 ∩ · · · ∩ Ak ). Exercice 5 – 1. Soit E un ensemble, et A1 , A2 , B1 et B2 des sous-ensembles de E. Montrer que : (A1 ∪ A2 ) ∩ (A1 ∪ B2 ) ∩ (A2 ∪ B1 ) ∩ (B1 ∪ B2 ) = (A1 ∩ B1 ) ∪ (A2 ∩ B2 ). 2. Plus généralement, soit E un ensemble, n un entier naturel non nul, et A1 , . . . , An , et B1 , . . . , Bn des sous-ensembles de E. Montrer que : ! n [ [ \ [ Bj Ai ∪ (Ai ∩ Bi ) = i=1 X∈P([[1,n]]) i∈X j∈∁I (X) Exercice 6 – Soit f ∈ F E . 1. Montrer que pour tout x ∈ E, x ∈ f −1 (f (x)). Donner un exemple pour lequel f −1 (f (x)) contient au moins deux éléments. 2. Montrer que pour tout A ∈ P(E), A ⊂ f −1 (f (A)). Exemple d’inclusion stricte ? 3. Soit S = {X ∈ P(E) | f −1 (f (X)) = X}. Soit A ∈ P(E) et A′ = f −1 (f (A)). Montrer que A′ ∈ S. Montrer que A′ est le plus petit ensemble de S contenant A. 4. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : (i) f est injective ; (ii) ∀x ∈ E, {x} ∈ S ; (iii) S = P(E) ; (iv) le seul élément X de P(E) vérifiant f −1 (f (X)) = E est E lui-même. Exercice 7 – Soit f : E → F , et f˜ l’application de P(E) dans P(F ) qui à un sous-ensemble A de E associe son image f (A) par f . Soit fˆ l’application de P(F ) dans P(E) qui à un sous-ensemble A′ de P(F ) associe son image réciproque f −1 (A′ ). Montrer que : 1. f est injective ssi f˜ est injective ssi fˆ est surjective. 2. f est surjective ssi f˜ est surjective ssi fˆ est injective. 1 Exercice 8 – Soit A, B, C, D des ensembles. Construire une bijection entre C A×B et (C A )B et une injection de C A × DB dans (C × D)A×B . Exercice 9 – Construire une surjection de N sur lui-même pour laquelle chaque entier possède exactement p antécédents (p > 1 fixé). En construire une pour laquelle chaque entier possède une infinité d’antécédents. Exercice 10 – Soit f une injection de N dans N telle que pour tout n > 0, f (n) 6 n. Montrer que f = idN . Même question en supposant que f est une surjection vérifiant f (n) > n pour tout n ∈ N. Exercice 11 – Soit f une bijection de N dans N. Montrer que pour tout M > 0, il existe N tel que pour tout n > N , f (n) > M . Cette propriété revient à dire que la limite de f (n) lorsque n tend vers l’infini est +∞. Cette propriété est-elle vérifiée pour une injection ? une surjection ? Exercice 12 – Soit E un ensemble, et f : E → E telle que f ◦ f ◦ f = f . Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective. Exercice 13 – Soit E un ensemble, et p : E → E telle que p ◦ p = p. Montrer si p est surjective ou injective, alors p = idE . Exercice 14 – 1. Soit E, F, G trois ensembles tels que E 6= ∅, et soit f : F → G. Montrer que f est injective si et seulement si ∀g, h ∈ F E , (f ◦ g = f ◦ h =⇒ g = h). 2. Soit F, G, H trois ensembles tels que |H| > 2, et soit f : F → G. Montrer que f est surjective si et seulement si ∀g, h ∈ H G , (g ◦ f = h ◦ f =⇒ g = h). Exercice 15 – Soit E un ensemble, et A, B ∈ P(E). Soit f la fonction définie par : f : P(E) X −→ P(A) × P(B) 7−→ (X ∩ A, X ∩ B). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que f soit injective (resp. surjective, resp. bijective). Exercice 16 – Soit E un ensemble non vide, et A, B ∈ P(E). Soit f la fonction définie par : f : P(E) X −→ P(E) × P(E) 7−→ (X ∪ A, X ∪ B). 1. Montrer que f n’est pas surjective. 2. Montrer que f est injective si et seulement si A ∩ B = ∅. Exercice 17 – Soit E un ensemble et f : E −→ E une bijection. La conjugaison par f est l’application : Cf : E E −→ E E ϕ 7−→ f ◦ ϕ ◦ f −1 . 1. Montrer que Cf est une bijection de E E dans lui-même. 2. Étant donné une deuxième bijection g de E dans E, simplifier Cf ◦ Cg . 3. Étant donné deux applications ϕ et ψ de E dans E, simplifier Cf (ϕ) ◦ Cf (ψ). 4. Soit I et S les sous-ensembles de E E constitués des injections et des surjections. Montrer que I et S sont invariants par Cf . 5. Si ϕ est bijective, que dire de (Cf (ϕ))−1 ? 2 Exercice 18 – 1. Soit A et B deux ensembles et f : A → B, g : B → A deux applications telles que g ◦ f est injective, et f ◦ g est surjective. Montrer que f et g sont bijectives. 2. Soit A, B, C des ensembles, f : A → B, g : B → C, h : C → A, trois applications. On suppose que toutes les applications h ◦ g ◦ f , g ◦ f ◦ h et f ◦ h ◦ g sont chacune soit injective soit surjective. On suppose de plus qu’au moins une de ces applications est injective, et au moins une est surjective. Montrer que f , g et h sont des bijections. 3. Généraliser à n ensembles A1 , . . . , An et n applications fi : Ai → Ai+1 , i ∈ [[1, n − 1]], et fn : An → A1 . Exercice 19 – On pose P = {z ∈ C | Im z > 0}, et D = {z ∈ C | |z| < 1}. On note f l’application définie pour tout z 6= i par f (z) = z−i z+i . 1. Montrer que f réalise une bijection de P sur D. 2. Soit (a, b, c, d) ∈ R4 tels que ad − bc = 1. On considère l’application h définie dans C par h(z) = az+b cz+d . (a) Montrer que pour tout z du domaine de définition D de h, Im z . |cz + d|2 Im h(z) = (b) En déduire que h est une bijection de P sur P . Exercice 20 – Soit E, F , G, H quatre ensembles, et f , g, s, i quatres applications telles que ci-dessous : s E f G ! (∃ ? h) i F g H On suppose que g ◦ s = i ◦ f (on dit que le carré, ou le diagramme, est commutatif), et que s est surjective, et i est injective. Montrer qu’il existe une unique application h : F → G telle que f = h ◦ s et g = i ◦ h. Exercice 21 – (Factorisation d’une application.) 1. Soit f : F −→ E et g : G −→ E deux applications. Montrer qu’il existe une application h : G −→ F telle que g = f ◦ h si et seulement si g(G) ⊂ f (F ). À quelle condition h est-elle unique ? 2. Soit f : E −→ F et g : E −→ G deux applications. Montrer qu’il existe une application h : F −→ G telle que g = h ◦ f si et seulement si : ∀x, y ∈ E, (f (x) = f (y) =⇒ g(x) = g(y)). À quelle condition h est-elle unique ? Exercice 22 – Soit E un ensemble non vide, A et B deux parties de E, et f : P(E) −→ P(E) l’application définie par f (X) = (A ∩ X) ∪ (B ∩ X), où X désigne le complémentaire de X dans E. Résoudre et discuter l’équation f (X) = ∅. 3