Ensembles, applications

Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2013/2014
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Fondements 3 – Ensembles, applications
Exercice 1 – Soit A, B ⊂E, et A∗B=∁EA∩∁EB. Exprimer ∁EA,A∪Bet A∩Bà l’aide de l’opération ∗.
Exercice 2 – Montrer que X⊂Ysi et seulement s’il existe Ztel que Z∩X⊂Z∩Yet Z∪X⊂Z∪Y.
Exercice 3 – Montrer que :
a)X\(Y∪Z) = (X\Y)∩(X\Z); b)X\(Y∩Z) = (X\Y)∪(X\Z);
c)X\(Y\Z) = (X\Y)∪(X∩Z); d) (X\Y)\Z=X\(Y∪Z).
Exercice 4 – Soit kun entier au moins égal à 2, et soit A1,...,Akdes parties d’un ensemble. Montrer :
A1∪ · · · ∪ Ak= (A1−A2)∪(A2−A3)∪ · · · ∪ (Ak−1−Ak)∪(Ak−A1)∪(A1∩ · · · ∩ Ak).
Exercice 5 –
1. Soit Eun ensemble, et A1,A2,B1et B2des sous-ensembles de E. Montrer que :
(A1∪A2)∩(A1∪B2)∩(A2∪B1)∩(B1∪B2) = (A1∩B1)∪(A2∩B2).
2. Plus généralement, soit Eun ensemble, nun entier naturel non nul, et A1,...,An, et B1,...,Bndes sous-ensembles
de E. Montrer que :
n
[
i=1
(Ai∩Bi) = \
X∈P([[1,n]]) 
 [
i∈X
Ai!∪
[
j∈∁I(X)
Bj
Exercice 6 – Soit f∈FE.
1. Montrer que pour tout x∈E,x∈f−1(f(x)). Donner un exemple pour lequel f−1(f(x)) contient au moins deux
éléments.
2. Montrer que pour tout A∈ P(E),A⊂f−1(f(A)). Exemple d’inclusion stricte ?
3. Soit S={X∈ P(E)|f−1(f(X)) = X}. Soit A∈ P(E)et A′=f−1(f(A)). Montrer que A′∈S. Montrer que A′
est le plus petit ensemble de Scontenant A.
4. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) fest injective ;
(ii) ∀x∈E, {x} ∈ S;
(iii) S=P(E);
(iv) le seul élément Xde P(E)vérifiant f−1(f(X)) = Eest Elui-même.
Exercice 7 – Soit f:E→F, et ˜ fl’application de P(E)dans P(F)qui à un sous-ensemble Ade Eassocie son image
f(A)par f. Soit ˆ fl’application de P(F)dans P(E)qui à un sous-ensemble A′de P(F)associe son image réciproque
f−1(A′). Montrer que :
1. fest injective ssi ˜ fest injective ssi ˆ fest surjective.
2. fest surjective ssi ˜ fest surjective ssi ˆ fest injective.
1

Exercice 8 – Soit A, B, C, D des ensembles. Construire une bijection entre CA×Bet (CA)Bet une injection de CA×DB
dans (C×D)A×B.
Exercice 9 – Construire une surjection de Nsur lui-même pour laquelle chaque entier possède exactement pantécédents
(p>1fixé). En construire une pour laquelle chaque entier possède une infinité d’antécédents.
Exercice 10 – Soit fune injection de Ndans Ntelle que pour tout n>0,f(n)6n. Montrer que f= idN. Même
question en supposant que fest une surjection vérifiant f(n)>npour tout n∈N.
Exercice 11 – Soit fune bijection de Ndans N. Montrer que pour tout M>0, il existe Ntel que pour tout n>N,
f(n)>M. Cette propriété revient à dire que la limite de f(n)lorsque ntend vers l’infini est +∞. Cette propriété est-elle
vérifiée pour une injection ? une surjection ?
Exercice 12 – Soit Eun ensemble, et f:E→Etelle que f◦f◦f=f. Montrer que fest injective si et seulement si f
est surjective.
Exercice 13 – Soit Eun ensemble, et p:E→Etelle que p◦p=p. Montrer si pest surjective ou injective, alors p= idE.
Exercice 14 –
1. Soit E, F, G trois ensembles tels que E6=∅, et soit f:F→G. Montrer que fest injective si et seulement si
∀g, h ∈FE,(f◦g=f◦h=⇒g=h).
2. Soit F, G, H trois ensembles tels que |H|>2, et soit f:F→G. Montrer que fest surjective si et seulement si
∀g, h ∈HG,(g◦f=h◦f=⇒g=h).
Exercice 15 – Soit Eun ensemble, et A, B ∈ P(E). Soit fla fonction définie par :
f:P(E)−→ P(A)× P(B)
X7−→ (X∩A, X ∩B).
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que fsoit injective (resp. surjective, resp. bijective).
Exercice 16 – Soit Eun ensemble non vide, et A, B ∈ P(E). Soit fla fonction définie par :
f:P(E)−→ P(E)× P(E)
X7−→ (X∪A, X ∪B).
1. Montrer que fn’est pas surjective.
2. Montrer que fest injective si et seulement si A∩B=∅.
Exercice 17 – Soit Eun ensemble et f:E−→ Eune bijection. La conjugaison par fest l’application :
Cf:EE−→ EE
ϕ7−→ f◦ϕ◦f−1.
1. Montrer que Cfest une bijection de EEdans lui-même.
2. Étant donné une deuxième bijection gde Edans E, simplifier Cf◦Cg.
3. Étant donné deux applications ϕet ψde Edans E, simplifier Cf(ϕ)◦Cf(ψ).
4. Soit Iet Sles sous-ensembles de EEconstitués des injections et des surjections. Montrer que Iet Ssont invariants
par Cf.
5. Si ϕest bijective, que dire de (Cf(ϕ))−1?
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Exercice 18 –
1. Soit Aet Bdeux ensembles et f:A→B,g:B→Adeux applications telles que g◦fest injective, et f◦gest
surjective. Montrer que fet gsont bijectives.
2. Soit A,B,Cdes ensembles, f:A→B,g:B→C,h:C→A, trois applications. On suppose que toutes les
applications h◦g◦f,g◦f◦het f◦h◦gsont chacune soit injective soit surjective. On suppose de plus qu’au moins
une de ces applications est injective, et au moins une est surjective. Montrer que f,get hsont des bijections.
3. Généraliser à nensembles A1,...,Anet napplications fi:Ai→Ai+1,i∈[[1, n −1]], et fn:An→A1.
Exercice 19 –
On pose P={z∈C|Im z > 0}, et D={z∈C| |z|<1}.
On note fl’application définie pour tout z6= i par f(z) = z−i
z+i .
1. Montrer que fréalise une bijection de Psur D.
2. Soit (a, b, c, d)∈R4tels que ad −bc = 1. On considère l’application hdéfinie dans Cpar h(z) = az+b
cz+d.
(a) Montrer que pour tout zdu domaine de définition Dde h,
Im h(z) = Im z
|cz +d|2.
(b) En déduire que hest une bijection de Psur P.
Exercice 20 – Soit E,F,G,Hquatre ensembles, et f,g,s,iquatres applications telles que ci-dessous :
E F
G H
s
f
i
g
(∃!h)?
On suppose que g◦s=i◦f(on dit que le carré, ou le diagramme, est commutatif), et que sest surjective, et iest
injective.
Montrer qu’il existe une unique application h:F→Gtelle que f=h◦set g=i◦h.
Exercice 21 – (Factorisation d’une application.)
1. Soit f:F−→ Eet g:G−→ Edeux applications. Montrer qu’il existe une application h:G−→ Ftelle que
g=f◦hsi et seulement si g(G)⊂f(F).
À quelle condition hest-elle unique ?
2. Soit f:E−→ Fet g:E−→ Gdeux applications. Montrer qu’il existe une application h:F−→ Gtelle que
g=h◦fsi et seulement si : ∀x, y ∈E, (f(x) = f(y) =⇒g(x) = g(y)).
À quelle condition hest-elle unique ?
Exercice 22 – Soit Eun ensemble non vide, Aet Bdeux parties de E, et f:P(E)−→ P(E)l’application définie par
f(X) = (A∩X)∪(B∩X), où Xdésigne le complémentaire de Xdans E. Résoudre et discuter l’équation f(X) = ∅.
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