Fonctions, applications, injections, surjections et bijections

Fonctions, applications, injections, surjections et bijections
Commentaires : Les notions d’injectivité, surjectivité sont vue ici en début d’année. Elles
seront utilisées au second semestre en algèbre linéaire
Exercice
1.
Tracer le graphe d’une fonction :
a- ni injective ni surjective
b- injective et non surjective
c- surjective et non bijective
d- injective et surjective
Exercice
2.
Soient A, B et C trois ensembles, f une application de A vers B et g une
application de B vers C. Montrer que :
a- Si f et g sont injectives, alors g
Error!
f est injective. La réciproque est-elle vraie ?
b- Si f et g sont surjectives, alors g
Error!
f est surjective. La réciproque est-elle vraie ?
c- Si f et g sont bijectives, alors g
Error!
f est bijective. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice
3.
Soient P et D deux parties de  définies par :
P={z  / Im(z)>0} et D={z  / |z|<1}
Montrer que l’application f définie par :
zi
zzi
est une bijection de P sur D. Déterminer
l’application réciproque f –1.
Exercice
4.
Soit f une application de E vers F. Soit A et B deux sous-ensembles de E.
1- Montrer que f(A B) = f(A) f(B).
2- A-t-on le même résultat avec l’intersection ? Quelle relation peut-on écrire ?
3- A-t-on f
A
=
)A ( f
?
Exercice
5.
Soit A et B deux ensembles finis.
1- Montrer que s’il existe une injection de A vers B alors Card(A) Card (B).
2- Montrer que s’il existe une surjection de A vers B alors Card(A) Card (B).
3- Que peut-on conclure s’il existe une bijection de A vers B ? En déduire une
condition nécessaire pour pouvoir construire une bijection entre deux ensembles finis. Est-elle
suffisante ? Combien peut-on construire de bijections différentes entre deux ensembles de
cardinal égal à n ?
Exercice
6.
1- Soit f définie sur  par f(x)=sin(x). Donner f(A) pour A=
,0
2
, pour
A=
2
,
23
, pour A=
k ,k
3
Z
.
Donner f-1(B) pour B=
2,
, pour B=
13
,
22
, pour B=*.

2- Mêmes questions pour g définie sur  par g(x)=
1
x² 2
et A=[3,4], A=]-2,0[ ]0,1[,
A={-5,-3,3}, A=* puis B=
1,1
3
, B=
1
3, 4
puis pour h définie sur  par h(z)=Re(z-1)
avec B={3}, B=
2,
.
Exercice
7.
Soit f l'application de  dans lui-même définie par f(n) = 3n2 − n + 7. Justifier
que f est bien à valeurs dans . f est-elle injective ? Surjective ?
Mêmes questions pour l'application g de  dans lui-même définie par g(n) = n2 − 2n + 2.
Exercice
8.
Donner un exemple de fonctions f et g telles que :
 g f soit injective mais g non injective.
 g f soit surjective mais f non surjective.
Exercice
9.
Pour chacune des applications suivantes, dire si elle est injective, surjective,
bijective.
f1
n n+1
NN
; f2
n n+1
ZZ
; f3
3
xx
RR
; f4
42
x x 3x 5
RR
f5
[-1,1]
x cos(x)
R]
; f6
[0,2 ] [-1,1]
x cos(x)
; f7
[0, ] [-1,1]
x cos(x)
; f8
[0, [ [-1,1]
x cos(x)
;
f9
+
z z+1
CR