Fonctions, applications, injections, surjections et bijections Commentaires : Les notions d’injectivité, surjectivité sont vue ici en début d’année. Elles seront utilisées au second semestre en algèbre linéaire Exercice 1. Tracer le graphe d’une fonction : a- ni injective ni surjective b- injective et non surjective c- surjective et non bijective d- injective et surjective Exercice 2. Soient A, B et C trois ensembles, f une application de A vers B et g une application de B vers C. Montrer que : a- Si f et g sont injectives, alors g Error! f est injective. La réciproque est-elle vraie ? b- Si f et g sont surjectives, alors g Error! f est surjective. La réciproque est-elle vraie ? c- Si f et g sont bijectives, alors g Error! f est bijective. La réciproque est-elle vraie ? Exercice 3. Soient P et D deux parties de définies par : P={z / Im(z)>0} et D={z / |z|<1} zi Montrer que l’application f définie par : z est une bijection de P sur D. Déterminer zi l’application réciproque f –1. Exercice 4. Soit f une application de E vers F. Soit A et B deux sous-ensembles de E. 1- Montrer que f(A B) = f(A) f(B). 2- A-t-on le même résultat avec l’intersection ? Quelle relation peut-on écrire ? 3- A-t-on f A = f ( A ) ? Exercice 5. Soit A et B deux ensembles finis. 1- Montrer que s’il existe une injection de A vers B alors Card(A) Card (B). 2- Montrer que s’il existe une surjection de A vers B alors Card(A) Card (B). 3- Que peut-on conclure s’il existe une bijection de A vers B ? En déduire une condition nécessaire pour pouvoir construire une bijection entre deux ensembles finis. Est-elle suffisante ? Combien peut-on construire de bijections différentes entre deux ensembles de cardinal égal à n ? Exercice 6. 1- Soit f définie sur par f(x)=sin(x). Donner f(A) pour A= , 0 , pour 2 2 A= , , pour A= k, k Z . 2 3 3 1 3 Donner f-1(B) pour B= 2, , pour B= , , pour B=*. 2 2 2- Mêmes questions pour g définie sur par g(x)= 1 et A=[3,4], A=]-2,0[ x² 2 ]0,1[, 1 1 A={-5,-3,3}, A=* puis B= ,1 , B= 3, puis pour h définie sur par h(z)=Re(z-1) 4 3 avec B={3}, B= 2, . Exercice 7. Soit f l'application de dans lui-même définie par f(n) = 3n2 − n + 7. Justifier que f est bien à valeurs dans . f est-elle injective ? Surjective ? Mêmes questions pour l'application g de dans lui-même définie par g(n) = n2 − 2n + 2. Exercice 8. Donner un exemple de fonctions f et g telles que : g f soit injective mais g non injective. g f soit surjective mais f non surjective. Exercice 9. Pour chacune des applications suivantes, dire si elle est injective, surjective, bijective. R N N Z Z R R R f1 ; f2 ; f3 ; f4 3 4 n+1 n+1 x x 3x 2 5 n n x x R [-1,1]] [0,2] [-1,1] [0,] [-1,1] [0,[ [-1,1] f5 ; f6 ; f7 ; f8 ; cos(x) cos(x) cos(x) cos(x) x x x x C R + f9 z+1 z