PCSI 1 Applications/Arithmétique L ycée Applications 8 R → R . 1 Soit f : x 7→ x2 a) Calculer f ([−2, 2]) et f ([−1, 2]). b) Calculer f −1 ([0, 3]), f −1 ([−1, 3]), f −1 ([−2, −1]). (B) . Soient E, F des ensembles, f : E → F une application et A, B ∈ P(E). a) (Cours.) Montrer : f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). b) Montrer que si f est injective, f (A) ∩ f (B) ⊂ f (A ∩ B). 10 Arithmétique. R2 → R3 . (x1 , x2 ) 7→ f ((x1 , x2 )) = (1, x1 + x2 , x1 − x2 ) 11 Montrer que f est injective. Est-elle surjective ? Soit f : Montrer que pour tout n impair, le nombre 7n + 1 est divisible par 8. Lorsque n est pair, donner le reste dans la division euclidienne de 7n + 1 par 8. Indication : 7 = 8 − 1... R → C 1+ix x 7→ 1−ix Soit l'application f: C∗ → C z 7→ z + 1 z 13 Combien le nombre 10! a-t-il de diviseurs ? 14 Petit théorème de Fermat p 1. Soit p un nombre premier et k ∈ J1, p−1K. Montrer que p divise . k 2. En déduire que p divise np − n. . 3. En déduire que si p ne divise pas n, alors, il divise np−1 − 1. 1. L'application f est-elle injective ? Surjective ? 2. Montrer l'égalité f (U) = [−2, 2]. 3. Décrire l'ensemble f −1 (iR). Feuille d'exercices 10 Calculer le PGCD de 498 et de 222. 12 a) L'application est-elle bien dénie ? b) L'application est-elle surjective ? Injective ? c) Montrer que f (R) = U \ {−1}. d) Déterminer f −1 (R). 7 Montrer que la relation ∼ dénie sur R par est une relation d'équivalence. Pour x xé dans R, préciser le nombre d'éléments dans la classe d'équivalence de x. Soient E, F, G trois ensembles, f : E → F et g : F → G deux applications. a) Montrer que si g ◦ f est surjective, alors g est surjective. b) Montrer que si g ◦ f est injective, alors f est injective. 6 si x ≥ 0 si x < 0. x ∼ y ⇐⇒ xey = yex , 4 x2 2x2 9 3 Soit l'application f : On dénit comme suit une relation binaire sur Z : on dit qu'un entier x est en relation avec un entier y , et on note x ∼ y si x + y est pair. Montrer que ∼ est une relation d'équivalence. Décrire les classes d'équivalence associées. Soit f : E → F une application. Soient deux parties A ⊂ E et B ⊂ F . Montrer l'égalité −1 5 2 est irrationnel. S chweitzer i) Montrer que f n'est pas injective. ii) Montrer que f|Q (restriction de f à Q) est injective. 2 √ b) Soit l'application f : R → R dénie par f (x) = f (A) ∩ B = f A ∩ f a) Montrer que Albert 1 2016-2017