Fonctions, applications, bijections

Fonctions, applications, injections, surjections et bijections
Commentaires : Les notions d’injectivité, surjectivité sont vue ici en début d’année. Elles
seront utilisées au second semestre en algèbre linéaire
Exercice 1. Tracer le graphe d’une fonction :
a- ni injective ni surjective
b- injective et non surjective
c- surjective et non bijective
d- injective et surjective
Exercice 2. Soient A, B et C trois ensembles, f une application de A vers B et g une
application de B vers C. Montrer que :
a- Si f et g sont injectives, alors g ° f est injective. La réciproque est-elle vraie ?
b- Si f et g sont surjectives, alors g ° f est surjective. La réciproque est-elle vraie ?
c- Si f et g sont bijectives, alors g ° f est bijective. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 3. Soient P et D deux parties de ¬ définies par :
P={z ∈ ¬ / Im(z)>0} et D={z ∈ ¬ / |z|<1}
z−i
Montrer que l’application f définie par : z ֏
est une bijection de P sur D. Déterminer
z+i
l’application réciproque f –1.
Exercice 4. Soit f une application de E vers F. Soit A et B deux sous-ensembles de E.
1- Montrer que f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B).
2- A-t-on le même résultat avec l’intersection ? Quelle relation peut-on écrire ?
3- A-t-on f A = f ( A ) ?
( )
Exercice 5. Soit A et B deux ensembles finis.
1- Montrer que s’il existe une injection de A vers B alors Card(A) ≤ Card (B).
2- Montrer que s’il existe une surjection de A vers B alors Card(A) ≥ Card (B).
3- Que peut-on conclure s’il existe une bijection de A vers B ? En déduire une
condition nécessaire pour pouvoir construire une bijection entre deux ensembles finis. Est-elle
suffisante ? Combien peut-on construire de bijections différentes entre deux ensembles de
cardinal égal à n ?
 π 
Exercice 6. 1- Soit f définie sur — par f(x)=sin(x). Donner f(A) pour A=  − , 0  , pour
 2 
 π 2π 
π

A=  ,  , pour A=  + kπ, k ∈ Z  .
2 3 
3

 1 3
Donner f-1(B) pour B= [ 2, +∞[ , pour B=  − ,
 , pour B=—*.
 2 2 
2- Mêmes questions pour g définie sur — par g(x)=
1
et A=[3,4], A=]-2,0[ ∪ ]0,1[,
x² + 2
1
1 

A={-5,-3,3}, A=—* puis B=  ,1 , B=  −3,  puis pour h définie sur ¬ par h(z)=Re(z-1)
4
3 

avec B={3}, B= [ 2, +∞[ .
Exercice 7. Soit f l'application de Ù dans lui-même définie par f(n) = 3n2 − n + 7. Justifier
que f est bien à valeurs dans Ù. f est-elle injective ? Surjective ?
Mêmes questions pour l'application g de Ù dans lui-même définie par g(n) = n2 − 2n + 2.
Exercice 8. Donner un exemple de fonctions f et g telles que :
• g f soit injective mais g non injective.
• g f soit surjective mais f non surjective.
Exercice 9. Pour chacune des applications suivantes, dire si elle est injective, surjective,
bijective.
R
N → N
Z → Z
R → R
R →
f1 
; f2 
; f3 
; f4 
3
4
2
 n ֏ n+1
 n ֏ n+1
x ֏ x
 x ֏ x + 3x − 5
R
f5 
x
C
f9 
 z
→ [-1,1]
[0,2π] → [-1,1]
[0,π] → [-1,1]
[0,π[ → [-1,1]
; f6 
; f7 
; f8 
;
֏ cos(x)
֏ cos(x)
֏ cos(x)
֏ cos(x)
 x
 x
 x
→
R+
֏
z+1