Fonctions, applications, bijections

Fonctions, applications, injections, surjections et bijections
Commentaires : Les notions d’injectivité, surjectivité sont vue ici en début d’année. Elles
seront utilisées au second semestre en algèbre linéaire
Exercice 1. Tracer le graphe d’une fonction :
a- ni injective ni surjective
b- injective et non surjective
c- surjective et non bijective
d- injective et surjective
Exercice 2. Soient A, B et C trois ensembles, f une application de A vers B et g une
application de B vers C. Montrer que :
a- Si f et g sont injectives, alors g
°
f est injective. La réciproque est-elle vraie ?
b- Si f et g sont surjectives, alors g
°
f est surjective. La réciproque est-elle vraie ?
c- Si f et g sont bijectives, alors g
°
f est bijective. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 3. Soient P et D deux parties de ¬ définies par :
P={z
∈
¬ / Im(z)>0} et D={z
∈
¬ / |z|<1}
Montrer que l’application f définie par :
z i
z
z i
−
+
֏ est une bijection de P sur D. Déterminer
l’application réciproque f
–1
.
Exercice 4. Soit f une application de E vers F. Soit A et B deux sous-ensembles de E.
1- Montrer que f(A
∪
B) = f(A)
∪
f(B).
2- A-t-on le même résultat avec l’intersection ? Quelle relation peut-on écrire ?
3- A-t-on f
(
)
A
= )A ( f ?
Exercice 5. Soit A et B deux ensembles finis.
1- Montrer que s’il existe une injection de A vers B alors Card(A)
≤
Card (B).
2- Montrer que s’il existe une surjection de A vers B alors Card(A)
≥
Card (B).
3- Que peut-on conclure s’il existe une bijection de A vers B ? En déduire une
condition nécessaire pour pouvoir construire une bijection entre deux ensembles finis. Est-elle
suffisante ? Combien peut-on construire de bijections différentes entre deux ensembles de
cardinal égal à n ?
Exercice 6. 1- Soit f définie sur — par f(x)=sin(x). Donner f(A) pour A=
,0
2
π
−
, pour
A=
2
,
2 3
π π
, pour A= k ,k
3
π
+ π ∈
Z
.
Donner f
-1
(B) pour B=
[
[
2,
+∞
, pour B=
1 3
,
2 2
−
, pour B= — *.

2- Mêmes questions pour g définie sur — par g(x)=
1
x² 2
+
et A=[3,4], A=]-2,0[
∪
]0,1[,
A={-5,-3,3}, A=— * puis B=
1
,1
3
, B=
1
3,
4
−
puis pour h définie sur ¬ par h(z)=Re(z-1)
avec B={3}, B=
[
[
2,
+∞
.
Exercice 7. Soit f l'application de Ù dans lui-même définie par f(n) = 3n
2
− n + 7. Justifier
que f est bien à valeurs dans Ù . f est-elle injective ? Surjective ?
Mêmes questions pour l'application g de Ù dans lui-même définie par g(n) = n
2
− 2n + 2.
Exercice 8. Donner un exemple de fonctions f et g telles que :
• g f soit injective mais g non injective.
• g f soit surjective mais f non surjective.
Exercice 9. Pour chacune des applications suivantes, dire si elle est injective, surjective,
bijective.
f
1
n n+1
→
֏
N N
; f
2
n n+1
→
֏
Z Z
; f
3
3
x x
→
֏
R R
; f
4
4 2
x x 3x 5
→
+ −
֏
R R
f
5
[-1,1]
x cos(x)
→
֏
R 
; f
6
[0,2 ] [-1,1]
x cos(x)
π →
֏
; f
7
[0, ] [-1,1]
x cos(x)
π →
֏
; f
8
[0, [ [-1,1]
x cos(x)
π →
֏
;
f
9
+
z z+1
→
֏
C R