Feuille d`exercices: Logique-Théorie des ensembles 1Bio1 Exercice

Feuille d’exercices: Logique-Th´eorie des ensembles 1Bio1
Exercice 1 Aet B´etant deux propositions, compl´eter les ´enonc´es ´equivalents `a AB:
(a) . . .implique . . ..
(b) Pour que . . .il suffit que . . ..
(c) Pour que . . .il est n´ecessaire que . . ..
(d) Une condition n´ecessaire pour que . . .est que . . ..
(e) Une condition suffisante pour que . . .est que . . ..
Exercice 2 Les propositions suivantes sont elles vraies ? Sinon ´enoncer leur n´egation :
xN, x2>5.(1)
xN, x2>5.(2)
xN,yN, y > x2.(3)
yN,xN, y > x2.(4)
xR,zR,yR, x < y z.(5)
yR,xR,(x+y)22y=x2+y2.(6)
Exercice 3 Trois r´eels strictement positifs a, b, c satisfont aux conditions :
(7) abc > 1 et a+b+c < 1
a+1
b+1
c.
D´emontrer que :
(a) aucun des 3 nombres n’est ´egal `a 1.
(b) l’un des trois nombres (au moins) est inf´erieur `a 1.
Exercice 4
(a) Factoriser l’expression xy xy+ 1.
(b) Soient xet ydeux r´eels strictement positifs. D´emontrer que :
(8) x1 ou y > 1 ou x+y
1 + xy 1.
Exercice 5 Soit Eun ensemble, soient A, B, C des parties de E. D´emontrer que :
(a) ((AC)(AB)et (AC)(AB)) CB.
(b) (A(BC)et (BC)A)A=B=C.
Exercice 6 Aet B´etant des parties donn´ees d’un ensemble E, r´esoudre l’´equation d’inconnue X:
(9) AX=B.
Exercice 7 Soient Eet Fdeux ensembles et Fune application de Evers F. Que signifient les propositions
suivantes :
xE, yF, y =f(x);(10)
yF, xE, y =f(x);(11)
yF, xE, y =f(x);(12)
xE, yF, y =f(x).(13)
Exercice 8 Soient fet gdeux applications de Ndans Nefinies par :
si xest pair, f(x) = x+ 3, g(x) = x
2;(14)
si xest impair, f(x) = x1, g(x) = x+ 1
2.(15)
fet gsont elles injectives ? surjectives ? bijectives ? D´eterminer gf.
Exercice 9 Soient les applications fet gde R2dans R2efinies par :
(16) f(x, y)=(x+y, 3x+ 2y) et g(x, y)=(|x|+y, 3|x|+ 2y).
1
2
(a) D´emontrer que fest bijective et donner f1.
(b) D´emontrer que gn’est ni injective ni surective.
Exercice 10 Soient Eet Fdeux ensembles et fune application de Evers F.
(a) D´emontrer que :
(A, B)P(E)2, f (AB) = f(A)f(B)(17)
f(AB)f(A)f(B);(18)
BP(F), f(f1(B)) B(19)
(b) D´emontrer les ´equivalences suivantes :
((A, B)P(E)2, f (AB) = f(A)f(B)) finjective ;(20)
(BP(F), f(f1(B))) = Bfsurjective.(21)
Exercice 11 Soient E, F, G trois ensembles, fune application de Evers Fet gune application de Fvers
G.
(a) D´emontrer que
gfinjective finjective ;(22)
gfsurjective gsurjective.(23)
(b) On prend E=F=G=N. Soit fet gdes applications de Nvers Nefinies par
nNf(n) = n+ 1;(24)
nNg(n) = n1 et g(0) = 1.(25)
(26)
fet gsont elles injectives ? surjectives ? D´eterminer fget gfet d´eduire de cet exemple que si gf
est surjective (resp. injective) on ne peut rien dire des propri´et´es de f(resp. g).
(c) Soit les ensembles E, F, G, H et les applications fde Evers F,gde Fvers Get hde Gvers H.
D´emontrer en utilisant a) que si gfet hgsont bijectives, alors f, g et hle sont.
(d) On suppose H=Eet on pose α=fhg,β=gfh,γ=hgf. D´emontrer que si αet βsont
injectives et γsurjective alors f, g et hsont bijectives.
Exercice 12 Soit Eun ensemble, Aet Bdeux parties de E. Soit l’application :
f:P(E)P(A)×P(B)
X7−(XA, X B).
(27)
(a) D´emontrer que : finjective AB=E.
(b) D´emontrer que : fsurjective AB=.
(c) A quelle condition fest-elle bijective ? Expliciter alors f1.
Exercice 13 Soient E,Fdeux ensembles et fune application de Edans F. On pose :
f:P(E)P(F)(28)
Xf(X) := f(X)(29)
Montrer que :
(a) finjective finjective.
(b) fsurjective fsurjective.
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