Math. Sup. 2011-2012 T.D. Algèbre n° 4 Math.

Math. Sup. 2011-2012
T.D. Algèbre n° 4
Math.
Exercice 1
Etudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité des applications suivantes :
i)
f : [ 0;1] → [ −1;1]
f ( x) = x 2
ii) g : [0; π] → [−1;1]
g ( x) = sin x
iii) j : ℂ → ℝ +
j(z) = | z |
Exercice 2
Soient f et g deux fonctions de ℕ dans ℕ définies par :
 x
si x est pair
 2
f(x) = 2 x et g(x) = 
 x − 1 si x est impair
 2
i) Etudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de f et g.
ii) Préciser g f et f g puis étudier leur injectivité et leur surjectivité.
Exercice 3
R→R
Soit la fonction f :
x֏
x .
1+ x
i) Montrer que f est une bijection de ℝ sur une partie J de ℝ à préciser.
ii) Expliciter f -1.
Exercice 4
Soient E, F et G des ensembles et f : E → F et g : F → G des applications.
Montrer que :
i)
si g f est injective et f surjective, alors g est injective
ii)
si g f est surjective et g injective, alors f est surjective
T.S.V.P.
ICAM Toulouse
I1
Exercice 5
Soit f : E → F une application. Montrer que :
i) f surjective ⇔ ∀ B ⊂ F , f ( f −1 ( B)) = B
ii) f injective ⇒ ∀ A ⊂ E , f ( A) ⊂ f ( A)
Exercice 6
Soit (E, *) un magma avec E = ℝ et la l.c.i.
*
définie par : x * y = x y + (x2 – 1 ) (y2 – 1).
i)
Vérifier que
ii)
Résoudre dans E : 2 * x = 5 puis x * x = 1.
*
est commutative, non associative et admet un élément neutre.
Exercice 7
Soit (E, *) un monoïde. Un élément x de E est dit idempotent si et seulement si x * x = x.
Montrer que si x et y sont idempotents et commutent alors x * y est idempotent.
Exercice 8
Soit * une l.c.i. définie dans ℝ par : x * y = x + y – xy.
i)
Etudier l’associativité, la commutativité, l’existence de l’élément neutre et
l’existence de l’élément symétrique pour la loi *
ii)
Pour (n; a ) ∈ ℕ * ×ℝ , exprimer : a * a * … * a (n fois) à l’aide de a de n et des lois
usuelles dans ℝ.
ICAM Toulouse
I1