Math. Sup. 2011-2012 T.D. Algèbre n° 4 Math.

T.S.V.P.
ICAM Toulouse I1
Math. Sup. 2011-2012 T.D. Algèbre n° 4 Math.
Exercice 1
Etudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité des applications suivantes :
i)
[
]
[
]
2
: 0;1 1;1 ( )
f f x x
→ − =
ii)
[
]
[
]
: 0; 1;1 ( ) sin
π → − =
g g x x
iii) j :
ℂ
→
+
ℝ
j(z) = | z |
Exercice 2
Soient f et g deux fonctions de
ℕ
dans
ℕ
définies par :
f(x) = 2 x et g(x) =
si est pair
21
si est impair
2
xx
xx
−
i) Etudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de f et g.
ii) Préciser
g
f
f
g
et
puis étudier leur injectivité et leur surjectivité.
Exercice 3
Soit la fonction :1
f
x
x
x
→
+
֏
R R
.
i) Montrer que f est une bijection de
ℝ
sur une partie J de
ℝ
à préciser.
ii) Expliciter f
-1
.
Exercice 4
Soient E, F et G des ensembles et : et :
f E F g F G
→ →
des applications.
Montrer que :
i) si
g
f
est injective et f surjective, alors g est injective
ii) si
g
f
est surjective et g injective, alors f est surjective

ICAM Toulouse
I1
Exercice 5
Soit
f
E
F
:
→
une application. Montrer que :
i) f surjective
1
, ( ( ))
B F f f B B
−
⇔ ∀ ⊂ =
ii) f injective ⇒
, ( ) ( )
A E f A f A
∀ ⊂ ⊂
Exercice 6
Soit (E,
*
) un magma avec E =
ℝ
et la l.c.i.
*
définie par : x
*
y = x y + (x
2
– 1 ) (y
2
– 1).
i) Vérifier que
*
est commutative, non associative et admet un élément neutre.
ii) Résoudre dans E : 2
*
x = 5 puis x
*
x = 1.
Exercice 7
Soit (E,
*
) un monoïde. Un élément x de E est dit idempotent si et seulement si x
*
x = x.
Montrer que si x et y sont idempotents et commutent alors x
*
y est idempotent.
Exercice 8
Soit
*
une l.c.i. définie dans
ℝ
par : x
*
y = x + y – xy.
i) Etudier l’associativité, la commutativité, l’existence de l’élément neutre et
l’existence de l’élément symétrique pour la loi
*
ii) Pour
( ; ) *n a
∈ ×
ℕ ℝ
, exprimer : a
*
a
*
…
*
a (n fois) à l’aide de a de n et des lois
usuelles dans
.
ℝ