2 Ensembles et Applications - IMJ-PRG

Jérôme Dubois
“Algèbre et Analyse élémentaires”
2
2.1
Ensembles et Applications
La notion d’ensemble
1. La notion d’ensemble
(a) Nous donnons une notion intuitive d’ensemble comme étant une collection
E d’objets a, b, c, . . . appelés éléments de E munie d’une relation d’égalité
et d’une relation d’appartenance :
– a = b exprime le fait que a et b représentent le même objet de E,
– a != b est une abréviation de la négation de l’assertion “a = b”,
– a ∈ E exprime que a est un objet ou élément de E,
– a !∈ E est une abréviation de la négation de l’assertion “a ∈ E”.
(b) Exemples :
– Une bibliothèque est un ensemble de livres ; un livre étant lui même un
ensemble de pages.
– Il existe un ensemble ne contenant aucun élément : c’est l’ensemble vide,
on le note ∅.
– On parle volontiers de l’ensemble des ponts de Paris, ou encore de l’ensemble des atomes de l’Univers, de l’ensemble des nombres entiers, de
celui des nombres entiers pairs etc... Mais attention, pour éviter certains
paradoxes aberrants, un ensemble n’est jamais élément de lui même (paradoxe de Russell, 1901). Une l’illustration célèbre de ce paradoxe est le
paradoxe du barbier.
2. Inclusion et parties d’un ensemble
Soient E, F deux ensembles. On dit que E est inclus dans F , et l’on note E ⊂
F , lorsque tout élément de E est élément de F . Autrement dit E ⊂ F si, et
seulement si, pour tout x, si x ∈ E, alors x ∈ F :
∀x, x ∈ E ⇒ x ∈ F.
On dit encore que E est une partie de F , ou que E est un sous-ensemble de F .
Observons que l’ensemble vide ∅ est contenu dans tout ensemble.
2.2
Des axiomes de la théorie des ensembles
1. Axiome d’extension.
Deux ensembles E et F sont égaux si, et seulement si, E est inclus dans F et F
est inclus dans E :
E = F si, et seulement si, E ⊂ F et F ⊂ E.
2. Axiome des paires.
Soient a, b deux objets, {x | x = a ou x = b} définit un ensemble noté {a, b}.
L’ensemble {a, a} est noté {a}.
3. Axiome de sélection.
Soient E un ensemble et P (x) un énoncé (proposition) dépendant de la variable
x, alors la proposition “x ∈ E et x vérifie l’énoncé P (x)” définit un ensemble
noté {x ∈ E | P (x)} qui est une partie de E.
Exemples :
(a) si a ∈ E, on a {x ∈ E | x = a} = {a}. L’ensemble vide quant à lui pouvant
s’écrire : {x ∈ E | x != x}.
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(b) soit P (x) l’assertion : “x est pair” pour x ∈ N. On peut la traduire par :
P (x) : ∃q ∈ N x = 2q.
L’ensemble {x ∈ N | P (x)} = {x ∈ N | 2|x} = 2N est l’ensemble des entiers
pairs.
4. Axiome de la réunion.
Si E, F sont deux ensembles, alors il existe un ensemble noté E ∪ F dont tout
élément est soit un élément de E soit un élément de F . Cet ensemble s’appelle
la réunion de E et F .
5. Axiome de l’ensemble des parties.
Si E est un ensemble, alors {A | A ⊂ E} définit un ensemble appelé ensemble
des parties de E et noté P(E). Cet ensemble n’est jamais vide (même si E l’est),
il contient toujours ∅ et E.
Attention : soit x un élément de E, on écrit x ∈ E ; de plus {x} est un sousensemble de E, on écrit {x} ⊂ E, {x} est donc un élément de l’ensemble des
parties de E : {x} ∈ P(E).
2.3
Opérations sur les ensembles
1. Réunion, intersection et complémentaire.
Soient E un ensemble (non vide) et A, B deux sous-ensembles quelconques de
E. On définit :
(a) le complémentaire de A dans E constitué par l’ensemble des éléments de
E qui ne sont pas dans A :
E \ A = Ac = {x ∈ E | x ∈
/ A}.
(b) l’intersection de A et B constituée par l’ensemble des éléments de E qui
sont à la fois des éléments de A et de B :
A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B}.
Observons que A ∩ B ⊂ A et A ∩ B ⊂ B.
(c) la réunion de A et B constituée par l’ensemble des éléments de E qui sont
des éléments de A ou des éléments de B :
A ∪ B = {x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B}.
Observons que A ⊂ A∪B et B ⊂ A∪B. On notera aussi que A∩B ⊂ A∪B.
Propriétés : Soient A, B, C trois sous-ensembles d’un ensemble (non vide) E.
(a) Propriétés du complémentaire :
E \ E = E c = ∅, E \ ∅ = ∅c = E,
E \ (E \ A) = (Ac )c = A,
si B ⊂ A alors E \ A ⊂ E \ B,
E \ (A ∪ B) = (E \ A) ∩ (E \ B),
E \ (A ∩ B) = (E \ A) ∪ (E \ B).
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(b) Propriétés de la réunion :
commutativité : A ∪ B = B ∪ A
associativité : A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
idempotence : A ∪ A = A
A∪∅=A
A∪E =E
(c) Propriétés de l’intersection :
commutativité : A ∩ B = B ∩ A
associativité : A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
idempotence : A ∩ A = A
A∩∅=∅
A∩E =A
(d) Distributivité :
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
2. Produit cartésien.
(a) La notion de couple. Soient a, b deux éléments d’un ensemble E. L’ensemble
{{a}, {a, b}} est appelé couple de a, b. On le note (a, b).
Observation : deux couples (a, b) et (a! , b! ) sont égaux si, et seulement si,
a = a! et b = b! .
(b) Axiome du produit cartésien. Soient E, F deux ensembles, il existe un ensemble, noté E × F , appelé produit cartésien de E et F , formé par les
couples (a, b) avec a ∈ E et b ∈ F . Lorsque F = E, on note E × E = E 2 .
(c) Propriétés :
E × F = ∅ si, et seulement si, E = ∅ ou F = ∅
si A ⊂ E et B ⊂ F alors A × B ⊂ E × F
(d) La diagonale de E 2 est l’ensemble
DE = {(x, y) ∈ E 2 | x = y} = {(x, x) ∈ E 2 | x = x}.
2.4
La notion d’application
1. Application d’un ensemble vers un autre.
(a) Définitions. On appelle application d’un ensemble E dans un ensemble
F , une correspondance f qui associe à un élément x ∈ E un, et un seul,
élément y ∈ F . Cet élément sera désormais noté f (x). L’application sera
notée f : E → F , x ,→ f (x).
Le graphe G(f ) de f est le sous-ensemble de E ×F constitué par les couples
(x, f (x)) pour x ∈ E.
La restriction de l’application f : E → F à la partie A ⊂ E est l’application
f|A : A → F définie par f|A (x) = f (x), pour tout x ∈ A.
(b) Exemples.
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i. l’application identique 1E d’un ensemble E dans lui même est définie
par 1E (x) = x pour tout x ∈ E. Le graphe G(1E ) = {(x, x) | x ∈ E}
est la diagonale de E 2 .
ii. si A ⊂ E est une partie de E, alors la restriction de 1E à A est
l’inclusion canonique de A dans E.
iii. l’application pr1 : E × F → E définie par pr1 (x, y) = x s’appelle la
première projection de E × F sur E.
iv. soit a ∈ F un élément, l’application σa : E → E × F , définie par
σa (x) = (x, a) est appelée section.
v. l’application [·] : R → Z qui au réel x associe le plus grand entier
inférieur ou égal à x est appelée fonction partie entière. La partie
entière [x] de x est l’unique entier n tel que n ! x < 1 + n.
(c) L’ensemble des applications. Les applications de E dans F forment un
ensemble noté F(E, F ). On le note aussi parfois F E .
(d) Composition des applications. Soient E, F, G trois ensembles, f une application de E dans F et g une application de F dans G, on note :
g ◦ f : E → G, x ,→ (g ◦ f )(x) = g(f (x))
l’application composée de f et g.
Propriété : la composition des applications est associative :
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h).
Exemples.
i. Observons que pr1 ◦ σa = 1E .
ii. Soit f : N → N définie par n ,→ 2n. Considérons g : N → Q définie par
g(m) = m
. La restriction de g au sous-ensemble des entiers pairs 2N
2
est telle que g|2N (2k) = k, pour tout k ∈ N. Ainsi g|2N ◦ f = 1N . De
même, on a f ◦ g|2N = 12N .
2. Image directe et image réciproque.
(a) Définition de l’image directe. Soient f une application de E dans F et
A ⊂ E un sous-ensemble. L’image directe de A par f est l’ensemble
f (A) = {y ∈ F | ∃a ∈ A f (a) = y} = {f (a) | a ∈ A} ⊂ F.
C’est le sous-ensemble de F constitué par les images par f des éléments
de A.
(b) Propriétés
i. f (∅) = ∅
ii. si A ⊂ B, alors f (A) ⊂ f (B)
iii. f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
iv. f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
v. (g ◦ f )(A) = g(f (A))
(c) Exemples
i. sin(R) = [−1, 1], cos([0, π]) = [−1, 1]
ii. si f : x ,→ x2 , f (R) = R+
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(d) Définition de l’image réciproque. Soient f une application de E dans F et
B ⊂ F un sous-ensemble. L’image réciproque de B par f est l’ensemble
f −1 (B) = {x ∈ E | f (x) ∈ B} ⊂ E.
C’est le sous-ensemble de E constitué par les éléments de E dont l’image
par f est dans B.
(e) Propriétés
i. f −1 (∅) = ∅
ii. f −1 (F ) = E
iii. si A ⊂ B, alors f −1 (A) ⊂ f −1 (B)
iv. f −1 (F \ B) = E \ f −1 (B)
v. f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B)
vi. f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B)
vii. (g ◦ f )−1 (A) = f −1 (g −1 (A))
viii. A ⊂ f −1 (f (A)) et f (f −1 (B)) ⊂ B
(f) Exemples
i. sin−1 ([−1, 1]) = R, sin−1 ({0}) = {kπ | k ∈ Z}
ii. si f : x ,→ x2 , f −1 ([0, 1]) = [−1, 1], f −1 ({1}) = {1, −1}
"
#
!
iii. cos−1 ([0, 1]) = k∈Z − π2 + 2kπ, π2 + 2kπ
(g) Remarque : observons que si a, b sont deux éléments distincts de F , alors
(par définition même d’une application) f −1 ({a}) ∩ f −1 ({b}) = ∅. Ainsi,
les ensembles f −1 ({a}), lorsque a décrit F , forment une partition de E :
!
E = a∈F f −1 ({a}).
3. Injection, surjection et bijection.
(a) Définitions. Soit f une application de E dans F :
i. f est une injection de E dans F si elle vérifie l’une des deux propriétés
équivalentes (contraposée l’une de l’autre) suivantes :
pour tous a, b ∈ E, si f (a) = f (b) alors a = b
pour tous a, b ∈ E, si a != b alors f (a) != f (b)
ii. f est une surjection de E sur F si elle vérifie :
pour tout y ∈ F, il existe x ∈ E tel que f (x) = y
iii. f est une bijection de E sur F si elle est à la fois injective et surjective,
c’est-à-dire si
pour tout y ∈ F, il existe un unique x ∈ E tel que f (x) = y
(b) Exemples.
i. si A ⊂ E est une partie de E, alors l’inclusion canonique iA = (1E )|A
de A dans E est une injection.
ii. la première projection de E × F sur E, pr1 : E × F → E définie par
pr1 (x, y) = x, est une surjection de E × F sur E.
iii. l’application identique 1E est une bijection de E sur E
iv. l’application f : R → R+ , x →
, x2 est surjective sans être injective ;
par contre sa restriction à R+ réalise une bijection de R+ sur lui même.
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v. l’application f : N → 2N définie par f (n) = 2n réalise une bijection
de N sur le sous-ensemble propre des entiers pairs 2N.
vi. l’application tan :]−π/2, π/2[→ R réalise une bijection de ]−π/2, π/2[
sur R.
(c) Bijection réciproque d’une bijection.
i. Définition : Si f : E → F est une bijection, alors à tout y ∈ F
correspond un unique élément x ∈ E satisfaisant l’équation y = f (x).
On peut donc définir l’application f −1 : F → E, qui à y ∈ F fait
correspondre x ∈ E unique solution de l’équation y = f (x). On définit
ainsi la bijection réciproque f −1 : F → E de la bijection f : E → F .
On a f −1 ◦ f = 1E et f ◦ f −1 = 1F .
ii. Exemples :
A. f : R+ → R+ définie par x ,→√x2 est une bijection, de bijection
réciproque g : R+ → R+ , x ,→ x.
B. la fonction exponentielle exp : R → R∗+ est une bijection, de
bijection réciproque la fonction logarithme ln : R∗+ → R.
C. la fonction tan :] − π/2, π/2[→ R est une bijection, de bijection
réciproque la fonction arctan : R →] − π/2, π/2[.
D. f : R∗+ → R∗+ définie par x ,→ x1 est une bijection. Sa bijection
réciproque est elle même : on a f ◦ f = 1R∗+ .
(d) Propriétés. Soient E, F, G trois ensembles, f : E → F et g : F → G deux
applications. Alors :
i. si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective.
ii. si g ◦ f est injective alors f est injective.
iii. si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective.
iv. si g ◦ f est surjective alors g est surjective.
v. si f et g sont bijectives, alors g ◦f est bijective et (g ◦f )−1 = f −1 ◦g −1 .
(e) Théorème : Une application f : E → F est une bijection si, et seulement
si, il existe une application g : F → E telle que g ◦ f = 1E et f ◦ g = 1F .
Remarque : si g : F → E vérifie g ◦ f = 1E et f ◦ g = 1F , alors automatiquement, g = f −1 .
2.5
Les ensembles finis, ensembles dénombrables
1. Ensembles finis.
(a) Définition (intuitive) 2 : Un ensemble non vide E est fini lorsqu’il existe un
entier n ∈ N tel que E soit équipotent à {1, 2, . . . , n}. Si c’est le cas, n est
2. Il existe d’autres définitions de la notion d’ensemble fini/infini. La plus célèbre et la
plus communément admise en mathématiques est celle de Dedekind : un ensemble est infini
s’il est équipotent à l’une de ses parties propres ; dans le cas contraire l’ensemble est fini.
Un ensemble “intuitivement” fini est fini au sens de Dedekind, mais la réciproque nécessite
l’utilisation de l’Axiome du choix.
L’Axiome du choix peut s’énoncer ainsi : si X est un ensemble d’ensembles non vides, il
existe une fonction définie sur X qui à chacun d’entre eux associe un de ses éléments. Pour
un ensemble fini d’ensembles non vides, nous n’avons pas besoin de recourir à l’Axiome du
choix pour choisir un élement donné dans chaque ensemble ; l’Axiome du choix devient utile
pour un ensemble infini d’ensembles non vides.
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le nombre d’éléments de E ou cardinal de E. On note n = card(E) = #E.
L’ensemble vide est l’ensemble à 0 élément.
(b) Remarques : Soit E un ensemble fini. Si A est l’une de ses parties, alors :
i. A est un ensemble fini et #A ! #E,
ii. si #A = #E, alors A = E.
(c) Théorème : Si E, F sont deux sous ensembles finis ayant le même nombre
d’éléments et si f est une application de E dans F , alors on a l’équivalence
des trois propriétés suivantes :
i. f est injective,
ii. f est surjective,
iii. f est bijective.
Démonstration : Observons que si f est une application d’un ensemble fini
E dans un ensemble fini F , alors #f (E) ! min(#E, #F ). Observons de plus
que :
i. #f (E) = #E si, et seulement si, f est injective,
ii. #f (E) = #F si, et seulement si, f est surjective.
"
Remarque : si E est un ensemble (non vide) fini et si x ∈ E, alors E n’est
pas équipotent à E \ {x}.
(d) Principe des tiroirs de Dirichlet : il n’existe pas d’injection d’un ensemble
fini à p éléments dans un ensemble fini à n éléments si p > n.
Un exemple d’utilisation : soient E, F deux ensembles finis avec #E = n >
r = #F et f : E → F une application. Le principe des tiroirs de Dirichlet
peut être reformulé ainsi : il existe a ∈ F tel que #f −1 ({a}) # 2. En fait
on peut même obtenir une inégalité plus forte, à savoir : il existe a ∈ F tel
que :
$n%
#f −1 ({a}) #
.
r
En effet, raisonnons par l’absurde et supposons que pour tout x ∈ F , on
!
a #f −1 ({x}) < nr , alors comme E = x∈F f −1 ({x}) et puisqu’il s’agit
&
d’ensembles deux à deux disjoints, on a n = x∈F #f −1 ({x}) < r · nr = n,
ce qui constitue une contradiction.
(e) Propriétés : Soit E un ensemble fini. Si A, B sont des sous-ensembles de
E, alors :
i. #(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B).
ii. A × B est un ensemble fini et #(A × B) = #A · #B.
Démonstration :
i. Si A∩B = ∅, alors dans ce cas la formule est évidente, on a : #(A∪B) =
#A+#B. Si maintenant A∩B != ∅, posons A! = A\(A∩B). Observons
que A∪B est l’union disjointe de A! et B, donc #(A∪B) = #A! +#B. De
plus A est l’union disjointe de A∩B avec A! , ainsi #A = #A! +#(A∩B).
En combinant ces deux formules, il vient :
#(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B).
!
ii. Ecrivons A×B = a∈A {a}×B. On observe que les ensembles {a}×B,
lorsque a décrit B, sont finis (équipotents à B par la bijection σa :
B → {a} × B, b ,→ (a, b)) et en nombre fini (ce nombre vaut #A). Par
conséquent #(A × B) = #A · #B.
"
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(f) Ensemble des parties d’un ensemble fini.
i. Théorème 1 : Si E est un ensemble fini, alors P(E) est un ensemble
fini et on a
#P(E) = 2"E .
ii. Exemples :
– si E = ∅, alors P(∅) = {∅},
– si E = {a}, alors P(E) = {∅, E},
– si E = {a, b}, alors P(E) = {∅, {a}, {b}, E}.
iii. Le théorème est en fait une conséquence du résultat plus général suivant.
Théorème 2 : Si E, F sont des ensembles finis, alors l’ensemble
F(E, F ) des applications de E vers F est un ensemble fini et
#F(E, F ) = #F "E .
Démonstration : Notons m = #E et n = #F . Construire une application f de E = {x1 , . . . , xm } vers F revient à choisir f (x1 ) (il y a n
choix possibles), f (x2 ) (il y a n choix possibles), etc... Donc il y a nm
applications de E vers F .
"
iv. Démonstration du Théorème 1 : Montrons que P(E) est équipotent à
F(E, {0, 1}).
Soit A une partie de E. On lui associe sa fonction caractéristique
ϕA : E → {0, 1}, définie par ϕA (x) = 1 si x ∈ A et ϕA (x) = 0 si
x !∈ A. L’application Φ : P(E) → F(E, {0, 1}) définie par A ,→ ϕA
réalise une bijection de P(E) sur F(E, {0, 1}). En effet, l’application
Ψ : f ,→ {x ∈ E | f (x) = 1} en est la bijection réciproque.
Pour conclure, on applique le Théorème 2.
"
2. La notion de dénombrabilité.
(a) Définition : Un ensemble E est dénombrable lorsqu’il est équipotent à N.
(b) Exemples :
i. Le sous-ensemble 2N = {2n | n ∈ N} ⊂ N des entiers pairs est
dénombrable.
Démonstration : nous avons déjà construit une bijection de N sur 2N.
Elle est donnée par n ,→ 2n.
"
ii. L’ensemble des entiers relatifs Z est dénombrable.
Démonstration : il nous faut énumérer les éléments de Z. Pour cela
construisons l’application ϕ : N → Z définie par ϕ(0) = 0, et pour
n > 0,
'
−m
si n = 2m
ϕ(n) =
m + 1 si n = 2m + 1
"
iii. Le produit N × N est dénombrable.
Démonstration : il nous faut énumérer les éléments de N × N. On
procède par “diagonales”, et on énumère les couples (i, j) par tranches
sur lesquelles i + j est constante.
On peut également raisonner de la façon suivante en construisant l’application f : N2 → N définie par f (p, q) = (p+q)(p+q+1)
+ p ; il est clair
2
que f (p, q) est un entier puisque p + q et p + q + 1 sont des entiers
consécutifs donc l’un d’eux est divisible par 2.
"
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iv. L’ensemble des nombres rationnels Q est dénombrable.
v. L’ensemble des nombres réels R n’est pas dénombrable.
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Exercices
1. Soient A, B, C trois sous-ensembles d’un ensemble E. Montrer que :
(a) si A ⊂ B alors A ∪ C ⊂ B ∪ C.
(b) E \ (A ∪ B) = E \ A ∩ E \ B.
(c) A ⊂ B si, et seulement si, A ∩ (E \ B) = ∅
2. Si E est un ensemble fini à n éléments, montrer par récurrence sur n que l’ensemble de ses parties est un ensemble fini à 2n éléments.
3. Soient X, Y, Z trois ensembles et f : X → Y , g : Y → Z des applications.
(a) Rappeler la définition d’une application injective, d’une application surjective.
(b) Donner l’exemple d’une application injective, d’une application surjective,
d’une application ni injective, ni surjective.
(c) Montrer que :
i. si g ◦ f est injective, alors f est injective,
ii. si g ◦ f est surjective, alors g est surjective.
4. Soient X, Y deux ensembles et f : X → Y une application.
(a) Rappeler la définition de l’image directe d’un sous-ensemble de X par f et
la définition de l’image réciproque d’un sous-ensemble de Y par f .
(b) Soient A, B ⊂ X, montrer que f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B), puis montrer que
f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) et donner un exemple où l’inclusion est stricte.
(c) Montrer que f est injective si, et seulement si, pour toutes parties A, B de
E, on a f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
(d) Montrer que f est bijective si, et seulement si, pour toutes parties A de E,
on a F \ f (A) = f (E \ A).
(e) Soient A, B ⊂ Y . Montrer que f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B), puis que
f −1 (Y \ A) = E \ f −1 (A).
5. Soient X, Y deux ensembles et f : X → Y une application.
(a) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
A. f est injective,
B. pour tout a ∈ X, f −1 (f ({a})) = {a},
C. pour tout A ∈ P(X), f −1 (f (A)) = A.
ii. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
A. f est surjective,
B. pour tout b ∈ Y , f (f −1 ({b})) = {b},
C. pour tout B ∈ P(Y ), f (f −1 (B)) = B.
Indications : On vérifiera d’abord que pour tout A ∈ P(X), on a A ⊂
f −1 (f (A)) et que pour tout B ∈ P(Y ), on a f (f −1 (B)) ⊂ B.
6. Soient X, Y deux ensembles et f : X → Y une application. Soient
ϕ : P(Y ) → P(X), ϕ(B) = f −1 (B),
et
ψ : P(X) → P(Y ), ψ(A) = f (A),
(a) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i. f est injective
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“Algèbre et Analyse élémentaires”
ii. ϕ est surjective
iii. ψ est injective
(b) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i. f est surjective
ii. ϕ est injective
iii. ψ est surjective
7. Soit E un ensemble ; pour toute partie A de E, on note ϕA : P(E) → P(E),
définie par X ,→ X ∩ A et φA : P(E) → P(E), définie par X ,→ X ∪ A.
(a) Montrer que ϕA est injective si, et seulement si, ϕA est surjective si, et
seulement si, A = E.
(b) Montrer que φA est injective si, et seulement si, φA est surjective si, et
seulement si, A = ∅.
8. Soit f une application de E dans E telle que f ◦ f ◦ f = 1E . Montrer que f est
bijective et exprimer sa bijection réciproque.
9. Soient E, F deux ensembles finis. On note m = #E (resp. n = #F ) le nombre
d’éléments de E (resp. F ). Déterminer le nombre d’injections de E dans F . Puis
déterminer le nombre de bijections de E sur F .
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