2 Ensembles et Applications - IMJ-PRG

J´erˆome Dubois “Alg`ebre et Analyse ´el´ementaires”
2EnsemblesetApplications
2.1 La notion d’ensemble
1. La notion d’ensemble
(a) Nous donnons une notion intuitive d’ensemble comme ´etant une collection
Ed’objets a, b, c, . . . appel´es ´el´ements de Emunie d’une relation d’´egalit´e
et d’une relation d’appartenance :
–a=bexprime le fait que aet brepr´esentent le mˆeme objet de E,
–a!=best une abr´eviation de la n´egation de l’assertion “a=b”,
–a∈Eexprime que aest un objet ou ´el´ement de E,
–a!∈ Eest une abr´eviation de la n´egation de l’assertion “a∈E”.
(b) Exemples :
–Unebiblioth`equeestunensembledelivres;unlivre´etantluimˆemeun
ensemble de pages.
–Ilexisteunensemblenecontenantaucun´el´ement:c’estl’ensemble vide,
on le note ∅.
–Onparlevolontiersdel’ensembledespontsdeParis,ouencore de l’en-
semble des atomes de l’Univers, de l’ensemble des nombres entiers, de
celui des nombres entiers pairs etc... Mais attention, pour ´e v i t e r c e r t a i n s
paradoxes aberrants, un ensemble n’est jamais ´e l ´e m e n t d e l u i m ˆe m e ( p a -
radoxe de Russell, 1901). Une l’illustration c´el`ebre de ceparadoxeestle
paradoxe du barbier.
2. Inclusion et parties d’un ensemble
Soient E,F deux ensembles. On dit que Eest inclus dans F,etl’onnoteE⊂
F,lorsquetout´el´ementdeEest ´el´ement de F.AutrementditE⊂Fsi, et
seulement si, pour tout x,six∈E,alorsx∈F:
∀x, x ∈E⇒x∈F.
On dit encore que Eest une partie de F,ouqueEest un sous-ensemble de F.
Observons que l’ensemble vide ∅est contenu dans tout ensemble.
2.2 Des axiomes de la th´eorie des ensembles
1. Axiome d’extension.
Deux ensembles Eet Fsont ´egaux si, et seulement si, Eest inclus dans Fet F
est inclus dans E:
E=Fsi, et seulement si, E⊂Fet F⊂E.
2. Axiome des paires.
Soient a, b deux objets, {x|x=aou x=b}d´efinit un ensemble not´e {a, b}.
L’ensemble {a, a}est not´e {a}.
3. Axiome de s´election.
Soient Eun ensemble et P(x)un´enonc´e(proposition)d´ependantdelavariable
x,alorslaproposition“x∈Eet xv´erifie l’´enonc´e P(x)” d´efinit un ensemble
not´e {x∈E|P(x)}qui est une partie de E.
Exemples :
(a) si a∈E,ona{x∈E|x=a}={a}.L’ensemblevidequant`aluipouvant
s’´ecrire : {x∈E|x!=x}.
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(b) soit P(x)l’assertion:“xest pair” pour x∈N.Onpeutlatraduirepar:
P(x):∃q∈Nx=2q.
L’ensemble {x∈N|P(x)}={x∈N|2|x}=2Nest l’ensemble des entiers
pairs.
4. Axiome de la r´eunion.
Si E,F sont deux ensembles, alors il existe un ensemble not´e E∪Fdont tout
´e l ´e m e n t e s t s o i t u n ´e l ´e m e n t d e Esoit un ´el´ement de F.Cetensembles’appelle
la r´eunion de Eet F.
5. Axiome de l’ensemble des parties.
Si Eest un ensemble, alors {A|A⊂E}d´efinit un ensemble appel´e ensemble
des parties de Eet not´e P(E). Cet ensemble n’est jamais vide (mˆeme si El’est),
il contient toujours ∅et E.
Attention : soit xun ´el´ement de E,on´ecritx∈E;deplus{x}est un sous-
ensemble de E,on´ecrit{x}⊂E,{x}est donc un ´el´ement de l’ensemble des
parties de E:{x}∈P(E).
2.3 Op´erations sur les ensembles
1. R´eunion, intersection et compl´ementaire.
Soient Eun ensemble (non vide) et A, B deux sous-ensembles quelconques de
E.Ond´efinit:
(a) le compl´ementaire de Adans Econstitu´e par l’ensemble des ´el´ements de
Equi ne sont pas dans A:
E\A=Ac={x∈E|x/∈A}.
(b) l’intersection de Aet Bconstitu´ee par l’ensemble des ´el´ements de Equi
sont `a la fois des ´el´ements de Aet de B:
A∩B={x∈E|x∈Aet x∈B}.
Observons que A∩B⊂Aet A∩B⊂B.
(c) la r´eunion de Aet Bconstitu´ee par l’ensemble des ´el´ements de Equi sont
des ´el´ements de Aou des ´el´ements de B:
A∪B={x∈E|x∈Aou x∈B}.
Observons que A⊂A∪Bet B⊂A∪B.OnnoteraaussiqueA∩B⊂A∪B.
Propri´et´es :Soient A, B, C trois sous-ensembles d’un ensemble (non vide) E.
(a) Propri´et´es du compl´ementaire :
E\E=Ec=∅,E\∅=∅c=E,
E\(E\A)=(Ac)c=A,
si B⊂Aalors E\A⊂E\B,
E\(A∪B)=(E\A)∩(E\B),
E\(A∩B)=(E\A)∪(E\B).
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(b) Propri´et´es de la r´eunion :
commutativit´e : A∪B=B∪A
associativit´e : A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
idempotence : A∪A=A
A∪∅=A
A∪E=E
(c) Propri´et´es de l’intersection :
commutativit´e : A∩B=B∩A
associativit´e : A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
idempotence : A∩A=A
A∩∅=∅
A∩E=A
(d) Distributivit´e :
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)
2. Produit cart´esien.
(a) La notion de couple. Soient a,bdeux ´el´ements d’un ensemble E.L’ensemble
{{a},{a, b}} est appel´e couple de a, b.Onlenote(a, b).
Observation : deux couples (a, b)et(a!,b
!)sont´egauxsi,etseulementsi,
a=a!et b=b!.
(b) Axiome du produit cart´esien. Soient E, F deux ensembles, il existe un en-
semble, not´e E×F,appel´eproduitcart´esiendeEet F,form´eparles
couples (a, b)aveca∈Eet b∈F.LorsqueF=E,onnoteE×E=E2.
(c) Propri´et´es :
E×F=∅si, et seulement si, E=∅ou F=∅
si A⊂Eet B⊂Falors A×B⊂E×F
(d) La diagonale de E2est l’ensemble
DE={(x, y)∈E2|x=y}={(x, x)∈E2|x=x}.
2.4 La notion d’application
1. Application d’un ensemble vers un autre.
(a) D´efinitions. On appelle application d’un ensemble Edans un ensemble
F,unecorrespondancefqui associe `a un ´el´ement x∈Eun, et un seul,
´e l ´e m e n t y∈F.Cet´el´ementserad´esormaisnot´ef(x). L’application sera
not´ee f:E→F,x,→ f(x).
Le graphe G(f)defest le sous-ensemble de E×Fconstitu´e par les couples
(x, f(x)) pour x∈E.
La restriction de l’application f:E→F`a l a p a r t i e A⊂Eest l’application
f|A:A→Fd´efinie par f|A(x)=f(x), pour tout x∈A.
(b) Exemples.
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i. l’application identique 1Ed’un ensemble Edans lui mˆeme est d´efinie
par 1E(x)=xpour tout x∈E.LegrapheG(1E)={(x, x)|x∈E}
est la diagonale de E2.
ii. si A⊂Eest une partie de E,alorslarestrictionde1E`a Aest
l’inclusion canonique de Adans E.
iii. l’application pr1:E×F→Ed´efinie par pr1(x, y)=xs’appelle la
premi`ere projection de E×Fsur E.
iv. soit a∈Fun ´el´ement, l’application σa:E→E×F,d´efiniepar
σa(x)=(x, a)estappel´eesection.
v. l’application [·]:R→Zqui au r´eel xassocie le plus grand entier
inf´erieur ou ´egal `a xest appel´ee fonction partie enti`ere.Lapartie
enti`ere [x]dexest l’unique entier ntel que n!x<1+n.
(c) L’ensemble des applications. Les applications de Edans Fforment un
ensemble not´e F(E, F). On le note aussi parfois FE.
(d) Composition des applications. Soient E,F, G trois ensembles, fune appli-
cation de Edans Fet gune application de Fdans G,onnote:
g◦f:E→G, x ,→ (g◦f)(x)=g(f(x))
l’application compos´ee de fet g.
Propri´et´e :lacompositiondesapplicationsestassociative:
(f◦g)◦h=f◦(g◦h).
Exemples.
i. Observons que pr1◦σa=1E.
ii. Soit f:N→Nd´efinie par n,→ 2n.Consid´eronsg:N→Qd´efinie par
g(m)= m
2.Larestrictiondegau sous-ensemble des entiers pairs 2N
est telle que g|2N(2k)=k,pourtoutk∈N.Ainsig|2N◦f=1N.De
mˆeme, on a f◦g|2N=12N.
2. Image directe et image r´eciproque.
(a) D´efinition de l’image directe. Soient fune application de Edans Fet
A⊂Eun sous-ensemble. L’image directe de Apar fest l’ensemble
f(A)={y∈F|∃a∈Af(a)=y}={f(a)|a∈A}⊂F.
C’est le sous-ensemble de Fconstitu´e par les images par fdes ´el´ements
de A.
(b) Propri´et´es
i. f(∅)=∅
ii. si A⊂B,alorsf(A)⊂f(B)
iii. f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)
iv. f(A∪B)=f(A)∪f(B)
v. (g◦f)(A)=g(f(A))
(c) Exemples
i. sin(R)=[−1,1], cos([0,π]) = [−1,1]
ii. si f:x,→ x2,f(R)=R+
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(d) D´efinition de l’image r´eciproque. Soient fune application de Edans Fet
B⊂Fun sous-ensemble. L’image r´eciproque de Bpar fest l’ensemble
f−1(B)={x∈E|f(x)∈B}⊂E.
C’est le sous-ensemble de Econstitu´e par les ´el´ements de Edont l’image
par fest dans B.
(e) Propri´et´es
i. f−1(∅)=∅
ii. f−1(F)=E
iii. si A⊂B,alorsf−1(A)⊂f−1(B)
iv. f−1(F\B)=E\f−1(B)
v. f−1(A∩B)=f−1(A)∩f−1(B)
vi. f−1(A∪B)=f−1(A)∪f−1(B)
vii. (g◦f)−1(A)=f−1(g−1(A))
viii. A⊂f−1(f(A)) et f(f−1(B)) ⊂B
(f) Exemples
i. sin−1([−1,1]) = R,sin
−1({0})={kπ|k∈Z}
ii. si f:x,→ x2,f−1([0,1]) = [−1,1], f−1({1})={1,−1}
iii. cos−1([0,1]) = !k∈Z"−π
2+2kπ,π 2+2kπ#
(g) Remarque : observons que si a, b sont deux ´el´ements distincts de F,alors
(par d´efinition mˆeme d’une application) f−1({a})∩f−1({b})=∅.Ainsi,
les ensembles f−1({a}), lorsque ad´ecrit F,formentunepartition de E:
E=!a∈Ff−1({a}).
3. Injection, surjection et bijection.
(a) D´efinitions. Soit fune application de Edans F:
i. fest une injection de Edans Fsi elle v´erifie l’une des deux propri´et´es
´e q u i v a l e n t e s ( c o n t r a p o s ´e e l ’ u n e d e l ’ a u t r e ) s u i v a n t e s :
pour tous a, b ∈E, si f(a)=f(b)alorsa=b
pour tous a, b ∈E, si a!=balors f(a)!=f(b)
ii. fest une surjection de Esur Fsi elle v´erifie :
pour tout y∈F, il existe x∈Etel que f(x)=y
iii. fest une bijection de Esur Fsi elle est `a la fois injective et surjective,
c’est-`a-dire si
pour tout y∈F, il existe un unique x∈Etel que f(x)=y
(b) Exemples.
i. si A⊂Eest une partie de E,alorsl’inclusioncanoniqueiA=(1E)|A
de Adans Eest une injection.
ii. la premi`ere projection de E×Fsur E,pr
1:E×F→Ed´efinie par
pr1(x, y)=x,estunesurjectiondeE×Fsur E.
iii. l’application identique 1Eest une bijection de Esur E
iv. l’application f:R→R+,x,→ x2est surjective sans ˆetre injective ;
par contre sa restriction `a R+r´ealise une bijection de R+sur lui mˆeme.
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