Semaine 9

M.P.S.I., Colles, Semaine 9, Sujet
EX
1.
1.
Soient
E, F, G
trois ensembles.
u : E → F , et v : F → G deux applications. Montrer que :
u aussi.
-Si
est surjective alors v aussi.
2. Soient f : E → F , g : F → G et h : G → E trois applications. On suppose
que f, g et h sont bijectives.
1. (Cours) Soient
-Si
v◦u
v◦u
EX
est injective alors
2.
EX
Soit
h◦g◦f
est injective, et que
g◦f ◦h
et
f ◦h◦g
sont surjectives. Montrer
2.
a ∈ R. Montrer les deux implications
(∀ ≥ 0, |a| < ) ⇒ a = 0.
(∀ > 0, |a| < ) ⇒ a = 0.
Soit
1.
que
suivantes :
3.
E
un ensemble. Les deux questions sont indépendantes.
a ∈ E . Décrire P(P({a})).
Soient A, B ∈ P(E). Montrer qu'en
1. Soit
2.
EX
Soit
général,
(A\B) ∪ B 6= A.
M.P.S.I., Colles, Semaine 9, Sujet
2.
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3.
1.
E
A, B, C trois parties de E . On
A∆B = (A ∪ B)\(A ∩ B).
l'équivalence : A∆B = A∆C ⇔ B = C.
l'implication : A∆B = A ∩ B ⇒ A = B = ∅.
un ensemble, et soient
rappelle que l'on note :
A∆B = (A\B) ∪ (B\A).
1. Montrer que
2. Montrer
3. Montrer
EX
2.
f : E → E une application. Les deux questions
f ◦ f = f . Montrer que :
-Si f est injective alors f = idE .
-Si f est surjective alors f = idE .
2. On suppose f ◦ f ◦ f = f . Montrer que f est injective si et seulement
Soient
E
un ensemble et
sont indépendantes.
1. On suppose
EX
3.
Soient
f :E→F
et
g:E→G
deux applications. Soit aussi
h:
1. Montrer que si
f
ou
2. Que peut on dire sur
EX
1.
(Cours) Montrer que
EX
√
2.
3.
p
n'est pas rationnel, où
p
Soit
2.
Montrer les assertions suivantes :
3.
E
un ensemble. Soient
A, B
deux parties de
E.
Soit l'application
f :
Montrer les assertions suivantes :
1.
2.
f
f
F ×G
(f (x), g(x)).
est un nombre premier.
E un ensemble. Soient A, B, C trois parties de E .
A = B ⇔ A ∩ B = A ∪ B.
A ∪ B = A ∩ C ⇔ B ⊂ A ⊂ C.
A ∪ B = A ∪ C et A ∩ B = A ∩ C ⇔ B = C.
EX
→
7
→
E
x
g est injective alors h l'est.
h si f et g sont surjectives ?
Soit
1.
si elle est surjective.
est injective si et seulement si
A ∪ B = E.
A ∩ B = ∅.
est surjective si et seulement si
A quelles conditions
f
est-elle bijective ?
P(E)
X
→
7
→
P(A) × P(B)
(X ∩ A, X ∩ B).