1 exercices divers 2 suites extraites

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE D’UNE SUITE
1 EXERCICES DIVERS
1Dans chacun des cas suivants, étudier la limite de la
suite de terme général :
1) a) pn2+n−pn2−n.b) pn
n.
c) pen+2n−pen+1. d) 1+2 sin n
pn.
2) a) n!
nn.b)
n
X
k=1
1
pk.
c)
n
X
k=1
1
n2+k2.d)
n
X
k=1
1
pn2+k.
e) 1
n!
n
X
k=1
k!. f) 1
n2
n
X
k=1kx(x∈R).
————————————–
2Pour tout n∈N∗, on pose : Sn=
n
X
k=1
1
k2.
1) Montrer que pour tout k¾2 : 1
k2¶1 k−1−1 k.
2) En déduire que (Sn)n∈N∗est convergente.
————————————–
3Pour tout n∈N∗, on pose : Hn=
n
X
k=1
1
k.
1) Montrer que pour tout n∈N∗:H2n−Hn¾1
2.
2) En déduire que : lim
n→+∞Hn= +∞.
————————————–
4Pour tout n∈N, on pose : un=2n
n2−2n.
1) Montrer que la suite (n+1)u2
nn∈Nconverge.
2) En déduire : lim
n→+∞un.
————————————–
5
1) Pour tout n∈N, on pose : In=Ze
1
(ln t)ndt.
a) Montrer que la suite (In)n∈Nest convergente.
b) Montrer que pour tout n∈N:
In+1=e−(n+1)In.
c) En déduire : lim
n→+∞In.
2) Pour tout n∈N, on pose : un= (−1)nIn
n!.
a) Exprimer un+1en fonction de unpour tout
n∈N.
b) En déduire : lim
n→+∞
n
X
k=0
(−1)k
k!.
————————————–
6Soit x∈R+. On pose : Sn=
n
X
k=0
xk
k!pour
tout n∈N∗.
1) Montrer que pour tous k∈Net t∈[0,1]:
(1−t)k¾1−kt.
2) Montrer que pour tous n∈N∗et k∈¹0, nº:
1
k!¾n k1 nk¾1 k!1−k(k−1) n.
3) En déduire que pour tout n∈N∗:
Sn¾1+x
nn
¾1−x2
nSn.
4) En déduire que la suite (Sn)n∈N∗converge et dé-
terminer sa limite.
————————————–
7Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites à valeurs
dans [0,1]pour lesquelles : lim
n→+∞unvn=1.
Montrer qu’alors : lim
n→+∞un=lim n→+∞vn=1.
————————————–
8Soit (un)n∈Nune suite. Montrer que : lim
n→+∞un=0
si et seulement si : 1) lim
n→+∞
un
1+un
=0.
2) lim
n→+∞
un
1+u2
n
=0 et (un)n∈Nest bor-
née.
————————————–
9Soient (an)n∈Net (bn)n∈Ndeux suites stricte-
ment positives. On suppose que : lim
n→+∞bn=0 et
que pour tout n∈N:an+1
an
¶bn+1
bn
.
Montrer qu’alors : lim
n→+∞an=0.
————————————–
10 Soit (un)n∈Nune suite strictement positive. On
suppose un+1
unn∈N
convergente de limite notée ℓ.
1) Étudier lim
n→+∞undans le cas où : ℓ < 1.
2) Même question dans le cas où : ℓ > 1.
3) Montrer qu’on ne peut pas conclure dans le cas
où : ℓ=1.
————————————–
11 Montrer que la suite (un)n∈N∗définie par :
u1¾0 et pour tout n∈N∗:un+1=un
n+1 n2est
convergente.
————————————–
2 SUITES EXTRAITES
12 Dans chacun des cas ci-dessous, montrer que la suite
(un)n∈Nou (un)n∈N∗n’a pas de limite.
1) pour tout n∈N:un=sin n2π
3.
2) pour tout n¾2, unest l’inverse du nombre
de diviseurs premiers distincts de n.
3) pour tout n∈N∗:un=cos(ln n).
————————————–
1

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13 Soit (un)n∈Nune suite réelle. Montrer que (un)n∈N
est convergente dans les deux cas suivants :
1) (un)n∈Nest croissante et (u2n)n∈Nconvergente.
2) (u2n)n∈N,(u2n+1)n∈Net (u3n)n∈Nsont convergentes.
————————————–
14 On pose pour tout n∈N:un=pn−pn.
1) Étudier : lim
n→+∞un2+n. En déduire que
la suite (un)n∈Nn’a pas de limite.
2) Soient a∈Net b∈N∗avec a¶b. Étu-
dier : lim
n→+∞un2b2+2an.
3) Montrer que tout élément de [0,1]est
la limite d’une certaine suite extraite de (un)n∈N.
————————————–
15 On admet l’irrationalité de π. Le réel tan n
est alors bien défini pour tout n∈N. Montrer que la
suite (tan n)n∈Nn’a pas de limite.
————————————–
16 Soit θ∈R\πZ. Montrer qu’aucune des deux
suites sin(nθ)n∈Net cos(nθ)n∈Nn’a de limite.
————————————–
3 SUITES ADJACENTES
17 Pour tout n∈N∗, on pose : un=
2n
X
k=n+1
1
ket
vn=
2n
X
k=n
1
k. Montrer que les suites (un)n∈N∗et (vn)n∈N∗
sont adjacentes.
————————————–
18 Pour tout n∈N∗, on pose : un=
n
X
k=1
1
pk−2pn
et vn=
n
X
k=1
1
pk−2pn+1.
1) Montrer que les suites (un)n∈N∗et (vn)n∈N∗sont
adjacentes.
2) En déduire : lim
n→+∞
n
X
k=1
1
pk.
————————————–
19 Pour tout n∈N∗, on pose : un=
n
Y
k=11+1
k2
et vn=un1+1
n. Montrer que les suites (un)n∈N∗
et (vn)n∈N∗sont adjacentes.
————————————–
20 Soit α > 1. On pose pour tout n∈N∗:
An=
n
X
k=1
1
kαet Bn=An+1 (α−1)nα−1.
1) Montrer que pour tout x∈R+:
(1+x)α¾1+αx.
2) En déduire que les suites (An)n∈N∗et (Bn)n∈N∗
sont adjacentes.
————————————–
21 1) Soit (un)n∈Nune suite décroissante de li-
mite nulle. On pose : Sn=
n
X
k=0
(−1)kukpour
tout n∈N.
a) Montrer que les suites (S2n)n∈Net (S2n+1)n∈N
sont adjacentes.
b) En déduire que la suite (Sn)n∈Nconverge.
2) On admet que la limite : lim
n→+∞n
X
k=1
1
k−ln n
existe et est finie. Déterminer : lim
n→+∞
n
X
k=1
(−1)k
k.
————————————–
4 SUITES RÉCURRENTES «un+1=f(un)»
22 Étudier la convergence des suites (un)n∈Ndéfinies
par :
1) u0=0 et : un+1=pun+4.
2) u0=1
2et : un+1=u2
n+un
2.
3) u0=0 et : un+1=eun.
4) u0=0 et : un+1=p2un+3.
5) u0=2 et : un+1=1+ln un.
6) u0=4 et : un+1=un−ln un.
————————————–
23 1) Montrer que [3,+∞[est stable par x7−→ 2x2−3
x+2.
On note alors (xn)n∈Nla suite définie par : x0=5
et pour tout n∈N:xn+1=2x2
n−3
xn+2.
2) a) Étudier la monotonie de (xn)n∈N.
b) En déduire : lim
n→+∞xn.
3) On souhaite améliorer le résultat de la question
2) en procédant tout à fait différemment.
a) Montrer que pour tout n∈N:
xn+1¾2xn−4.
b) En déduire que : xn¾2n+αpour tout
n∈N, où αest un réel à préciser. Conclure.
————————————–
24 Soit α∈[0,1]. Étudier la nature de la suite
(un)n∈Ndéfinie par : u0=αet pour tout n∈N:
un+1= (1−un)sin un.
————————————–
25 On note (xn)n∈Nla suite définie par : x0=2
et pour tout n∈N:xn+1=x2
n+2
2xn
.
1) Étudier la convergence de (xn)n∈N.
2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE D’UNE SUITE
2) Pour tout n∈N, on pose : ǫn=xn−p2
2p2.
a) Montrer que pour tout n∈N: 0 ¶ǫn+1¶ǫ2
n.
b) Montrer que : ǫ1¶1
10, puis que pour
tout n∈N: 0 ¶ǫn¶1
102n−1.
————————————–
26 On note fla fonction x7−→ p2−xsur ]−∞, 2].
1) Pour quelles valeurs de u0peut-on définir une
suite (un)n∈Npar la relation « un+1=f(un)» ?
On suppose désormais que u0a une telle valeur.
2) Montrer que (un)n∈Nest bornée.
3) On cherche à présent les points fixes de f◦f.
a) Déterminer les points fixes de fet montrer
qu’ils sont points fixes de f◦f.
b) Montrer que les points fixes de f◦fsont ra-
cines d’un polynôme Pde degré 4.
c) Vérifier que Padmet −2 pour racine.
d) En déduire les points fixes de f◦f.
4) Montrer enfin que (un)n∈Nest convergente et dé-
terminer sa limite.
————————————–
27 Soit (un)n∈Nune suite réelle. On suppose que
pour tout n∈N:un+1=u2
n−1
4. Étudier la conver-
gence de (un)n∈Nen fonction de u0.
————————————–
28 1) On note fla fonction x7−→ ln(1+x)
pxsur R∗
+.
a) Montrer que ]0,1]est stable par f.
b) Montrer que fest croissante sur ]0,1].
c) Montrer que fpossède un et un seul point
fixe sur ]0,1].
2) Étudier la convergence de la suite (un)n∈Ndéfi-
nie par : u0=1 et pour tout n∈N:
un+1=ln(1+un)
pun
.
————————————–
29 Soit (un)n∈Nune suite. On suppose : u0>0
et que pour tout n∈N:un+1=v
u
tn
X
k=0
uk.
1) Exprimer un+1en fonction de unpour tout n∈N.
2) Étudier : lim
n→+∞un.
3) Étudier : lim
n→+∞(un+1−un), puis en déduire :
lim
n→+∞
un
ngrâce au théorème de Césaro.
————————————–
30 Soit (un)n∈Nune suite. On suppose : u0>0
et que pour tout n∈N:un+1=un+e−un.
1) Étudier lim
n→+∞un.
2) On pose pour tout n∈N:vn=eun.
a) Montrer que : lim
n→+∞(vn+1−vn) = 1.
b) En déduire : lim
n→+∞
un
ln ngrâce au théo-
rème de Césaro.
————————————–
5 COUPLES DE SUITES RÉCURRENTES
31 Soient (xn)n∈Net (yn)n∈Ndeux suites réelles.
On suppose : x0<y0et que pour tout n∈N:
xn+1=2xn+yn
3et yn+1=xn+2yn 3.
Montrer que les suites (xn)n∈Net (yn)n∈Nsont conver-
gentes de même limite — que l’on précisera.
————————————–
32 Soit x>1. On définit deux suites (un)n∈Net
(vn)n∈Nen posant : u0=x,v0=1 et pour tout
n∈N:un+1=un+vn
2et vn+1=2unvn un+vn
.
Montrer que les suites (un)n∈Net (vn)n∈Nsont conver-
gentes de même limite — que l’on précisera.
————————————–
33 Soient a,b>0. On définit deux suites (an)n∈N
et (bn)n∈Nen posant : a0=a,b0=bet pour
tout n∈N:an+1=an+bn
2et bn+1=panbn.
Montrer que les suites (an)n∈N∗et (bn)n∈N∗sont conver-
gentes de même limite — appelée la moyenne arithmético-
géométrique de a et b mais qu’on N’essaiera PAS de dé-
terminer.
————————————–
6 SUITES DÉFINIES IMPLICITEMENT
34 Soient a,b∈Ravec a<bet f∈ C[a,b[,R
une fonction. On suppose que :
—fest strictement croissante sur [a,b[,
—f(a)¶0 et lim
x→bf(x) = +∞.
1) Pour tout n∈N, montrer que l’équation : f(x) = n
d’inconnue x∈[a,b[possède une et une seule
solution xn.
2) Étudier la monotonie de la suite (xn)n∈N.
3) Étudier : lim
n→+∞xn.
————————————–
35 Soient Iun intervalle et (fn)n∈Nune suite de fonc-
tions de Idans R. On suppose que pour tout n∈N:
— l’équation : fn(x) = 0 d’inconnue x∈Ipos-
sède une et une seule solution xn,
— la fonction fnest strictement croissante sur I,
— pour tout x∈I:fn(x)¶fn+1(x).
1) Conjecturer, à partir d’un dessin, le sens de mo-
notonie de la suite (xn)n∈N.
2) Prouver proprement cette conjecture.
————————————–
36 1) Montrer que l’équation : x+tan x=nd’in-
connue x∈i−π
2,π 2hpossède une et une seule
solution xnpour tout n∈N.
2) Étudier la nature de la suite (xn)n∈Net détermi-
ner sa limite, le cas échéant.
3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE D’UNE SUITE
————————————–
37 1) Montrer que l’équation : xn=cos xd’incon-
nue x∈[0,1]possède une et une seule solution
xnpour tout n∈N.
2) Étudier la nature de la suite (xn)n∈Net détermi-
ner sa limite, le cas échéant.
————————————–
38 1) Montrer que pour tout n∈N∗, l’équation :
xn+xn−1+...+x=1
d’inconnue x∈R+possède une et une seule so-
lution xn.
2) Étudier la nature de la suite (xn)n∈N∗
et déterminer sa limite, le cas échéant.
————————————–
39 1) a) Pour tout n∈N, montrer que l’équation :
ln x=−nx
d’inconnue x∈R∗
+possède une et une seule
solution xn.
b) Étudier la monotonie de la suite (xn)n∈N.
c) Étudier : lim
n→+∞xn.
2) On pose pour tout n∈N∗:yn=nxn.
a) Étudier : lim
n→+∞yn.
b) Montrer que pour tout n∈N∗:
yn+ln yn=ln n, puis que : lim
n→+∞
yn
ln n=1.
A fortiori : lim
n→+∞
nxn
ln n=1.
————————————–
7 BORNES SUPÉRIEURES/INFÉRIEURES
40 Déterminer les bornes inférieure et supérieure des
parties suivantes : 1) §(−1)n+1
nªn∈N∗
.
2) §1
p−qªp,q∈Z,p6=q
.3) (−1)kk
k+1k∈N∗
.
4) §pq
p2+q2ªp,q∈N∗
.5) p+pq
pp+qp,q∈N∗
.
6) §q
2p+qªp,q∈N∗
.
————————————–
41 Soit Aune partie non vide bornée de R. Montrer
l’égalité : sup¦|x−y|©x,y∈A=supA−infA.
————————————–
42 Soient Aet Bdeux parties non vides de R. On
suppose Aet B adjacentes, i.e. que :
∀(a,b)∈A×B,a¶b
et que : ∀ǫ > 0, ∃(a,b)∈A×B/b−a< ǫ.
Montrer qu’alors : supA=inf B.
————————————–
8 EXERCICES EPSILONESQUES
43 Étudier, EN REVENANT À LA DÉFINITION, la li-
mite des suites de termes généraux suivants :
1) n4−1
n3+2n+1.2) pn+sin n n2−n.
3) 2n+5(−1)n
n−2.4) n+ (−1)npn 2n+1.
5) n2
n3+n+1.6) n+sinnp2
pn.
————————————–
44 Soit (un)n∈Nune suite réelle. On pose pour tout
n∈N:en=⌊un⌋. Étudier : lim
n→+∞endans
chacun des cas suivants : 1) lim
n→+∞un= +∞.
2) lim
n→+∞un∈R\Z.3) lim n→+∞un∈Z.
————————————–
45 Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites réelles conver-
gentes. Étudier : lim
n→+∞max ¦un,vn©de deux ma-
nières différentes :
1) en commençant par chercher une expres-
sion simple de max¦x,y©en fonction de xet y
pour tous x,y∈R.
2) en revenant à la définition de la limite.
————————————–
46 Soit f:N−→ Nune fonction injective. Mon-
trer qu’alors : lim
n→+∞f(n) = +∞.
————————————–
9 THÉORÈMES DE TYPE CÉSARO
47 1) Soit (un)n∈N∗une suite réelle de limite
ℓ∈R. Montrer l’égalité :
lim
n→+∞
1
n
n
X
k=1
uk=ℓ(théorème de Césaro)
en revenant à la définition de la limite :
a) dans le cas où ℓ∈R.
b) dans le cas où « ℓ= +∞» — on traiterait de
même le cas où « ℓ=−∞ ».
2)
a) Soit (un)n∈Nune suite réelle. On suppose que :
lim
n→+∞(un+1−un) = ℓ∈R. Montrer qu’alors :
lim
n→+∞
un
n=ℓ.
b) Soit (un)n∈Nune suite strictement positive pour
laquelle : lim
n→+∞
un+1
un
=ℓ∈R+∪+∞.
Montrer qu’alors : lim
n→+∞
n
pun=ℓ.
c) En déduire : lim
n→+∞
n
v
t2n
net lim
n→+∞
n
n
pn!.
————————————–
4

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE D’UNE SUITE
48 Soient (un)n∈N∗une suite réelle de limite ℓ∈R
et (λn)n∈N∗une suite strictement positive pour laquelle :
lim
n→+∞
n
X
k=1
λk= +∞. Montrer qu’alors :
lim
n→+∞
n
X
k=1
λkuk
n
X
k=1
λk
=ℓ(théorème de Césaro généralisé).
————————————–
49 Soient (xn)n∈Net (yn)n∈Ndeux suites. On
suppose que (yn)n∈Nest strictement croissante de limite
+∞et que : lim
n→+∞
yn+1−yn
xn+1−xn
=ℓ∈R. Montrer
qu’alors :
lim
n→+∞
yn
xn
=ℓ(théorème de Stolz-Césaro).
————————————–
50 Soient (an)n∈Net (bn)n∈Ndeux suites réelles
convergentes de limites respectives aet b. Montrer que :
lim
n→+∞
1
n+1
n
X
k=0
akbn−k=ab.
————————————–
10 THÉORÈME DE BOLZANO
E-WEIERSTRASS
51 Soit (un)n∈Nune suite complexe telle que
pour tout n∈N:un+2=un+1+un
2n. On pose
pour tout n∈N:mn=max ¦|un|,|un+1|©.
1) Montrer que pour tout n∈N:mn+1¶1+1
2nmn.
2) En déduire que pour tout n∈N:mn¶e2m0,
puis que la suite (un)n∈Nest bornée.
D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe
une fonction ϕ:N−→ Nstrictement croissante pour
laquelle la suite uϕ(n)n∈Nest convergente.
3) Montrer que pour tout n∈N∗:
uϕ(n)−un¶4e2m0
2n.
4) En déduire que la suite (un)n∈Nest convergente.
————————————–
52 1) Soient ℓ∈Cet (un)n∈Nune suite complexe bor-
née dont toute suite extraite convergente converge
vers ℓ. Montrer qu’alors (un)n∈Nconverge vers ℓ.
2) Soit (un)n∈Nune suite complexe bornée pour la-
quelle : lim
n→+∞3un+u2n=1.
a) Soit ϕ:N−→ Nune fonction strictement
croissante. On suppose que la suite uϕ(n)n∈N
est convergente de limite ℓ0∈C.
i) Montrer que pour tout k∈N, la suite
u2kϕ(n)n∈Npossède une limite ℓk∈Cet
déterminer une expression explicite de ℓk
en fonction de kpour tout k∈N.
ii) Montrer que la suite (ℓk)k∈Nest bornée,
puis en déduire ℓ0.
b) En déduire que la suite (un)n∈Nest conver-
gente — de limite à préciser.
————————————–
53 On appelle suite de Cauchy toute suite com-
plexe (un)n∈Ntelle que :
∀ǫ > 0, ∃N∈N/∀p¾N,∀q¾N,|up−uq|< ǫ.
1) Montrer que toute suite de Cauchy est bornée.
2) a) Montrer que toute suite convergente est de
Cauchy.
b) Réciproquement, montrer que toute suite de
Cauchy est convergente en utilisant le théo-
rème de Bolzano-Weierstrass.
3) Soient a,b∈Ravec a¶bet f:[a,b]−→ [a,b]
une fonction contractante, i.e. telle que :
∃c∈[0,1[/∀x,y∈[a,b],f(x)−f(y)¶c|x−y|.
On souhaite montrer que fpossède alors un et
un seul point fixe (théorème du point fixe de Ba-
nach).
a) Montrer l’unicité d’un tel point fixe.
b) Montrer que fest continue sur [a,b].
Soit ω∈[a,b]fixé. On note (un)n∈Nla suite dé-
finie par : u0=ωet pour tout n∈N:
un+1=f(un).
c) Grâce à une simplification télescopique, mon-
trer que pour tous p,q∈N:
|up−uq|¶cp|u1−u0|
1−c.
d) En déduire que la suite (un)n∈Nest de Cau-
chy.
e) En déduire que fpossède un point fixe.
f) Pourquoi le résultat demeure-t-il vrai si l’on
remplace [a,b]par [a,+∞[,]−∞,b]ou R
mais pas par [a,b[,]a,b],]a,b[,]a,+∞[
ou ]−∞,b[?
————————————–
11 SUITES COMPLEXES
54 Soit (zn)n∈Nune suite complexe telle que pour
tout n∈N:zn+1=zn+|zn|
2. Exprimer znen fonc-
tion de npour tout n∈N, puis étudier la convergence
de (zn)n∈N.
————————————–
55
5