Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE DUNE SUITE
1 EXERCICES DIVERS
1Dans chacun des cas suivants, étudier la limite de la
suite de terme général :
1) a) pn2+npn2n.b) pn
n.
c) pen+2npen+1. d) 1+2 sin n
pn.
2) a) n!
nn.b)
n
X
k=1
1
pk.
c)
n
X
k=1
1
n2+k2.d)
n
X
k=1
1
pn2+k.
e) 1
n!
n
X
k=1
k!. f) 1
n2
n
X
k=1kx(xR).
————————————–
2Pour tout nN, on pose : Sn=
n
X
k=1
1
k2.
1) Montrer que pour tout k¾2 : 1
k21
k11
k.
2) En déduire que (Sn)nNest convergente.
————————————–
3Pour tout nN, on pose : Hn=
n
X
k=1
1
k.
1) Montrer que pour tout nN:H2nHn¾1
2.
2) En déduire que : lim
n+Hn= +.
————————————–
4Pour tout nN, on pose : un=2n
n22n.
1) Montrer que la suite (n+1)u2
nnNconverge.
2) En déduire : lim
n+un.
————————————–
5
1) Pour tout nN, on pose : In=Ze
1
(ln t)ndt.
a) Montrer que la suite (In)nNest convergente.
b) Montrer que pour tout nN:
In+1=e(n+1)In.
c) En déduire : lim
n+In.
2) Pour tout nN, on pose : un= (1)nIn
n!.
a) Exprimer un+1en fonction de unpour tout
nN.
b) En déduire : lim
n+
n
X
k=0
(1)k
k!.
————————————–
6Soit xR+. On pose : Sn=
n
X
k=0
xk
k!pour
tout nN.
1) Montrer que pour tous kNet t[0,1]:
(1t)k¾1kt.
2) Montrer que pour tous nNet k¹0, nº:
1
k!¾n
k1
nk¾1
k!1k(k1)
n.
3) En déduire que pour tout nN:
Sn¾1+x
nn
¾1x2
nSn.
4) En déduire que la suite (Sn)nNconverge et dé-
terminer sa limite.
————————————–
7Soient (un)nNet (vn)nNdeux suites à valeurs
dans [0,1]pour lesquelles : lim
n+unvn=1.
Montrer qu’alors : lim
n+un=lim
n+vn=1.
————————————–
8Soit (un)nNune suite. Montrer que : lim
n+un=0
si et seulement si : 1) lim
n+
un
1+un
=0.
2) lim
n+
un
1+u2
n
=0 et (un)nNest bor-
née.
————————————–
9Soient (an)nNet (bn)nNdeux suites stricte-
ment positives. On suppose que : lim
n+bn=0 et
que pour tout nN:an+1
an
bn+1
bn
.
Montrer qu’alors : lim
n+an=0.
————————————–
10 Soit (un)nNune suite strictement positive. On
suppose un+1
unnN
convergente de limite notée .
1) Étudier lim
n+undans le cas où : ℓ < 1.
2) Même question dans le cas où : ℓ > 1.
3) Montrer qu’on ne peut pas conclure dans le cas
où : =1.
————————————–
11 Montrer que la suite (un)nNdéfinie par :
u1¾0 et pour tout nN:un+1=un
n+1
n2est
convergente.
————————————–
2 SUITES EXTRAITES
12 Dans chacun des cas ci-dessous, montrer que la suite
(un)nNou (un)nNn’a pas de limite.
1) pour tout nN:un=sin n2π
3.
2) pour tout n¾2, unest l’inverse du nombre
de diviseurs premiers distincts de n.
3) pour tout nN:un=cos(ln n).
————————————–
1
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE DUNE SUITE
13 Soit (un)nNune suite réelle. Montrer que (un)nN
est convergente dans les deux cas suivants :
1) (un)nNest croissante et (u2n)nNconvergente.
2) (u2n)nN,(u2n+1)nNet (u3n)nNsont convergentes.
————————————–
14 On pose pour tout nN:un=pnpn.
1) Étudier : lim
n+un2+n. En déduire que
la suite (un)nNn’a pas de limite.
2) Soient aNet bNavec ab. Étu-
dier : lim
n+un2b2+2an.
3) Montrer que tout élément de [0,1]est
la limite d’une certaine suite extraite de (un)nN.
————————————–
15 On admet l’irrationalité de π. Le el tan n
est alors bien défini pour tout nN. Montrer que la
suite (tan n)nNn’a pas de limite.
————————————–
16 Soit θR\πZ. Montrer qu’aucune des deux
suites sin(nθ)nNet cos(nθ)nNn’a de limite.
————————————–
3 SUITES ADJACENTES
17 Pour tout nN, on pose : un=
2n
X
k=n+1
1
ket
vn=
2n
X
k=n
1
k. Montrer que les suites (un)nNet (vn)nN
sont adjacentes.
————————————–
18 Pour tout nN, on pose : un=
n
X
k=1
1
pk2pn
et vn=
n
X
k=1
1
pk2pn+1.
1) Montrer que les suites (un)nNet (vn)nNsont
adjacentes.
2) En déduire : lim
n+
n
X
k=1
1
pk.
————————————–
19 Pour tout nN, on pose : un=
n
Y
k=11+1
k2
et vn=un1+1
n. Montrer que les suites (un)nN
et (vn)nNsont adjacentes.
————————————–
20 Soit α > 1. On pose pour tout nN:
An=
n
X
k=1
1
kαet Bn=An+1
(α1)nα1.
1) Montrer que pour tout xR+:
(1+x)α¾1+αx.
2) En déduire que les suites (An)nNet (Bn)nN
sont adjacentes.
————————————–
21 1) Soit (un)nNune suite décroissante de li-
mite nulle. On pose : Sn=
n
X
k=0
(1)kukpour
tout nN.
a) Montrer que les suites (S2n)nNet (S2n+1)nN
sont adjacentes.
b) En déduire que la suite (Sn)nNconverge.
2) On admet que la limite : lim
n+n
X
k=1
1
kln n
existe et est finie. Déterminer : lim
n+
n
X
k=1
(1)k
k.
————————————–
4 SUITES RÉCURRENTES «un+1=f(un)»
22 Étudier la convergence des suites (un)nNdéfinies
par :
1) u0=0 et : un+1=pun+4.
2) u0=1
2et : un+1=u2
n+un
2.
3) u0=0 et : un+1=eun.
4) u0=0 et : un+1=p2un+3.
5) u0=2 et : un+1=1+ln un.
6) u0=4 et : un+1=unln un.
————————————–
23 1) Montrer que [3,+[est stable par x7−2x23
x+2.
On note alors (xn)nNla suite définie par : x0=5
et pour tout nN:xn+1=2x2
n3
xn+2.
2) a) Étudier la monotonie de (xn)nN.
b) En déduire : lim
n+xn.
3) On souhaite améliorer le résultat de la question
2) en procédant tout à fait différemment.
a) Montrer que pour tout nN:
xn+1¾2xn4.
b) En déduire que : xn¾2n+αpour tout
nN, où αest un réel à préciser. Conclure.
————————————–
24 Soit α[0,1]. Étudier la nature de la suite
(un)nNdéfinie par : u0=αet pour tout nN:
un+1= (1un)sin un.
————————————–
25 On note (xn)nNla suite définie par : x0=2
et pour tout nN:xn+1=x2
n+2
2xn
.
1) Étudier la convergence de (xn)nN.
2
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE DUNE SUITE
2) Pour tout nN, on pose : ǫn=xnp2
2p2.
a) Montrer que pour tout nN: 0 ǫn+1ǫ2
n.
b) Montrer que : ǫ11
10, puis que pour
tout nN: 0 ǫn1
102n1.
————————————–
26 On note fla fonction x7−p2xsur ]−∞, 2].
1) Pour quelles valeurs de u0peut-on définir une
suite (un)nNpar la relation « un+1=f(un)» ?
On suppose désormais que u0a une telle valeur.
2) Montrer que (un)nNest bornée.
3) On cherche à présent les points fixes de ff.
a) Déterminer les points fixes de fet montrer
qu’ils sont points fixes de ff.
b) Montrer que les points fixes de ffsont ra-
cines d’un polynôme Pde degré 4.
c) Vérifier que Padmet 2 pour racine.
d) En déduire les points fixes de ff.
4) Montrer enfin que (un)nNest convergente et dé-
terminer sa limite.
————————————–
27 Soit (un)nNune suite réelle. On suppose que
pour tout nN:un+1=u2
n1
4. Étudier la conver-
gence de (un)nNen fonction de u0.
————————————–
28 1) On note fla fonction x7−ln(1+x)
pxsur R
+.
a) Montrer que ]0,1]est stable par f.
b) Montrer que fest croissante sur ]0,1].
c) Montrer que fpossède un et un seul point
fixe sur ]0,1].
2) Étudier la convergence de la suite (un)nNdéfi-
nie par : u0=1 et pour tout nN:
un+1=ln(1+un)
pun
.
————————————–
29 Soit (un)nNune suite. On suppose : u0>0
et que pour tout nN:un+1=v
u
tn
X
k=0
uk.
1) Exprimer un+1en fonction de unpour tout nN.
2) Étudier : lim
n+un.
3) Étudier : lim
n+(un+1un), puis en déduire :
lim
n+
un
ngrâce au théorème de Césaro.
————————————–
30 Soit (un)nNune suite. On suppose : u0>0
et que pour tout nN:un+1=un+eun.
1) Étudier lim
n+un.
2) On pose pour tout nN:vn=eun.
a) Montrer que : lim
n+(vn+1vn) = 1.
b) En déduire : lim
n+
un
ln ngrâce au théo-
rème de Césaro.
————————————–
5 COUPLES DE SUITES RÉCURRENTES
31 Soient (xn)nNet (yn)nNdeux suites réelles.
On suppose : x0<y0et que pour tout nN:
xn+1=2xn+yn
3et yn+1=xn+2yn
3.
Montrer que les suites (xn)nNet (yn)nNsont conver-
gentes de même limite — que l’on précisera.
————————————–
32 Soit x>1. On définit deux suites (un)nNet
(vn)nNen posant : u0=x,v0=1 et pour tout
nN:un+1=un+vn
2et vn+1=2unvn
un+vn
.
Montrer que les suites (un)nNet (vn)nNsont conver-
gentes de même limite — que l’on précisera.
————————————–
33 Soient a,b>0. On définit deux suites (an)nN
et (bn)nNen posant : a0=a,b0=bet pour
tout nN:an+1=an+bn
2et bn+1=panbn.
Montrer que les suites (an)nNet (bn)nNsont conver-
gentes de même limite — appelée la moyenne arithmético-
géométrique de a et b mais qu’on Nessaiera PAS de dé-
terminer.
————————————–
6 SUITES DÉFINIES IMPLICITEMENT
34 Soient a,bRavec a<bet f∈ C[a,b[,R
une fonction. On suppose que :
fest strictement croissante sur [a,b[,
f(a)0 et lim
xbf(x) = +.
1) Pour tout nN, montrer que l’équation : f(x) = n
d’inconnue x[a,b[possède une et une seule
solution xn.
2) Étudier la monotonie de la suite (xn)nN.
3) Étudier : lim
n+xn.
————————————–
35 Soient Iun intervalle et (fn)nNune suite de fonc-
tions de Idans R. On suppose que pour tout nN:
l’équation : fn(x) = 0 d’inconnue xIpos-
sède une et une seule solution xn,
la fonction fnest strictement croissante sur I,
pour tout xI:fn(x)fn+1(x).
1) Conjecturer, à partir d’un dessin, le sens de mo-
notonie de la suite (xn)nN.
2) Prouver proprement cette conjecture.
————————————–
36 1) Montrer que l’équation : x+tan x=nd’in-
connue xiπ
2,π
2hpossède une et une seule
solution xnpour tout nN.
2) Étudier la nature de la suite (xn)nNet détermi-
ner sa limite, le cas échéant.
3
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE DUNE SUITE
————————————–
37 1) Montrer que l’équation : xn=cos xd’incon-
nue x[0,1]possède une et une seule solution
xnpour tout nN.
2) Étudier la nature de la suite (xn)nNet détermi-
ner sa limite, le cas échéant.
————————————–
38 1) Montrer que pour tout nN, l’équation :
xn+xn1+...+x=1
d’inconnue xR+possède une et une seule so-
lution xn.
2) Étudier la nature de la suite (xn)nN
et déterminer sa limite, le cas échéant.
————————————–
39 1) a) Pour tout nN, montrer que l’équation :
ln x=nx
d’inconnue xR
+possède une et une seule
solution xn.
b) Étudier la monotonie de la suite (xn)nN.
c) Étudier : lim
n+xn.
2) On pose pour tout nN:yn=nxn.
a) Étudier : lim
n+yn.
b) Montrer que pour tout nN:
yn+ln yn=ln n, puis que : lim
n+
yn
ln n=1.
A fortiori : lim
n+
nxn
ln n=1.
————————————–
7 BORNES SUPÉRIEURES/INFÉRIEURES
40 Déterminer les bornes inférieure et supérieure des
parties suivantes : 1) §(1)n+1
nªnN
.
2) §1
pqªp,qZ,p6=q
.3) (1)kk
k+1kN
.
4) §pq
p2+q2ªp,qN
.5) p+pq
pp+qp,qN
.
6) §q
2p+qªp,qN
.
————————————–
41 Soit Aune partie non vide bornée de R. Montrer
l’égalité : sup¦|xy|©x,yA=supAinfA.
————————————–
42 Soient Aet Bdeux parties non vides de R. On
suppose Aet B adjacentes, i.e. que :
(a,b)A×B,ab
et que : ǫ > 0, (a,b)A×B/ba< ǫ.
Montrer qu’alors : supA=inf B.
————————————–
8 EXERCICES EPSILONESQUES
43 Étudier, EN REVENANT À LA DÉFINITION, la li-
mite des suites de termes généraux suivants :
1) n41
n3+2n+1.2) pn+sin n
n2n.
3) 2n+5(1)n
n2.4) n+ (1)npn
2n+1.
5) n2
n3+n+1.6) n+sinnp2
pn.
————————————–
44 Soit (un)nNune suite réelle. On pose pour tout
nN:en=un. Étudier : lim
n+endans
chacun des cas suivants : 1) lim
n+un= +.
2) lim
n+unR\Z.3) lim
n+unZ.
————————————–
45 Soient (un)nNet (vn)nNdeux suites réelles conver-
gentes. Étudier : lim
n+max ¦un,vn©de deux ma-
nières différentes :
1) en commençant par chercher une expres-
sion simple de max¦x,y©en fonction de xet y
pour tous x,yR.
2) en revenant à la définition de la limite.
————————————–
46 Soit f:NNune fonction injective. Mon-
trer qu’alors : lim
n+f(n) = +.
————————————–
9 THÉORÈMES DE TYPE CÉSARO
47 1) Soit (un)nNune suite réelle de limite
R. Montrer l’égalité :
lim
n+
1
n
n
X
k=1
uk=(théorème de Césaro)
en revenant à la définition de la limite :
a) dans le cas où R.
b) dans le cas où « = +» — on traiterait de
même le cas où « =−∞ ».
2)
a) Soit (un)nNune suite réelle. On suppose que :
lim
n+(un+1un) = R. Montrer qu’alors :
lim
n+
un
n=.
b) Soit (un)nNune suite strictement positive pour
laquelle : lim
n+
un+1
un
=R++.
Montrer qu’alors : lim
n+
n
pun=.
c) En déduire : lim
n+
n
v
t2n
net lim
n+
n
n
pn!.
————————————–
4
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI LIMITE DUNE SUITE
48 Soient (un)nNune suite réelle de limite R
et (λn)nNune suite strictement positive pour laquelle :
lim
n+
n
X
k=1
λk= +. Montrer qu’alors :
lim
n+
n
X
k=1
λkuk
n
X
k=1
λk
=(théorème de Césaro généralisé).
————————————–
49 Soient (xn)nNet (yn)nNdeux suites. On
suppose que (yn)nNest strictement croissante de limite
+et que : lim
n+
yn+1yn
xn+1xn
=R. Montrer
qu’alors :
lim
n+
yn
xn
=(théorème de Stolz-Césaro).
————————————–
50 Soient (an)nNet (bn)nNdeux suites réelles
convergentes de limites respectives aet b. Montrer que :
lim
n+
1
n+1
n
X
k=0
akbnk=ab.
————————————–
10 THÉORÈME DE BOLZANO
E-WEIERSTRASS
51 Soit (un)nNune suite complexe telle que
pour tout nN:un+2=un+1+un
2n. On pose
pour tout nN:mn=max ¦|un|,|un+1|©.
1) Montrer que pour tout nN:mn+11+1
2nmn.
2) En déduire que pour tout nN:mne2m0,
puis que la suite (un)nNest bornée.
D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe
une fonction ϕ:NNstrictement croissante pour
laquelle la suite uϕ(n)nNest convergente.
3) Montrer que pour tout nN:
uϕ(n)un4e2m0
2n.
4) En déduire que la suite (un)nNest convergente.
————————————–
52 1) Soient Cet (un)nNune suite complexe bor-
née dont toute suite extraite convergente converge
vers . Montrer qu’alors (un)nNconverge vers .
2) Soit (un)nNune suite complexe bornée pour la-
quelle : lim
n+3un+u2n=1.
a) Soit ϕ:NNune fonction strictement
croissante. On suppose que la suite uϕ(n)nN
est convergente de limite 0C.
i) Montrer que pour tout kN, la suite
u2kϕ(n)nNpossède une limite kCet
déterminer une expression explicite de k
en fonction de kpour tout kN.
ii) Montrer que la suite (k)kNest bornée,
puis en déduire 0.
b) En déduire que la suite (un)nNest conver-
gente — de limite à préciser.
————————————–
53 On appelle suite de Cauchy toute suite com-
plexe (un)nNtelle que :
ǫ > 0, NN/p¾N,q¾N,|upuq|< ǫ.
1) Montrer que toute suite de Cauchy est bornée.
2) a) Montrer que toute suite convergente est de
Cauchy.
b) Réciproquement, montrer que toute suite de
Cauchy est convergente en utilisant le théo-
rème de Bolzano-Weierstrass.
3) Soient a,bRavec abet f:[a,b][a,b]
une fonction contractante, i.e. telle que :
c[0,1[/x,y[a,b],f(x)f(y)c|xy|.
On souhaite montrer que fpossède alors un et
un seul point fixe (théorème du point fixe de Ba-
nach).
a) Montrer l’unicité d’un tel point fixe.
b) Montrer que fest continue sur [a,b].
Soit ω[a,b]fixé. On note (un)nNla suite dé-
finie par : u0=ωet pour tout nN:
un+1=f(un).
c) Grâce à une simplification télescopique, mon-
trer que pour tous p,qN:
|upuq|cp|u1u0|
1c.
d) En déduire que la suite (un)nNest de Cau-
chy.
e) En déduire que fpossède un point fixe.
f) Pourquoi le résultat demeure-t-il vrai si l’on
remplace [a,b]par [a,+[,]−∞,b]ou R
mais pas par [a,b[,]a,b],]a,b[,]a,+[
ou ]−∞,b[?
————————————–
11 SUITES COMPLEXES
54 Soit (zn)nNune suite complexe telle que pour
tout nN:zn+1=zn+|zn|
2. Exprimer znen fonc-
tion de npour tout nN, puis étudier la convergence
de (zn)nN.
————————————–
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