1 exercices divers 2 suites extraites

LIMITE D’UNE SUITE
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1
1
EXERCICES
2) Montrer que pour tous n ∈ N∗ et k ∈ ¹0, nº :

‹
 ‹
1
k(k − 1)
n 1
1
1
−
.
¾
¾
k!
k nk
k!
n
DIVERS
Dans chacun des cas suivants, étudier la limite de la
suite de terme général :
p n
p
p
1)
.
a)
n2 + n − n2 − n.
b)
n
p
p
1 + 2 sin n
c)
en + 2n − en + 1.
d)
.
p
n
n
X 1
n!
.
b)
a)
2)
p .
nn
k
k=1
n
n
X
X
1
1
.
c)
.
d)
p
2
2
2
n +k
n +k
k=1
k=1
n
n
1 X
1 X e)
k!.
f)
kx
(x ∈ R).
n! k=1
n2 k=1
3) En déduire que pour tout n ∈ N∗ :
x n
x2
Sn ¾ 1 +
Sn .
¾ 1−
n
n
4) En déduire que la suite (Sn )n∈N∗ converge et déterminer sa limite.
————————————–
7
n→+∞
Montrer qu’alors :
————————————–
2
n
X
Sn =
8
3
Pour tout n ∈ N∗ , on pose :
Hn =
si et seulement si :
1) Montrer que pour tout n ∈ N∗ :
2) En déduire que :
k
.
n→+∞
H2n − H n ¾
lim H n = +∞.
1)
lim
n→+∞
un
= 0
1 + u2n
lim un = 0
n→+∞
un
1 + un
= 0.
et (un )n∈N est bor-
————————————–
1
.
2
9
Soient (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites strictement positives. On suppose que :
lim bn = 0 et
n→+∞
an+1
bn+1
que pour tout n ∈ N :
¶
.
an
bn
Montrer qu’alors :
lim an = 0.
n→+∞
————————————–
4
lim
2)
née.
k=1
n→+∞
Soit (un )n∈N une suite. Montrer que :
————————————–
n
X
1
lim un = lim vn = 1.
n→+∞
————————————–
1
.
2
k
k=1
1
1
1
1) Montrer que pour tout k ¾ 2 :
− .
¶
2
k
k−1 k
2) En déduire que (Sn )n∈N∗ est convergente.
Pour tout n ∈ N∗ , on pose :
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites à valeurs
dans [0, 1] pour lesquelles :
lim un vn = 1.
 ‹
2n −2n
2 .
Pour tout n ∈ N, on pose : un =
n
Š
€
converge.
1) Montrer que la suite (n + 1)u2n
n∈N
2) En déduire :
lim un .
n→+∞
————————————–
10
n→+∞
————————————–
Soit
n )n∈N une suite strictement positive. On
 (u‹
un+1
suppose
convergente de limite notée ℓ.
un n∈N
1) Étudier lim un dans le cas où : ℓ < 1.
n→+∞
5
1) Pour tout n ∈ N, on pose :
In =
Z
2) Même question dans le cas où : ℓ > 1.
3) Montrer qu’on ne peut pas conclure dans le cas
où : ℓ = 1.
e
(ln t)n dt.
1
a) Montrer que la suite (I n )n∈N est convergente.
b) Montrer que pour tout n ∈ N :
————————————–
I n+1 = e − (n + 1)I n .
c) En déduire :
lim I n .
n→+∞
In
.
n!
en fonction de un pour tout
b) En déduire :
lim
n→+∞
n
X
(−1)k
k=0
k!
————————————–
2
6
Sn =
SUITES
EXTRAITES
.
12
————————————–
Soit x ∈ R+ . On pose :
Montrer que la suite (un )n∈N∗ définie par :
un
1
+ 2 est
u1 ¾ 0 et pour tout n ∈ N∗ : un+1 =
n
n
convergente.
un = (−1)n
2) Pour tout n ∈ N, on pose :
a) Exprimer un+1
n ∈ N.
11
n
X
xk
k!
k=0
pour
tout n ∈ N∗ .
1) Montrer que pour tous k ∈ N et t ∈ [0, 1] :
(1 − t)k ¾ 1 − kt.
Dans chacun des cas ci-dessous, montrer que la suite
(un )n∈N ou (un )n∈N∗ n’a pas de limite.
n2 π
1)
.
pour tout n ∈ N : un = sin
3
pour tout n ¾ 2, un est l’inverse du nombre
2)
de diviseurs premiers distincts de n.
3)
pour tout n ∈ N∗ : un = cos(ln n).
————————————–
1
LIMITE D’UNE SUITE
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
13
Soit (un )n∈N une suite réelle. Montrer que (un )n∈N
est convergente dans les deux cas suivants :
1) (un )n∈N est croissante et (u2n )n∈N convergente.
2) (u2n )n∈N , (u2n+1 )n∈N et (u3n )n∈N sont convergentes.
2) En déduire que les suites (An )n∈N∗ et (Bn )n∈N∗
sont adjacentes.
————————————–
————————————–
p p
On pose pour tout n ∈ N : un = n − n .
14
Étudier :
lim un2 +n . En déduire que
1)
21
1)
n→+∞
k=0
la suite (un )n∈N n’a pas de limite.
2)
Soient a ∈ N et b ∈ N∗ avec a ¶ b. Étudier :
lim un2 b2 +2an .
tout n ∈ N.
a) Montrer que les suites (S2n )n∈N et (S2n+1 )n∈N
sont adjacentes.
b) En déduire que la suite (Sn )n∈N converge.
Œ
‚ n
X1
− ln n
On admet que la limite :
lim
2)
n→+∞
k
k=1
n
X
(−1)k
existe et est finie. Déterminer :
lim
.
n→+∞
k
k=1
n→+∞
3)
Montrer que tout élément de [0, 1] est
la limite d’une certaine suite extraite de (un )n∈N .
————————————–
15
On admet l’irrationalité de π. Le réel tan n
est alors bien défini pour tout n ∈ N. Montrer que la
suite (tan n)n∈N n’a pas de limite.
————————————–
————————————–
4
Soit θ ∈ R\πZ. Montrer
qu’aucune des deux
16
suites sin(nθ ) n∈N et cos(nθ ) n∈N n’a de limite.
22
————————————–
3
SUITES
ADJACENTES
Pour tout n ∈ N∗ , on pose :
17
un =
2n
X
1
2n
X
1
k
k=n+1
et
. Montrer que les suites (un )n∈N∗ et (vn )n∈N∗
k
sont adjacentes.
vn =
On note alors (x n )n∈N la suite définie par :
2x n2 − 3
et pour tout n ∈ N : x n+1 =
.
xn + 2
2) a) Étudier la monotonie de (x n )n∈N .
b) En déduire :
lim x n .
n→+∞
3) On souhaite améliorer le résultat de la question
2) en procédant tout à fait différemment.
a) Montrer que pour tout n ∈ N :
x n+1 ¾ 2x n − 4.
‹
Pour tout n ∈ N∗ , on pose : un =
k=1
‹

1
. Montrer que les suites (un )n∈N∗
et vn = un 1 +
n
et (vn )n∈N∗ sont adjacentes.
b) En déduire que : x n ¾ 2n + α pour tout
n ∈ N, où α est un réel à préciser. Conclure.
————————————–
————————————–
20
24
Soit α > 1. On pose pour tout n ∈ N∗ :
An =
n
X
1
α
k
k=1
et
B n = An +
2x 2 − 3
.
x +2
x0 = 5
1) Montrer que [3, +∞[ est stable par x 7−→
————————————–
19
Étudier la convergence des suites (un )n∈N définies
par :
p
1)
u0 = 0 et : un+1 = un + 4.
u2n + un
1
.
2)
u0 = et : un+1 =
2
2
un
3)
u0 = 0 et : un+1 = ep .
4)
u0 = 0 et : un+1 = 2un + 3.
5)
u0 = 2 et : un+1 = 1 + ln un .
6)
u0 = 4 et : un+1 = un − ln un .
23
————————————–
n
X
p
1
Pour tout n ∈ N∗ , on pose : un =
p −2 n
18
k
k=1
n
X
p
1
et vn =
p − 2 n + 1.
k
k=1
1) Montrer que les suites (un )n∈N∗ et (vn )n∈N∗ sont
adjacentes.
n
X
1
2) En déduire :
lim
p .
n→+∞
k
k=1
1
1+ 2
k
SUITES RÉCURRENTES « un+1 = f (un ) »
————————————–
k=n
n 
Y
Soit (un )n∈N une suite décroissante de lin
X
mite nulle. On pose : Sn =
(−1)k uk pour
Soit α ∈ [0, 1]. Étudier la nature de la suite
(un )n∈N définie par : u0 = α et pour tout n ∈ N :
un+1 = (1 − un ) sin un .
————————————–
1
.
(α − 1)nα−1
25
1) Montrer que pour tout x ∈ R+ :
(1 + x)α ¾ 1 + αx.
2
On note (x n )n∈N la suite définie par :
x n2 + 2
.
et pour tout n ∈ N : x n+1 =
2x n
1) Étudier la convergence de (x n )n∈N .
x0 = 2
LIMITE D’UNE SUITE
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
2)
26
1)
2)
3)
4)
p
xn − 2
Pour tout n ∈ N, on pose : ǫn =
p .
2 2
a) Montrer que pour tout n ∈ N : 0 ¶ ǫn+1 ¶ ǫn2 .
1
b) Montrer que : ǫ1 ¶
, puis que pour
10
1
tout n ∈ N : 0 ¶ ǫn ¶ 2n−1 .
10
————————————–
p
On note f la fonction x 7−→ 2 − x sur ]−∞, 2].
Pour quelles valeurs de u0 peut-on définir une
suite (un )n∈N par la relation « un+1 = f (un ) » ?
On suppose désormais que u0 a une telle valeur.
Montrer que (un )n∈N est bornée.
On cherche à présent les points fixes de f ◦ f .
a) Déterminer les points fixes de f et montrer
qu’ils sont points fixes de f ◦ f .
b) Montrer que les points fixes de f ◦ f sont racines d’un polynôme P de degré 4.
c) Vérifier que P admet −2 pour racine.
d) En déduire les points fixes de f ◦ f .
Montrer enfin que (un )n∈N est convergente et déterminer sa limite.
5
31
Soient (x n )n∈N et ( yn )n∈N deux suites réelles.
On suppose : x 0 < y0 et que pour tout n ∈ N :
x n+1 =
32
33
Soient a, b > 0. On définit deux suites (an )n∈N
et (bn )n∈N en posant : a0 = a, b0 = b et pour
p
a n + bn
tout n ∈ N : an+1 =
et bn+1 = an bn .
2
Montrer que les suites (an )n∈N∗ et (bn )n∈N∗ sont convergentes de même limite — appelée la moyenne arithméticogéométrique de a et b mais qu’on N’essaiera PAS de déterminer.
————————————–
6
ln(1 + x)
1) On note f la fonction x 7−→
sur R∗+ .
p
x
a) Montrer que ]0, 1] est stable par f .
b) Montrer que f est croissante sur ]0, 1].
c) Montrer que f possède un et un seul point
fixe sur ]0, 1].
2) Étudier la convergence de la suite (un )n∈N définie par : u0 = 1 et pour tout n ∈ N :
DÉFINIES IMPLICITEMENT
x→b
1) Pour tout n ∈ N, montrer que l’équation : f (x) = n
d’inconnue x ∈ [a, b[ possède une et une seule
solution x n .
2) Étudier la monotonie de la suite (x n )n∈N .
3) Étudier :
lim x n .
ln(1 + un )
.
p
un
————————————–
n→+∞
————————————–
u0 > 0
35
k=0
1) Exprimer un+1 en fonction de un pour tout n ∈ N.
2) Étudier :
lim un .
n→+∞
3) Étudier :
lim (un+1 −un ), puis en déduire :
n→+∞
un
grâce au théorème de Césaro.
lim
n→+∞ n
————————————–
Soit (un )n∈N une suite. On suppose :
et que pour tout n ∈ N : un+1 = un + e−un .
1) Étudier lim un .
SUITES
Soient a, b ∈ R avec a < b et f ∈ C [a, b[, R
34
une fonction. On suppose que :
— f est strictement croissante sur [a, b[,
— f (a) ¶ 0 et lim f (x) = +∞.
un+1 =
30
x n + 2 yn
.
3
————————————–
Soit (un )n∈N une suite réelle.
On suppose que
1
pour tout n ∈ N : un+1 = u2n − . Étudier la conver4
Soit (un )n∈N une suite. Onvsuppose :
uX
n
t
et que pour tout n ∈ N : un+1 =
uk .
yn+1 =
Soit x > 1. On définit deux suites (un )n∈N et
(vn )n∈N en posant : u0 = x, v0 = 1 et pour tout
2un vn
un + vn
et vn+1 =
.
n ∈ N : un+1 =
2
un + vn
Montrer que les suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont convergentes de même limite — que l’on précisera.
————————————–
29
et
————————————–
gence de (un )n∈N en fonction de u0 .
28
2x n + yn
3
Montrer que les suites (x n )n∈N et ( yn )n∈N sont convergentes de même limite — que l’on précisera.
————————————–
27
COUPLES DE SUITES RÉCURRENTES
u0 > 0
Soient I un intervalle et ( f n )n∈N une suite de fonctions de I dans R. On suppose que pour tout n ∈ N :
— l’équation : f n (x) = 0 d’inconnue x ∈ I possède une et une seule solution x n ,
— la fonction f n est strictement croissante sur I ,
— pour tout x ∈ I : f n (x) ¶ f n+1 (x).
1) Conjecturer, à partir d’un dessin, le sens de monotonie de la suite (x n )n∈N .
2) Prouver proprement cette conjecture.
————————————–
n→+∞
36
2) On pose pour tout n ∈ N : vn = eun .
a) Montrer que :
lim (vn+1 − vn ) = 1.
n→+∞
un
grâce au théob) En déduire :
lim
n→+∞ ln n
rème de Césaro.
————————————–
3
1) Montrer queil’équation
: x + tan x = n d’inπ πh
possède une et une seule
connue x ∈ − ,
2 2
solution x n pour tout n ∈ N.
2) Étudier la nature de la suite (x n )n∈N et déterminer sa limite, le cas échéant.
LIMITE D’UNE SUITE
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
8
————————————–
37
1) Montrer que l’équation : x n = cos x d’inconnue x ∈ [0, 1] possède une et une seule solution
x n pour tout n ∈ N.
2) Étudier la nature de la suite (x n )n∈N et déterminer sa limite, le cas échéant.
43
————————————–
38
1)
Montrer que pour tout n ∈ N∗ , l’équation :
n
x +x
n−1
EXERCICES
Étudier, EN REVENANT À LA DÉFINITION, la limite des suites de termes généraux
p suivants :
n + sin n
n4 − 1
.
2)
.
1)
n3 + 2n + 1
n2 − n p
n
n
2n + 5(−1)
n + (−1) n
3)
.
4)
.
n−2
2n +p1 n + sin n 2
n2
.
6)
5)
.
p
3
n +n+1
n
————————————–
+ ... + x = 1
44
d’inconnue x ∈ R+ possède une et une seule solution x n .
2)
Étudier la nature de la suite (x n )n∈N∗
et déterminer sa limite, le cas échéant.
Soit (un )n∈N une suite réelle. On pose pour tout
n ∈ N : en = ⌊un ⌋. Étudier :
lim en dans
n→+∞
chacun des cas suivants :
2)
lim un ∈ R \ Z.
n→+∞
1)
lim un = +∞.
n→+∞
3)
lim un ∈ Z.
n→+∞
————————————–
————————————–
39
EPSILONESQUES
45
1) a) Pour tout n ∈ N, montrer que l’équation :
Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux
© réelles conver¦ suites
de deux magentes. Étudier :
lim max un , vn
n→+∞
nières différentes :
1)
en commençant
¦ par© chercher une expression simple de max x, y en fonction de x et y
pour tous x, y ∈ R.
2)
en revenant à la définition de la limite.
ln x = −nx
d’inconnue x ∈ R∗+ possède une et une seule
solution x n .
b) Étudier la monotonie de la suite (x n )n∈N .
c) Étudier :
lim x n .
n→+∞
2) On pose pour tout n ∈ N∗ :
a) Étudier :
lim yn .
yn = nx n .
————————————–
n→+∞
b) Montrer que pour tout n ∈ N∗ :
yn +ln yn = ln n,
puis que :
46
lim
n→+∞
yn
= 1.
ln n
n→+∞
————————————–
nx n
A fortiori :
lim
= 1.
n→+∞ ln n
————————————–
7
40
41
9
B ORNES SUPÉRIEURES/INFÉRIEURES
47
Déterminer les bornes inférieure
et ª
supérieure des
§
1
.
parties suivantes :
1)
(−1)n +
n n∈N∗ ª
§
(−1)k k
1
.
3)
.
2)
p − q p,q∈Z,p6=q
k + 1 k∈N∗
p ª
§
p+ q
pq
.
5)
.
4)
p
p2 + q2 p,q∈N∗
p + q p,q∈N∗
§
ª
q
6)
.
2 p + q p,q∈N∗
————————————–
2)
Soit (un )n∈N∗ une suite réelle de limite
ℓ ∈ R. Montrer l’égalité :
(théorème de Césaro)
en revenant à la définition de la limite :
a) dans le cas où ℓ ∈ R.
b) dans le cas où « ℓ = +∞ » — on traiterait de
même le cas où « ℓ = −∞ ».
a) Soit (un )n∈N une suite réelle. On suppose que :
lim (un+1 −un ) = ℓ ∈ R. Montrer qu’alors :
n→+∞
un
lim
= ℓ.
n→+∞ n
b) Soit (un )n∈N une suite strictement positive pour
un+1
= ℓ ∈ R+ ∪ +∞ .
laquelle :
lim
n→+∞ u
n
p
Montrer qu’alors :
lim n un = ℓ.
n→+∞
v
nt2n‹
n
et
lim p
.
c) En déduire :
lim
n
n→+∞
n→+∞
n
n!
————————————–
Soient A et B deux parties non vides de R. On
suppose A et B adjacentes, i.e. que :
a¶b
∃ (a, b) ∈ A × B/
sup A = inf B.
CÉSARO
n
x, y∈A
et que : ∀ǫ > 0,
Montrer qu’alors :
1)
DE TYPE
1X
uk = ℓ
n→+∞ n
k=1
Soit A une
¦ partie©non vide bornée de R. Montrer
l’égalité : sup |x − y|
= sup A − inf A.
∀(a, b) ∈ A × B,
THÉORÈMES
lim
————————————–
42
Soit f : N −→ N une fonction injective. Montrer qu’alors :
lim f (n) = +∞.
b − a < ǫ.
————————————–
4
LIMITE D’UNE SUITE
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
48
i) Montrer que pour tout k ∈ N, la suite
u2k ϕ(n) n∈N possède une limite ℓk ∈ C et
déterminer une expression explicite de ℓk
en fonction de k pour tout k ∈ N.
ii) Montrer que la suite (ℓk )k∈N est bornée,
puis en déduire ℓ0 .
b) En déduire que la suite (un )n∈N est convergente — de limite à préciser.
Soient (un )n∈N∗ une suite réelle de limite ℓ ∈ R
et (λn )n∈N∗ une suite strictement positive pour laquelle :
n
X
lim
λk = +∞. Montrer qu’alors :
n→+∞
k=1
n
X
λ k uk
k=1
lim
n
n→+∞ X
=ℓ
(théorème de Césaro généralisé).
λk
————————————–
k=1
————————————–
53
Soient (x n )n∈N et ( yn )n∈N deux suites. On
49
suppose que ( yn )n∈N est strictement croissante de limite
yn+1 − yn
+∞ et que :
lim
= ℓ ∈ R. Montrer
n→+∞ x
n+1 − x n
qu’alors :
lim
n→+∞
yn
=ℓ
xn
∀ǫ > 0,
(théorème de Stolz-Césaro).
Soient (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites réelles
convergentes de limites respectives a et b. Montrer que :
1 X
ak bn−k = a b.
n→+∞ n + 1
k=0
n
lim
E
51
DE
∀p ¾ N ,
∀q ¾ N ,
|u p −uq | < ǫ.
On souhaite montrer que f possède alors un et
un seul point fixe (théorème du point fixe de Banach).
a) Montrer l’unicité d’un tel point fixe.
b) Montrer que f est continue sur [a, b].
Soit ω ∈ [a, b] fixé. On note (un )n∈N la suite définie par : u0 = ω et pour tout n ∈ N :
————————————–
10 THÉORÈME
∃ N ∈ N/
1) Montrer que toute suite de Cauchy est bornée.
2) a) Montrer que toute suite convergente est de
Cauchy.
b) Réciproquement, montrer que toute suite de
Cauchy est convergente en utilisant le théorème de Bolzano-Weierstrass.
3) Soient a, b ∈ R avec a ¶ b et f : [a, b] −→ [a, b]
une fonction contractante, i.e. telle que :
∃ c ∈ [0, 1[/ ∀x, y ∈ [a, b], f (x)− f ( y) ¶ c|x− y|.
————————————–
50
On appelle suite de Cauchy toute suite complexe (un )n∈N telle que :
B OLZANO
-WEIERSTRASS
Soit (un )n∈N une suite complexe telle que
un
pour tout n ∈ N : un+2 = un+1 + n . On pose
2©
¦
pour tout n ∈ N : mn = max |un |, |un+1 | .

‹
1
1) Montrer que pour tout n ∈ N : mn+1 ¶ 1 + n mn .
2
2) En déduire que pour tout n ∈ N : mn ¶ e2 m0 ,
puis que la suite (un )n∈N est bornée.
D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe
une fonction ϕ : N −→
N strictement croissante pour
laquelle la suite uϕ(n) n∈N est convergente.
3) Montrer que pour tout n ∈ N∗ :
un+1 = f (un ).
c) Grâce à une simplification télescopique, montrer que pour tous p, q ∈ N :
|u p − uq | ¶ c p
|u1 − u0 |
.
1−c
d) En déduire que la suite (un )n∈N est de Cauchy.
e) En déduire que f possède un point fixe.
f) Pourquoi le résultat demeure-t-il vrai si l’on
remplace [a, b] par [a, +∞[, ]−∞, b] ou R
mais pas par [a, b[, ]a, b], ]a, b[, ]a, +∞[
ou ]−∞, b[ ?
4e2 m0
u
.
ϕ(n) − un ¶
2n
4) En déduire que la suite (un )n∈N est convergente.
————————————–
————————————–
11 SUITES
52
1) Soient ℓ ∈ C et (un )n∈N une suite complexe bornée dont toute suite extraite convergente converge
vers ℓ. Montrer qu’alors (un )n∈N converge vers ℓ.
2) Soit (un )n∈N une €suite complexe
bornée pour laŠ
quelle :
lim 3un + u2n = 1.
54
n→+∞
a) Soit ϕ : N −→ N une fonction strictement
croissante. On suppose que la suite uϕ(n) n∈N
est convergente de limite ℓ0 ∈ C.
COMPLEXES
Soit (zn )n∈N une suite complexe telle que pour
zn + |zn |
tout n ∈ N : zn+1 =
. Exprimer zn en fonc2
tion de n pour tout n ∈ N, puis étudier la convergence
de (zn )n∈N .
————————————–
55
5
LIMITE D’UNE SUITE
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1) Soient (rn )n∈N et (θn )n∈N deux suites réelles convergentes. Étudier :
lim rn eiθn .
n→+∞
2) Soit (zn )n∈N une suite complexe convergente de
limite 1.
a) Étudier :
lim |zn |.
n→+∞
h π πi
b) Montrer que pour tout x ∈ − ,
:
2 2
| sin x| ¾
c) En déduire :
2
|x|.
π
lim arg(zn ).
n→+∞
3) Soit (zn )n∈N une suite complexe convergente de
limite non nulle. Étudier :
lim |zn |
n→+∞
et
lim arg(zn ).
n→+∞
————————————–
6