DS TEE - Case des Maths

DEVOIR SURVEILLÉ N◦XIV :
TEE Mai 2014
Une fonction exp
Exercice 1
Dans tout l’exercice, on désigne par Rl’ensemble des nombres réels.
On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative Cd’une fonction fdéfinie et dérivable sur R, dans un repère orthonormé
du plan.
On note f′la fonction dérivée de f.
La courbe Cpasse par le point A(0;5) et par le point Bd’abscisse 2.
La tangente TAà la courbe au point Apasse par le point C(1;1) et la tangente TBau point Best horizontale.
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5-1 0x
y
A
B
C
TA
TB
C
PARTIE A
Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte 0,5point.
Une mauvaise réponse ou l’absence de réponses n’enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse
choisie.
1. La valeur de f(0) est :
d. autre réponse.
La courbe Cpasse par le point A(0;5) donc f(0) = 5
2. La valeur de f′(0) est :
a. −4
Le nombre dérivé f′(0) est égal au coefficient directeur de la tangente TAà la courbe au point A(0;5) or cette tangente passe également
par le point C(1;1) d’où f′(0) = yC−yA
xC−xA. Soit f′(0) = 1−5 1−0=−4
3. La valeur de f′(2) est :
La tangente TBà la courbe au point Bd’abscisse 2 est parallèle à l’axe des abscisses donc f′(2) = 0;
a. 0
4. Un encadrement de Z2
0
f(x)dxpar des entiers naturels est :
L’intégrale Z2
0
f(x)dxest égale à l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine limité par la courbe Cl’axe des abscisses et les droites
d’équations x= 0 et x= 2. Or cette aire est visiblement supérieure à 5 unités d’aire.
b. 56Z2
0
f(x)dx67

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PARTIE B
La fonction freprésentée dans la PARTIE A est définie sur Rpar f(x) = −x2−2x+ 2e−x+ 3.
1. On admet que la limite de la fonction fen +∞est 3. Déterminer la limite de fen −∞.
lim
x→−∞ −x2−2x+ 2= lim
x→−∞ −x2=−∞
lim
x→−∞ e−x? = +∞
Par produit lim
x→+∞−x2−2x+ 2e−x= +∞
puis lim
x→+∞−x2−2x+ 2e−x+ 3 = −∞.
lim
x→+∞f(x) = −∞
2. On désigne par f′la fonction dérivée de la fonction fet on admet que pour tout nombre réel xappartenant à R,f′(x) = x2−4e−x.
a) Étudier le signe de f′(x)suivant les valeurs de x.
La fonction exponentielle étant strictement positive sur R, on déduit que pour tout réel x;e−x>0, et ainsi f′(x)a le signe de x2−4
x2−4est un trinôme du second degré qui a pour racines −2et 2; il a donc le signe de a= 1 à l’extérieur des racines et celui de −aà
l’intérieur.
x
signe de
x2−4
−∞ −2 2 +∞
+0−0+
b) On déduit le tableau de variations de fsur ]− ∞;+∞[:
x
f′(x)
Variations de
f
−∞ −2 2 +∞
+0−0+
−∞−∞
2e2+ 32e2+ 3
3−6e−2 3−6e−2
33
On considère la fonction Fdéfinie sur Rpar F(x) = x2+ 4x+ 2e−x+ 3x.
Vérifier que la fonction Fest une primitive de la fonction fsur R.
La fonction Fest une primitive de la fonction fsur Rssi pour tout réel xon a F′(x) = f(x).
Ici F(x) = x2+ 4x+ 2e−x+ 3xest du type F = u+v, ainsi F′=u′+v′.
où u(x) = x2+ 4x+ 2e−x, donc u=ab d’où u′=a′b+b′a.
a(x) = x2+ 4x+ 2et b(x) = e−x
Alors a′(x) = (2x+ 4) et b′(x) = −e−x
Puis u′(x) = (2x+ 4)e−x+ (−e−x)x2+ 4x+ 2= e−x2x+ 4 −x2−4x−2= e−x−x2−2x+ 2et v′(x) = 3, et donc F′(x) = u′(x) + v′(x) =
e−x−x2−2x+ 2+ 3 = f(x)
F′(x) = f(x), et donc la fonction Fest une primitive de la fonction fsur R.
On considère le domaine Ddu plan limité par la courbe Cl’axe des abscisses et les droites d’équations x= 0 et x= 2.
1. Calculer la valeur exacte de l’aire A, exprimée en unités d’aire, du domaine D.
Sur l’intervalle [0; 2] la fonction fest strictement décroissante et f(2) = 3 −6e−2≈2,19 donc fest positive sur l’intervalle [0;2].
Par conséquent, l’aire A, exprimée en unités d’aire, du domaine Dest égale à l’intégrale de la fonction fsur l’intervalle [0;2] :
Z2
0
f(x)dx= F(2) −F(0).
F(2) −F(0) = 14e−2+ 6 −2 = 14e−2+ 4
A= 14e−2+ 4 unités d’aire.
2. Donner une valeur approchée de Aau centième.
A= 5,89 unités d’aire.
Lycée l’Oiselet 2/