DM Soient a un réel de ] 1 ; + ∞ [, et la surface triangulaire S délimitée par : les tangentes à la courbe de la fonction inverse aux points d’abscisse a et 1/a, et l’axe des abscisses. Pour quelle valeur de a la surface S a-t-elle une aire de 1,92 dans un repère orthonormé ? Indications : déterminez les coordonnées des sommets du triangle. Réponse : Soit M( x ; y ) un point quelconque de la tangente à la courbe de f au point A d’abscisse a, donc représentatif de tous les points de la tangente. yM – yA y – f(a) coefficient directeur de la tangente = f ‘(a) = qui devient xM – xA puis f ‘(a) ( x – a ) = y – f(a) 1 f(x) = x–a y = f ‘(a) ( x – a ) + f(a) puis ou y = f ‘(a) x + f(a) – a f ‘(a) -1 donc f ‘(x) = x x² -1 Tangente en A d’abscisse a : y = 1 -1 (x–a)+ = a² x+ a -1 Tangente en B d’abscisse 1/a : y = 1 (x– 1 ² a a² + a A 1/a 1 a -1 = a 2 x+ a² = – a² x + a + a = – a² x + 2a 1 a Exemple de tracé pour a ≈ 2 B 1 1 )+ a 1 a Intersections des tangentes avec l’axe des abscisses : 2 2 y = - a² x + 2a donne 0 = - a² x + 2a puis a² x = 2a puis x = donc le point ( a -1 y= 2 -1 x+ a² donne 0 = a 2 x+ a² 1 puis a ; 0 ). a 2 x= a² puis x = 2a donc le point ( 2a ; 0 ). a Intersections des tangentes entre elles : 2 2a² - 2 a a 2a -1 y= 2 x+ a² -1 = - a² x + 2a donne a 2 + a² x = 2a - a² puis x = a = - 1 + a4 -1 + a² a² 2a² - 2 donc x = a² a × = ( a² - 1 ) ( a² + 1 ) - 2a3 + 2a ( a² + 1 ) 2a et y = - a² 2a = 2 ( a² - 1 ) a4 - 1 a + 2a = a² + 1 a² a² + 1 - 2a3 + 2a3 + 2a = 2a = a² + 1 a² + 1 a² + 1 que l’on aurait aussi pu obtenir avec l’autre équation ( et qui peut servir de vérification facultative ). 2a Donc le point ( a² + 1 Aire de la surface S : c’est un triangle donc ½ base × hauteur Le seul couplet ( base ; hauteur ) déjà étudié est celui-ci : 2a/(a²+1) e 2a/(a²+1) 2/a 2a 2a ; ). a² + 1 2a 2 et base = 2a – donc hauteur = a²+1 1 Aire = 2 a 2a 2a² - 2 2a 2 a 2a² - 2 = a = a² + 1 a a² + 1 a² + 1 2a² - 2 Aire = 1,92 = 1,92 2a² - 2 = 1,92 ( a² + 1 ) 2a² - 2 = 1,92 a² + 1,92 a² + 1 2a² - 1,92 a² = 1,92 + 2 3,92 a² = 392 = 0,08 Réponse : une unique solution a = 0,08 a² = 3,92 49 × 8 = 8 = 49 a = 7 ou a = - 7 8 mais pas de solution a négative dans ] 1 ; + ∞ [. 7 pour obtenir une aire de 1,92.