Semaine 19

— Semaine K19 —
Programme de khôlles — Lycée César Baggio — Mathématiques Supérieures PTSI2 — 2012/2013
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On vérifiera la connaissance précise des définitions, théorèmes et autres propriétés du cours.
En particulier, la méconnaissance des questions de cours sera pénalisée par une note inférieure à la moyenne
CHAPITRE XX
STRUCTURE ALGÉBRIQUES FONDAMENTALES
§1.
L OI DE COMPOSITION
— Loi de composition, morphismes.
§2.
L A STRUCTURE DE GROUPE
— Groupes. Notation additive, notation multiplicative. Calculs dans un groupe.
— Sous-groupes.
— Morphismes de groupes, Isomorphismes, endomorphismes, automorphismes. Propriétés f (e G ) = e H , f (x −1 ) =
f (x)−1 , f (x n ) = f (x)n . Composée de deux morphismes, réciproque d’un morphisme bijectif. Image directe et
image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme de groupe.
— Noyau, image. Caractérisation de l’injectivité par le noyau.
§3.
L A STRUCTURE D ’ ANNEAU
— Définition, anneau commutatif.
— Éléments inversibles d’un anneau, groupe multiplicatif d’un anneau. Corps.
— Calculs dans un anneau. Conséquence de la distributivité. Formules sommatoires (binôme de Newton, x n −y n ).
§4.
L A STRUCTURE D ’ ESPACE VECTORIEL
— Définition.
D ÉMONSTRATIONS EXIGIBLES DES ÉTUDIANTS
— Image directe d’un sous-groupe par un morphisme de groupes.
— Image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme de groupes.
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— Semaine K19 —
CHAPITRE XXI
FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE, LIMITE, CONTINUITÉ
§1.
F ONCTIONS D ’ UNE VARIABLE RÉELLE À VALEURS RÉELLES
— Opérations algébriques, relation d’ordre,
— fonctions bornées,
— sens de variation, parité, périodicité,
— fonctions lipschitziennes,
§2.
L IMITES DE FONCTIONS , CONTINUITÉ EN UN POINT
— Point ou extrémité d’une partie de R.
— Valeurs limites d’une fonction. Unicité, caractère local.
— Limite selon une partie, à gauche, à droite, par valeurs distinctes.
— Caractérisation séquentielle.
— Limite et relation d’ordre : limite et caractère borné, compatibilité de la limite avec les relations d’ordre.
— Théorèmes d’existence de limite par encadrement, par domination, par minoration et majoration.
— Produit d’une fonction bornée et d’une fonction de limite nulle.
— Opérations algébriques sur les limites, composition.
— Théorème de la limite monotone.
§3.
C ROISSANCES COMPARÉES
Rappels.
§4.
F ONCTIONS CONTINUES
Continuité en un point, prolongement par continuité
— Caractère local de la continuité.
— Continuité à gauche, à droite.
— Prolongement par continuité (cas d’une fonction ayant des limites à gauche et à droite).
Caractérisation séquentielle
Fonction continue sur un ensemble
— Fonction continue sur un ensemble.
— Restriction.
Opérations
— Opérations algébriques.
— Composition.
§5.
F ONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE
Le théorème des valeurs intermédiaires
— Image continue d’un intervalle.
Fonctions continues sur un segment
— Image continue d’un segment (DNE). Toute application continue sur un segment est bornée est atteint ses
bornes.
Monotonie et applications inversibles
— «Réciproque» d’une fonction définie sur un intervalle, continue, strictement monotone (DNE).
D ÉMONSTRATIONS EXIGIBLES DES ÉTUDIANTS
— Limite d’une composée.
— Théorème des valeurs intermédiaires.
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