Feuille d`exercices 4

MAT7200 Alg` ebre Homologique Hiver 2013
Feuille d’exercices 4
Exercice 1. Soient A= Matn×n(R) et B= Matm×m(R), o`u Rest un anneau commutatif.
Montrer que la R-alg`ebre A⊗RBest isomorphisme `a la R-alg`ebre Matnm×nm(R).
Exercice 2. Soit Run anneau int`egre (c’est-`a-dire, Rest commutatif, Rest unitaire, et si
a, b ∈Rsont non nuls, alors ab est non nul). Pour un R–module `a gauche M, on d´efinit
Tor(M) = {m∈M: il existe a∈Rnon-nul tel que a·m= 0}.
a. Montrer que Tor(M) est un sous-module de M.
b. Soit ϕ:M→Nun morphisme de R–modules. Montrer que ϕ(Tor(M)) ⊆Tor(N).
c. Soit Qle corps des fractions de R. Montrer qu’il existe un isomorphisme de R-modules
Q⊗RM∼
=Q⊗R(M/ Tor(M)).
Exercice 3.
a. Soit Run anneau int`egre. Montrer que si Rest un R–module injectif, alors Rest un
corps.
b. Montrer que /6 est `a la fois injectif et projectif en tant que /6 –module.
Exercice 4. Soit RBSun (R, S)–bimodule qui est un R–module plat, et CSun S–module
injectif. Montrer que HomS(B, C) est un R–module `a gauche injectif.
Exercice 5. Montrer que si
0−→ M1−→ P1−→ M−→ 0 et 0 −→ M2−→ P2−→ M−→ 0
sont deux suites exactes courtes avec P1et P2projectifs, alors M1⊕P2∼
=M2⊕P1.
Exercice 6. Soient F:RMod →SMod et G:SMod →RMod deux foncteurs tels que
(F, G) est une paire de foncteurs adjointe. Montrer que si Gest exact, alors Fpr´eserve les
modules projectifs. Montrer que si Fest exact, alors Gpr´eserve les modules injectifs.
Exercice 7. Montrer que si Pest un R–module `a droite projectif, alors Hom (P, / ) est
un R–module `a gauche injectif.
Exercice 8. Montrer que Pest projectif ssi pour tout ´epimorphisme f:I→I00 avec I
injectif et tout morphisme u:P→I00 il existe v:P→Itel que f◦v=u.
Exercice 9. Montrer qu’un R–module injectif Iest un cog´en´erateur injectif de RMod ssi le
foncteur HomR(−, I) est fid`ele.
Exercice 10. Soit f:A−→ Bun morphisme de R–modules `a gauche. Montrer que fest
injectif ssi le morphisme f∗: Hom (B, / )−→ Hom (A, / ) est surjectif.
Exercice 11. Soit fune application dans Ens. Montrer que fest un ´epimorphisme ssi fest
surjective. Montrer que fest un monomorphisme ssi fest injective. Mˆeme pour la cat´egorie
RMod.
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Exercice 12.
a. Montrer que les objets initials, terminals ou nuls sont unique `a isomorphisme pr`es.
b. Montrer que {0}est un objet nul dans RMod et que {1}est un objet nul dans Grp.
c. Montrer que ni Ens ni Top admet des objet nuls.
d. Montrer que ({a}, a) est un objet nul dans Ens∗, la cat´egorie d’ensembles point´es.
e. Montrer que ({a}, a) est un objet nul dans Top∗, la cat´egorie d’espaces topologiques
point´es.
Exercice 13. Soit Cune cat´egorie additif qui admet un objet nul . Montrer que l’unique
morphisme A→et l’unique morphisme →Asont les ´el´ements neutres des groupes
ab´eliens HomC(A, ) et HomC(, A).
Exercice 14. Soit Cune cat´egorie qui admet un objet nul . Montrer que tout noyau est
monomorphismes et tout conoyau est ´epimorphisme.
Exercice 15.
a. Montrer que tout isomorphisme fd’une cat´egorie additive est `a la fois un monomor-
phisme et un ´epimorphisme.
b. Montrer que tout morphisme fd’une cat´egorie ab´elien est un isomorphisme ssi fest
`a la fois un monomorphisme et un ´epimorphisme.
Exercice 16. Soient Xg −→ Yet Yf −→ Zdeux morphisme d’une cat´egorie C.
a. Si f◦gest un monomorphisme, alors gest un monomorphisme.
b. Si fet gsont des monomorphismes, alors f◦gest un monomorphisme.
c. Si f◦gest un ´epimorphisme, alors fest un ´epimorphisme.
d. Si fet gsont des ´epimorphisme, alors f◦gest un ´epimorphisme.
e. Si fest un isomorphe, alors fest un monomorphisme et un ´epimorphisme.
Exercice 17. Soit uun morphisme d’une cat´egorie C.
a. Si ker(u) existe, alors uest un monomorphisme ssi ker(u) = 0.
b. Si coker(u) existe, alors uest un ´epimorphisme ssi coker(u) = 0.
Exercice 18. Soient Bet Cdeux sous-ensemble de A.
a. Montrer que le produit fibr´e de BinclB −−−→ Aet CinclC −−−→ Adans Ens est B∩C.
b. Montrer que la somme amalgam´ee de B∩Cincl −−→ Bet B∩Cincl −−→ Cest B∪C.
Exercice 19. Soient Bet Cdeux sous-modules d’une R–module A.
a. Montrer que le produit fibr´e de BinclB −−−→ Aet CinclC −−−→ Adans RMod est B∩C.
b. Montrer que la somme amalgam´ee de B∩Cincl −−→ Bet B∩Cincl −−→ Cest B+C.
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