Feuille d`exercices 1` : groupes (compléments sur les morphismes et

Universit´e Paris-Est Marne-la-Vall´ee M1 maths et applications. Alg`ebre
Feuille d’exercices 1’ : groupes
(compl´ements sur les morphismes et quotients).
Exercice 1. Soit Gun sous groupe d’indice fini de (C∗,·). Montrer que G=C∗. (indication :
on pourra montrer qu’il existe ktel que pour tout z∈C∗,zk∈G)
Exercice 2. Soit f:g→G0un morphisme de groupes finis. Soit Hun sous groupe de G.
Montrer que l’ordre de f(H) divise les ordres de Get G0.
Exercice 3. Soit Gun groupe fini et Hun sous groupe distingu´e d’indice met d’ordre n. On
suppose que met nsont premiers entre eux. Montrer que Hest l’unique sous groupe d’ordre n
de G. (utiliser l’exercice pr´ec´edent)
Exercice 4. Soit pun nombre premier et Gun groupe ab´elien d’ordre pn, o`u n∈N.
1. Montrer que Gadmet un ´el´ement d’ordre p.
2. Montrer que pour tout k,Gadmet un sous groupe d’ordre pk.
Exercice 5. Soit Gun groupe, on note D(G) (sous-groupe d´eriv´e de G) le sous groupe
engendr´e par :
xyx−1y−1, x, y ∈G.
1. Montrer que Gest ab´elien si et seulement si D(G) est r´eduit `a l’´el´ement neutre.
2. Montrer que D(G) est invariant par tout automorphisme de G. En d´eduire que D(G) est un
sous-groupe distingu´e de G.
3. Montrer que G/D(G) est un groupe commutatif.
4. Soit Aun groupe ab´elien. Montrer que tout morphisme φ:G→Ase factorise `a travers
G/D(G), i.e. il existe un morphisme φ:G/D(G)→Atel que φ=φ◦πo`u π:G→G/D(G)
d´esigne le morphisme canonique. Le groupe G/D(G) s’appelle l’ab´elianis´e de G.
5. Soit Hun sous-groupe distingu´e de Gtel que G/H est commutatif, montrer que D(G) est
inclus dans H.
6. Montrer que si Hest un sous groupe de Gcontenant D(G), alors Hest distingu´e (indication :
montrer que H=π−1(π(H)), o`u πest comme ci dessus. Pourquoi π(H) est il distingu´e ?)
Exercice 6. Soit pun nombre premier. On note Fple corps (Z/pZ,+,·).
1. Montrer que tout morphisme de groupes entre Fn
pet Fm pest une application Fp-lin´eaire.
2. D´eterminer le cardinal de Aut(Fn
p).
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