Feuille d`exercices 1` : groupes (compléments sur les morphismes et

Université Paris-Est Marne-la-Vallée
M1 maths et applications. Algèbre
Feuille d’exercices 1’ : groupes
(compléments sur les morphismes et quotients).
Exercice 1. Soit G un sous groupe d’indice fini de (C∗ , ·). Montrer que G = C∗ . (indication :
on pourra montrer qu’il existe k tel que pour tout z ∈ C∗ , z k ∈ G)
Soit f : g → G0 un morphisme de groupes finis. Soit H un sous groupe de G.
Montrer que l’ordre de f (H) divise les ordres de G et G0 .
Exercice 2.
Exercice 3. Soit G un groupe fini et H un sous groupe distingué d’indice m et d’ordre n. On
suppose que m et n sont premiers entre eux. Montrer que H est l’unique sous groupe d’ordre n
de G. (utiliser l’exercice précédent)
Exercice 4. Soit p un nombre premier et G un groupe abélien d’ordre pn , où n ∈ N.
1. Montrer que G admet un élément d’ordre p.
2. Montrer que pour tout k, G admet un sous groupe d’ordre pk .
Exercice 5.
Soit G un groupe, on note D(G) (sous-groupe dérivé de G) le sous groupe
engendré par :
xyx−1 y −1 , x, y ∈ G .
1. Montrer que G est abélien si et seulement si D(G) est réduit à l’élément neutre.
2. Montrer que D(G) est invariant par tout automorphisme de G. En déduire que D(G) est un
sous-groupe distingué de G.
3. Montrer que G/D(G) est un groupe commutatif.
4. Soit A un groupe abélien. Montrer que tout morphisme φ : G → A se factorise à travers
G/D(G), i.e. il existe un morphisme φ : G/D(G) → A tel que φ = φ ◦ π où π : G → G/D(G)
désigne le morphisme canonique. Le groupe G/D(G) s’appelle l’abélianisé de G.
5. Soit H un sous-groupe distingué de G tel que G/H est commutatif, montrer que D(G) est
inclus dans H.
6. Montrer que si H est un sous groupe de G contenant D(G), alors H est distingué (indication :
montrer que H = π −1 (π(H)), où π est comme ci dessus. Pourquoi π(H) est il distingué ?)
Exercice 6. Soit p un nombre premier. On note Fp le corps (Z/pZ, +, ·).
1. Montrer que tout morphisme de groupes entre Fnp et Fm
p est une application Fp -linéaire.
2. Déterminer le cardinal de Aut(Fnp ).
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