1.1 Applications linéaires, morphismes et isomorphismes

1.1 Applications lin´eaires, morphismes et isomorphismes.
D´efinitions. Une application Λ-lin´eaire d’un Λ-module Mvers un Λ-module N
est un homomorphisme f:M→Ndes groupes ab´eliens sous-jacents qui commute
avec les homoth´eties : pour tout m∈Met λ∈Λ on a f(λ m) = λ f (m).
Ainsi une application f:M→Nentre deux Λ-modules est1Λ-lin´eaire si et seulement si
pour tout x, y ∈Met λ, µ ∈Λ on a : f(λx +µy) = λf(x) + µf(u).
Un synonyme d’application lin´eaire est morphisme de Λ-modules ou Λ-mor-
phisme. Si l’anneau Λ est fix´e par le contexte on parlera simplement de modules,
applications lin´eaires ou morphismes.
L’identit´e IdMd’un module Mest un morphisme et le compos´e g◦f:M→P
de deux morphismes f:M→Net g:N→Pest un morphisme.
L’ensemble des morphismes de Λ-modules de Mvers Nest not´e HomΛ(M, N).
C’est un sous-groupe du groupe Hom (M, N) = HomZ(M, N) des homomor-
phismes de groupe ab´elien de Mvers N.
Un morphisme f:M→Nest un isomorphisme si il y a un morphisme
g:N→Mtel que g◦f= IdMet f◦g= IdN.
En ce cas l’application fest bijective d’application r´eciproque f−1=g. En fait :
Lemme. — Soit f:M→Nun morphisme bijectif.
Alors son application r´eciproque g=f−1:N→Mest un morphisme.
Ainsi un morphisme est un isomorphisme si et seuleument si il est bijectif.
D´emonstration. — Soit u, v ∈N, λ, µ ∈Λ alors comme u=f(g(u)), v =f(g(v))
et λg(u) + µg(v)=g(f(λg(u) + µg(v))) on a :
g(λu +µv) = g(λf(g(u)) + µf(g(v))) = g(f(λg(u) + µg(v))) = λg(u) + µg(v).
Dans le cas o`u le module Nest muni d’une structure bilat´erale
[par exemple l’usuelle (resp. la canonique) sur N= Λn(resp., si l’anneau Λ est commutatif)]
pour tout f∈HomΛ(M, N) et tout λ, µ ∈Λ et y∈N, on a :
f(λ x)µ= (λ f (x)) µ=λ(f(x)µ)
ainsi l’application f µ :M→N, x 7→ f(x)µest Λ-lin´eaire, c’est l’homoth´etique
de fde rapport µpour la structure de Λ-module `a droite de HomΛ(M, N).
Commentaires bibliographiques
Plus de d´etails sur modules morphismes sont dans2les §10 `a §13 de [Go], le 1.4 de [Sa2],
ou les plus exaustifs Kap. 12 de [vW],§1 et §2 de [Bo] Chap II, [Ja] vol. I et chap. III de [Lg].
1f(x−y)=f(1x+ (−1)y)=f(x)−f(y) et f(λx) = f(λx+00) =λf (x)+0f(0) =λf (x).
2Un manuel hh ´el´ementaire mais correct ii, sans la hh standard mistake ii de l’alg`ebre lin´eaire :
se hh m´elanger les cˆot´e des scalaires ii en passant de l’alg`ebre lin´eaire abstraite au calcul matriciel.
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