1.1 Applications linéaires, morphismes et isomorphismes

1.1 Applications linéaires, morphismes et isomorphismes.
Définitions. Une application Λ-linéaire d’un Λ-module M vers un Λ-module N
est un homomorphisme f : M → N des groupes abéliens sous-jacents qui commute
avec les homothéties : pour tout m ∈ M et λ ∈ Λ on a f (λ m) = λ f (m).
Ainsi une application f : M → N entre deux Λ-modules est1 Λ-linéaire si et seulement si
pour tout x, y ∈ M et λ, µ ∈ Λ on a : f (λx + µy) = λf (x) + µf (u).
Un synonyme d’application linéaire est morphisme de Λ-modules ou Λ-morphisme. Si l’anneau Λ est fixé par le contexte on parlera simplement de modules,
applications linéaires ou morphismes.
L’identité IdM d’un module M est un morphisme et le composé g ◦f : M → P
de deux morphismes f : M → N et g : N → P est un morphisme.
L’ensemble des morphismes de Λ-modules de M vers N est noté HomΛ (M, N ).
C’est un sous-groupe du groupe Hom (M, N ) = HomZ (M, N ) des homomorphismes de groupe abélien de M vers N .
Un morphisme f : M → N est un isomorphisme si il y a un morphisme
g : N → M tel que g ◦ f = IdM et f ◦ g = IdN .
En ce cas l’application f est bijective d’application réciproque f −1 = g. En fait :
Lemme. — Soit f : M → N un morphisme bijectif.
Alors son application réciproque g = f −1 : N → M est un morphisme.
Ainsi un morphisme est un isomorphisme si et seuleument si il est bijectif.
Démonstration. — Soit u, v ∈ N, λ, µ ∈ Λ alors comme u = f (g(u)), v = f (g(v))
et λg(u) + µg(v) = g(f (λg(u) + µg(v))) on a :
g(λu + µv) = g(λf (g(u)) + µf (g(v))) = g(f (λg(u) + µg(v))) = λg(u) + µg(v).
Dans le cas où le module N est muni d’une structure bilatérale
[par exemple l’usuelle (resp. la canonique) sur N = Λn (resp., si l’anneau Λ est commutatif)]
pour tout f ∈ HomΛ (M, N ) et tout λ, µ ∈ Λ et y ∈ N , on a :
f (λ x)µ = (λ f (x)) µ = λ (f (x)µ)
ainsi l’application f µ : M → N, x 7→ f (x) µ est Λ-linéaire, c’est l’homothétique
de f de rapport µ pour la structure de Λ-module à droite de HomΛ (M, N ).
Commentaires bibliographiques
Plus de détails sur modules morphismes sont dans2 les §10 à §13 de [Go], le 1.4 de [Sa2],
ou les plus exaustifs Kap. 12 de [vW], §1 et §2 de [Bo] Chap II, [Ja] vol. I et chap. III de [Lg].
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f (x−y) = f (1x + (−1)y) = f (x) − f (y) et f (λx) = f (λx+00) = λf (x)+0f (0) = λf (x).
Un manuel hh élémentaire mais correct ii, sans la hh standard mistake ii de l’algèbre linéaire :
se hh mélanger les côté des scalaires ii en passant de l’algèbre linéaire abstraite au calcul matriciel.
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