03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb

03 Cours - Nombres complexes. Trigonométrie.nb
Nombres complexes . Trigonométrie
I) Ensemble des nombres complexes
1) Définition
2) Partie réelle, partie imaginaire, forme algébrique
3) Egalité de deux complexes
4) Opérations + et × dans 5) Représentation géométrique des complexes
6) Ordre dans II) Conjugué . Module
1) Définitions
2) Interprétation géométrique
3) Inverse d’un complexe non nul
4) Propriétés
5) Inégalité triangulaire
III) Argument d’un nombre complexe
1) Nombres complexes de module 1
2) Notation ei t
3) Argument
4) Interprétation géométrique
5) Exemple
6) Propriétés
7) Forme trigonométrique d’un complexe
8) Exercices
IV) Racines d’un complexe
1) Définition
2) Calcul algébrique des racines carrées
3) Résolution des équations du second degré
4) Racines n-ièmes de 1
5) Résolution de l’équation zn = a
V) Utilisations des nombres complexes en géométrie
1) Liens distance-module et angle-argument
2) Points alignés, droites orthogonales
3) Exercices
4) Transformation du plan
5) Translation, homothétie, rotation
VI) Utilisations des nombres complexes en trigonométrie
1) Formules d’Euler
2) Formules utiles
3) Linéarisation
4) Calcul de sommes trigonométriques
5) Exercice
VII) Exponentielle complexe
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VII) Exponentielle complexe
1) Définition
2) Propriété fondamentale
3) Proposition
VIII) Trigonométrie
1) Ce qu’il faut savoir par cœur ou savoir retrouver rapidement
2) Exercices
I) Ensemble des nombres complexes
1) Définition
VS (Version Symbolique) : on pose = 9x + i y ê Hx, yL œ 2 =
VF (Version Française) : est l’ensemble des nombres z qui peuvent s’écrire sous la forme z = x + i y avec x et y deux réels
quelconques.
Le nombre i est un nouveau “nombre”. Il vérifie i2 = - 1.
Remarquons que:
(1) Cette définition de l’ensemble n’a pas de sens... Qu’est-ce que c’est que ce nombre i, surgissant de nulle part ? On
peut présenter plus rigoureusement, mais nous nous contenterons de celle-ci.
(2) Ce n’est pas la première fois que vous êtes confrontés (sans le réaliser) à une définition peu rigoureuse. Si vous n’en
êtes pas convaincu, essayez de donner par exemple la définition d’un angle, d’une droite ou d’un nombre réel....
2) Partie réelle, partie imaginaire, forme algébrique
(1) Etant donné z = x + i y un nombre complexe (avec x, y œ ), on pose Re z = x et Im z = y .
Re z est la partie réelle de z et Im z est la partie imaginaire de z.
(2) L’écriture z = x + i y du nombre complexe z (avec x, y œ ) est l’écriture (ou la forme) algébrique de z .
Par exemple avec z = i - 2 , Re HzL = -2 et Im HzL = 1
3) Egalité de deux complexes
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes parties réelles et imaginaires.
Soient z = x + i y et z' = x ' + i y' deux complexes écrits sous forme algébrique. Alors:
z = z' ñ x = x ' et y = y' ñ Re HzL = Re Hz'L et Im HzL = Im Hz 'L
4) Opérations + et × dans Soient z = x + i y et z' = x ' + i y' deux complexes écrits sous forme algébrique
On pose: z + z ' = Hx + x 'L + i Hy + y'L et z äz' = Hx x ' - yy'L + i Hx y' + x ' yL .
En particulier i2 = -1 .
On pose a = 1 - i et b = -3 + 4 i. Calculer a + b , a2 , a4 , aäb et b2 .
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5) Représentation géométrique des complexes
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct:
x
, appelé image de z dans le plan, noté M HzL.
y
(1) au complexe z = x + i y est associé le point M
(2) au point M
x
est associé le complexe z = x + i y, appelé affixe de M et noté noté zM .
y
6) Ordre dans Il n’y a pas d’ordre dans prolongeant l’ordre usuel b sur et compatible avec la multiplication .
(Il faudrait avoir z r 0 et z' r 0 fl z z ' r 0)
En effet: si i r 0 alors on doit avoir i2 r 0, ce qui est faux, et si i b 0 alors on doit avoir i2 r 0, ce qui est faux
II) Conjugué . Module
1) Définitions
Soit z = x + i y un complexe écrit sous forme algébrique. On définit:
(1) le conjugué z de z par z = x - i y
(2) le module
z
de z par
z
=
x2 + y2 =
zz
2) Interprétation géométrique
Si z est l’affixe du point M, alors:
(1)
z
= OM
(2) MHzL est le symétrique par rapport à la droite Ox du point M HzL
3) Inverse d’un complexe non nul
-
Soit z œ * un nombre complexe non nul. Alors
1
z
= 2.
z
z
1 1
a
et .
a b
b
On pose a = 1 - i et b = - 3 + 4 i. Calculer sous forme algébrique ,
4) Propriétés
" z, t œ , on a:
(1) z + t = z + t et zät = z ät .
(2) z = z .
(3) Re HzL =
-
-
z+z
z -z
et Im HzL =
2
2i
(4) z œ ñ z = z et z œ i ñ z = -z
( i = 8i y ê y œ < est l’ensemble des imaginaires purs)
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Et:
" z, t œ , on a:
= 0 ñ z = 0.
(1)
z
(2)
zät
=
(3)
z =
z .
(4)
zM = O M et
z ä t et
z
z
=
( si t ∫ 0 )
t
t
zB - zA = A B .
Trouver deux entiers naturels a, b vérifiant a2 + b2 = I32 + 52 M I72 + 42 M
5) Inégalité triangulaire
" z, t œ ,
z+t
b
z
+
t . Il y a égalité lorsqu’il existe l œ + tel que z = l t ou t = l z
III) Argument d’un nombre complexe
1) Nombres complexes de module 1
Soit z = x + i y un complexe. Alors § z§ = 1 ñ $ t œ ì :
x = cos t
.
y = sin t
On note l’ensemble des nombres complexes de module 1. On a = 8cos HtL + i sin HtL ê t œ <.
1
z = eit
sin(t)
t
1
cos(t)
2) Notation ei t
On pose ei t = cos HtL + i sinH tL pour t œ .
Cette notation se justifie car on retrouve la propriété de base de calcul de l’exponentielle:
" t, t ' œ , ei Ht+t'L = ei t ei t'
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3) Argument
Soit z œ * et q œ . Alors q est un argument de z ñ z =
z eiq .
On écrit alors arg HzL = q @2 pD, car, si q est un argument de z, les autres sont q + 2 k p avec k œ .
Attention: z = 0 n’a pas d’argument
4) Interprétation géométrique
y
M(z)
q = ArgHzL = KO x, O MHzLO @2 pD
q = arg(z)
0
x
5) Exemple
Calculer un argument de a = -1 + i et b = i -
3
6) Propriétés
" z, z' œ * , arg Hz äz'L = arg HzL + arg Hz'L @2 pD et arg
z
= arg HzL - arg Hz'L @2 pD
z'
7) Forme trigonométrique d’un complexe
a) Définition
Tout complexe z ∫ 0 peut se mettre sous la forme z = r ei q avec r =§ z§ > 0 et q = ArgHzL œ . Une telle écriture est une
forme trigonométrique de z. Elle n'est pas unique, car on peut remplacer q par q + 2 k p avec k œ .
b) Calcul sur les nombres complexes mis sous forme trigonométrique
Soient r, r ' œ ]0,+¶[ et q, q ' œ et n œ . Alors:
r eiq
r
= ei Hq-q'L
iq'
r'
r' e
(1) r eiq r ' eiq' = r r ' ei Hq+q'L et
(2)
(3) Ir eiq Mn = rn ei n q
et
(4) Hcos HqL + i sinH qLLn = cosHn qL + i sin Hn qL (Formule de Moivre)
(5) cos HqL =
et
sin HqL =
ei q +e-i q
2
ei q -e-i q
(Formules d’Euler)
2i
8) Exercices
a) Calculer les parties réelles et imaginaires de a =
b) Prouver que " a, b œ , ei a + ei b = 2 cos
Hb-aL i
e
2
1-i 3 10
1+ 2 +i 10
et de b =
.
1+i
1+ 2 -i
Ha+bL
2 .
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IV) Racines d’un complexe
1) Définition
Soient a, z œ et soit n œ * . Alors: z est une racine nième de a ñ zn = a
Par exemple, z = i
2 est une racine carrée de a = - 2.
2) Calcul algébrique des racines carrées
a) Proposition
Un nombre complexe non nul a admet deux racines carrées opposées.
b) Calcul pratique des racines carrées de a
Pour calculer sous forme algébrique les racines carrées du complexe a
x2 - y2 = Re a
. ( En effet, Hx + i yL2 = x2 - y2 + 2 i xy )
2 x y = Im a
(2) Si on peut trouver une solution "évidente" Hx, yL de (S), les deux racines carrées sont ≤Hx + i yL.
(1) On pose z = x + i y avec x, y œ . Alors z2 = a ñ (S :
(3) Sinon on remarque que
a amène l'équation x2 + y2 = »a» qui ajoutée à (S) permet de résoudre (S).
z2 =
c) Exemples
Calculer les racines carrées de a = -8 + 6i ; b = 7 - 24i et c = 2 - 3i
3) Résolution des équations du second degré
a) Théorème
Les solutions dans de l’équation a z2 + b z + c = 0 avec a, b, c œ et a ∫ 0 sont
-b ≤ d
avec d2 = D = b2 - 4 ac.
2a
b) Exemple
Résoudre dans l’équation H1 + iL z2 - H5 + iL z + 6 + 4 i = 0
c) Exercices
a) Résoudre dans l’équation z4 - H5 - 14 iL z2 - 2 H5 i + 12L = 0
b) Résoudre dans l’équation z3 + H6 + 4 iL z2 + H8 + 15 iL z + 3 + 11 i = 0 (chercher une racine réelle)
4) Racines nièmes de 1 (ou de l’unité)
a) Définition
Soit n œ * . Les racines nièmes de 1 (ou de l’unité) sont les nombres complexes z vérifiant zn = 1.
b) Théorème
2ikp
Les racines nièmes de l’unité sont les z = e n
avec k œ 80, 1, ..., n - 1< .
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c) Images dans le plan
Il y a n racines nièmes de l’unité . Leurs images dans le plan forment les sommets du polygone régulier à n côtés inscrit dans le
1
cercle trigonométrique dont l’un des sommets est le point A =
.
0
A
n=6
d) Exercice
Prouver que la somme Sn des racines nièmes de 1 est nulle.
5) Résolution de l’équation zn = a
On met a sous forme trigonométrique a = r ei q . Alors b =
n
q
z n
r e n vérifie bn = a, et zn = a ñ zn = bn ñ J N = 1 : on est
i
b
ramené aux racines nièmes de 1.
a) Résoudre dans l’équation z3 = i .
b) Résoudre dans l’équation Hz - 1L4 + z4 = 0 .
V) Utilisations des nombres complexes en géométrie
1) Liens distance-module et angle-argument
On a: z
AB
= zB - zA et A B =§ zB - zA§ et JA B, C DN = Arg
zD -zC
zB -zA
@2 pD . Ces relations permettent de transformer des
problèmes d’angles ou de distances en problèmes sur les nombres complexes et réciproquement.
2) Points alignés, droites orthogonales
z -z
Soient A, B, C trois points distincts. On note Z = C B . Alors:
zB -zA
A, B, C sont alignés ñ Z œ ñ Z = Z et (A BL ¦ HB CL ñ Z œ i ñ Z = -Z .
3) Exercices
a) Chercher E = 8M HzL ê § H2 i + 1L z - 3§ b 4<
b) Pour z œ on note AHzL, BIz2 M et C Iz3 M. Chercher E = 8M HzL ê HO BL ¦ HA CL<
4) Transformation du plan
a) Définition
Une transformation du plan est une application (une fonction) du plan dans le plan.
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b) Ecriture complexe
Soit f : 2 ö 2 une transformation du plan qui à un point M associe le point M '. Si on note M = MHzL =
MöM'
M ' = M ' Hz 'L =
x
et
y
x'
avec z = x + i y et z' = x ' + i y', l’écriture complexe de f est la relation qu’il y a entre z' et et z.
y'
c) Exemple
-
La symétrie orthogonale par rapport à (Ox) a pour écriture complexe z' = z
5) Translation, homothétie, rotation
a) Définitions
La translation de vecteur u est l’application notée tu définie par: " M œ 2 , tu HML = M ' avec M M ' = u .
L’écriture complexe de la translation tu est z' = z + zu .
L’homothétie de centre le point A et de rapport k œ est l’application notée hA,k définie par:
" M œ 2 , hA,k HML = M ' avec A M ' = k A M .
L’écriture complexe de l’homothétie de centre A HaL et de rapport k est z' - a = k Hz - aL .
La rotation de centre le point A et d’angle q œ est l’application notée rotA,q définie par:
A M' = A M
" M œ 2 , rA,q HML = M ' avec :
JA M, A M 'N = q @2 pD
L’écriture complexe de la rotation de centre A HaL et d’angle q est z' - a = ei q Hz - aL .
b) Dessins
6) Exercice
2ip
On note j = e 3 . Prouver que 1 + j + j2 = 0 et que j3 = 1. Soient A,B,C trois points du plan d’affixes a, b, c.
a) Prouver que: le triangle ABC est équilatéral direct ñ a + b j + c j2 = 0 .
b) Prouver que: le triangle ABC est équilatéral ñ a2 + b2 + c2 = a b + a c + b c .
VI) Utilisations des nombres complexes en trigonométrie
1) Formules d’Euler
" q œ , cosH qL =
ei q + e-i q
ei q - e-i q
et sinH qL =
2
2i
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2) Formules utiles
q
q
q i
q i
" q œ , 1 + eiq = 2 cos J N e 2 et 1 - eiq = -2 i sin J N e 2
2
2
3) Linéarisation
a) But
Exprimer des quantités du type A = cosk x sinq x (avec k, q œ ) comme somme d’expressions du type B = cos Hn xL ou
C = sin Hm xL (avec n, m œ ).
b) Moyens
* Toujours possible: Euler + Binôme + Moivre + Euler
* Parfois possible: utiliser les formules cos2 x =
1+cos H2 xL
1-cos H2 xL
et sin2 x =
2
2
Par exemple, linéariser A = cos4 HxL et B = sin3 HxL .
4) Calcul de sommes trigonométriques
n
n
Soient x œ et n œ . On pose C = S cosHk xL et S = S sinHk xL . Simplifier la somme A = C + i S et en déduire des
k=0
expressions compactes de C et de S sans le symbole ⁄.
k=0
5) Exercice
Trouver un polynôme P HxL tel que cosH5 xL = PHcos HxLL. En déduire la valeur exacte de cosJ
VII) Exponentielle complexe
1) Définition
Soit z = x + i y œ . On pose ez = ex HcosH yL + i sin HyLL . On note aussi expHzL = ez .
Par exemple: a = eln 2 + i p = eln 2 HcosHpL + i sinHpLL = -2.
2) Propriété fondamentale
" z, z' œ , ez+z' = ez ez'
3) Proposition
Soient z, z' œ . Prouver que ez = ez' ñ $ k œ ê z - z' = 2 i k p
p
N.
10
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VIII) Trigonométrie
1) Ce qu’il faut savoir par cœur ou savoir retrouver rapidement
a) Valeurs trigonométriques usuelles
0
p
6
p
4
p
3
p
2
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
sin
0
2
2
3
2
1
tan
0
1
2
1
1
3
¶
3
b) Formules de base
cos2 HxL + sin2 HxL = 1
tan HxL =
cosH-xL = cosHxL
sinH-xL = - sinHxL
cosHa + bL = cosHaL cosHbL - sinHaL sinHbL
sinHa + bL = sinHaL cosHbL + cosHaL sinHbL
cosHa - bL = cosHaL cosHbL + sinHaL sinHbL
sinHa - bL = sinHaL cosHbL - cosHaL sinHbL
tanHa + bL =
tanHaL + tanHbL
1 - tanHaL tanHbL
sinHxL
cosHxL
tanHa - bL =
tanH-xL = - tanHxL
tanHaL - tanHbL
1 + tanHaL tanHbL
c) Angles doubles
cos H2 xL = cos2 HxL - sin2 HxL = 2 cos2 HxL - 1 = 1 - 2 sin2 HxL
sinH2 xL = 2 sinHxL cosHxL
cos2 HxL =
sin2 HxL =
1+ cosH2 xL
2
1- cosH2 xL
2
d) Usage du cercle trigonométrique
Pour retrouver rapidement les formules du type:
cosH≤x ≤ aL =. ..
sinH≤x ≤ aL =. .. avec a œ :0,
p
, p>
2
e) Résolution des équations trigonométriques
cosHxL = cosHaL ñ x = a + 2 k p ou x = - a + 2 k p
sinHxL = sinHaL ñ x = a + 2 k p ou x = p - a + 2 k p
tanHxL = cosHaL ñ x = a + k p
f) Transformation des produits en sommes
En ajoutant et soustrayant les formules cosHa ≤ bL = et sinHa ≤ bL =
cos HaL cos HbL =. ..
sinHaL sinHbL =. ..
sinHaL cos HbL =. ..
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g) Transformation des sommes en produits
En ajoutant et soustrayant cosHa ≤ bL = et sinHa ≤ bL = puis en posant a = p + q et b = p - q c’est à dire p =
cosHpL + cosHqL =. ..
cosHpL - cosHqL =. ..
sinHpL + sinHqL =. ..
sinHpL - sinHqL =. ..
2) Exercices
a) Factoriser sin HpL + sin HqL et sin HpL - sin HqL
b) Résoudre dans l’équation cosH2 xL = sin HxL
c) Résoudre dans les équations (1): sin HxL -
d) Simplifier C = cos4 x - sin4 x et D =
3 cos HxL = 1 et (2): cos HxL + sin HxL =
1
.
2
cos2 x- cos2 y
.
sin Hx+yL sin Hx-yL
e) Résoudre dans l’équation sinHxL + sinH2 xL + sinH3 xL = 0
f) On suppose que a + b + c = p. Montrer que cos2 HaL + cos2 HbL + cos2 HcL + 2 cosHaL cos HbL cosH cL = 1.
a+b
a-b
et q =
.
2
2