Pour une trigonométrie approchée.

Pour une trigonom´etrie approch´ee.
Liminaire.
Pour aborder le sujet, les ´el`eves sont pr´esum´es convaincus de ce qu’ils savent parfaitement
•Ce qu’est un vecteur, sa norme et un point du plan.
•Ce qu’est un angle de vecteurs dans le plan.
•Comment on mesure la longueur d’un arc de courbe plane ou l’aire d’une portion de plan.
La conviction profonde des auditeurs est ici d’autant plus n´ecessaire qu’il est hors de
question que l’on puisse construire ces concepts.
Pr´erequis.
Pratiquement les pr´erequis sont moins ambitieux puisque nous utilisons :
•Les m´ethodes de la g´eom´etrie telles qu’elles peuvent ˆetre pr´esent´ees au coll`ege ou au
lyc´ee.
•Les lignes trigonom´etriques d´ecouvertes en classe de BEP.
•La notion de limite dont on nous dit que son intuition est inn´ee et qu’elle n’a pas besoin
d’ˆetre d´efinie.
•La notion de d´eriv´ee.
Ici encore c’est la foi qui sauve, nous ne remettons mˆeme pas en cause l’absence de
d´efinition du concept de fonction.
I. Produit scalaire.
1. D´efinition.
(a) Produit scalaire de deux vecteurs formant un angle aigu.
Etant donn´es deux vecteurs −→ OA et −−→ OB, on note Hla projection ( orthogonale,
nous ne le r´ep´eterons pas ! ) du point Bsur la droite (OB).
On appelle produit scalaire du vecteur −→ OA par le vecteur −−→ OB le nombre r´eel :
−→
OA.−−→ OB =OA ×OH
O
B
H
O’ A’
B’
H’
A
Figure 1
(b) Th´eor`eme justificatif.
Le produit scalaire de deux vecteurs ne d´epend pas des points utilis´es pour sa
construction.
Sur la figure 1, on n’a besoin que de construire quelques parall´elogrammes pour
justifier l’´egalit´e : −→
OA.−−→ OB =−−−→ O0A0.−−−→ O0B0
Ainsi, si −→ uet −→ vsont deux vecteurs quelconques, il suffit de choisir un point O
pour construire les vecteurs −→ OA =−→ uet −−→ OB =−→ vet d´efinir ainsi leur produit
scalaire −→ u .−→ v=−→ OA.−−→ OB.
Trigonometrie, page 1/12 - 18 juin 2007

(c) Sym´etrie du produit scalaire.
Nous notons Ila projection du point Asur la droite (OB), la d´efinition du produit
scalaire −−→ OB.−→ OA s’en d´eduit :
−−→
OB.−→ OA =OB ×OI
O
B
H A
I
Figure 2
Les triangles rectangles (AIO) et (BHO) sont semblables, nous avons donc :
OA
OB =OI OH =AI BH
Nous en d´eduisons imm´ediatement : OB ×OI =OA ×OH et donc :
−−→
OB.−→ OA =−→ OA.−−→ OB
Tout ceci pour des vecteurs formant un angle aigu, ce qui nous a permis d’utiliser
le triangle rectangle.
(d) Produit scalaire des oppos´es. Th´eor`eme.
Si −−→ uet −−→ vsont les oppos´es respectifs des vecteurs −→ uet −→ v, on a :
(−−→ u).(−−→ v) = −→ u .−→ v(1)
Nous laissons notre lecteur faire la figure pour en d´eduire la conclusion.
(e) Produit scalaire de deux vecteurs formant un angle obtus.
En remarquant que les vecteurs −→ uet −→ vforment un angle obtus si et seulement si
les vecteurs −→ uet −−→ vforment un angle aigu, nous d´efinissons le produit scalaire
de deux vecteurs −→ uet −→ vformant un angle obtus par :
−→
u .−→ v=−−→ u .(−−→ v)
Attention, les deux signes «–»utilis´es ne sont pas de mˆeme nature !
A
B
B’
H’O
Figure 3
Sur la figure 3, nous avons −−−→ OB0=−−−→ OB, ce qui donne −→ OA.−−→ OB =−−→ OA.−−−→ OB0.
N.B.
Les deux op´erateurs «–»´etant involutifs, la relation (1) donne :
−→
u .−→ v=−−→ u .(−−→ v) = −(−−→ u).−→ v∀(−→ u , −→ v)(2)
Les propositions (1) et (2), ´etablies `a partir de la figure, vont nous servir pour
montrer les propri´et´es suivantes dans leur g´en´eralit´e.
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2. Propri´et´es.
(a) Sym´etrie du produit scalaire.
Nous avons d´ej`a ´etabli la sym´etrie pour deux vecteurs qui forment un angle aigu,
supposons maintenant que les vecteurs −→ uet −→ vforment un angle obtus, les
vecteurs −→ uet −−→ vd’une part, −−→ uet −→ vd’autre part, forment un angle aigu.
Nous avons, −→ u .−→ v=−(−−→ u).−→ vd’apr`es la proposition (2), (−−→ u).−→ v=−−→ v .(−−→ u)
par sym´etrie ( pour un angle aigu ) et −→ v .−→ u=−−→ v .(−−→ u) par la proposition (2).
Nous concluons donc que le produit scalaire est sym´etrique :
−→
u .−→ v=−→ v .−→ u∀(−→ u , −→ v)(3)
(b) Compatibilit´e avec le produit par un scalaire λ.
–Si λest positif et l’angle (−→ u , −→ v) aigu, nous revenons `a la d´efinition.
La sym´etrie nous permet de ne pas restreindre le probl`eme en multipliant le
vecteur −→ OA =−→ upar λpour obtenir le vecteur −−→ OA0=λ.−→ u.
O
B
H A A’
Figure 4
Les points O,Aet A0´etant align´es, nous avons :
−−→
OA0.−−→ OB = (λ×OA)×OH =λ×(−→ OA.−−→ OB)
–Si le r´eel λest positif et l’angle (−→ u , −→ v) obtus, nous utilisons la proposition (2)
pour ´ecrire :
(λ.−→ u).−→ v=−(λ.−→ u).(−−→ v)
ce qui nous ram`ene au cas pr´ec´edent pour donner :
(λ.−→ u).−→ v=−λ×−→ u .(−−→ v)
En r´eutilisant la formule de la proposition (2), cela donne :
(λ.−→ u).−→ v=λ×−→ u .−→ v
–Si λest n´egatif, noous notons −→ u0l’oppos´e de −→ uet λ0l’oppos´e de λ.
L’identit´e λ.−→ u=λ0.−→ u0, avec 0 ≤λ0, nous ram`ene aux deux cas pr´ec´edents.
Conclusion :
(λ.−→ u).−→ v=λ×−→ u .−→ v∀(λ, −→ u , −→ v)(4)
Le produit scalaire est sym´etrique, il est inutile de faire la d´emonstration `a droite.
On peut remarquer, que
–si on multiplie les deux vecteurs par λ, le produit scalaire est multipli´e par λ2:
(λ.−→ u).(λ.−→ v) = λ2×−→ u .−→ v
–si on multiplie un des vecteurs par z´ero, le produit scalaire est nul.
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(c) Compatibilit´e avec l’addition.
Nous posons −→ w=−→ v+−→ v0et nous consid´erons les diff´erents cas de figure possibles :
–Les trois angles (−→ u , −→ v), ³−→ u , −→ v0´et (−→ u , −→ w) sont des angles aigus ( figure 5 ).
H
B
B’
H’ I
C
OA
Figure 5
Nous posons −→ OA =−→ u,−−→ OB =−→ v,−−−→ OB0=−→ v0et −→ OC =−→ w.
Une construction ´el´ementaire et la lin´earit´e de la projection nous donnent :
OI =OH +OH0
En appliquant notre d´efinition du produit scalaire et la distributivit´e du produit
des r´eels sur la somme des r´eels, nous obtenons :
−→
OA.−→ OC =OA ×OI
=OA ×OH +OA ×OH0
=−→ OA.−−→ OB +−→ OA.−−−→ OB0
Soit encore : −→ u . ³−→ v+−→ v0´=−→ u .−→ v+−→ u .−→ v0.
–Les deux angles (−→ u , −→ v) et (−→ u , −→ w) sont des angles aigus, mais l’angle ³−→ u , −→ v0´
est obtus ( figure 6 ).
Nous posons −→ OA =−→ u,−−→ OB =−→ v,−−−→ OB0=−→ v0,−−−→ OB00 =−−→ −v0et −→ OC =−→ w.
O
C
B
B’
B’’
A
IH’ H
H’’
Figure 6
Une construction ´el´ementaire et la lin´earit´e de la projection nous donnent :
OI =OH −OH0=OH −OH00
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En appliquant notre d´efinition du produit scalaire et la distributivit´e du produit
des r´eels sur la somme des r´eels, nous obtenons :
−→
OA.−→ OC =OA ×OI
=OA ×OH −OA ×OH00
=−→ OA.−−→ OB −−→ OA.−−−→ OB00
Soit encore : −→ u . ³−→ v+−→ v0´=−→ u .−→ v−−→ u . ³−−→ −v0´.
En appliquant la formule (2), nous retrouvons : −→ u . ³−→ v+−→ v0´=−→ u .−→ v+−→ u .−→ v0.
–Les trois angles (−→ u , −→ v), ³−→ u , −→ v0´et (−→ u , −→ w) sont des angles obtus.
Les trois angles ³−→ u , −→ −v´,³−→ u , −−→ −v0´et ³−→ u , −→ −w´sont donc des angles aigus et
nous pouvons appliquer les calculs pr´ec´edents :
−→
u .−−−→ (−w) = −→ u .−−→ (−v) + −→ u .−−−→ (−v0)
Une fois encore, l’application de la formule (2) entraˆıne :
−→
u .−→ w=−→ u .−→ v+−→ u .−→ v0
Ce qui revient `a : −→ u . ³−→ v+−→ v0´=−→ u .−→ v+−→ u .−→ v0.
–Nous traitons de la mˆeme fa¸con le cas o`u les deux angles (−→ u , −→ v) et (−→ u , −→ w) sont
des angles obtus, et l’angle ³−→ u , −→ v0´un angle aigu.
Le r´esultat est le mˆeme : −→ u . ³−→ v+−→ v0´=−→ u .−→ v+−→ u .−→ v0.
Soulignons que les vecteurs −→ vet −→ v0jouent des rˆoles parfaitement sym´etriques
et qu’il n’y a pas lieu de faire des sous-cas selon leur position respective.
En conclusion :
−→
u . ³−→ v+−→ v0´=−→ u .−→ v+−→ u .−→ v0∀(−→ u , −→ v , −→ v0)(5)
Le produit scalaire est sym´etrique, il est inutile de faire la d´emonstration `a gauche.
(d) Expression analytique.
Nous n’avons parl´e ni d’orthogonalit´e ni de norme, la notion de base orthonorm´ee
ou de rep`ere orthonormal est n´eanmoins connue de beaucoup.
Dans un rep`ere (O;−→ i , −→ j), le produit scalaire de deux vecteurs −→ uet −→ u0s’exprime
en fonction des coordonn´ees de ces vecteurs sous la forme g´en´erale :
−→
u .−→ u0=x x0.−→ i .−→ i+ (x y0+y x0).−→ i .−→ j+y y0.−→ j .−→ j(6)
Cette forme est la seule forme g´en´erale universelle, elle d´ecoule imm´ediatement des
calculs pr´ec´edents.
Notons que certains probl`emes, et mˆeme des probl`emes de concours, osent utiliser
des bases non orthonorm´ees !
Si maintenant les vecteurs de base v´erifient : −→ i .−→ i=−→ j .−→ j= 1 et −→ i .−→ j= 0, la
base ³−→ i , −→ j´est dite orthonorm´ee et l’expression (6) se simplifie en :
−→
u .−→ u0=x x0+y y0(7)
Cette formule est parfois prise comme d´efinition du produit scalaire.
Trigonometrie, page 5/12 - 18 juin 2007