Pour une trigonométrie approchée. Liminaire. Pour aborder le sujet, les élèves sont présumés convaincus de ce qu’ils savent parfaitement • Ce qu’est un vecteur, sa norme et un point du plan. • Ce qu’est un angle de vecteurs dans le plan. • Comment on mesure la longueur d’un arc de courbe plane ou l’aire d’une portion de plan. La conviction profonde des auditeurs est ici d’autant plus nécessaire qu’il est hors de question que l’on puisse construire ces concepts. Prérequis. Pratiquement les prérequis sont moins ambitieux puisque nous utilisons : • Les méthodes de la géométrie telles qu’elles peuvent être présentées au collège ou au lycée. • Les lignes trigonométriques découvertes en classe de BEP. • La notion de limite dont on nous dit que son intuition est innée et qu’elle n’a pas besoin d’être définie. • La notion de dérivée. Ici encore c’est la foi qui sauve, nous ne remettons même pas en cause l’absence de définition du concept de fonction. I. Produit scalaire. 1. Définition. (a) Produit scalaire de deux vecteurs formant un angle aigu. −→ −−→ Etant donnés deux vecteurs OA et OB, on note H la projection ( orthogonale, nous ne le répéterons pas ! ) du point B sur la droite (OB). −→ −−→ On appelle produit scalaire du vecteur OA par le vecteur OB le nombre réel : −→ −−→ OA.OB = OA × OH B O B’ H A O’ H’ A’ Figure 1 (b) Théorème justificatif. Le produit scalaire de deux vecteurs ne dépend pas des points utilisés pour sa construction. Sur la figure 1, on n’a besoin que de construire quelques parallélogrammes pour justifier l’égalité : −−−→ −→ −−→ −−0−→ OA.OB = O A0 .O0 B 0 → → Ainsi, si − u et − v sont deux vecteurs quelconques, il suffit de choisir un point O −→ −−→ → → pour construire les vecteurs OA = − u et OB = − v et définir ainsi leur produit − → − − → − → − → scalaire u . v = OA.OB. Trigonometrie, page 1/12 - 18 juin 2007 (c) Symétrie du produit scalaire. Nous notons I la projection du point A sur la droite (OB), la définition du produit −−→ −→ scalaire OB.OA s’en déduit : −−→ −→ OB.OA = OB × OI I B O H A Figure 2 Les triangles rectangles (AIO) et (BHO) sont semblables, nous avons donc : OA OI AI = = OB OH BH Nous en déduisons immédiatement : OB × OI = OA × OH et donc : −−→ −→ −→ −−→ OB.OA = OA.OB Tout ceci pour des vecteurs formant un angle aigu, ce qui nous a permis d’utiliser le triangle rectangle. (d) Produit scalaire des opposés. Théorème. → − − → Si −− u et −→ v sont les opposés respectifs des vecteurs → u et − v , on a : − − → → (−→ u ).(−→ v)=− u .− v (1) Nous laissons notre lecteur faire la figure pour en déduire la conclusion. (e) Produit scalaire de deux vecteurs formant un angle obtus. → → En remarquant que les vecteurs − u et − v forment un angle obtus si et seulement si − → − → les vecteurs u et − v forment un angle aigu, nous définissons le produit scalaire − → de deux vecteurs → u et − v formant un angle obtus par : − → → → → u .− v = −− u .(−− v) Attention, les deux signes « – » utilisés ne sont pas de même nature ! B O H’ A B’ Figure 3 −−−→ −−→ −→ −−→ −→ −−−→ Sur la figure 3, nous avons OB 0 = −OB, ce qui donne OA.OB = −OA.OB 0 . N.B. Les deux opérateurs « – » étant involutifs, la relation (1) donne : − → → → → → → → → u .− v = −− u .(−− v ) = −(−− u ).− v ∀ (− u, − v) (2) Les propositions (1) et (2), établies à partir de la figure, vont nous servir pour montrer les propriétés suivantes dans leur généralité. Trigonometrie, page 2/12 - 18 juin 2007 2. Propriétés. (a) Symétrie du produit scalaire. Nous avons déjà établi la symétrie pour deux vecteurs qui forment un angle aigu, − → supposons maintenant que les vecteurs → u et − v forment un angle obtus, les − → − → → − − → vecteurs u et − v d’une part, − u et v d’autre part, forment un angle aigu. → → − → → − − − Nous avons, − u .− v = −(−→ u ).− v d’après la proposition (2), (−− u ).→ v = −→ v .(−→ u) → − − → − → − → par symétrie ( pour un angle aigu ) et v . u = − v .(− u ) par la proposition (2). Nous concluons donc que le produit scalaire est symétrique : → − → → → u .− v =− v .− u → − ∀ (− u, → v) (3) (b) Compatibilité avec le produit par un scalaire λ. → → – Si λ est positif et l’angle (− u, − v ) aigu, nous revenons à la définition. La symétrie nous permet de ne pas restreindre le problème en multipliant le −−→ −→ → → vecteur OA = − u par λ pour obtenir le vecteur OA0 = λ.− u. B O H A A’ Figure 4 Les points O, A et A0 étant alignés, nous avons : −−→ −−→ −→ −−→ OA0 .OB = (λ × OA) × OH = λ × (OA.OB) → → – Si le réel λ est positif et l’angle (− u, − v ) obtus, nous utilisons la proposition (2) pour écrire : → → − → (λ.− u ).− v = −(λ.→ u ).(−− v) ce qui nous ramène au cas précédent pour donner : − → → → (λ.→ u ).− v = −λ × − u .(−− v) En réutilisant la formule de la proposition (2), cela donne : → → − → (λ.− u ).− v =λ×→ u .− v − → → – Si λ est négatif, noous notons u0 l’opposé de − u et λ0 l’opposé de λ. − → → L’identité λ.− u = λ0 .u0 , avec 0 ≤ λ0 , nous ramène aux deux cas précédents. Conclusion : − → → → → → (λ.→ u ).− v =λ×− u .− v ∀ (λ, − u, − v) (4) Le produit scalaire est symétrique, il est inutile de faire la démonstration à droite. On peut remarquer, que – si on multiplie les deux vecteurs par λ, le produit scalaire est multiplié par λ2 : → → → − (λ.− u ).(λ.− v ) = λ2 × − u .→ v – si on multiplie un des vecteurs par zéro, le produit scalaire est nul. Trigonometrie, page 3/12 - 18 juin 2007 (c) Compatibilité avec l’addition. − → → → Nous posons − w =− v + v 0 et nous considérons les différents cas de figure possibles : ³ − →´ → → → → → – Les trois angles (− u, − v ), − u , v 0 et (− u, − w ) sont des angles aigus ( figure 5 ). C B’ B A O H’ H I Figure 5 −−−→ − → −→ − −→ − −−→ → Nous posons OA = → u , OB = − v , OB 0 = v 0 et OC = → w. Une construction élémentaire et la linéarité de la projection nous donnent : OI = OH + OH 0 En appliquant notre définition du produit scalaire et la distributivité du produit des réels sur la somme des réels, nous obtenons : −→ −→ OA.OC = OA × OI = OA × OH + OA × OH 0 −→ −−→ −→ −−−→ = OA.OB + OA.OB 0 ³ − →´ → − − → → − → Soit encore : − u. → v + v0 = − u .→ v +− u .v 0 . ³ − →´ − → → → → – Les deux angles (→ u, − v ) et (− u, − w ) sont des angles aigus, mais l’angle − u , v0 est obtus ( figure 6 ). −−−→ − → −−−→ −−→ −→ → −→ − −−→ → Nous posons OA = → u , OB = − v , OB 0 = v 0 , OB 00 = −v 0 et OC = − w. C B B’ A H’’ H’ O I H B’’ Figure 6 Une construction élémentaire et la linéarité de la projection nous donnent : OI = OH − OH 0 = OH − OH 00 Trigonometrie, page 4/12 - 18 juin 2007 En appliquant notre définition du produit scalaire et la distributivité du produit des réels sur la somme des réels, nous obtenons : −→ −→ OA.OC = OA × OI = OA × OH − OA × OH 00 −→ −−→ −→ −−−→ = OA.OB − OA.OB 00 ³ ³−−→´ − →´ → − → − − Soit encore : − u. → u .→ v −→ u . −v 0 . v + v0 = − ³ − →´ − − − → → → → En appliquant la formule (2), nous retrouvons : − u. − v + v0 = → u .→ v +− u .v 0 . ³ − →´ → → → → → – Les trois angles (− u, − v ), − u , v 0 et (− u, − w ) sont des angles obtus. ³ ´ ³ ´ ³ −−→ → , − →´ sont donc des angles aigus et → → − Les trois angles − u, − −v u , −v 0 et → u, − −w nous pouvons appliquer les calculs précédents : −−−→ −−−→ → −−→ − − → u .(−w) = − u .(−v) + → u .(−v 0 ) Une fois encore, l’application de la formule (2) entraı̂ne : → − − → → → → → u .− w =− u .− v +− u . v0 ³ − →´ − − − → → → → v + v0 = → u .→ v +− u .v 0 . Ce qui revient à : − u. − → → → − – Nous traitons de la même façon le cas où les deux angles (− u, − v ) et (− u, → w ) sont ´ ³ − → 0 − → des angles obtus, et l’angle u , v un angle aigu. ³ − →´ → − − → → → → Le résultat est le même : − u. − v + v0 = − u .→ v +− u .v 0 . − → → Soulignons que les vecteurs − v et v 0 jouent des rôles parfaitement symétriques et qu’il n’y a pas lieu de faire des sous-cas selon leur position respective. En conclusion : ³ − →´ − − − → − → → → → → − → v + v0 = → u .→ v +− u .v 0 ∀ (− u, − v , v0 ) u. − (5) Le produit scalaire est symétrique, il est inutile de faire la démonstration à gauche. (d) Expression analytique. Nous n’avons parlé ni d’orthogonalité ni de norme, la notion de base orthonormée ou de repère orthonormal est néanmoins connue de beaucoup. − → − → − → → Dans un repère (O ; i , j ), le produit scalaire de deux vecteurs − u et u0 s’exprime en fonction des coordonnées de ces vecteurs sous la forme générale : − → → − − → → − − → − →− → − → u .u0 = x x0 . i . i + (x y 0 + y x0 ). i . j + y y 0 . j . j (6) Cette forme est la seule forme générale universelle, elle découle immédiatement des calculs précédents. Notons que certains problèmes, et même des problèmes de concours, osent utiliser des bases non orthonormées ! → − − → − →→ − − →− → Si maintenant les vecteurs de base vérifient : i . i = j . j = 1 et i . j = 0, la ³− ´ → − → base i , j est dite orthonormée et l’expression (6) se simplifie en : − → − → (7) u . u0 = x x 0 + y y 0 Cette formule est parfois prise comme définition du produit scalaire. Trigonometrie, page 5/12 - 18 juin 2007 3. Autres propriétés. Nous regroupons ici quelques propriétés qui ne sont pas indispensables à notre exposé, mais dont l’intérêt et la notoriété font qu’elles méritent d’être citées. (a) Orthogonalité, théorème. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. − En revenant à la définition, il suffit de remarquer que la projection du vecteur → v sur − → la direction du vecteur u est nulle si et seulement si ces vecteurs sont orthogonaux. On vérifie au passage que le produit scalaire d’un vecteur quelconque par un vecteur nul est nul. (b) Inégalité de Schwarz : → → → → |− u .− v | ≤ ||− u || × ||− v || Sans reprendre la démonstration traditionnelle qui utilise la propriété de définition positive que nous n’avons pas encore abordée, nous pouvons revenir à la définition et utiliser deux faces d’une même propriété : – Dans un triangle rectangle la longueur d’un côté de l’angle droit est inférieure à la longueur de l’hypothénuse. – La longueur du projeté d’un segment est inférieure à la longueur de ce segment. − → → − → − Rappelons que les vecteurs → u et − u vérifient l’égalité |− u .→ v | = ||− u || × ||→ v || si et seulement si ils sont colinéaires. (c) Carré scalaire, définition positive. → Le produit scalaire d’un vecteur − u par lui même est un nombre réel positif, nul si − → et seulement si le vecteur u est nul. On applique la définition en remarquant que : → – L’angle d’un vecteur − u avec lui même est un angle aigu. → − – La projection d’un vecteur − u sur sa propre direction est le vecteur → u lui même. − →2 − → On note → u 2 = ||u|| le produit scalaire du vecteur − u par lui-même. (d) Identités remarquables. En appliquant les trois propriétés (2), (3) et (5) établies plus haut : → → → → → → (2) Opposé, − u .− v = −− u .(−− v ) = −(−− u ).− v. − → → − (3) Symétrie, → u .− v =− v .→ u. ³ − →´ → → − → → → → (5) Linéarité, − u. − v + v0 = − u .− v +− u .v 0 . Nous développons les deux identités remarquables classiques : → − → → − → (− u +→ v )2 = − u 2 + 2− u .→ v +− v2 − − → − → − (→ u −→ v )2 = − u 2 − 2→ u .− v +→ v2 On en déduit l’identité : ´ 1 ³− − → → → → → u .− v = (→ u +− v )2 − (− u −− v )2 (8) 4 Cette dernière identité est parfois utilisée pour définir le produit scalaire à partir de la « longueur » d’un vecteur. − → L’inégalité de Schwarz utilise le développement de l’expression positive (λ.→ u +− v )2 . Trigonometrie, page 6/12 - 18 juin 2007 II. Le cercle trigonométrique. La principale difficulté dans la présentation du cercle trigonométrique est la « définition » de la mesure d’un arc qui entraı̂ne la justification de la mesure d’un angle. Il paraı̂t naturel de fractionner le cercle, le plat ou encore le droit en des unités plus petites, mais pourquoi choisir une unité plutôt qu’une autre ? Enfin, un angle a une mesure et tous les angles de même mesure ont même cosinus. On propose alors une nouvelle fonction cosinus qui, elle, est une fonction de R dans R. Dans un autre contexte, on définit proprement le cosinus et le sinus d’un réel ou d’un complexe, puis on leur trouve une application géométrique dans la matrice d’une rotation : → − la matrice de la rotation qui amène le vecteur − u sur le vecteur → v de même norme. 1. Définition. ³ − → − →´ → → Dans un repère orthonormé O ; i , j , tout vecteur − u de norme ||− u || = 1 se décompose sous la forme : ³− ³− → −´ − → → →´ − → → − u = cos i , → u . i + sin i , − u .j (9) Cette relation définit à la fois le sinus et le cosinus d’un angle de vecteurs. ³− → →´ On admet que tout angle θ admet un représentant et un seul de la forme i , − u , où − → u est un vecteur de norme unité. → → Attention, nous noterons indifféremment θ, l’angle (− u, − v ) ou la mesure de cet angle en radians modulo 2 π. • Théorème admis. Cette définition du cosinus est compatible avec la définition donnée dans le triangle rectangle pour le cosinus d’un angle aigu. 2. Propriétés. (a) Formule de Pythagore : → − − → cos2 (− u, → v ) + sin2 (→ u, − v)=1 (10) (b) Angles différents d’un plat : → cos (− u, → sin (− u, → − → → v ) = − cos (− u , −− v) → − → → v ) = − sin (− u , −− v) (11) (12) (c) Angles opposés : → cos (− u, → sin (− u, (d) Angles complémentaires : µ − → → → v ) = cos (− v,− u) − → → − v ) = − sin (− v,→ u) (13) (14) ¶ π − θ = sin (θ) cos 2 µ ¶ π sin − θ = cos (θ) 2 (15) (16) (e) Angles supplémentaires : cos (π − θ) = − cos (θ) (17) sin (π − θ) = sin (θ) (18) Trigonometrie, page 7/12 - 18 juin 2007 III. Expression trigonométrique du produit scalaire. −→ −−→ − → − → → Soient → u = OA et − v = OB deux vecteurs formant un angle u, − v ) aigu, le triangle ³−→( − −→´ (OHB) est rectangle en H et nous avons : OH = OB × cos OA, OB . B O H A Figure 7 La définition du produit scalaire donne : ³−→ − −→´ − → − u .→ v = OA × OH = OA × OB × cos OA, OB → → → − = ||− u || × ||− v || × cos (− u, → v) −→ → → → Si l’angle (− u, − v ) est obtus, nous nommons −v l’opposé du vecteur − v. ´ ³ − → − L’angle → u , −v étant aigu, nous avons : ³ −→ −→´ − → → → → u .(−v) = ||− u || × ||− v || × cos − u , −v −→ − → → La relation (2) nous donne → u .(− v ) = −− u .(−v). → − → → La relation (11) nous donne cos (− u, → v ) = − cos (− u , −− v ). Nous en tirons : −→ − → → → u .− v = −− u .(−v) ³ →´ − → − u ,− −v = −||− u || × ||→ v || × cos → → → → → = ||− u || × ||− v || × cos (− u, − v) Conclusion : − → − → Si → u et − v sont deux vecteurs de normes respectives ||→ u || et ||− v ||, nous avons l’identité fondamentale : − → → − − → → → − u .− v = ||→ u || × ||→ v || × cos (− u, − v) ∀ (− u, → v) (19) Formule d’Al Kashi. Si nous transposons l’identité précédente dans le développement de la seconde identité remarquable, nous obtenons : − − → − → → (→ u −→ v )2 = − u 2 − 2→ u .− v +− u2 → → → − → → = − u2+− u 2 − 2 ||− u || ||→ v || cos (− u, − v) Dans un triangle (ABC) quelconque, nous avons l’égalité : ³ d BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 × AB × AC × cos BAC ´ d est droit, nous retrouvons le théorème de Pythagore. Si l’angle BAC Nous laissons le lecteur traiter les deux cas où le triangle (ABC) est applati. Trigonometrie, page 8/12 - 18 juin 2007 IV. Formules trigonométriques. 1. Formules d’addition. ³ − → → −´ Dans le repère orthonormé O ; i , j , nous considérons deux vecteurs de norme − → → l’unité, − u et u0 , définis par leurs coordonnées : ³− ³→ − → → → →´ − − →´ − → u = i . cos i , − u + j . sin i , − u ³− ³− →´ − → →´ → − → → − − → − u0 = i . cos i , u0 + j . sin i , u0 − → → Nous développons le produit scalaire − u .u0 sous sa forme trigonométrique (19) et sous sa forme analytique (7) pour obtenir respectivement : ³ − → − →´ − → → u .u0 = cos − u , u0 et ³− ³− ³→ ³− − → →´ →´ → −´ → − − →´ → − − → u .u0 = cos i , → u × cos i , u0 + sin i , − u × sin i , u0 La relation de Chasles sur les angles donne : ³ − →´ ³− →´ ³− → − → →´ → − u , u0 = i , u0 − i , − u Nous concluons donc : ³³→ ³− ³− ³→ ³− →´ ³− →´ →´ − − → →´´ → −´ → − − →´ → − cos i , u0 − i , − u = cos i , → u × cos i , u0 + sin i , − u × sin i , u0 ³ − →´ → Soient deux angles a et b, il existe un couple de vecteurs − u , u0 et un seul qui vérifie ³− ³− →´ → − → →´ u = a et i , u0 = −b. les deux égalités i , − La proposition précédente devient : cos(a + b) = cos(a) cos(−b) + sin(a) sin(−b) En tenant compte de la parité du cosinus (13) et de l’imparité du sinus (14) : En posant cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) ³− →´ → − → i,− u = a et i , u0 = b, nous obtenons : ³− → (20) ´ cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) (21) ³− ´ ³ ´ → π → − − → − u = − a et i , u0 = b, la première formule du Si maintenant nous posons i , → 2 complément (15) nous amène à : sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) (22) ³− ³ ´ ´ → π → − − → − La dernière formule d’addition est obtenue en posant i , → u = − a et i , u0 = b. 2 La première formule du complément (15) donne : sin(a − b) = sin(a) cos(−b) + cos(a) sin(−b) En tenant compte de la parité du cosinus (13) et de l’imparité du sinus (14) : sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b) (23) 2. Arc double. Si les deux angles a et b sont égaux, nous obtenons les formules : cos(2 a) = cos2 (a) − sin2 (b) (24) sin(2 a) = 2 cos(a) sin(a) (25) Trigonometrie, page 9/12 - 18 juin 2007 Avec la formule de Pythagore (10), on peut écrire la formule (24) sous plusieurs formes équivalentes : cos(2 a) = cos2 (a) − sin2 (b) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a) 3. Formes multiplicatives. Les formes multiplicatives sont obtenues en manipulant les formules d’addition. p+q p−q Si nous posons a = et b = , les formules (20) et (21) et deviennent : 2 2 µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ p+q p−q p+q p−q cos(p) = cos cos − sin sin 2 2 2 2 ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ p−q p+q p−q p+q cos(q) = cos cos + sin sin 2 2 2 2 En effectuant des combinaisons linéaire simples de ces deux égalités, nous obtenons : µ ¶ µ ¶ p+q p−q cos(p) + cos(q) = 2 cos (26) cos 2 2 ¶ µ ¶ µ p−q p+q sin cos(p) − cos(q) = −2 sin (27) 2 2 Pour q = 0, nous retrouvons les formules de l’arc double, ou plutôt de l’arc moitié : µ ¶ p 1 cos2 = (cos(p) + 1) 2 2 µ ¶ 2 sin p 2 = 1 (1 − cos(p)) 2 De la même façon, les formules (22) et (23) et deviennent : µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ p+q p−q p+q p−q sin(p) = sin cos + cos sin 2 2 2 2 µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ p+q p−q p+q p−q sin(q) = sin cos − cos sin 2 2 2 2 En effectuant des combinaisons linéaire simples de ces deux égalités, nous obtenons : µ ¶ ¶ µ p−q p+q cos sin(p) + sin(q) = 2 sin (28) 2 2 ¶ µ ¶ µ p−q p+q sin sin(p) − sin(q) = 2 cos (29) 2 2 4. Tangente. Bien que ces formules sortent du champ de cet exposé, nous vous rappelons les formules qui expriment toutesÃles! lignes trigonométriques en fonction de la seule tangente de θ l’arc moitié, t = tan : 2 cos(θ) = 2t 2t 1 − t2 , sin(θ) = et tan(θ) = . 2 2 1+t 1+t 1 − t2 Ces formules découlent immédiatement des formules de l’arc double (24), (25), etc ... Trigonometrie, page 10/12 - 18 juin 2007 V. Propriétés analytiques. 1. Dérivée de la fonction sinus en zéro. Soit θ un angle aigu strictement positif que nous représentons sur le cercle trigo−−→ nométrique de rayon OI = 1 par le vecteur OM et M 0 le symétrique du point M par rapport à l’axe des abscisses, (O, I). Nous suggérons que l’aire du secteur circulaire (OM 0 IM ) est comprise entre les aires des triangles (OM 0 M ) et (OT 0 T ). La motion étant adoptée à une large majorité nous la considérons comme exacte, ce que nous écrivons : 0 < OH × HM ≤ θ ≤ IT Nous réécrivons ces inégalités en faisant apparaı̂tre les lignes trigonométriques : 0 < cos(θ) × sin(θ) ≤ θ ≤ sin(θ) cos(θ) En les divisant par la quantité positive sin(θ), ces inégalités entraı̂nent : 0 < cos(θ) ≤ θ 1 ≤ sin(θ) cos(θ) Si l’angle θ est négatif nous posons θ0 = −θ et, les trois fonctions qui interviennent étant paires, nous avons : 0 < cos(θ) ≤ θ 1 θ0 1 ≤ ⇐⇒ 0 < cos(θ0 ) ≤ ≤ 0 sin(θ) cos(θ) sin(θ ) cos(θ0 ) T M H O I M’ T’ Figure 8 Nous avons ainsi : 0 < cos(θ) ≤ 1 θ ≤ sin(θ) cos(θ) ¸ · ¸ π π ∀ θ ∈ − , 0 ∪ 0, 2 2 · Le passage à la limite quand θ tend vers 0 donne par encadrement : lim θ→0 La dérivée de la fonction sinus en 0, lim θ→0 sin(θ) , vaut 1. θ θ = 1. sin(θ) (30) Trigonometrie, page 11/12 - 18 juin 2007 2. Dérivée de la fonction cosinus en zéro. Nous reprenons la forme multiplicative (27) et nous posons θ = 2η pour écrire : cos(θ) − cos(0) = −2 sin2 (η) Ã sin(η) = −2 η × η !2 2 Nous en déduisons : Ã cos(θ) − cos(0) sin(η) lim = −lim η × η→0 θ→0 θ η !2 = 0 En zéro, la dérivée de la fonction cosinus est nulle. Remarquons que, si nous avions été patient, nous pouvions utiliser la proprété suivante et le théorème des fonctions composées pour calculer la dérivée de la fonction cosinus π en 0, i.e. pour le complément de : 2 µ ¶ π − t , la dérivée de f en 0 est : Soit f la fonction t 7−→ sin 2 µ ¶ π 0 f (0) = −1 × cos −0 2 3. Dérivée de la fonction sinus. Nous prenons la forme multiplicative (29) pour développer sin(θ0 + h) − sin(θ0 ) et en déduire la dérivée en θ0 : Ã h sin(θ0 + h) − sin(θ0 ) = 2 cos θ0 + 2 donne : Ã ! Ã ! sin ! h 2 Ã ! sin(θ0 + h) − sin(θ0 ) h h 2 × sin × = cos θ0 + h 2 2 h Le passage à la limite est immédiat, qui donne : sin(θ0 + h) − sin(θ0 ) = cos(θ0 ) h→0 h La fonction sinus est partout dérivable et sa dérivée est la fonction cosinus. lim 4. Dérivée de la fonction cosinus. L’exploitation de la forme multiplicative (27) : Ã ! Ã ! cos(θ0 + h) − cos(θ0 ) h 2 h = − sin θ0 + × sin × h 2 2 h µ ¶ π ou la dérivation de la fonction composée, t 7−→ sin − t , donnent le même résultat : 2 La fonction cosinus est partout dérivable et sa dérivée est l’opposée de la fonction sinus. Les fonctions cosinus et sinus sont indéfiniment dérivables, il ne nous resterait plus qu’à en faire le développement en série de Taylor pour retrouver ce qui aurait dû être le point de départ. Trigonometrie, page 12/12 - 18 juin 2007