Mathématiques pour les RT Modules M1, M2 et M3 - GIPSA-Lab

Mathématiques pour les RT
Modules M1, M2 et M3
Cyrille SICLET, [email protected]
Cléo BARAS, [email protected]
Luc GERBAUX, [email protected]
IUT Département Réseaux & Télécommunications
Version 2012b
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
Module 1
Fondamentaux d’algèbre et de
trigonométrie
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. - Les Maths en RT
Objectif
Maitriser les outils mathématiques utiles pour les réseaux et les télécoms.
Les modules
M1 (S1) : Fondamentaux d’algèbre et de trigonométrie
M2 (S1) : Fondamentaux d’analyse
M3 (S1) : Calcul intégral et équations différentielles
M4 (S2) : Transformations de Laplace et de Fourier
M5 (S2) : Séries et séries de Fourier
M6 (S3) : Mathématiques pour le traitement du signal numérique
MC1 (S4) : Algèbre linéaire (PE)
MC2 (S4) : Probabilités (PE)
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. - Module M1, Fondamentaux d’algèbre
et de trigonométrie
Volume horaire :
27 heures
17 séances de cours-td (17 × 1h30),
1 DS (1 × 1h30)
Évaluation
Contrôle continu : coeff 1
+ 1 à 2 contrôles courts par semaine portant sur des exercices-types corrigés lors
des séances précédentes
+ 8 contrôles sur 2,5 points
Devoir surveillé final : coeff 3
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
1
Les nombres complexes
Un peu d’histoire
Algèbre des nombres complexes
Application à la géométrie : interprétation géométrique
Application à la géométrie : transformations du plan et lieu
géométrique
Application à la trigonométrie
Application à l’électricité
2
Polynômes
3
Fractions rationnelles
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.1. - Un peu d’histoire
école italienne (Cardan, Bombelli), autour de 1570 ;
introduits pour résoudre les équations du troisième degré x 3 + px + q = 0
s
s
r
r
3
3
q
q2
p3
q
q2
p3
x= − +
+
+ − −
+
2
4
27
2
4
27
Exemple 1 (Équation x3 − x = 0 (avec p = −1 et q = 0))
Solution évidente : 0, pourtant la formule précédente ne marche pas :
√
p3
q2
−1, on retrouve
4 + 27 = −1/27 < 0, mais si on admet l’existence de
bien x = 0 :
sr
s r
1
−1
3
3
x=
− + −
27
27
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.2.1. - Ensemble des complexes C
Définition 2 (Ensemble des complexes C)
C est l’ensemble des couples (x, y ) ∈ R × R muni de deux lois de
composition internes (notées + et ·) définies par :
loi d’addition sur C : ∀(x, y ) ∈ C et ∀(x 0 , y 0 ) ∈ C,
(x, y ) + (x 0 , y 0 ) = (x + x 0 , y + y 0 ) ;
loi de multiplication sur C : ∀(x, y ) ∈ C et ∀(x 0 , y 0 ) ∈ C,
(x, y ) · (x 0 , y 0 ) = (xx 0 − y y 0 , xy 0 + y x 0 )
⇒ en particulier, (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) ;
x est appelé partie réelle et y est appelé partie imaginaire.
On utilise en général l’écriture commune : z = x + jy où j est le
complexe défini par j = (0, 1) ; on peut alors parler de z comme un
nombre complexe. On note : x = Re{z} et y = Im{z}.
Remarques :
Les réels sont des cas particuliers des complexes
Les nombres complexes de la forme (0, y ) avec y quelconque sont appelés
des imaginaires purs
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.2.1. - C, un corps commutatif
Propriété 3 (Addition dans C)
Soient (x, y ), (x 0 , y 0 ), (x 00 , y 00 ) trois complexes. L’addition :
1
est commutative : (x, y ) + (x 0 , y 0 ) = (x 0 , y 0 ) + (x, y ) ;
2
est associative :
(x, y ) + (x 0 , y 0 ) + (x 00 , y 00 ) = (x, y ) + (x 0 , y 0 ) + (x 00 , y 00 ) ;
3
possède un élément neutre (0, 0) ;
4
définit l’opposé de (x, y ) comme étant (−x, −y ).
Remarques : Soient (a, b) et (α, β) deux complexes.
On dit que (a, b) est un élément neutre de l’addition si pour tout
complexe (x, y ), on a (a, b) + (x, y ) = (x, y ).
L’addition possède un unique élément neutre (a, b) = (0, 0).
On dit que (α, β) est un opposé du complexe (x, y ) lorsque
(α, β) + (x, y ) = (a, b) où (a, b) est l’élément neutre de la loi d’addition
(c’est-à-dire (0, 0)).
Tout nombre complexe possède un opposé unique.
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.2.1. - C, un corps commutatif
Propriété 4 (Multiplication dans C)
Soient (x, y ), (x 0 , y 0 ), (x 00 , y 00 ) trois complexes. La multiplication :
2
est commutative : (x, y ) · (x 0 , y 0 ) = (x 0 , y 0 ) · (x, y ) ;
est associative : (x, y ) · (x 0 , y 0 ) · (x 00 , y 00 ) = (x, y ) · (x 0 , y 0 ) · (x 00 , y 00 ) ;
3
possède un élément neutre (1, 0) ;
4
définit l’inverse de (x, y ) comme étant (
5
est distributive sur l’addition :
(x, y ) · ((x 0 , y 0 ) + (x 00 , y 00 )) = ((x, y )·(x 0 , y 0 )) + ((x, y )·(x 00 , y 00 )).
1
x
y
,− 2
);
x2 + y2
x + y2
Remarques :
Toutes ces propriétés font de C un corps commutatif.
On dit que (α, β) est l’inverse du complexe (x, y ) lorsque
(α, β).(x, y ) = (1, 0) où (1, 0) est l’élément neutre de la loi de
multiplication.
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.2.1. - Module et conjugué
Définition 5 (Module)
Soit zp
= (x, y ) un complexe. Le module de z, noté |z|, est défini par :
|z| = x 2 + y 2 .
Remarque : lorsque z est un réel, le module est la valeur absolue.
Définition 6 (Conjugué)
Le conjugué de z est le nombre complexe noté z ou z ∗ défini par
z = z ∗ = x − jy = (x, −y )
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.2.1. - Module et conjugué
Propriété 7 (Module et conjugué)
Soient z = (x, y ), z1 = (x1 , y1 ) et z2 = (x2 , y2 ) trois nombres complexes.
Alors :
1
2
z1 |z1 |
|z1 z2 | = |z1 ||z2 | et =
z2
|z2 |
Inégalité triangulaire : |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
3
x = Re{z} = Re{z ∗ } =
4
zz ∗ = |z|2
5
1
z∗
=
z
|z|2
6
(z1 + z2 )∗ = z1∗ + z2∗
7
8
z + z∗
z − z∗
et y = Im{z} = − Im{z ∗ } =
2
2j
(z1 z2 )∗ = z1∗ z2∗
∗
z1
z∗
= 1∗
z2
z2
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.2.2. - Exercices-types
Exercice 1.1. Exercice-type :
(1 + 2j)(2 − j)
Soit z =
.
1−j
1
Calculer z, c’est-à-dire écrire z sous la forme x + jy où l’on identifiera
clairement la partie réelle x et la partie imaginaire y de z.
Donner le module et le conjugué du complexe précédent.
(1 − j)(1 + j)
Mêmes questions pour z =
.
2−j
2
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.2.2. - Exercices-types
Exercice 1.2. Manipulations de complexe : Écrire les complexes suivants sous
la forme x + jy :
1
2
3
4
5
6
7
z1 = (1 + 2j)2 , z1∗ et |z1 | ; (résultats : z1 = −3 + 4j, z1∗ = −3 − 4j et
|z1 | = 5) ;
z2 = j 7 , z2∗ et |z2 | ; (résultats : z2 = −j, z2∗ = j et |z2 | = 1) ;
z3 = (2√− 3j)(1 − j), z3∗ et |z3 | ; (résultats : z3 = −1 − 5j, z3∗ = −1 + 5j et
|z3 | = 26) ;
2 − 3j ∗
z4 =
, z4 et |z4 | ; (résultats : z4 = 2, 5 − 0, 5j, z4∗ = 2, 5 + 0, 5j et
1√− j
|z4 | = 226 ) ;
z5 = (4 + 3j)3 , z5∗ et |z5 | ;
1
z6 =
, z ∗ et |z6 | ;
5 + 3j 6
3 + 2j ∗
z7 =
, z et |z7 |.
3 − 2j 7
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Fractions rationnelles
M1. 1.2.2. - Exercices de TD
Exercice 1.3. Démonstration de propriétés de cours : Démontrer toutes les
assertions de la propriété 7. Par la suite, elles pourront être utilisées sans les
redémontrer.
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Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 1.2.2. - Exercices de TD
Exercice 1.4. Puissance de complexe : Soient n ∈ N et z = x + jy ∈ C.
n/2
X
p n−2p 2p
Montrer que Re{z n } =
C2p
y et
n (−1) x
p=0
(n−1)/2
Im{z n } =
X
C2p+1
(−1)p x n−2p−1 y 2p+1 .
n
p=0
On rappelle la formule du binôme de Newton : pour tous complexes a et b,
n
k
X
Y
n!
(a + b)n =
Ckn ak b n−k avec Ckn =
et k! =
l = 1 × 2 × . . . × k.
k!(n − k)!
k=0
l=1
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.3. - Interprétation géométrique
Soit z = x + jy un complexe de partie réelle x et de partie imaginaire y .
Interprétation affine : on peut définir le point M(z) du plan avec z
l’affixe du point M comme le point de coordonnées cartésiennes (x, y ) ;
Interprétation vectorielle : on peut définir le vecteur ~u (z) du plan avec z
l’affixe du vecteur comme le vecteur reliant l’origine au point de
coordonnées (x, y )
−−→
Le module de z s’interprète alors comme : r = |z| = ||OM|| = ||~u ||
L’argument de z est l’angle avec l’axe (O, x) :
−
→
−−→
−
→ →
\
\
θ = arg{z} = (Ox, OM) = (Ox, −
u)
Le module et l’argument de z vont servir de coordonnées polaires au
point M ou au vecteur ~u du plan : (r , θ)
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Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 1.3. - Argument d’un nombre complexe
Définition 8 (Argument d’un complexe non nul)
Soit z = x + jy un complexe non nul. Alors : ∃!θ ∈] − π, π] tel que
z = |z| (cos θ + j sin θ). Ce nombre (réel), noté arg{z}, est appelé
y
argument de z. Il est tel que tan(θ) = avec :
x
si x > 0, θ ∈ − π2 , π2 et θ = arctan yx
si x < 0 et y ≥ 0, θ ∈ π2 , π et θ = arctan yx + π
si x < 0 et y < 0, θ ∈ −π, − π2 et θ = arctan yx − π
si x = 0, θ =
π
2
si y > 0 et θ = − π2 si y < 0
Remarque : arctan yx + π et arctan yx − π désignent le même angle, à
2π près. Par commodité,
on pourra alors simplement utiliser
θ = arctan yx + π lorsque x < 0 sans se préoccuper du signe de y .
Définition 9 (Notation exponentielle d’un complexe)
Soit z un complexe de module |z| et d’argument θ. Alors z se note sous
la forme exponentielle z = |z|e jθ .
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Fractions rationnelles
M1. 1.3. - Propriétés de l’argument
Propriété 10 (Argument d’un nombre complexe)
Soient z1 et z2 deux nombres complexes. Alors, à 2π près :
arg{z1 z2 } = arg{z1 } + arg{z2 } ;
arg{z1 /z2 } = arg{z1 } − arg{z2 } ;
arg{1/z1 } = − arg{z1 } ;
arg{z1∗ } = − arg{z1 }.
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Fractions rationnelles
M1. 1.3. - Rappel : Repérage d’un point du
plan
y
Un point M du plan se repère par :
ses coordonnées cartésiennes
(x, y )
ses coordonnées polaires (r , θ)
y
M(z)
r
θ
x
x
Le changement de coordonnées s’effectue de la façon suivante :
Coordonnées polaires −→ cartésiennes : x = r cos(θ) et y = r sin(θ)
p
Coordonnées cartésiennes −→ polaires : r = x 2 + y 2 et

arctan yx
si x > 0;



arctan y + π si x < 0;
x
θ= π

si x = 0 et y > 0;

2

 π
−2
si x = 0 et y < 0.
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.3.1. - Exercices-types
Exercice 1.5. Exercice type : Soit z = 2 − j.
1
Représenter z graphiquement ;
2
Donner la forme polaire de z.
Même questions pour z = −5 + 3j.
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.3.1. - Exercices-types
Exercice 1.6. Exercice-type : Déterminer le module et l’argument (en degrés et
en radians) des nombres complexes suivants, et représentez-les graphiquement :
1 z1 = −1 − j
2 z2 = 3 − j
3 z3 = −2 + 4j
√
5 z5 = −2 + j 12
6 z6 = −4 + 4j
7 z7 = 3 − 3j
4 z4 =
√
3+j
√
Éléments de réponse : |z1 | = 2, arg(z1 ) = −135 degrés = − 3π
radians ;
4
√
√
1
1
|z2 | = 10, arg(z2 ) = − 180
arctan(
)
degrés
=
−
arctan(
)
rad
;
|z3 | = 2 5,
π
3
3
arg(z3 ) = 180 − 180
arctan(2) degrés = π − arctan(2) radians
π
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Fractions rationnelles
M1. 1.3.1. - Exercices de TD
Exercice 1.7. Notation exponentielle : Déterminer la notation exponentielle des
nombres complexes suivants :
1 z8 = (−j)18√
1+j 3
4 z11 = √
3+j
2 z9 = (1 + j)−23
√
3 z10 = (− 3 + j)51
5 z12 = 1 + cos ϕ + j sin ϕ
6 z13 = (1 + j tan ϕ)2
Exercice 1.8. Résolution d’équation : Résoudre dans C les équations :
1 z5 + 1 − j = 0
2 z 5 − (−1 + j)−1 = 0
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Fractions rationnelles
M1. 1.3.1. - Exercices de TD
Exercice 1.9. Module et argument : Déterminer le module et l’argument du
complexe z tel que z = (1 + j)n + (1 − j)n , avec n ∈ Z.
Exercice 1.10. Module et argument : Soit z = e jθ . Déterminer le module et
l’argument du complexe Z défini par : Z = z 2 + z.
Exercice 1.11. Résolution d’équation : Résoudre dans
πC
l’équation
π
√
et sin
.
z 2 = 3 + j, en déduire l’expression exacte de cos
12
12
Exercice 1.12. Résolution d’équation : Résoudre dans C l’équation
z 2 − (8 + 6j)z + 15 + 30j = 0, la méthode de résolution des équations du
second degré à coefficients réels restant valable pour les coefficients complexes.
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M1. 1.4.1. - Transformations du plan
Théorème 11 (Translation)
Soit z1 (respectivement z2 ) l’affixe du vecteur u~1 (respectivement u~2 ) et
du point M1 (respectivement M2 ) du plan. Alors :
Le vecteur ~u = ~u1 + ~u2 est d’affixe z = z1 + z2 ;
−−→ −−→ −−→
Le point M tel que OM = OM1 + OM2 est d’affixe z = z1 + z2 ;
Plus généralement le point A(a), translaté du point B(b) par la
translation de vecteur ~u (u), est d’affixe a = b + u ;
y
u~1
(
z1
)
u~2
~u (z )
(z
2
)
x
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M1. 1.4.1. - Transformations du plan
Théorème 12 (Symétries)
Soit z un complexe, affixe du point M. Alors :
Le point M 0 (z 0 ), symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses
(O, x), est d’affixe z 0 = z ∗ ;
Le point M 00 (z 00 ), symétrique de M par rapport à l’origine, est d’affixe
z 00 = −z.
y
• M(z)
\
x
\
M 00 (−z) •
• M 0 (z∗)
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M1. 1.4.2. - Produit scalaire
Définition 13 (Produit scalaire)
Soient u~1 et u~2 deux vecteurs du plan, d’affixes respectives z1 = x1 + jy1
et z2 = x2 + jy2 . Alors le produit scalaire de u~1 et u~2 , noté
indifféremment h~u1 , ~u2 i ou ~u1 .~u2 , est le nombre réel défini par :
\
Définition géométrique : h~u1 , ~u2 i = ||~u1 || ||~u2 || cos (~u
u2 ) .
1, ~
Définition analytique : h~u1 , ~u2 i = x1 x2 + y1 y2 ;
Définition avec les nombres complexes : hu~1 , u~2 i = Re{z1∗ z2 }.
Rappels :
Deux vecteurs ~u et ~v sont dits colinéaires s’ils existent un réel λ non nul
tel que ~u = λ~v
Deux vecteurs ~u et ~v sont dits orthogonaux si h~u , ~v i = 0
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M1. 1.4.3. - Lieu géométrique
Définition 14 (Lieu géométrique)
Le lieu géométrique est l’ensemble des points (ou de manière
équivalente leurs affixes complexes) satisfaisant une condition donnée.
Exemple 15 (Des lieux géométriques : les droites, les cercles, les
disques, ...)
Soient a, b et u trois nombres complexes. Alors :
1
La droite passant par le point A(a) et de vecteur directeur ~u (u) est
d’équation paramétrique D = {z ∈ C/z = a + λu, λ ∈ R} ;
2
La droite passant par le point A(a) et de vecteur normal ~u (u) est
d’équation D = {z ∈ C/ Re{(z − a)∗ u} = 0} ;
3
La droite passant par les points A(a) et B(b) est d’équation
paramétrique D = {z ∈ C/z = a + λ(b − a), λ ∈ R} ;
4
Le cercle de centre A(a) et de rayon R est : C = {z ∈ C/|z − a| = R} ;
5
Le disque ouvert de centre A(a) et de rayon R est :
D = {z ∈ C/|z − a| < R}.
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M1. 1.4.4. - Exercices-types du CC3
Exercice 1.13. Équation de droite : Déterminer l’équation de la droite D :
1
passant par le point M(1, 2) et de vecteur directeur ~u (1, −1).
2
passant par le point M(1, 2) et de vecteur normal ~u (1, −1).
3
passant par les points M(1, 2) et N(−1, 1).
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M1. 1.4.4. - Exercices-types du CC3
Exercice 1.14. Équation de droite : Déterminer les équations des droites :
1
passant par les points A(1, 2) et B(−1, 0) ; (solution : x − y + 1 = 0) ;
2
passant par M(1, 1) et de vecteur normal ~u (1, 2) ; (solution :
x + 2y − 3 = 0)
3
passant par M(1, 1) et de vecteur directeur ~u (1, 2) ; (solution :
2x − y − 1 = 0) ;
4
médiatrice du segment [AB] avec A(1, 2) et B(−1, 0) (rappel : la
médiatrice de [AB] est la droite orthogonale à la droite (AB) passant par
le milieu du segment [AB]) ;
5
passant par A(1, 2) et perpendiculaire à la droite (AB) avec B(−1, 0).
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.4.4. - Exercices de TD
Exercice 1.15. Équations de droite dans le plan : Soient M1 (x1 , y1 ) et
M2 (x2 , y2 ) deux points du plan et soit ~u (α, β) un vecteur. Déterminer
l’équation de la droite :
1
passant par M1 et de vecteur directeur ~u ;
2
passant par M1 et de vecteur normal ~u ;
3
passant par M1 et M2 ;
4
médiatrice du segment [M1 M2 ] ;
5
passant par M1 et perpendiculaire à la droite (M1 M2 ).
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 1.4.4. - Exercices de TD
Exercice 1.16. Droites dans le plan : Soient D et D0 deux droites d’équations
cartésiennes respectives ax + by + c = 0 et a0 x + b 0 y + c 0 = 0 et soit P(xP , yP )
un point du plan.
1
À quelle condition D et D0 sont-elles parallèles ?
2
À quelle condition D et D0 sont-elles orthogonales ?
3
Quelle est la distance de P à la droite D ?
Exercice 1.17. Lieu géométrique : Déterminer l’ensemble des affixes
satisfaisant les relations :
1 Im(z) > 1
2 Re(z) ≥
1
2
3 0 ≤ arg(z) ≤
π
4
4 |2z − 3| > 3
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.1. - Exponentielle d’un complexe
Notation : exp(jθ) pour exp(jθ) = cos θ + j sin θ
Origine : développement en série entière (cf. M5 ) de exp(x) donné par
+∞ n
X
x3
xp
x
x2
+
+ ... +
+ ... =
ex = 1 + x +
2!
3!
p!
n!
n=0
Écriture sous forme polaire : z = r . exp(jθ) = r cos θ + jr sin θ
Théorème 16 (Formules d’Euler)
Soit θ ∈ R. Alors : cos θ =
e jθ + e −jθ
e jθ − e −jθ
et sin θ =
2
2j
Cas général : exp(x + jy ) = exp(x) (cos y + j sin y )
Les propriétés de l’exponentielle restent vraies dans C notamment
exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) exp(z2 ) et exp(nz) = (exp(z))n
Théorème 17 (Formule de Moivre)
n
Soient θ ∈ R et n ∈ Z. Alors (cos θ + j sin θ) = cos nθ + j sin nθ
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.2. - Rotations
Théorème 18 (Rotations)
Soit B le point du plan d’affixe b = xb + jyb = rb exp(jθb ).
La rotation de centre 0 et d’angle θ transforme le point B en le point B 0
d’affixe b 0 = xb0 + jyb0 = rb exp(j(θb + θ)) avec b 0 = b exp(jθ),
xb0 = xb cos(θ) − yb sin(θ) et yb0 = xb sin(θ) + yb cos(θ).
−→
La rotation de centre A(a) et d’angle θ transforme le vecteur AB(b − a)
−−→0 0
en le vecteur AB (b − a) avec b 0 − a = (b − a). exp(jθ)), autrement dit
b 0 = a + (b − a) exp(jθ), xb0 = xa + (xb − xa ) cos(θ) − (yb − ya ) sin(θ) et
yb0 = ya + (xb − xa ) sin(θ) + (yb − ya ) cos(θ)
y
rb
A(a)
•
θ
r b • B(b)
θb
x
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonométrie : cercle
trigonométrique et propriétés de base
Propriété 19 (Trigonométrie
de base )
sin x
(cos x, sin x)
Soit x un réel.
Relation fondamentale :
cos2 x + sin2 x = 1
x
cos x
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonométrie : cercle
trigonométrique et propriétés de base
Propriété 19 (Trigonométrie
de base )
(cos x, sin x)
Soit x un réel.
sin(−x) = − sin x ;
cos(−x) = cos x ;
tan(−x) = − tan x
x
−x
(cos x, − sin x)
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonométrie : cercle
trigonométrique et propriétés de base
Propriété 19 (Trigonométrie
de base )
Soit x un réel.
(sin x, cos x)
π
2
− x (cos x, sin x)
x
sin(π/2 − x) = cos x ;
cos(π/2 − x) = sin x ;
tan(π/2 − x) = 1/ tan x
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonométrie : cercle
trigonométrique et propriétés de base
Propriété 19 (Trigonométrie
de base )
Soit x un réel.
(− sin x, cos x)
π
2
+x
x
(cos x, sin x)
π
+ x = cos x ;
2π
+ x = − sin x ;
cos
2
π
1
tan
+x =−
2
tan x
sin
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonométrie : cercle
trigonométrique et propriétés de base
Propriété 19 (Trigonométrie
de base )
sin(π + x) = − sin x ;
cos(π + x) = − cos x ;
tan(π + x) = tan x
(cos x, sin x)
π+x
Soit x un réel.
x
(− cos x, − sin x)
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonométrie : cercle
trigonométrique et propriétés de base
Propriété 19 (Trigonométrie
de base )
Soit x un réel.
(− cos x, sin x)
π−x
(cos x, sin x)
x
sin(π − x) = sin x ;
cos(π − x) = − cos x ;
tan(π − x) = − tan x
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonométrie : cercle
trigonométrique et propriétés de base
Propriété 19 (Trigonométrie
de base )
Soit x un réel.
Pour tout entier relatif n,
cos(nπ + x) = (−1)n cos x ;
sin(nπ + x) = (−1)n sin x ;
tan(nπ + x) = tan x
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Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.4. - Rappels de trigonométrie : angles
remarquables
y
(0, 1)
Angle θ
sin(θ)
0
0
cos(θ)
1
tan(θ)
0
π
(30◦ )
6
1
2
√
3
2
√
3
3
π
(45◦ )
4
√
2
2
√
2
2
1
π
(60◦ )
3
√
3
2
π
(90◦ )
2
√
3
2
√ 2
2
2 , 2
3 1
2 , 2
1
√ 2
2
2 , 2
π
3
90
0
√
+∞
180
30◦
◦
11π
6
300◦
4π
3
√ 2
2
2 ,− 2
− 21 , −
3
2
3
1
2 , −2
5π
3
√
√ 2
2
2 ,− 2
3π
2
√
√
7π
4
270◦
√
−
x
2π
330◦
240◦
5π
4
(1, 0)
360
0◦ ◦
210◦
3
1
2 , −2
π
6
7π
6
√
−
3 1
2 , 2
60◦
150◦
√
π
4
◦
120◦
(−1, 0)
π
√
3π
4
5π
6
1
2
3
√
3
1
2, 2
π
2
2π
3
√
−
− 12 ,
√
−
√ 1
3
2, − 2
(0, −1)
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.5. - Formules d’addition, de
soustraction et de duplication
Théorème 20 (Addition et soustraction en trigonométrie)
Soient a, b ∈ R. Alors :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a tan b
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a tan b
Théorème 21 (Duplication en trigonométrie)
Soit a ∈ R. Alors :
cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a
sin(2a) = 2 sin a cos a
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Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.6. - Formules de linéarisation et de
factorisation
Théorème 22 (Linéarisation en trigonométrique)
Soient a, b ∈ R. Alors :
1 + cos(2a)
1
1
; cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b)
2
2
2
1
−
cos(2a)
1
1
sin2 a =
; sin a cos b = sin(a + b) + sin(a − b)
2
2
2
cos2 a =
Théorème 23 (Factorisation en trigonométrie)
Soient a, b ∈ R. Alors :
a+b
a−b
cos
;
2 2 a+b
a−b
cos
sin a − sin b = 2 sin
2
2
a+b
a−b
cos a + cos b = 2 cos
cos
;
2
2 a+b
a − bMathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
cos a − cos b = −2 sin
sin
2
2
sin a + sin b = 2 sin
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.7. - Définitions des fonctions
trigonométriques réciproques
Définition 24 (Arc cosinus)
Soit x ∈ [−1, 1]. Il existe un unique angle θ ∈ [0, π] tel que cos(θ) = x.
On l’appelle l’arc cosinus du nombre x : θ = arccos(x).
Définition 25 (Arc sinus)
Soit x ∈ [−1, 1]. Il existe un unique angle θ ∈ [−π/2, π/2] tel que
sin(θ) = x. On l’appelle l’arc sinus du nombre x : θ = arcsin(x).
Définition 26 (Arc tangente)
Soit x ∈ R. Il existe un unique angle θ ∈] − π/2, π/2[ tel que tan(θ) = x.
On l’appelle l’arc tangente du nombre x : θ = arctan(x).
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.7. - Propriétés des fonctions
trigonométriques réciproques
Théorème 27 (Fonctions trigonométriques réciproques)
Soit x ∈ R. Alors :
sin(arcsin(x)) = x si x ∈ [−1, 1] ;
cos(arccos(x)) = x si x ∈ [−1, 1] ;
tan(arctan(x)) = x ;
sin(arccos x) = cos(arcsin x) =
arcsin x + arccos x =
π
2
p
1 − x 2 si x ∈ [−1, 1] ;
si x ∈ [−1, 1] ;
1
π
arctan(x) + arctan( ) =
si x 6= 0 ;
x
2
x
sin(arctan x) = √
;
1 + x2
1
cos(arctan x) = √
.
1 + x2
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.8. - Exercices-types
Exercice 1.18. Exercice-type : Soit z = 2 exp(j( π2 +
π
)).
3
1
Représenter graphiquement z.
2
Donner la partie réelle et la partie imaginaire de z.
Mêmes questions pour z = − exp(j( π2 −
π
)),
6
puis pour z = 3 exp(j( π4 − π)).
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.8. - Exercices de TD
Exercice 1.19. : Exprimer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction de cos θ et sin θ.
Exercice 1.20. : Exprimer cos4 (θ) et sin4 (θ) en fonction de cos(nθ) et
sin(nθ), avec n ∈ N.
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.8. - Exercices de TD
Exercice 1.21. Démonstration de propriétés : Démontrer en utilisant les
formules d’Euler que :
1 sin(−x) = − sin x
4 sin(π + x) = − sin x
n
7 sin(nπ + x) = (−1) sin x
2 cos(π/2 − x) = sin x
3 sin(π/2 + x) = cos x
5 cos(π − x) = − cos x
6 cos(nπ + x) = (−1)n cos x
8 tan(nπ + x) = tan x
Exercice 1.22. Démonstration de formules trigonométriques : Démontrer que :
1 cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
2 sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
Exercice 1.23. : Soit M le point du plan de coordonnées polaires (r , θ). Quelle
est la longueur de l’arc de cercle AM avec A de coordonnées polaires (r , 0) ?
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 1.5.8. - Exercices de TD
Démontrer que (cos x + sin x)2 + (cos x − sin x)2 = 2.
Exercice 1.24. :
Exercice 1.25. : Soit f (x) = 2 sin2 x − 3 sin x + 2. Montrer que
f (x) = f (π − x).
Exercice 1.26. : Soit f (x) = 3 cos2 x − 5 cos x + 7. Montrer que f (x) = f (−x).
Exercice 1.27. : Soit f (x) = a cos2 x + b cos x sin x + c sin2 x + d. Montrer
que f (x) = f (π + x).
Exercice 1.28. : Soit f (x) = sin3 x + cos3 x − sin x − cos x. Montrer que
f (x) = f ( π2 − x).
Exercice 1.29. :
1 sin x =
Résoudre les équations suivantes :
1
2
2 sin 5x = sin 3x
3 sin x = sin
π
4
− 2x
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 1.6. - Application à l’électricité : circuits
RLC en régime harmonique
Dans un problème d’électricité, on a généralement affaire avec :
une tension : u(t) = U0 cos(ωt + ϕu ) = Re{U0 e jϕu e jωt }
une intensité : i(t) = I0 cos(ωt + ϕi ) = Re{I0 e jϕi e jωt }
En utilisant les complexes, on peut définir :
Tension/intensité complexe U = U0 e jϕu et I = I0 e jϕi amplitudes
complexes de la tension et de l’intensité
U
impédance complexe : Z =
= R + jX avec R la résistance et X la
I
réactance
di
bobine, inductance L : u = L
⇒ u(t) = −LωI0 sin(ωt + ϕi ) et U = Z I
dt
avec Z = jLω
du
condensateur, capacité C : i = C
⇒ i(t) = −C ωU0 sin(ωt + ϕu ) et
dt
1
U = Z I avec Z =
jC ω
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Les nombres complexes
1
Les nombres complexes
2
Polynômes
Algèbre polynomiale
Équations algébriques
3
Fractions rationnelles
Polynômes
Fractions rationnelles
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 2.1.1. - Définitions
Définition 28 (Polynôme)
Un polynôme est une fonction de la variable complexe x à valeurs dans
C de la forme :


 C → C
n
X
P:
n
x
→
7
p
+
p
x
+
.
.
.
+
p
x
=
pk x k

0
1
n

k=0
n
On le note P = p0 + p1 X + . . . + pn X =
n
X
pk X k
k=0
Notation : C[X ] est l’ensemble des polynômes complexes à une variable.
Remarque : Tous les termes de la forme pk X k dont appelé monôme de
puissance k.
Définition 29 (Degré d’un polynôme)
Le degré d’un polynôme P est le nombre noté deg(P) défini par :
si P = 0, deg(P) = −∞ ;
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 2.1.2. - Addition de polynômes
Définition 30 (Addition de polynômes)
L’addition
est la transformation définie par :

C[X
]
×
C[X ] → C[X ]


+∞
X
(P,
Q)
→
7
P
+
Q
=
(pk + qk )X k


k=0
Propriété 31 (Addition de polynômes)
Soient P, Q ∈ C[X ]. deg(P + Q) ≤ max(deg(P), deg(Q))
(C[X ], +) est un groupe a commutatif
a. Un groupe est un ensemble muni d’une loi de composition interne associative
admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l’ensemble, un élément
symétrique.
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 2.1.2. - Multiplication de polynômes
Définition 32 (Multiplication de polynômes)
La
 multiplication est la transformation définie par :

 C[X ] × C[X ] → C[X ]
!
+∞ X
k
X
(P, Q)
7→ P.Q =
pl qk−l X k


k=0
l=0
Propriété 33 (Multiplication de polynômes)
Soient P, Q ∈ C[X ]. Alors deg P.Q = deg P + deg Q
(C[X ], +, ·) est un anneau a commutatif
a. Un anneau est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication qui se comportent comme suit : A muni de l’addition est un groupe commutatif, la multiplication
est associative, distributive par rapport à l’addition, et elle possède un neutre.
Exemple 34 (Un produit de polynômes)
Soient P = X 2 + 2X + 3 et Q = X − 1. P.Q = X 3 + X 2 + X − 3.
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Fractions rationnelles
M1. 2.1.3. - Division polynomiale
Théorème 35 (Division euclidienne (polynomiale))
Soient A ∈ C[X ] et B ∈ C[X ] \ {0}. Alors : ∃!(Q, R) ∈ C[X ] × C[X ] tel
que A = BQ + R avec deg R < deg B. A est appelé dividente, B
diviseur, Q quotient et R reste.
Exemple 36 (Une division euclidienne)
X 2 + 2X + 3 = (X − 1)(X + 3) + |{z}
6 car
|
{z
}
| {z } | {z }
A
B
Q
R
X 2 + 2X + 3 = X (X − 1) + 3X + 3 et 3X + 3 = 3(X − 1) + 6 soit :
X −1
X 2 + 2X + 3
−(X 2 − X )
X +3
3X + 3
−(3X − 3)
6
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Polynômes
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Fractions rationnelles
M1. 2.1.3. - Division suivant les puissances
croissantes
Théorème 37 (Division suivant les puissances croissantes à l’ordre
p)
Soient A ∈ C[X ] \ {0}, B ∈ C[X ] \ {0} avec B(0) 6= 0, et p ∈ N∗ . Alors
∃!(Q, R) ∈ C[X ] × C[X ] tel que A = BQ + X p+1 R avec deg Q ≤ p.
Exemple 38 (Pour des polynômes de degré p = 2)
1 + 2X + 3X 2 = (1 − X )(1 + 3X + 6X 2 ) + |{z}
6 X 3 car
|
{z
}
| {z } |
{z
}
A
B
1 + 2X + 3X 2 3
−(1 − X )
3X + 3X 2
−(3X − 3X 2 )
6X 2
−(6X 2 − 6X 3 )
6X 3
Q
R
1−X
1 + 3X + 6X 2
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M1. 2.1.4. - Exercices-types
Exercice 1.30. Exercice-type : Donner le quotient Q et le reste R de la division
euclidienne de 2X 3 − X 2 + X − 3 par X + 4.
Exercice 1.31. Exercice-type : Donner le quotient Q et le reste R de la division
suivant les puissances croissantes à l’ordre 2 de X 4 + X 2 + 1 par X + 1.
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Fractions rationnelles
M1. 2.1.4. - Exercices-types
Exercice 1.32. Exercice-type : Effectuer la division euclidienne de A par B, puis
suivant les puissances croissantes à l’ordre 2 et à l’ordre 3, avec :
1 A = X 3 + X − 1 et B = X + 1
4
2 A = X 3 + X − 1 et B = 2X + 1
3 A = X − 1 et B = X − 1
4 A = X 2 + X + 1 et B = X − 1
5 A = X 2 + 2X + 1 et B = X + 1
6 A = X 3 + 3X 2 + 3X + 1 et B = X 2 + 2X + 1
4
7 A = X + X + 1 et B = X + 1
Réponses : 1 Q = X 2 − X + 2, R = −3, Q2 = −1 + 2X − 2X 2 , R2 = 3,
Q3 = −1 + 2X − 2X 2 + 3X 3 , R3 = −3 ; 2 Q = X 2 /2 − X /4 + 5/8,
R = −13/8, Q2 = −1 + 3X − 6X 2 , R2 = 13, Q3 = −1 + 3X − 6X 2 + 13X 3 ,
R3 = −26 ; 3 Q = X 3 + X 2 + X + 1, R = 0, Q2 = 1 + X + X 2 , R2 = −1 + X ,
Q3 = 1 + X + X 2 + X 3 , R3 = 0
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 2.1.4. - Exercices de TD
Exercice 1.33. : Effectuer la division euclidienne de A par B, puis suivant les
puissances croissantes à l’ordre 2 et à l’ordre 3, avec :
1
A = X 5 − X 4 + X 3 + 1 et B = X 2 + 1 ;
2
A = X 7 − 5X 6 + 3X 4 + 2X 2 + X − 1 et B = X 3 + X + 1 ;
3
A = X 8 + 3X 6 − 2X 5 + 2X 3 − X + 2 et B = 2X 2 − X + 1.
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 2.1.4. - Exercices de TD
1
par un
1−x
polynôme au voisinage de x = 0. L’objet de cet exercice est de montrer
comment le faire en utilisant la division suivant les puissance croissante.
Exercice 1.34. :
On cherche à approcher la fonction f (x) =
1
Déterminer le quotient et le reste de la division suivant les puissance
croissante à l’ordre 2 de 1 divisé par 1 − X .
2
En déduire que f (x) peut se mettre sous la forme
f (x) = 1 + x + x 2 + x 2 ε(x) avec ε(x) une fonction que l’on explicitera.
3
En déduire que f (x) peut être approximée au voisinage de x = 0 par un
polynôme p(x) que l’on explicitera.
4
Déduire de 2 les valeurs des limites suivantes : lim
x→0
lim
x→0
f (x) − 1 − x
f (x) − 1 − x
; lim
.
x→0
x3
3x 2
f (x) − 1
;
2x
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 2.1.4. - Exercices de TD
Exercice 1.35. :
Soit n ∈ N. Montrer que
!
n
X
X n+1 − 1 = (X − 1)
X k = (X − 1)(X n + . . . + 1).
k=0
Soit p ∈ N. En déduire que X
2p+1
!
2p
X
k k
+ 1 = (X + 1)
(−1) X .
k=0
Exercice 1.36. :
X − 1.
Soit n ∈ N. Calculer la division euclidienne de X n+1 + 1 par
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 2.2.1. - Équations algébriques
Définition 39 (Équations algébriques, racine, ordre de multiplicité)
Une équation algébrique est une équation du type P(x) = 0. On
appelle zéro ou racine d’une équation algébrique tout élément x0 ∈ C tel
que P(x0 ) = 0. Chaque zéro (ou racine) possède un ordre de
multiplicité : cet ordre est le nombre l ∈ N∗ tel que :
∃Q ∈ C[X ] tel que P = (X − x0 )l Q ;
∀A ∈ C[X ], P 6= (X − x0 )k A pour k > l, k entier.
Définition 40 (Dérivée)
Soit P = p0 + p1 X + p2 X 2 + ... + pn X n . La dérivée du polynôme P est le
polynôme P 0 donné par : P 0 = p1 + 2p2 X + ... + npn X n−1 .
Propriété 41 (Racine d’un polynôme)
x0 ∈ C est racine (ou zéro) d’ordre l du polynôme P ∈ C[X ] ssi x0 est
racine (ou zéro) de P, P 0 ,..., P (l−1) , mais pas de P (l) .
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 2.2.2. - Factorisation d’un polynôme
Théorème 42 (Théorème de d’Alembert)
Tout polynôme de C[X ] de degré supérieur ou égal à 1 admet au moins
une racine (ou zéro) complexe (éventuellement réelle).
Lemme 43 (Conséquences)
Tout polynôme P de C[X ] de degré n ≥ 1 admet exactement n racines xp
(ou zéro) complexes (en comptant autant de fois les racines que leur ordre
de multiplicité).
Factorisation d’un polynôme : soient xp les racines du polynôme P ayant
chacune un ordre de multiplicité αp . Alors :
P = pn (X − x1 )α1 ...(X − xp )αp .
Factorisation d’un polynôme à coefficients réels :
P = pn (X −x1 )α1 ...(X −xk )αk (X 2 −2r1 cos θ1 +r12 )β1 ...(X 2 −2rl cos θl +rl2 )βl .
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 2.2.3. - Racine énième de l’unité
Problème
Chercher les racines énième de l’unité, c’est chercher les complexes z tels
que z n = 1
Théorème 44 (Racine énième de l’unité)
En posant z = r .exp(jθ), on a : z est solution du problème ssi r = 1 et
2kπ
avec k ∈ Z. Il y a donc n solutions.
θ=
n
Démonstration.
Il suffit d’égalant les modules de z et de 1 et les arguments de z et de
1.
Applications
1
Racine énième
d’un nombre
complexe a = % exp(jϕ) : les solutions sont
ϕ + 2kπ
√
n
z = % exp j
n
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
2
Racines de az 2 + bz + c = 0, avec a, b, c complexes : z est racine ssi
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 2.2.4. - Exercices-types
Exercice 1.37. :
Donner les racines cinquièmes de l’unité.
Exercice 1.38. :
Donner les racines cubiques de −1.
Exercice 1.39. :
Calculer les racines :
1 5ièmes de 1
2 4ièmes de -1
4 carrées de −j
5 5ièmes de 1 + j
3 cubiques de j
√
6 5ièmes de 3 + j
Réponses : 1 ωk = exp(j 2kπ
), avec 0 ≤ k ≤ 4 ; 2 ωk = exp(j (2k+1)π
), avec
5
4
(2k+1/2)π
0 ≤ k ≤ 3 ; 3 ωk = exp(j
),
avec
0
≤
k
≤
2
3
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 2.2.4. - Exercices de TD
Exercice 1.40. :
Exercice 1.41. :
polynômes :
Résoudre dans C :
1 (1 + z)n = (1 − z)n
2 z5 + 1 − j = 0
3 z 5 − (−1 + j)−1 = 0
4 1 + z + z2 + · · · + zn = 0
Déterminer les racines, éventuellement complexes, des
1
X4 − X2 − 1 = 0;
2
X4 + X3 − X − 1 = 0;
3
X 4 − 3X 3 + 4X 2 − 3X + 1 = 0 ;
4
X 5 + 4X 4 + 5X 3 + X 2 − 2X − 1 = 0 ;
5
X 5 − 2X 4 − X 3 + 3X 2 − 1 = 0.
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 2.2.4. - Exercices de TD
Exercice 1.42. : Un dromadaire hérita d’un terrain carré à brouter dont la
surface était inférieure d’une seule longueur de bâton à celle de son côté. Il
creva de faim... Pourquoi ?
Exercice 1.43. : Le nombre d’or est la proportion, définie initialement en
géométrie, comme l’unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport
de la somme des deux longueurs (a + b) sur la plus grande (a) soit égal à celui
de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c’est-à-dire lorsque (a + b)/a = a/b.
Le découpage d’un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est
appelé par Euclide découpage en extrême et moyenne raison. Le nombre d’or
est maintenant souvent désigné par la lettre φ en l’honneur du sculpteur
Phidias qui l’aurait utilisé pour concevoir le Parthénon. (source : wikipedia).
Calculer le nombre d’or.
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
1
Les nombres complexes
2
Polynômes
3
Fractions rationnelles
Algèbre des fractions rationnelles
Décomposition en Éléments Simples (DES) de première espèce à
pôles simples
Décomposition en éléments simples de première espèce à pôles
multiples
Décomposition en éléments simples de seconde espèce
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.1.1. - Définitions
Définition 45 (Fractions rationnelles)
Une fraction rationnelle est une fonction de la variable complexe x à
valeurs dans C de la forme :

 C → C
P(x)
p0 + p1 x + . . . + pn x n
F :
=
 x 7→
Q(x)
q0 + q1 x + . . . + qk x k
On la note F =
p0 + p1 X + . . . + pn X n
.
q0 + q1 X + . . . + qk X k
Notation : l’ensemble des fractions rationnelles est noté C(X )
Propriété 46 (Égalité de deux fractions rationnelles)
Soient F1 = P1 /Q1 et F2 = P2 /Q2 deux fractions rationnelles. Alors :
F1 = F2 lorsque P1 Q2 = P2 Q1 .
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Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.1.2. - Addition de fractions rationnelles
Définition 47 (Addition de fractions rationnelles)
L’addition de deux fractions rationnelles est une loi de composition
interne sur C(X ) définie par :

 C(X
) → C(X )
) × C(X
P1
P2
P1 Q2 + Q1 P2
P1 P2
,
7→
+
=

Q1 Q2
Q1
Q2
Q1 Q2
Propriété 48 (Addition de fractions rationnelles)
(C(X ), +) est un groupe commutatif.
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.1.2. - Multiplication de fractions
rationnelles
Définition 49 (Multiplication de fractions rationnelles)
La multiplication de deux fractions rationnelles est une loi de composition
interne sur C(X ) définie par :

 C(X
) → C(X )
) × C(X
P1 P2
P1 P2
,
7→

Q1 Q2
Q1 Q2
Propriété 50 (Multiplication de fractions rationnelles)
(C(X ), +, ·) est un corps commutatif.
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.1.3. - Pôles et zéros
Définition 51 (Fraction irréductible)
P
Soit F = Q
∈ C(X ). On dit que F est irréductible si les polynômes P et
Q n’ont pas de racines communes.
Définition 52 (Pôle)
P
Soit F = Q
∈ C(X ) une fraction irréductible. Les zéros (ou racines) de Q
sont appelées les pôles de F . On dit qu’un pôle est d’ordre α si c’est une
racine d’ordre α de Q.
Définition 53 (Zéro)
P
Soit F = Q
∈ C(X ) une fraction irréductible. Les zéros (ou racines) de P
sont appelées les zéros de F . On dit qu’un zéro est d’ordre α si c’est une
racine d’ordre α de P.
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.1. - Préambule : pourquoi décomposer
en éléments simples ?
Exemple de problème
Question : Trouver une primitive d’une fonction f (x).
Méthode : décomposer f (x) en une somme de fractions plus simples.
Exemple 54 (Trouver une primitive de f(x) =
1
x2
+x
)
1
Comme f (x) = x1 − x+1
, on en déduit une primitive
F (x) = ln |x| − ln |x + 1|
Exemple 55 (Trouver une primitive de g(x) =
x5 + 2x4 + x3 + 1
x3 + 2x2 + x
)
1
1
1
−
−
, alors une primitive est
2
x
(x + 1)
x +1
1
+ ln |x| + x+1
− ln |x + 1|.
Comme g (x) = x 2 +
G (x) =
x3
3
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Ces fractions plus simples sont appelées éléments simples de première
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.2. - Partie entière d’une fraction
rationnelle
Théorème 56 (Partie entière d’une fraction rationnelle)
Soit F =
P
Q
∈ C(X ). ∃!(E , R) ∈ C(X ) × C(X ) tel que F = E +
R
avec
Q
deg(R) < deg Q. E est appelé partie entière de F
Exemple 57 (Des parties entières)
1
La partie entière de G =
X 5 + 2X 4 + X 3 + 1
vaut X 2 et
X 3 + 2X 2 + X
1
;
X 3 + 2X 2 + X
1
1
Celle de F = 2
vaut 0 et F = 0 + 2
.
X +X
X +X
G = X2 +
2
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.2. - Partie entière d’une fraction
rationnelle
Démonstration.
R
Déterminons la partie entière E de F : F = E + ⇐⇒
Q
P = EQ + R
P
F =Q
Théorème 58 (Partie entière d’une fraction rationnelle)
P
La partie entière E de F = Q
est le quotient de la division euclidienne de
P (autrement dit le numérateur de F ) par Q (le dénominateur de F ). De
plus, R est reste de la division euclidienne de P par Q.
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.3. - Décomposition en éléments
simples de première espèce à pôles simples
Définition 59 (Eléments simples de première espèce simple)
On appelle éléments simples de première espèce simple toute fraction du
1
type
avec x0 ∈ C.
(X − x0 )
Propriété 60 ()
P
Soit F = Q
∈ C(X ) une fraction irréductible de partie entière E et de
pôles simples x1 , ..., xp . Alors, F peut s’écrire de manière unique sous la
forme :
a1
a2
ap
+
+ ··· +
F =E+
X − x1
X − x2
X − xp
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.3. - Méthodes de décomposition
Méthodologie 61 (Méthodes de Décomposition en Eléments
Simples (DES) de première espèce simple)
Soit F =
P
Q
∈ C(X ) la fraction à décomposer.
1
Calculer la partie entière (division euclidienne de P par Q) pour obtenir
F = E + PQ1
2
Factoriser Q (calcul des zéros et de leur ordre de multiplicité)
3
Décomposer PQ1 en éléments simples de première espèce en utilisant l’une
des méthodes 62, 64 ou 66
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.3. - Méthode par identification
Méthodologie 62 (Méthode par identification)
On identifie la fraction rationnelle de départ et sa DES en remettant les
termes de la décomposition sur le même dénominateur.
Exemple 63 (DES de F =
1
X2 + X
)
1
. Le
X (X + 1)
degré du numérateur est plus petit que celui du dénominateur, donc la
partie entière est nulle (E = 0) et F peut s’écrire sous la forme :
a
b
a(X + 1) + bX
(a + b)X + a
F =
+
. On a donc F =
=
. On
X
X +1
X (X + 1)
X (X + 1)
1
1
en déduit que a + b = 0 et a = 1. D’où b = −1 et F =
−
.
X
X +1
F possède 2 pôles simples x1 = 0 et x2 = −1 donc F =
Remarque : Avec cette méthode, on peut aboutir à la résolution d’un
système d’équations linéaires qui peut être long à étudier.
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.3. - Méthode par prise de valeurs
Méthodologie 64 (Méthode par prise de valeurs)
On évalue la fraction rationnelle et sa décomposition pour des valeurs
simples (X = 0, X = 1, . . .) en nombre suffisant pour aboutir à un
système d’équations linéaire à résoudre.
Exemple 65 (DES de F =
1
X2
+X
)
a
b
1
b
+
. Comme F (1) = = a + et
X
X +1
2
2
1
a b
F (2) = = + , d’où le résultat en résolvant un système de deux
6
2 3
équations à deux inconnues.
On a F =
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.3. - Méthode pour des racines simples
Méthodologie 66 (Méthode pour des racines simples)
Si les racines de Q sont simples (c’est-à-dire d’ordre 1), alors :
a1
ap
F =E+
+ ··· +
. Pour obtenir le coefficient al avec
X − x1
X − xp
l ∈ J1, p K, il suffit de calculer F (x).(x − xl ) pour x = xl .
Démonstration.

F .(X − xl ) = al + (X − xl ) E +
|
X
{z
k6=l

ak 
= al pour X = xl
X − xk
}
=0 pour X =xl
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.3. - Exemple
Exemple 67 (DES de F =
1
X2 + X
)
a
b
+
. Par cette méthode, on obtient immédiatement
X
X +1
que a = [F × X ]|X =0 = 1 et b = [F × (X + 1)]|X =−1 = −1.
On a F =
Remarque : si les racines de Q sont multiples : section suivante ! !
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.4. - Exemple 1
Exemple 68 (DES de F =
X3 − 2X + 1
)
X4 − 3X3 + X2 + 3X − 2
x0 = 1 est un pôle et un zéro de F , on peut donc simplifier F par X − 1
X2 + X − 1
(par la division euclidienne) et obtenir : F = 3
. Les
X − 2X 2 − X + 2
valeurs 1, −1 et 2 sont des pôles de F , mais pas des zéros. On en déduit
que F ainsi simplifiée est maintenant irréductible et que :
X2 + X − 1
. Le numérateur de F est de degré
F =
(X − 1)(X + 1)(X − 2)
strictement inférieur à celui de son dénominateur, donc la partie entière
de F est nulle et F peut se décomposer en éléments simples de première
a
b
c
+
+
avec (méthode 64)
espèce sous la forme : F =
X −1 X +1 X −2
a = [F × (X − 1)]|X =1 = −1/2, b = [F × (X + 1)]|X =−1 = −1/6 et
c = [F × (X − 2)]|X =2 = 5/3. Finalement :
−1/2
−1/6
5/3
F =
+
+
.
X −1 X +1 X −2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
69 / 354
Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.4. - Exemple 2
Exemple 69 (DES de F =
X2 + X + 1
)
X2 − 3X + 2
Les pôles de F sont x0 = 1 et x1 = 2, mais ce ne sont pas des zéros de F .
Donc F est irréductible. De plus le degré du numérateur est égal à celui
du dénominateur, donc la partie entière de F est un polynôme de degré 0
(une constante non nulle). Pour la trouver, on peut effectuer la division
euclidienne du numérateur par le dénominateur et constater que le
quotient obtenu vaut 1 et que le reste vaut 4X − 1, d’où :
4X − 1
F =1+
. On en déduit que le DES de F est de la
(X − 1)(X − 2)
a
b
forme : F = 1 +
+
avec (méthode 64)
X − 1 hX − 2
i
−1
a = [F × (X − 1)]|X =1 = X − 1 + 4X
= −3 et
X −2
h
i|X =1
−1
b = [F × (X − 2)]|X =2 = X − 2 + 4X
= 7.
X −1
|X =2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
70 / 354
Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.4. - Exemple 3
Exemple 70 (DES de F =
X3 + 1
)
X−1
Ici, F ne comporte qu’un seul pôle simple x0 = 1 qui n’est pas un zéro de
F . Donc la fraction est irréductible et la décomposition s’obtient en
faisant simplement la division euclidienne de X 3 + 1 par X − 1. Le
quotient obtenu vaut X 2 + X + 1 et le reste vaut 2, d’où :
2
.
F = X2 + X + 1 +
X −1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
71 / 354
Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.5. - Exercices-types
Exercice 1.44. Exercice-type : Décomposer en éléments simples la fraction
1
.
rationnelle F (X ) =
(X + 2)(X − 1)
Exercice 1.45. Exercice-type : Décomposer en éléments simples la fraction
X
.
(X + 2)(X − 1)
rationnelle F (X ) =
Exercice 1.46. Exercice-type : Décomposer en éléments simples les fractions
rationnelles suivantes :
1
(X + 1)(X − 1)
3
X +1
5
X −1
1
Réponse : F1 =
1
(X + 1)(X − 2)
2
X +X +1
6
X 2 − 3X + 2
2
X
(X + 1)(X − 2)
X +1
7
X2 − 1
3
4
X2 + 1
X −3
−1/2
1/2
−1/3
1/3
1/3
2/3
+
; F2 =
+
; F3 =
+
X +1
X −1
X +1
X −2
X +1
X −2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
72 / 354
Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.5. - Exercices de TD
Exercice 1.47. : Décomposer en éléments simples de première espèce les
fractions rationnelles suivantes :
1
1
X3 + 1
3
X +1
(X − 1)(X + 2)(X + 3)
1
(X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4)
1
4
(X − x1 )(X − x2 ) . . . (X − xn )
2
Exercice 1.48. :
1
2
Trouver une primitive des fonctions suivantes :
x
f (x) =
;
(x + 1)(x + 2)
f (x) =
x2 + x + 1
;
(x + 1)(x − 1)
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.5. - Exercices de TD
Exercice 1.49. :
Soit f la fonction définie par f (x) =
2x 2
3
− 2
−1
x +x −2
x2
1
Déterminer l’ensemble de définition de f ;
2
Factoriser les polynômes x 2 − 1 et x 2 + x − 2 ;
3
Déterminer un dénominateur commun aux fractions rationnelles
2x 2
et
x2 − 1
3
puis écrire f (x) sous la forme d’une fraction rationnelle notée
x2 + x − 2
g (x)
;
h(x)
4
Déterminer une racine simple du polynôme g (x).
5
Simplifier l’écriture de f (x) et résoudre l’équation f (x) = 0.
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.2.5. - Exercices de TD
Exercice 1.50. : Quatre cubes ont respectivement pour arêtes, mesurées en
centimètres, x, x + 1, x + 2 et x + 3, où x est un nombre entier naturel.
Déterminer x pour que le contenu des trois cubes d’arêtes x, x + 1 et x + 2
remplisse exactement le cube d’arête x + 3 .
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.3. - Décomposition en éléments simples
de première espèce générale
Définition 71 (Éléments simples de première espèce générale)
Ce sont les fractions du type
1
(X − x0 )n
Propriété 72 ()
P
∈ C(X ) une fraction irréductible de partie entière E et de
Soit F = Q
pôles x1, ..., xp d’ordres respectifs α1 , ..., αp . Alors, F peut s’écrire de
manière unique sous la forme :
F =
E
+ ···
a1,1
a1,2
a1,α1
+
+ ··· +
X − x1
(X − x1 )2
(X − x1 )α1
a2,1
a2,2
a2,α2
+
+
+ ··· +
X − x2
(X − x2 )2
(X − x2 )α2
ap,αp
ap,1
ap,2
+
+
+ ··· +
X − xp
(X − xp )2
(X − xp )αp
+
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.3. - Méthodes de décomposition
efficaces générales...
Méthodologie 73 (Méthodes de décomposition efficaces générales)
1
calculer la partie entière (division euclidienne de P par Q) ⇒ F = E +
2
factoriser Q (calcul des zéros et de leur ordre de multiplicité)
3
décomposer
P1
Q
P1
Q
en éléments simples de première espèce en utilisant :
si les racines de Q sont simples, la méthode 74
si les racines de Q sont multiples, la méthode 76
sinon, la méthode 78
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.3. - ... lorsque les racines de Q sont
simples
Méthodologie 74 (Méthodes de décomposition efficaces générales
lorsque les racines de Q sont simples)
Si les racines de Q sont simples (d’ordre 1), alors
a1
ap
F =E+
+ ··· +
. Il suffit de calculer F .(X − xl ) pour
X − x1
X − xp
X = xl pour obtenir al .
Exemple 75 (DES de F =
1
X2
+X
)
a
b
+
. On obtient immédiatement que
X
X +1
= 1 et b = [F × (X + 1)]|X =−1 = −1.
On a vu que F =
a = [F × X ]|X =0
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.3. - ... lorsque les racines de Q sont
multiples
Méthodologie 76 (Méthodes de décomposition efficaces générales
lorsque les racines de Q sont multiples)
Si les racines de Q sont multiples, on effectue une division suivant les
puissances décroissantes.
Exemple 77 (DES de F =
1
X2 (X
+ 1)
)
a1
a2
b
+ 2+
et 1 = (a1 X + a2 )(X + 1) + X 2 b
X
X
X +1
(multiplication par X 2 (X + 1)). Donc :
On a F =
Q = a1 X + a2 est le quotient de la division suivant les puissances
croissantes à l’ordre 1 de 1 par X + 1, R = b = reste
il suffit donc de poser cette division pour obtenir les coefficients de la
décomposition, soit a1 = −1, a2 = 1 et b = 1 : 1 = (1 − X )(1 + X ) + X 2 .
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.3. - ... dans le cas général
Méthodologie 78 (Méthodes de décomposition efficaces générales
dans le cas général)
P
On suppose que z0 est un pôle d’ordre n de la fraction rationnelle F = Q
.
a1
an
P
P1
=E+
+ ··· +
avec Q1
Alors F =
+
(X − z0 )n Q1
X − z0
(X − z0 )n
Q1
un polynôme dont z0 n’est pas un zéro. Par multiplication de l’égalité
précédente par (X − z0 )n Q1 , on obtient :
P = a1 (X − z0 )n−1 + · · · + an Q1 + (X − z0 )n (EQ1 + P1 ). Posons
maintenant Y = X − z0 , on obtient alors :
P(Y ) = a1 Y n−1 + · · · + an Q1 (Y ) + Y n (E (Y )Q1 (Y ) + P1 (Y )). D’où
a1 Y n−1 + · · · + an est le quotient de la division suivant les puissances
croissantes à l’ordre n − 1 de P(Y ) par Q1 (Y ). Il suffit de poser cette
division pour calculer les coefficients al pour 1 ≤ l ≤ n.
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.3. - Exemple
Exemple 79 (DES de F =
(X2 + 1)2
(X − 1)6
)
Le degré du numérateur est 4 et du dénominateur 6, donc la partie
entière de F est nulle. F possède un seul pôle x0 = 1 d’ordre 6 et est
irréductible et F peut s’écrire sous la forme :
F =
a2
a3
a4
a5
a6
a1
+
+
+
+
+
X − 1 (X − 1)2
(X − 1)3
(X − 1)4
(X − 1)5
(X − 1)6
On pose Y = X − 1. Alors, le polynôme
a1 Y 5 + a2 Y 4 + a3 Y 3 + a4 Y 2 + a5 Y + a6 est égal au quotient de la
division suivant les puissances croissantes à l’ordre 5 de
F (Y ) × Y 6 = ((Y + 1)2 + 1)2 = Y 4 + 4Y 3 + 8Y 2 + 8Y + 4 par 1,
c’est-à-dire Y 4 + 4Y 3 + 8Y 2 + 8Y + 4. On en déduit alors immédiatement
que a1 = 0, a2 = 1, a3 = 4, a4 = 8, a5 = 8 et a6 = 4, d’où :
F =
1
4
8
8
4
+
+
+
+
(X − 1)2
(X − 1)3
(X − 1)4
(X − 1)5
(X − 1)6
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.4. - Éléments simples de seconde espèce
Problème
Décomposition des fractions rationnelles dans R : dans R un polynôme
se factorise sous la forme :
P = a(X − x1 )α1 . . . (X − xk )αk (X 2 + p1 X + q1 )β1 . . . (X 2 + pl X + ql )βl
avec x1 , . . . , xk les racines réelles d’ordre α1 , . . . , αk , respectivement, de
2
2
P, et pm
− 4qm
< 0 pour 1 ≤ m ≤ l et
n = α1 + · · · + αk + 2(β1 + · · · + βl ). Donc la DES de première espèce
pas toujours possibles dans R
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.4.1. - Éléments simples de seconde
espèce
Définition 80 (Éléments simples de seconde espèce)
Ce sont les fractions de la forme :
(X 2
aX + b
+ pX + q)n
Définition 81 (DES de 1ère et 2de espèce)
La décomposition en éléments simples de première et de seconde
espèce d’une fraction F est de la forme :
a1,α1
a1,1
+ ··· +
+
X − x1
(X − x1 )α1
ak,αk
c1,β X + d1,β1
ak,1
c1,1 X + d1,1
+
+· · ·+
+· · ·+ 2 1
+· · · +
+
X − xk
(X − zk )αk X 2 + p1 X + q1
(X + p1 X + q1 )β1
cl,βl X + dl,βl
cl,1 X + dl,1
+ ··· +
X 2 + pl X + ql
(X 2 + pl X + ql )βl
F =E+
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Les nombres complexes
Polynômes
Fractions rationnelles
M1. 3.4.2. - Méthode de DES
Méthodologie 82 (DES de 2de espèce)
Les coefficients de la DES de seconde espèce sont calculés :
comme pour la décomposition en éléments simples de première espèce, en
procédant par identification ou par prise de valeurs
d’une manière générale : il faut effectuer la décomposition dans C, puis
regrouper les termes conjugués pour n’obtenir que des termes réels. On
aboutit alors à la décomposition en éléments simples de deuxième espèce.
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.4.3. - Exemple
Exemple 83 (DES de F =
1
)
+1
La partie entière de F est nulle et F possède un pôle réel x0 = −1. La
division euclidienne de X 3 + 1 par X + 1 donne : X 3 + 1 = (X + 1)(X 2 −
X + 1).
F possède donc deux autres pôles complexes z1 et z1∗ égaux à
√
1
3
2 ± j 2 mais aucun zéro. F peut donc se décomposer en éléments simples
de 1ère espèce sur C, mais seulement de 2de espèce sur R :
F =
a
b
b∗
a
cX + d
+
+
=
+
X + 1 X − z1
X − z1∗
X + 1 X2 − X + 1
avec a = F .(X + 1)|X =−1 =
√
2 √
−3+3j 3
=
X3
− 1+j6 3 .
1
3
et b = F .(X − z1 )|X =z1 =
1
(z1 +1)(z1 −z1∗ )
=
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.4.3. - Exemple
Exemple 83 (DES de F =
1
X3
+1
)
D’où :
√
√
1/3
−(1 + j 3)/6
cX + d
−(1 − j 3)/6
1/3
√
√
F =
+
+ 2
+
=
X + 1 X − (1/2 + j 3/2)) X − (1/2 − j 3/2
X +1 X −X +1
Par identification, on obtient alors que c = b + b ∗ = 2 Re(b) et
∗
d = −(bz1∗ + b ∗√z1 =√ −2
c = −1/3 et
Re(bz1 )), soit √finalement
√
1+j 3 1−j 3
1
d = −2 Re − 6
= 6 Re((1 + j 3)(1 − j 3)) = 23 . Et fi2
nalement :
1/3
(−1/3)X + 2/3
F =
+
X +1
X2 − X + 1
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.4.4. - Exercices-types
Exercice 1.51. Exercices-types : Décomposer en éléments simples
1
F (X ) =
.
(X + 2)3 (X − 1)
Exercice 1.52. Exercices-types : Décomposer en éléments simples
X
F (X ) =
.
(X + 2)3 (X − 1)
Exercice 1.53. Exercices-types : Décomposer en éléments simples de première
espèce les fractions rationnelles suivantes :
1
X (X − 1)2
X
4
(X − 2)2
1
1
Réponses : F1 = X1 + (X −1)
2 −
1
1
F3 = (X −1)3 + (X −1)2 ) ;
1
(X − 1)2 (X + 1)
X +1
5
(X − 1)3
X
(X − 1)3
1
6
(X − 1)4
2
1
X −1
; F2 =
1/4
X +1
+
1/2
(X −1)2
3
−
1/4
X −1
;
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Polynômes
Les nombres complexes
Fractions rationnelles
M1. 3.4.4. - Exercices de TD
Exercice 1.54. DES : Décomposer en éléments simples de première et seconde
espèce les fractions rationnelles suivantes :
(X 2 + 1)2
(X − 1)6
1
5
(X − 1)(X 2 + 1)2
1
Exercice 1.55. :
1
(X − 1)2
X4 + 1
6
4
X + X2 + 1
2
X 3 − 2X + 1
X 4 − 3X 3 + X 2 + 3X − 2
X3
7
2
(X + 1)3
3
Trouver une primitive des fonctions suivantes :
1
x2 + x + 1
f (x) = 2
;
x (x + 1)
2
f (x) =
x7
.
(x + 1)2 (x − 1)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
Module 2
Fondamentaux d’analyse
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
87 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
4
Généralités sur les fonctions
Définitions
Catalogue de fonctions
Opérations sur les fonctions
Exercices
5
Continuité
6
Dérivation
7
Comportements asymptotiques
8
Comportements locaux
9
Synthèse : Étude de fonctions
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.1.1. - Fonctions
Définition 84 (Fonction réelle de la variable réelle)
Une fonction f réelle de la variable réelle est une relation qui relie un
réel x au plus un réel y . L’élément y se note f (x). On la note :
R −→ R
f :
x 7−→ y = f (x)
Définition 85 (Image et antécédent)
• y = f (x) est l’image de x par f
• x est un antécédent de y = f (x) par f
Exemple 86 (La fonction carré)
R −→ R
f :
avec y = f (x) = x 2 .
x 7−→ x 2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.1.2. - Ensembles
Définition 87 (Ensemble de définition Df )
Df est le sous-ensemble de R constitué par les x qui ont une et une
seule image par f : Df = {x ∈ R/f (x) existe }
Définition 88 (Ensemble image If )
L’ensemble formé par les images de tous les éléments x de Df par f est
appelé ensemble image If : If = {f (x) ∈ R/x ∈ Df }
Définition 89 (Ensemble d’étude Ef )
Ef est l’ensemble des points en lesquels il convient d’étudier la fonction.
C’est un sous-ensemble de Df .
Exemple 90 (Fonction carré)
R −→ R
f :
. Df = R, If = R+ car un carré est toujours ≥ 0
x 7−→ x 2
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90 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.1.3. - Graphe géométrique
Gcube
y = f (x)
Définition 91 (Graphe
géométrique Gf de f)
2
Gf est l’ensemble des points
M(x, y ) du plan P, d’abscisse x et
d’ordonnée y = f (x) avec x variant
dans Df . On le note
Gf = {M (x, f (x)) ∈ P/x ∈ Df }.
Exemple 92 (La fonction cube)
R −→ R
f :
x 7−→ x 3
1
a
x
1
M(a, a3 )
2
a3
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
91 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.1.4. - Règle de définition et variable
muette
Définition 93 (Règle de définition)
La règle de définition de f est l’expression de l’image y de x par f en
fonction de x, autrement dit l’expression de f (x) en fonction de x.
Remarque : Dans la règle de définition, x est une variable muette
Pour calculer l’image de n’importe quel réel toto, il suffit d’utiliser la
règle de définition en remplaçant x par toto
Exemple 94 (Une règle de définition)
Si f (x) =
x +2
toto + 2
, alors f (toto) =
.
3x 2 − 5
3toto2 − 5
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
92 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.1.4. - Fonction définie par morceaux
Définition 95 (Fonction définie par morceaux)
Une fonction f de la variable x peut être définie par plusieurs règles de
définition, dépendantes des valeurs prises par x
Gabs
x
y
x
−
=
=
• |3| = 3 car 3 ≥ 0
y
y
Exemple 96 (Valeur absolue
(abs))
x
, si x ≥ 0 (Règle 1)
|x| =
−x , si x < 0 (Règle 2)
avec :
1
• | − 4| = −(−4) car −4 < 0 (ce
qui donne bien 4)
x
0
1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
93 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.1.4. - Fonction paramétrée
Définition 97 (Fonction paramétrée)
Une fonction f peut être définie en fonction d’un paramètre P ; sa règle
de définition est souvent notée fP (x).
Par rapport à la variable x, P est constant !
Exemple 98 (Fonction porte
ΠT (x) de paramètre T)
ΠT (x) =

T


0
, si x < −


2

1
T
T
, si −
≤x <

T
2
2


T

 0
≤x
, si
2
y
G pour T =
.
1
2
1
G pour T = 2
x
0
1
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94 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.1.5. - Parité
Définition 99 (Fonction
paire)
Exemple 101 (Fonction carré)
f (x) = x 2 est une fonction paire
f est paire ssi pour tout
x ∈ Df , −x ∈ Df et
f (−x) = f (x)
Corollaire 100 (Fonction
paire)
Le graphe d’une fonction
f paire est symétrique, de
symétrie axiale par rapport
à la droite (Oy )
Ef = {x ∈ Df /x ≥ 0}
y
x2
f (x)
M 0 (−x, f (x))
M(x, f (x))
1
x
−x
0
1
x
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
95 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.1.5. - Impaire
Définition 102 (Fonction
impaire)
f est impaire ssi pour tout
x ∈ Df , −x ∈ Df et
f (−x) = −f (x).
Exemple 104 (Fonction cube)
f (x) = x 3 est une fonction impaire
L’ensemble d’étude
devient
Ef = {x ∈ Df /x ≥ 0}
M(−x, −f (x))
f (x)
Corollaire 103 (Fonction
impaire)
Le graphe d’une fonction
impaire est symétrique, de
symétrie centrale par
rapport au point O(0, 0)
Gcube
y = f (x)
1
−x
0
M(−x, −f (x))
1x
x
−f (x)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
96 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.1.5. - t-périodicité et période T
Exemple 108 (cos(x))
Définition 105 (Fonction
t-périodique)
Soit t ∈ R. f est
t-périodique si et seulement
si pour tout x ∈ Df ,
x + t ∈ Df et
f (x + t) = f (x)
Elle est périodique de période 2π et
2π-périodique, 4π-périodique, ...,
26π-périodique, ...
y
1
M 0 (x + T , f (x))
M(x, f (x))
f (x)
Définition 106 (Période
d’une fonction)
La période T de f est le
plus petit réel positif non
nul tel que, pour tout
x ∈ Df , f (x + T ) = f (x)
−3π
−2π
−π
0
x
π
2π
x
x
3π
Gcos
T = 2π
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
97 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.1.5. - t-périodicité et période T
Exemple 108 (cos(x))
Corollaire 107 (Fonction
périodique)
Le graphe d’une fonction
périodique de période T
présente un motif se
répétant régulièrement le
long de l’axe des abscisses
à intervalle T
L’ensemble d’étude Ef
peut être tout intervalle
de longueur égale à la
période T
Elle est périodique de période 2π et
2π-périodique, 4π-périodique, ...,
26π-périodique, ...
y
1
M 0 (x + T , f (x))
M(x, f (x))
f (x)
−3π
−2π
−π
0
x
π
2π
x
x
3π
Gcos
T = 2π
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
97 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.1.6. - Exercices
Exercice 2.1. Parité, Imparité : Déterminer si les fonctions suivantes sont
paires, impaires, ou ni paires ni impaires ; préciser alors le domaine d’étude :
1 f (x) =
p
x2 + 1
2 f (x) =
1
x −1
3 f (x) =
3x 5 − 7x 3 + x
4x 2 + 1
Exercice 2.2. Calcul de période :
Déterminer la période et le domaine d’étude des fonctions suivantes :
1 f (x) = sin(2x)
3πx
3 f (x) = cos
4
2 f (x) = sin2 (2x) 3x
4 f (x) = tan
4
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
98 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.1.6. - Exercices
Exercice 2.3. Décomposition de fonctions en paire et impaire (pour les
poursuites d’études longues) : Montrer que toute fonction f définie sur R peut
se décomposer en la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. On
pourra étudier les deux fonctions g et h définies en fonction de f par :
f (x) − f (−x)
f (x) + f (−x)
et h(x) =
.
g (x) =
2
2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
99 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.1. - Catalogue des fonctions ”simples”
Polynôme
f
Règle de définition f (x)
Df
If
Symétrie
Constante
c
R
R
paire
Lycée
Identité
Id(x) = x
R
R
impaire
Lycée
Affine
ax + b
R
R
Monôme
xn
R
R
Lycée
paire si n pair
M1
Fraction
impaire si n impair
Polynôme (iale)
a0 + a1 x + ... + an x n
Racine carrée
√
Inverse
1
x
Fraction
rationnelle
R
R
+
x
M
b0 + b1 x + ... + bM x
a0 + a1 x + .. + aN x N
(
x ∈ R/
R
R
R∗
R∗
N
X
n=0
M1
+
)
an x n 6= 0
Lycée
impaire
Lycée
dépend
M1
des pôles
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
100 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
Trigonométrie
M2. 4.2.1. - Catalogue des fonctions ”simples”
f
Règle de définition f (x)
Df
If
Symétrie
Sinus
sin(x)
R
[−1; 1]
2π-périodique
M1
Cosinus
cos(x)
[−1; 1]
2π-périodique
M1
Tangente
sin(x)
tan(x) =
cos(x)
R
π-périodique
M1
h π πi
− ;
2 2
impaire
M1
R
R\
nπ
2
+ kπ, k ∈ Z
ArcSinus
arcsin(x) = asin(x)
[−1; 1]
ArcCosinus
arccos(x) = acos(x)
[−1; 1]
ArcTangente
arctan(x) = atan(x)
R
o
[0; π]
i π πh
− ;
2 2
M1
impaire
M1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
100 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.2. - Racines n-ièmes
y
Définition 109 (Racines n-ième)
Ce sont les fonctions définies par
√
1
f (x) = n x = x n avec n ∈ N∗ ,
autrement dit, f (x) est le réel dont
la puissance n est x ; dans R, ce
nombre est unique !
Leurs domaines sont :
si n est : pair impair
Df
R+
R
+
If
R
R
√
x (n = 2)
1
x
0
√
5
1
x (n = 5)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
101 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.2. - Propriétés
Théorème 110 (Manipulation des exposants et les opérandes)
Soient x ∈ R+ et y ∈ R+
∗.
q √ 1 1
√
1
n
x = n m x ⇔ x n·m = x m
p
√
1
m
n
n
m x =
(x m ) ⇔ x n = (x m ) n
p
√ √
1
1
1
n
(x · y ) = n x · n y ⇔ (x · y ) n = x n · y n
1
√
r
1
n
xn
x
x
x n
n
= √
⇔
=
1
n y
y
y
yn
n·m
Attention
Soient x, y ∈ R+ .
√
√
1
1
1
x + m x ⇔ x n+m 6= x n + x m
p
√
1
1
1
√
n
(x + y ) 6= n x + n y ⇔ (x + y ) n 6= x n + y n
n+m
x 6=
√
n
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
102 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.2. - Logarithme népérien (dit à base e)
Définition 111 (Logarithme népérien)
f (x) = ln(x) = loge (x), dont les domaines sont : Df = R∗+ , If = R.
y
ln(x)
1
x
0
1
e ≈ 2.71
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
103 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.2. - Propriétés
Théorème 112 (Propriétés de calcul mathématiques)
Soient x, y ∈ R+
∗.
ln(x.y ) = ln(x) + ln(y )
x
ln
= ln(x)− ln(y )
y
ln (x y ) = y ln(x)
Attention
Soient x, y ∈ R+
∗.
ln (x + y ) 6= ln(x) + ln(y )
1
6= − ln(x)
ln(x)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
104 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.2. - Logarithme à base 10
Définition 113 (Logarithme à base 10)
Le logarithme à base 10 est le logarithme népérien amplifié du facteur
1
ln(x)
constant
: f (x) = log10 (x) =
ln(10)
ln(10)
Propriétés
Mêmes domaines que ln : Df = R∗+ , If = R
Valeurs particulières : log10 (1) = 0, log10 (10) = 1, log10 (10n ) = n
Mêmes propriétés de calcul que ln
Même allure graphique que ln avec une courbe ”‘écrasée”’ d’un facteur
1
ln(10)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
105 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.2. - Applications
Application 1 : l’échelle logarithmique
Elle amplifie les variations proches de 0 et atténue les grandes variations ;
en réduisant la dynamique des mesures, elle est très souvent utilisée en
électronique et en télécoms.
Exemple 114 (L’echelle logarithmique)
.
01 10
Linéaire
−∞
Logarithmique
−∞
100
1000
+∞
+∞
0
1
2
3
4
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
106 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.2. - Applications
Exemple 115 (Diagramme de Bode en électronique : Filtre
passe-bas RC)
Ce filtre a pour gain G 2 = f (w ) = q
1
2
1 + (w /RC )
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
106 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.2. - Applications
Application 2 : Puissance en décibel
PdB = 10 log10 (Plineaire )
Exemple 116 ()
La puissance sonore
Murmure
Poids lourd
Ratio
PdB
40 dB
90 dB
≈2
P
104
109
≈ 105
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
107 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.2. - Exponentielle (dite à base e)
Définition 117 (Exponentielle (dite à base e))
C’est la fonction inverse de ln définie par f (x) = exp(x) = e x . Ses
domaines sont : Df = R, If = R∗+ .
y
exp(x)
e ≈ 2.71
1
x
0
1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
108 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.2. - Propriétés
Théorème 118 (Propriété de calculs mathématiques)
Soient x, y ∈ R.
exp (x + y ) = exp(x).exp(y )
exp(x · y ) = (exp(x))y = (exp(y ))x
1
exp(−x) =
exp(x)
Attention
Soient x, y ∈ R. exp(x) + exp(y ) 6= exp(x + y )
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
109 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.2. - Exponentielle de base a
Définition 119 (Exponentielle de base a)
C’est une exponentielle dont l’abscisse x est dilatée d’un facteur ln(a) et
définie par : f (x) = ax = e x ln(a) avec a ∈ R∗+ .
Propriétés
(2.3)x
y
Mêmes domaines que l’exponentielle
Propriétés de calculs mathématiques
déduites de celles de exp et de ln
(1.2)x
Cas particulier
Lorsque a = 1, on retrouve la fonction
constante x 7→ 1
1
(0.4)x
x
0
1
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110 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.2. - Monômes de puissances réelles
Définition 120 (Monômes de puissances réelles)
f (x) = x α = exp α ln(x) = e α ln(x) avec α ∈ R, sur les domaines :
Df = R∗+ , If = R∗+ .
y
Propriétés
x 2.3
x 1.2
Propriétés de calculs mathématiques
déduites de celles de exp et de ln
Cas particuliers
Lorsque α = 0, f est la fonction constante
x 7→ 1
Lorsque α = 1, f est la fonction identité
x 7→ x
x 0.4
1
x
0
1
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111 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.2.3. - Exercices
Exercice 2.4. Logarithme à base a : On considère la fonction logarithme à
base a où a est un paramètre choisi dans R∗+ , notée fa et est définie pour tout
ln(x)
x ∈ R∗+ par fa (x) =
. Calculer les images suivantes :
ln(a)
1 fa (1)
2 fa (a.x)
3 fa (e x )
4 fa (ax )
5 f3 (x)
6 fa2 (x)
7 fa3 (a4 )
Exercice
2.5. Une fonction définie par morceaux : Soit la fonction

R
→ R


(
e 2x − e x , si x ≤ 0 . Calculer les images suivantes :
f :
1
2

 x 7→
x 3 − x 5 , si x > 0
1
1 f (0)
2 f
3 f (3) 4 f (ln(3))
3
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
112 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.3. - Assemblage usuel de fonctions
Assemblage de fonctions
En assemblant deux fonctions u et v , on peut construire une troisième
fonction f , définie par
1
sa règle de définition f (x) qui dépendra de u(x) et v (x)
2
son domaine de définition Df qui dépendra des domaines de définition Du
et Dv voire parfois des domaines image Iu et Iv
3
son domaine image If
Le graphe Gf de f se déduit de transformation sur les graphes Gu et Gv .
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
113 / 354
Continuité
Généralités sur les fonctions
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.3.1. - Somme
Définition 121 (Somme)
La somme de u et v , notée f = u + v , est la fonction définie par
∀x ∈ Df , f (x) = u(x) + v (x) et dont le domaine de définition est
D f = D u ∩ Dv .
y
Df
Gcos+id
If
Du
Iu
u
u(x)
v
v (x)
x
+
Dv
Gid
Iv
f (x)
f
x
2
Exemple 122 (f(x) = cos(x) + x)
Somme de u(x) = cos(x) et
v (x) = x
cos(x) + x
1
1
2
Gcos
x
cos(x)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
114 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.3.1. - Somme
Cas particulier
Lorsque l’une des fonctions est une fonction constante, la somme devient
une translation verticale.
Exemple 123 (f(x) = cos(x) + 2)
Somme de u(x) = cos(x) et la fonction constante v (x) = 2
y
2
1
Gcos+2
cos(x) + 2
π
x
2π
Gcos
cos(x)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
115 / 354
Continuité
Généralités sur les fonctions
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.3.2. - Produit
Définition 124 (Produit)
Le produit de u et v , noté f = u.v , est la fonction définie par
∀x ∈ Df , f (x) = u(x).v (x) et dont le domaine de définition est
D f = D u ∩ Dv .
y
Df
If
Du
x
Dv
Gid
Iu
u
u(x)
v
v (x)
Iv
∗
f (x)
x
f
2
Exemple 125 (f(x) = x cos(x))
Produit de u(x) = cos(x) et
v (x) = x
1
x
1
2
Gcos
Gcos∗id
cos(x)
x cos(x)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
116 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.3.2. - Produit
Cas particulier
Lorsque l’une des fonctions est une fonction constante, le produit devient
une amplification.
Exemple 126 (f(x) = 2 cos(x))
Produit de u(x) = cos(x) et la fonction constante v (x) = 2
y
2 cos(x)
2
1
cos(x)
π
x
Gcos
2π
G3cos
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
117 / 354
Continuité
Généralités sur les fonctions
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.3.3. - Composée
Définition 127 (Composée Terminale )
La composée de u par v , notée f = v ◦ u (lu ”‘v rond u”’
ou ”‘u suivie de
v ”’), est la fonction définie par ∀x ∈ Df , f (x) = v ◦ u (x) = v u(x)).
Son domaine de définition est : Df = {x ∈ Du /u(x) ∈ Dv }.
Df
If
Du
x
Iu
u
u(x) = y
Dv
Iv
v
v (y )
f (x)
f
Exemple 128 (Fonction puissance f(x) = xα = eα ln(x) )
C’est la composée de u(x) = α ln(x) avec v (y ) = e y
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
118 / 354
Continuité
Généralités sur les fonctions
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.3.3. - Composées usuelles : Dilatation
Cas particulier : Dilatation
f : x 7→ v (λx) (avec λ ∈ R+ ) est la composée de u(x) = λx par v . C’est
la dilatation de la fonction v par le facteur λ. Graphiquement,
on étire Gv le long de l’axe des abscisses si 0 < λ < 1.
on contracte Gv le long de l’axe des abscisses si 1 < λ.
Exemple 129 (f(x) = cos(3x) et g(x) = cos
x
3
)
y
1
cos(x)
cos(3x)
x
π
contraction
2π
cos(x/3)
dilatation
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
119 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.3.3. - Composées usuelles : Retard et
avance
Cas particulier : Retard
La fonction f : x 7→ v (x − r ) (avec r un paramètre réel positif) est la
composée de u(x) = x − r par v . C’est la version retardée de la
fonction v par r . Graphiquement, on translate horizontalement le graphe
Gv de r vers la droite.
Exemple 130 (f(x) = ΛT (x − 3) et g(x) = ΛT (x + 2))
y
ΛT (x + 2)
ΛT (x − 3)
1 ΛT (x)
avance
retard
x
−T /2
0
T /2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
120 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.3.3. - Composées usuelles : Retard et
avance
Cas particulier : Avance
La fonction f : x 7→ v (x + r ) (avec r un paramètre réel positif) est la
composée de u(x) = x + r par v . C’est la version avancée de la fonction
v par r . Graphiquement, on translate horizontalement le graphe Gv de r
vers la gauche.
Exemple 130 (f(x) = ΛT (x − 3) et g(x) = ΛT (x + 2))
y
ΛT (x + 2)
ΛT (x − 3)
1 ΛT (x)
avance
retard
x
−T /2
0
T /2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
120 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.3.3. - Composées usuelles : Inverse,
quotient
Cas particulier : Inverse f =
C’est la composée de u par la
1
fonction x 7→ . f est appelée
x
l’inverse de u et définie par
1
f (x) =
sur
u(x)
Df = {x ∈ Du /u(x) 6= 0}.
1
u
u
v
C’est le produit de la composée de
1
et de u. f est appelée quotient
v
de u par v et est définie par
u(x)
∀f (x) =
sur
v (x)
Df = {x ∈ Du ∩ Dv /v (x) 6= 0}.
Cas particulier : Quotient f =
Exemple 131 (Fraction rationnelle M1 )
Les fractions rationnelles telles que f (x) =
quotients.
1 + x + 2x 2
sont des
1 − 3x
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
121 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.3.3. - Composées usuelles : Réciproque
Cas particulier : Composées de exp et ln
On a exp(ln(x)) = ln(exp(x)) = x. Attention : exp(ln(x)) est définie sur
R+
∗ , tandis que ln(exp(x)) est définie sur R.
Cas particulier : Composées de racine carré et carré
p
p
√ 2
On a (x 2 ) = |x| et
x = x. Attention : (x 2 ) est définie sur R,
√ 2
tandis que
x est définie sur R+ .
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
122 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.3.4. - Résumé
Fonction f
Définition
f (x)
Somme
f =u+v
f (x) = u(x) + v (x)
Différence
f =u−v
u(x) − v (x)
Produit
f = u.v
u(x).v (x)
f = λu
f (x) = λu(x)
1
u
u
f =
v
1
u(x)
u(x)
f (x) =
v (x)
f =v ◦u
f (x) = v u(x)
Df = {x ∈ Du /u(x) ∈ Dv }
f (x) = u(λx)
Df = Du
Amplification
Df
Df = Du ∩Dv
par λ (∈ R)
Inverse
Quotient
Composée
Dilatation
f =
f (x) =
Df = {x ∈ Du /u(x) 6= 0}
Df = {x ∈ Du ∩ Dv /v (x) 6= 0}
par λ (∈ R)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
123 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.4.1. - Exercices type
Méthodologie 132 (Calcul du domaine de définition)
1
Identifier les fonctions usuelles présentes et indiquer leur domaine de
définition
2
Identifier le (ou les) assemblage(s) de fonctions et leur ordonnancement
pour la construction de la fonction
3
Appliquer les règles d’assemblage pour les assemblages identifiés
1
.
1+x
Donner l’expression de u ◦ v et v ◦ u en fonction de x et déterminer le domaine
de définition de chacune.
Exercice 2.6. Exercice type : Soient u(x) = 1 − x + x 2 et v (x) =
Exercice 2.7. Exercice type : Déterminer l’ensemble de définition de
p
x −2
1
et g (x) = x 2 − 3x + 2 + .
f (x) = 2
3x − 2x + 1
x
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
124 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.4.2. - Exercices de TD
Exercice 2.8. Ensemble de définition d’un produit : Déterminer l’ensemble de
1 + x2
définition de la fonction de la variable réelle x définie par f (x) =
.
x
Réponse : Df = R∗ .
Exercice 2.9. Ensemble de définition d’une composée : Déterminer l’ensemble
√
de définition de la fonction de la variable réelle x définie par f (x) = 3 x − 5.
Réponse : Df = [5; +∞[.
Exercice 2.10. Composition : On considère les trois fonctions f , g et h de la
variable réelle x définies par : a f (x) = 2x + 1, b g (x) = 1 − x 2 ,
x
c h(x) =
. Donner la règle de définition des fonctions composées
x +1
suivantes (en fonction de x) :
1 f ◦g
2 g◦
1
f
3 h◦g ◦f
4 g ◦h◦f
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
125 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.4.2. - Exercices de TD
Exercice 2.11. Domaine de définition : Déterminer le domaine de définition des
fonctions suivantes :
1 f (x) =
1 + 2x + x 4
x 2 + 2x − 3
1
4 f (x) = cotan(x) =
tan(x)
p
7 f (x) = (x − 2)(x + 1)
1
10 f (x) = p
x4 − x2
2 f (x) = ln(x − 2) +
2
1
x −1
x +3
5 f (x) =
1 − |x|
r
x −2
8 f (x) =
x +1
cos(x)
11 f (x) =
1 + sin(2x)
3 f (x) = tan(x) + cos(x)
p
6 f (x) = x 2 + 2x + 3
1
9 f (x) = p
x2 − x − 2
p
12 f (x) = 2 cos(x) − 1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
126 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.4.2. - Exercices de TD
Exercice 2.12. Du graphique à la règle de définition : Donner la règle de
définition des fonctions suivantes, partant de leur graphe. Dans chaque cas, la
fonction sera définie par morceaux et on se limitera aux morceaux indiqués sur
le graphe.
y
1 Dent de 1scie
x
−T
0
y
T
2T
2 Signal triangulaire
1
x
−T
0
T
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
127 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 4.4.2. - Exercices de TD
Exercice 2.13. De la règle de définition aux graphiques : Tracer le graphe des
fonctions suivantes en utilisant les règles d’assemblage de fonction :
1 f (x) = U(x) − U(x − T ) où T est un paramètre réel strictement positif
2 f (x) = xU(x) − 2(x − 1)U(x) + (x − 2)U(x − 2)
Dans les deux cas, U désigne l’échelon unité.
Exercice 2.14. Résolution d’équations avec des logarithmes :
Résoudre les équations suivantes :
1 ln(3x 2 − x) = ln(x) + ln(2)
2 ln(|x − 1|) − 2 ln(|x + 1|) = 0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
128 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
4
Généralités sur les fonctions
5
Continuité
Définition
Domaine de continuité (pour les poursuites d’études longues)
Exercices (pour les poursuites d’études longues)
6
Dérivation
7
Comportements asymptotiques
8
Comportements locaux
9
Synthèse : Étude de fonctions
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
129 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 5.1.1. - Notion de continuité
Notion de continuité
La continuité est le fait de pouvoir ”tracer le graphe géométrique d’une
fonction sans lever le stylo” ; la courbe représentative ”ne saute pas”
d’un point à un autre.
La continuité indique l’absence de discontinuité ou de rupture dans le
graphe.
Applications
Pas d’applications directes
Utile pour plusieurs théorèmes importants (existence d’une réciproque)
Remarque
Elle s’illustre principalement par son contraire : les discontinuités.
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129 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 5.1.3. - Exemples : Échelon unité
Définition 136 (Échelon unité (ou Fonction de Heaviside) en
électronique)

si x > 0
 1
1/2 si x = 0 . C’est est
L’échelon unité est défini par : U(x) =

0
sinon
une fonction non continue en 0 mais continue en tout point x 6= 0.
y
GU
1
•
x
1
2
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130 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 5.1.3. - Exemples : le sinus cardinal
Définition 137 (Sinus cardinal)
Le sinus cardinal
note sinc est défini par :
(
sin(x)
si x 6= 0 . C’est une fonction prolongée par
sinc (x) =
x
1
si x = 0
continuité en 0.
y
1
Gsinc
−4π
−3π
−2π
−π
0
π
2π
3π
x
4π
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131 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 5.3. - Exercices pour les poursuites
d’études longues
Exercice 2.15. Etude de continuité : On considère la fonction h définie par
|x − a|
f (x) =
pour un paramètre a réel quelconque.
x −a
1
Donner le domaine de continuité de h.
2
Peut-on prolonger la fonction f par continuité en a ?
Exercice 2.16. Continuité en un point : cas de la valeur absolue :
|x|
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = √
. Est-elle continue
x2 + 4
en 0 ?
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
132 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 5.3. - Exercices pour les poursuites
d’études longues
Exercice 2.17. Ensemble de continuité d’une fonction produit :
Soient f et g les fonctions définies par :
f (x) = x + 2 si x ≥ 0
g (x) = 1 − x
si x ≥ 0
et
f (x) = 1 − x
si x < 0
g (x) = x + 2 si x < 0
1
Étudier la continuité des fonctions f et g et représenter graphiquement
chacune d’elles.
2
Déterminer la fonction h = fg . Représenter graphiquement h en traçant
plusieurs points caractéristiques.
3
h est-elle continue en tout point de R ? Quelle conclusion peut-on en
déduire ?
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
133 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 5.3. - Exercices pour les poursuites
d’études longues
Exercice 2.18. Ensemble de continuité :
Donner l’ensemble de continuité des fonctions suivantes :
2x − 3
x +5
p
p
3 f (x) = x 2 + 1 − x 2 − 1
1 f (x) =
2 f (x) =
2x + |2x + 5|
5x − 1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
134 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
4
Généralités sur les fonctions
5
Continuité
6
Dérivation
Dérivation
Différentielles (pour les poursuites d’études longues)
Application : Sens de variation
Application : Problème d’optimisation
Application : Réciproque
Dérivées à l’ordre n
7
Comportements asymptotiques
8
Comportements locaux
9
Synthèse : Étude de fonctions
Synthèse : Étude de fonctions
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
135 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.1.1. - Dérivabilité en un point a
Théorème 140 (Équation de la
tangente en a)
y = f 0 (a) (x − a) + f (a)
B(b, f (b))
Sécante
)
∆f
f (a
A(a, f (a))
−a
)+
1
0
1
y= ∆
f
∆x ( x
Le nombre dérivé d’une fonction f
en a est le nombre réel noté f 0 (a)
df
(a) égal à la pente de la
ou
dx
tangente à Gf au point M a, f (a) .
Gf
y
Définition 139 (Nombre dérivé de
f en a)
x
∆x
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
135 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.1.1. - Exemples de non dérivabilité
Exemple 144 (Partie supérieure)
C’est la fonction x 7→ dxe, où dxe est l’entier directement supérieur ou
égal à x ; en informatique, elle s’appelle ceil. Elle n’est pas continue en
tout point a entier (c’est à dire a = k avec k ∈ Z), donc n’est pas non
plus dérivable.
y
•
2
•
1
•
x
1
2
•
•
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136 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.1.1. - Exemples de non dérivabilité
Exemple 145 (Non dérivabilité suite à une inflexion dans le graphe)
La fonction f (x) = 1/3 ∗ |x| + x 2 est définie et continue en 0 mais n’est
pas dérivable en 0, car elle présente une inflexion en 0 à cause de la valeur
absolue : il y a donc une tangente à droite et une tangente à gauche.
y
Gf
Tgte
gauc
he
y=
− 1x
te
droi
Tgte
1x
y= 3
x
1
3
0
1
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.1.1. - Exercices pour les poursuites
d’études longues
Exercice p
2.19. Dérivabilité en 0 : Montrer que la fonction définie sur R par
f (x) = x |x| est dérivable en 0 et calculer son nombre dérivé en 0.
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.1.2. - Ensemble de dérivabilité
Définition 146 (Ensemble de dérivabilité Bf )
L’ensemble de dérivabilité Bf d’une fonction f est l’ensemble des
points x de Df en lesquels f est dérivable.
Théorème 147 (De la dérivabilité à la continuité)
Une fonction dérivable sur l’ensemble Bf est forcément continue sur Bf ,
autrement dit Bf ⊂ Cf .
Remarques
La continuité n’implique pas nécessairement la dérivabilité (cf.
exemple 145)
Avant de calculer une dérivée, il faut systématiquement déterminer
l’ensemble de dérivabilité
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139 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.1.2. - Dérivée
Définition 148 (Fonction dérivée ou Dérivée)
df
La dérivée de f , notée f 0 ou
, est la fonction qui à tout x ∈ Bf
dx
associe le nombre dérivé en x. Elle est définie par :
(
Bf →
R
df
Bf →
R
0
f :
ou
:
df
0
x 7→ f (x)
dx
x 7→
(x)
dx
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
140 / 354
Continuité
Généralités sur les fonctions
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
Polynôme
M2. 6.1.2. - Fonctions dérivables usuelles
f
f (x)
Bf
Dérivée f 0 (x)
Constante
c
R
0
Identité
Id(x) = x
R
1
Affine
ax + b
R
a
Monôme
x n (n ∈ N∗ )
R
nx n−1
Polynôme
a0 + a1 x + ... + an x n
R
a1 + 2a2 x 1 + ... + nan x n−1
Racine carrée
√
R+
∗
1
√
2 x
Inverse
1
x
R∗
− x12
x
♥
♥
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
Trigonométrie
M2. 6.1.2. - Fonctions dérivables usuelles
f
f (x)
Bf
Dérivée f 0 (x)
Sinus
sin(x)
R
cos(x)
♥
Cosinus
cos(x)
− sin(x)
♥
Tangente
sin(x)
tan(x) =
cos(x)
ArcSinus
arcsin(x) = arcsin(x)
] − 1; 1[
ArcCosinus
arccos(x) = arccos(x)
] − 1; 1[
ArcTangente
arctan(x) = arctan(x)
R
R
R\
nπ
2
+ kπ, k ∈ Z
o
1
= 1 + tan2 (x)
cos2 (x)
1
√
1 − x2
1
−√
1 − x2
1
1 + x2
♥
♥
♥
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.1.2. - Fonctions dérivables usuelles
f
f (x)
√
n
Bf
Dérivée f 0 (x)
Logarithme népérien
ln(x)
R+
∗
Logarithme à base 10
log10 (x)
R+
∗
1 1 −1
xn
n
1
x
1
x ln(10)
Exponentielle
exp(x) = e x
R
exp(x)
Exponentielle à base a
ax
R
ln(a)ax
Puissances réelles
xα
R∗+
αx α−1
Racine n-ième
1
x = x n (n ∈ N ∗ )
R+
∗
♥
♥
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.1.2. - Domaine de dérivabilité et dérivée
d’un assemblage de fonctions
Fonction
f
f 0 (x)
Bf
Somme
u+v
Bu ∩ Bv
Opposée
−u
Bu
0
u (x) + v 0 (x)
−u 0 (x)
0
u (x) − v 0 (x)
Différence
u−v
Amplification
λu (λ ∈ R)
Bu
λu 0 (x)
Produit
u.v
1
u
u
v
Bu ∩ Bv
u 0 (x).v (x) + u(x).v 0 (x)
u 0 (x)
−
u(x) 2
0
u (x).v (x) − u(x).v 0 (x)
v (x) 2
Inverse
Quotient
n
Puissance
u
Composée
u◦v
Bu ∩ Bv
{x ∈ Bu /u(x) 6= 0}
{x ∈ Bu ∩ Bv /v (x) 6= 0}
0
Bu
nu (x)u
{x ∈ Bu ∩ Bv /u(x) ∈ Bv }
0
0
n−1
(x)
v (x)u v (x)
Remarque
Les règles pour déterminer l’ensemble de dérivabilité sont les mêmes que
celles pour déterminer l’ensemble de définition.
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.1.2. - Exercices type
Méthodologie 149 (Calculer l’ensemble de dérivabilité et la dérivée
de f)
1
Écrire l’assemblage de fonctions usuelles qui constitue f ;
2
Écrire l’ensemble de dérivabilité et la dérivée de chaque fonction usuelle
identifiée ;
3
Utiliser les règles de calcul pour les ensembles de dérivabilités et la dérivée
des assemblages identifiés.
Exercice 2.20. Exercice type : Ensemble de dérivabilité et calcul de dérivée :
Calculer l’ensemble de dérivabilité et la dérivée des fonctions suivantes :
1 x2 + 3
2 1−x
1 1
2 g (x) =
+ (x − 2)(x + 3)
41+x
3 h(x) = ln 1 − e −x
1 f (x) =
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
143 / 354
Continuité
Généralités sur les fonctions
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.1.2. - Exercices de TD
Exercice 2.21. Ensemble de dérivabilité et calcul de dérivée : Déterminer
l’ensemble de dérivabilité puis calculer la dérivée des fonctions suivantes :
x
1
−
4
3
1 f (x) = 4x 3 − 3x − 1
2 f (x) =
4 h(z) = (1 − z)3 (1 + 2z)
5 p(x) = 2x − 3 −
7 f (x) =
x3
x −1
10 f (x) =
8 f (x) =
2
sin(x) − cos(x)
sin(x) + cos(x)
13* f (x) = 2(2 − x) +
16 y (x) = x x
1 x
4x +2
3 φ(s) =
1
x
q
3
x2 + 1
11 f (x) = tan sin(x)
s
14 f (x) =
17 fa (x) = x x
1+x
1 − x2
a
3
s
(t + 1)2
t2 + 1
r
x +1
9 f (x) =
x −1
6 s(t) =
12 f (x) =
cos
1
√ x
15 f (x) = tan2 x 3
18 g (x) = ln (log10 (x))
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
144 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.1.2. - Exercices de TD
Exercice 2.22. Ensemble de dérivabilité et calcul de dérivée : Calculer
1
l’ensemble de dérivabilité et dérivée de la fonction f : x 7−→ tan
.
x
Exercice 2.23. Calcul de dérivées : Donner l’ensemble de dérivabilité et calculer
les dérivées (ou les différentielles) des fonctions suivantes :
1 y (x) = arcsin (ln |2x|)
2 y (x) = arcsin
1−x
1+x
3 y (x) = arcsin
x +a
1 − ax
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
145 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.1.2. - Exercices de TD
Exercice 2.24. Tangenteren 0 : Donner l’équation de la tangente en 0 à la
x3
courbe d’équation y =
.
x −1
Exercice 2.25. Systèmes dynamiques : L’étude des systèmes dynamiques du
1er ordre amène
souvent à travailler avec la fonction de la variable réelle t :
−t
V (t) = V0 e τ , où τ est la constante de temps fixée. Montrer que la tangente
à la courbe de V (t) en un point M0 d’abcisse t0 quelconque coupe l’axe des
temps au point t0 + τ .
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
146 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.3.1. - Sens de variation
Définition 150 (Sens de variation)
Soient deux réels a et b d’un intervalle I de Df avec a < b. f est :
croissante sur I ssi f (a) ≤ f (b)
strictement croissante sur I ssi f (a) < f (b)
Exemple 151 (Dent de scie)
y
f (b)
a
cro
issa
nce
1
x
0
1
b
f (a)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
147 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.3.1. - Sens de variation
Définition 150 (Sens de variation)
Soient deux réels a et b d’un intervalle I de Df avec a < b. f est :
décroissante sur I ssi f (a) ≥ f (b)
strictement décroissante sur I ssi f (a) > f (b)
Exemple 151 (Dent de scie)
y
ce
san
rois
déc
1
a b
x
f (a)
0
1
f (b)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
147 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.3.2. - Formule des accroissements finis
Théorème 152 (Formule des accroissements finis)
Soit f une fonction continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[. Il existe au
f (b) − f (a)
= f 0 (c).
moins un réel c ∈]a; b[ tel que
b−a
Corollaire 153 (Sens de variation et dérivée)
Le sens de variation d’une fonction f est donné par signe de la dérivée :
Si pour tout x ∈ I f 0 (x) ≥ 0 alors f est croissante sur I
Si pour tout x ∈ I f 0 (x) ≤ 0, f est décroissante sur I
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148 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.3.2. - Rappel : Étude de signe
Tableau de signe
L’étude du signe de la dérivée f 0 se fait (principalement) par un tableau
de signe. Ce tableau suppose que f 0 soit écrite sous forme d’une
expression factorisée ! ! !
Exemple 154 (Un tableau de signe)
g (x) = (x − 3)(x − 1) v.s. g (x) = (x − 3) + (x − 1)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
149 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.3.2. - Tableau de variation
Tableau de variation
Le sens de variation et l’étude de signe se résument dans un tableau de
variation.
Exemple 155 (Fonction f(x) = x2 − 6x + 1)
de tableau de variation :
x
−∞
f 0 (x)
+∞
3
−
0
+∞
+
+∞
f (x)
−8
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
150 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.3.3. - Exercices type
Méthodologie 156 (Analyse du sens de variation)
1
2
3
Déterminer l’ensemble de dérivabilité de f ;
Calculer sa dérivée f 0 et étudier son signe en fonction de x sur son
ensemble de dérivabilité ;
Tracer le tableau de variation, en déduisant le sens de variation du signe
de la dérivée.
Exercice 2.27. Exercice type : Sens de variation : Étudier le sens de variation
des fonctions suivantes :
1
1 f (x) = 2x − 1 − ln(x)
2 g (x) = 12(x − 6) exp − x
4
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.3.3. - Exercices
Exercice 2.28. Sens de variation : Étudier le sens de variation de la fonction
f (x) = (x − 2)3 .
Exercice 2.29. Étude de fonctions : Étudier le sens de variation des fonctions
de la variable réelle x définies par :
p
3x
1 f (x) = |x 2 + 4x + 5|
2 g (x) =
x +3
3 y (x) = x x
4 y (x) = x (x/a)
Exercice 2.30. Bac S 1996, et oui ! :
1
2
x
− ln(1 + x).
1+x
+
Montrer que φ est décroissante sur R . En déduire le signe de φ(x) pour
tout x ≥ 0.
Soit la fonction f définie par f (t) = e −t ln(1 + e t ). Étudier à l’aide de la
fonction φ les variations de f .
On considère la fonction φ définie sur R+ par : φ(x) =
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.4.1. - Problème d’optimisation
Définition 157 (Problème d’optimisation)
C’est un problème physique cherchant à déterminer les
conditions/configurations d’un système qui sont optimales au sens d’une
fonction f (x) (fonction de côut ou d’un critère de performance).
L’optimisation recherche :
la valeur maximum M ou minimum m de la fonction ;
la valeur optimale xopt de x permettant de atteindre le maximum ou le
minimum.
Exemple 158 (Chiffre d’affaire C d’une appli Iphone en fonction du
temps t de mise en vente)
Ce chiffre d’affaire est donné par C (t) = 5t − 0.1t 3 ; c’est la fonction de
coût. L’optimisation serait la recherche du chiffre maximum Cmax et le
temps topt qui permet d’atteindre ce maximum
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
153 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.4.1. - Problème d’optimisation
Définition 157 (Problème d’optimisation)
C’est un problème physique cherchant à déterminer les
conditions/configurations d’un système qui sont optimales au sens d’une
fonction f (x) (fonction de côut ou d’un critère de performance).
L’optimisation recherche :
la valeur maximum M ou minimum m de la fonction ;
la valeur optimale xopt de x permettant de atteindre le maximum ou le
minimum.
Exemple 159 (Accidents de la route A en fonction du nombre de
radar r)
Le nombre d’accident est donné par A(r ) = 20000 − 10r 2 ; c’est la
fonction de coût. L’optimisation serait la recherche du nombre d’accident
minimum Amin et le nombre de radar ropt qui permet d’atteindre ce
minimum
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
153 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.4.2. - Extrêma
Définition 160 (Extrêmum)
Pour un intervalle I donné, la fonction f admet :
un minimum m sur I ssi pour tout x de I , f (x) ≥ m ;
un maximum M sur I ssi pour tout x de I , f (x) ≤ M.
Définition 161 (Extrêmum
absolu/local)
Si I = Df , l’extrêmum est absolu ;
y
Mglobal
1
Mlocal
Sinon, il est local.
Gf
mlocal
Exemple 162
1
(f(x) = e−x ( + x3 ))
2
x
0
1
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.4.2. - Recherche d’extrêma
Théorème 163 (Extrêma)
Une fonction f , dérivable au voisinage d’un point a, admet un extrêmum
valable sur un voisinage de a si sa dérivée f 0 s’annule en a (c’est à dire
f 0 (a) = 0) et change de signe au voisinage de a ; la nature de l’extrêmum
dépend des sens de variation.
Remarques
Si f est décroissante pour x < a et f est croissante pour x > a,
l’extrêmum est un minimum.
Si f est croissante pour x < a et f est décroissante pour x > a,
l’extrêmum est un maximum.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
155 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.4.3. - Exercice type
Exercice 2.31. Exercice type : Optimisation : Déterminer l’optimum de la note
N du DS de Maths en fonction du temps de révision t, donné par
N(t) = 3t − 0.1t 3 .
”Toute ressemblance avec des situations réelles
ou ayant existées serait fortuite”
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156 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.4.3. - Exercices de TD
Exercice 2.32. Deux nombres : On considère deux nombres a et b dont la
somme vaut 12. Trouver ces deux nombres pour que : 1 la somme de leur
carré soit minimale, 2 le produit de l’un et du carré de l’autre soit maximal,
3 le produit de l’un et du cube de l’autre soit maximal.
Exercice 2.33. Proximité de deux voitures : Deux rues se coupent à angle droit
en un point P. L’une a la direction !nord-sud, l’autre est-ouest. Une voiture
venant de l’ouest passe en P à 10h à la vitesse constante de 20 km/h. Au
même instant, une autre voiture, situé à 2 km au nord du croisement, se dirige
vers le sud à 50 km/h. A quel moment ces deux voitures sont-elles les plus
proches l’une de l’autre (à vol d’oiseau) et quelle est cette distance minimale ?
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157 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.4.3. - Exercices de TD
Exercice 2.34. Cuisine : On considère une boı̂te de conserve cylindrique de
hauteur h et de rayon R.
1
On dispose d’une surface de métal S limitée pour construire la boı̂te de
conserve de taille S = 400π cm2 . Comment choisir le rayon R et la
hauteur h de la boı̂te pour que son volume V soit maximal ?
On souhaite maintenant construire une boı̂te de volume V0 donné et fixé.
Comment choisir le rayon R et la hauteur h pour que la surface de métal à
h
utiliser soit minimale ? On exprimera la solution en fonction du rapport .
R
Mêmes questions avec une casserole.
2
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.1. - Notion d’injection, de surjection,
de bijection
Injection : f est injective ssi les images de 2 éléments différents de Df
sont différentes
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.1. - Notion d’injection, de surjection,
de bijection
Injection : f est injective ssi les images de 2 éléments différents de Df
sont différentes
Surjection : g est surjective ssi tout élément de l’ensemble image Ig
possède au moins un antécédent par g (dans Dg )
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.1. - Notion d’injection, de surjection,
de bijection
Injection : f est injective ssi les images de 2 éléments différents de Df
sont différentes
Surjection : g est surjective ssi tout élément de l’ensemble image Ig
possède au moins un antécédent par g (dans Dg )
Bijection : h est bijective ssi tout élément de l’ensemble image Ih possède
un unique antécédent par h ⇒ h admet une fonction réciproque h−1
Df
Valla •
Delnondedieu •
Chollet •
Vedel •
If
• Communication
• Unix
• Python
• Réseaux
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Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.1. - Bijection
Définition 164 (Bijection)
Une fonction f est une bijection (ou est bijective) de l’intervalle I
(sous-ensemble de Df ) vers l’intervalle J (sous-ensemble de If ) ssi pour
tout y ∈ J, l’eq. y = f (x) admet une unique solution x.
Cela signifie que : pour tout x ∈ I , il existe un unique élément y ∈ J (
∃!y ∈ J) tel que y = f (x)
Théorème 165 (Condition nécessaire et suffisante)
Pour être une bijection sur l’intervalle I , f doit être dérivable a et
strictement monotone sur I .
a. en fait, continue
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.1. - Intervalle
Théorème 166 (Image d’un intervalle par une fonction bijective)
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I , alors f est
une bijection de I vers l’intervalle J = {f (x)/x ∈ I } = f (I ). En
particulier,
si f est strictement croissante, et I = [a, b] alors
J = f ([a, b]) = [f (a), f (b)] ;
si f est strictement décroissante, et I = [a, b] alors
J = f ([a, b]) = [f (b), f (a)].
Exemple 167 (La fonction carré)
La fonction carré f : x 7→ x 2 , continue sur R, est strct. & sur
R− =] − ∞; 0] et strct. % sur R+ . Donc f est une bijection de R− vers
f (R− ), avec f (R− ) = f (0),
lim
x−→−∞
f (x) = [0; +∞[ et f est une autre
+
+
bijection de
R vers f (R )avec
f (R+ ) = f (0); lim f (x) = [0; +∞[. Il existe donc deux uniques
x→+∞
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solutions à l’équation f (x) = a (avec a un réel
positif et non nul
160 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.2. - Fonction réciproque
Définition 168 (Fonction réciproque)
Soit f une fonction bijective d’un intervalle I dans un intervalle J. g est
la fonction réciproque (ou inverse) de f ssi :
1
g est définie en tout point de J ;
2
pour tout x ∈ Df , y = f (x) ⇔ x = g (y ).
La réciproque g de f sur I est unique. Elle est notée g = f −1 .
Remarques
Une fonction f dont le sens de variation change sur R admet une
réciproque sur chaque intervalle de variation !
1
Ne pas confondre f −1 et .
f
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.2. - Propriétés de la réciproque
Théorème 169 (Sens de variation)
f −1 est strictement monotone sur f (I ) et de même sens de variation que
la fonction f .
Théorème 170 (Propriétés calculatoires)
La composée de f −1 et de f est l’identité :
(f −1 ◦ f )(x) = (f ◦ f −1 )(x) = x.
La réciproque de la réciproque de f est f : f −1
−1
(x) = f (x).
Exemple 171 (Des réciproques usuelles)
exp et ln sur R∗+ .
√
x → x n et x → n x sur R+ .
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.2. - Propriétés de la réciproque
Théorème 172 (Graphe)
Dans un repère orthonormé, les graphes Gf (de f ) et Gf −1 (de f −1 ) sont
symétriques par rapport à la 1ère bissectrice du plan, c’est à dire la droite
d’équation y = x.
y x4
Exemple 173 (Graphes de
f et f −1 )
x
M 0 (y , x)
f (x) = x 4 et sa réciproque
sur R+ f −1 (x) = x 1/4
1
x4
1
x4
M(x, y )
0 1
x
.
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.2. - Cosinus et Arccosinus
y
Gacos
π
Gcos
1
−2π
−π
0
π
x
2π
.
Définition 174 (Fonction arccos)
arccos (ou acos) est la fonction définie dans [−1; 1] et à valeurs dans
[0; π] qui a tout x associe l’angle θ dont le cos vaut x (cos(θ) = x). C’est
la réciproque de la fonction cos lorsque son domaine de définition est
restreint à [0; π].
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.2. - Sinus et Arcsinus
y
π/2
Gasin
1
Gsin
−2π
−π
0
π
x
2π
.
Définition 175 (Fonction arcsin)
arcsin (ou asin) est la fonction définie dans [−1; 1] et à valeurs dans
[−π/2; π/2] qui a tout x associe l’angle θ dont le sin vaut x (sin(θ) = x).
C’est la réciproque de la fonction sin lorsque son domaine de définition
est restreint à [−π/2; π/2].
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.2. - Tangente et Arctangente
5y
4
3
2
1
−2π
−π
Gtan
Gatan
π
0
2π
x
.
Définition 176 (Fonction arctan)
arctan (ou atan) est la fonction définie dans [−1; 1] et à valeurs dans
] − π/2; π/2[ qui a tout x associe l’angle θ dont le tan vaut x
(sin(θ) = x). C’est la réciproque de la fonction tan lorsque son domaine
de définition est restreint à ] − π/2; π/2[.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
166 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.3. - Exercices type
Méthodologie 177 (Montrer qu’une fonction est la réciproque
d’une autre)
Montrer que g (f (x)) = f (g (x)) = x
Exercice 2.35. Exercice type : Réciproque : Montrer que g (x) = 1 + x est la
réciproque de f (x) = x − 1 sur R.
Méthodologie 178 (Déterminer une réciproque)
1
Etudier la continuité et le (ou les) sens de variation de f .
2
Poser y = f (x) et inverser l’équation pour avoir x = g (y ). Alors g = f −1 .
Exercice 2.36. Exercice type : Réciproque : Montrer que f (x) = (x + 1)1/3 + 2
admet une réciproque (sur un intervalle que l’on précisera) et donné
l’expression de sa réciproque.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
167 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.3. - Exercices type
Exercice 2.37. Composition de fonctions trigonométriques : Simplifier et
représenter graphiquement les fonctions suivantes :
1 x 7→ arccos (cos(x))
2 x 7→ cos (arccos x)
3 x 7→ arctan(tan(x))
Exercice 2.38. Réciproque : Déterminer la (ou les) réciproques de
x −1
f (x) =
.
x +2
Exercice 2.39. Réciproque : On considèrepla fonction f de la variable x, définie
sur l’intervalle [1; +∞[ par : f (x) = x + x 2 − 1. 1 Montrer que f admet
une réciproque f −1 sur [1; +∞[. 2 Montrer que cette réciproque est la
x2 + 1
fonction g (x) =
.
2x
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168 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.5.3. - Exercices type
Exercice 2.40. Réciproque : On considère les deux fonctions f et g de la
√
x2
variable réelle x définies par : f (x) =
et g (x) = x − 2 x + 1. Pour
1 + x2
chacune de ces fonctions, 1 montrer qu’elle possède deux intervalles de
monotonie, puis 2 expliciter la fonction inverse relative à chacun de ces
intervalles.
Exercice 2.41. Résolution d’équations avec
des fonctions puissances :
x
Déterminer les racines de l’équation : x (x ) = (x x )x .
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
169 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.6.1. - Dérivées à l’ordre n
Définition 179 (Dérivée seconde)
Si f est dérivable sur Bf et si sa dérivée f 0 est elle-même dérivable sur Bf
de dérivée (f 0 )0 , on dit que f est dérivable à l’ordre 2 sur Bf et (f 0 )0 est
d2 f
appelée la dérivée seconde. On la note f 00 ou f (2) ou
.
dx 2
En généralisant à l’ordre n :
Définition 180 (Dérivabilité à l’ordre n (n ∈ N∗))
Une fonction f est dérivable à l’ordre n sur B si toutes ses dérivées
d’ordre inférieur à n existent et nsont dérivables sur B. La dérivée à
d f
l’ordre n de f , notée f (n) ou
, est alors :
dx n
n fois
z
}| {
0 0
(n)
0 0
f (x) = ... (f ) ...
(x)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
170 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.6.3. - Exercices type
Exercice 2.42. Exercice type : Dérivée 3ième : Calculer la dérivée 3-ième de :
1 f (x) = ln(x)
2 g (x) = e x (1 + x 2 )
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
171 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.6.3. - Exercices de TD
Exercice 2.43. Dérivée d’une solution classique d’équations différentielles : Soit
y la fonction de la variable x définie par y (x) = a cos(ωx) + b sin(ωx) avec a, b
et ω trois constantes.
dy
d 2y
1
.
Calculer (si elles existent) les dérivées
et
dx
dx 2
d 2y
2
indépendantes de a et de b.
Former une relation entre y et
dx 2
Exercice 2.44. Dérivées et différentielles n-ième : Soit la fonction y de la
variable réelle x définie par y (x) = tan(x). Exprimer les 5 premières dérivées de
y en fonction de y (x) et montrer que :
dy 5
= 16 + 136y 2 (x) + 240y 4 (x) + 120y 6 (x)
dx 5
Pour faciliter la lecture des équations, on pourra écrire y (x) sous la forme y .
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
172 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.6.3. - Exercices de TD
Exercice 2.45. Dérivée à l’ordre n de la fonction inverse (pour les poursuites
d’études longues) :
Montrer par récurrence que :
1
1
la fonction inverse f : x 7→ est dérivable une infinité de fois sur R∗
x
n!
2
sa dérivée n-ième vaut f (n) (x) = (−1)n n+1 , où n! est la factorielle de n
x
définie pour tout entier naturel n ∈ N par :
1
, si n = 0
n! =
1 × 2 × ... × (n − 1) × n , si n > 0 (produit de tous les entiers de 1 à n
.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
173 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.6.3. - Exercices de TD
Exercice 2.46. Différentielles et équations différentielles :
Pour une fonction y (x) définie pour tout x tel que |x| ≤ 1, on fait le
changement de variable x = cos(t) avec 0 ≤ t ≤ π.
dy
dy
en fonction de t et de
.
dx
dt
1
Exprimer
2
En utilisant la méthode précédente, exprimer
3
dy
d 2y
en fonction de t,
et
dx 2
dt
d 2y
.
dt 2
Que devient, par ce changement de variable, l’équation différentielle
suivante :
d 2y
dy
(1 − x 2 ) 2 − x
+ y = 0.
dx
dx
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 6.6.3. - Exercices de TD
Exercice 2.47. Vers les équations différentielles : Résoudre l’équation
différentielle x 2 y 00 + xy 0 + y = 0 portant sur la fonction y de la variable x, en
faisant le changement de variable x = e t .
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
4
Généralités sur les fonctions
5
Continuité
6
Dérivation
7
Comportements asymptotiques
Limites en l’infini
Calcul de limites
Application : Branches asymptotiques
8
Comportements locaux
9
Synthèse : Étude de fonctions
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.1.1. - Notion de comportements
asymptotiques
Exemple 184 (La fonction inverse)
Table de valeurs
1
x
f (x) =
x
1
1
10
0.1
100
0.01
1000
0.001
...
...
106
10−6
y
1
A
x
Ginv
1
lim f (x) = 0+
x→+∞
Plus x augmente (autrement dit x tend vers +∞), plus f (x) se
rapproche de 0 par valeurs supérieures ; on dit que lim f (x) = 0+
x→+∞
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176 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.1.1. - Limites
Définitions 185 (Comportements asymptotiques)
Le comportement asymptotique d’une fonction f de la variable x est la
”direction” de f lorsque x tend vers +∞ ou vers −∞
Elle prend la forme d’une limite L qui peut être un nombre ∈ R (et on
parle de limite finie) ou un infini +∞ ou −∞ (et on parle de limite infinie)
La limite L peut être atteinte ou approchée par la fonction, en arrivant par
valeurs inférieures (L− ) ou supérieures (L+ ).
On la note :
lim f (x) = lim f = L ou
x→+∞
+∞
lim f (x) = lim f = L
x→−∞
−∞
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.1.1. - Limite finie en +∞
y
Cas d’une limite L réelle
finie en +∞
lim f (x) = lim f = L
x→+∞
+∞
Exemple 186 (Fonction
inverse)
1
lim
=0
x→+∞ x
1
A
x
Ginv
1
lim f (x) = 0+
x→+∞
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.1.1. - Limite finie en −∞
y
Cas d’une limite L réelle
finie en −∞
exp(x)
lim f (x) = lim f = L
x→−∞
−∞
lim exp(x) = 0
x→−∞
1
A
Exemple 187
(Exponentielle)
x
0
1
lim f (x) = 0
x→−∞
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.1.1. - Limite finie en ∞ par valeurs
supérieures ou inférieures
Cas d’une limite L par valeurs
supérieures en ∞
Cas d’une limite L par valeurs
inférieures en ∞
x→∞
x→∞
proche de ∞, f (x) tend vers L avec
f (x) ≥ L
proche de ∞, f (x) tend vers L avec
f (x) ≤ L
lim f (x) = L− signifie que pour x
lim f (x) = L+ signifie que pour x
y
Exemple 188
(Fonction inverse)
1
lim
= 0− et
x→−∞ x
1
lim
= 0+
x→+∞ x
1
A
A
1
(
lim f (x) = 0−
x→−∞
(
lim f (x) = 0+
Ginv
x
x→+∞
f (x) > 0
f (x) < 0
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180 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.1.1. - Limite infinie en +∞
Cas d’une limite +∞ en +∞
lim f (x) = lim f = +∞, ce qui implique que f (x) > 0 pour x
x→+∞
+∞
suffisamment grand
lim f (x) = +∞
Exemple 189 (Valeur
absolue)
x→+∞
y
Gabs
B
lim |x| = +∞
x→+∞
Remarque
Idem pour une limite en −∞
et pour une limite −∞
A
1
x
0
1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.1. - Limites des fonctions usuelles Œ
Fonction f (x)
Constante c
x n (n ∈ N∗ )
√
n
1
x =xn
Limite en −∞
Limite en +∞
c
c
+∞ si n pair
+∞
−∞ si n impair
n.d. 1 si n pair
+∞
−∞ si n impair
Inverse
1
x
ln(x)
0−
0+
n.d.
+∞
+
exp(x)
0
+∞
sin(x), cos(x), tan(x)
p.d.l. 2
π+
−
2
p.d.l.
π−
2
arctan(x)
1. non défini
2. pas de limite
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182 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.2. - Opérations algébriques sur les
limites
Pour λ ∈ R∗ et s un signe (égal à +1 ou −1),
lim u
Infinie-Infinie Finie-Infinie
Finie-Finie
+∞
lim v
+∞
lim λu
+∞
lim u + v
+∞
lim u.v
+∞
u
v
Lu
Lv
sign (Lu ) ∞
lim
+∞
Lu
Lv
λLu
Lu + Lv
Lu Lv
Lu
0+
λLu
Lu
0
Lu
0−
λLu
Lu
0
−sign (Lu ) ∞
0
0
0
0
0
FI si Lv = 0
FI
s
sign
∞
Lv
sign(sLu )∞ si Lu 6= 0
0
s∞
Lu
Lv
s∞
sign(sλ)∞
λLu
s∞
s∞
sign(sLv )∞ si Lv 6= 0
FI si Lu = 0
+∞
+∞
sign(λ)∞
+∞
+∞
FI
−∞
−∞
−sign(λ)∞
−∞
+∞
FI
+∞
−∞
sign(λ)∞
FI
−∞
FI
−∞
+∞
−sign(λ)∞
FI
−∞
FI
Remarque
Résultats identiques lorsque la limite est asymptotique en −∞
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
183 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.2. - Limites et composées
Théorème 193 (Limite d’une composée)
Si lim u(x) = L (avec L un réel ou +∞ ou −∞) alors
x→+∞
lim (v ◦ u)(x) = lim v (u(x)) = lim v (y )
x→+∞
x→+∞
y →L
Remarque : Le résultat est identique lorsque x → −∞
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
184 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.2. - Bilan sur les formes indéterminées
Théorème 194 (Les classiques Terminale )
∞ 0
(+∞) + (−∞)
0.∞ ∞ 0 Théorème 195 (Les nouvelles)
∞
0
1
∞ Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
185 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.2. - Exercices type
Méthodologie 196 (Calcul de limites asymptotiques)
1
Identifier les fonctions usuelles et donner leurs limites ;
2
Identifier le (ou les) assemblages de fonctions usuelles puis calculer la
limite de proche en proche en utilisant les règles sur les limites ;
En cas de forme indéterminée :
3
Quelques astuces (cf TD) ;
Utiliser des outils plus puissants, comme l’équivalence ou les
développements limités.
Exercice 2.48. Exercice type : Limites : Déterminer les limites suivantes :
e −x
1 lim x 3 ln(x)
2 lim
x→+∞
x→+∞ x
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.2. - Exercices de TD
Exercice 2.49. Limites : Calculer lim f (x) et
x→+∞
lim f (x) pour les fonctions f
x→−∞
suivantes :
1 f (x) = 2x 2 + x + 1
2 f (x) =
arctan(x)
|x − 3|
3 f (x) = x 2 − x 3
Exercice 2.50. Limites avec forme indéterminée de type ∞ - ∞ : Calculer
lim f (x) et (si elle existe) lim f (x) pour les fonctions f suivantes :
x→+∞
x→−∞
p
p
1 f (x) = px 2 + 1 − px 2 − 1
|x| + 2 − |x|
3 f (x) =
|x|
5 f (x) = ln(x 2 + 1) − 2 ln(x)
2 f (x) =
p
x 2 + 2x − x
4 f (x) = ln(x) − ln(x + 1)
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187 / 354
Continuité
Généralités sur les fonctions
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.4. - Équivalence en ∞ et limites
Définition 200 (Équivalence en ∞)
Deux fonctions f et g sont équivalentes au voisinage de a (avec
a = +∞ ou a = −∞) ssi u(x) = g (x) (1 + (x)) avec lim (x) = 0. On
x→a
le note : f ∼ g ou f (x) ∼ g (x)
a
x→a
Remarque : Deux fonctions équivalentes ont une même limite !
Théorème 201 (Équivalence et limite)
Si f ∼ g alors lim f (x) = lim g (x)
a
x→a
x→a
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Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.4. - Équivalences usuelles en ±∞
Théorème 202 (Équivalent d’un polynôme)
Un polynôme P(x) = an x n + ... + a1 x + a0 un polynôme de degré n (avec
an 6= 0) est tel que P(x) ∼ an x n
x→±∞
Exemple 203 (Équivalent de
P(x) = 3x4 − 2x = 3x4 + 0x3 + 0x2 − 2x1 + 0)
P(x)
∼
x→+∞
3x 4 et P(x)
∼
x→−∞
3x 4
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189 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.4. - Équivalences usuelles en ±∞
Théorème 204 (Équivalent d’une fraction rationnelle)
P(x)
avec P(x) = an x n + ... + a1 x + a0
Q(x)
de degré n et Q(x) = bm x m + ... + b1 x + b0 de degré m admet pour
équivalent le quotient des équivalents de P(x) et Q(x).
Une fraction rationnelle F (x) =
Exemple 205 (Équivalent de
P(x)
3x4 − 2x
3x4 + 0x3 + 0x2 − 2x1 + 0
F(x) =
= 3
=
)
Q(x)
6x + 4x2 + 1
6x3 + 4x2 + 0x + 1
F (x)
∼
x→±∞
3x 4
6x 3
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
189 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.4. - Opérations sur les équivalences
Opérations sur les équivalents
On peut multiplier, inverser, diviser des équivalents
On ne peut pas ajouter, soustraire ou composer des équivalents, sauf cas
très particulier
Théorème 206 (Opérations sur les équivalences)
Soient f1 , f2 , g1 et g2 quatre fonctions telles que f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 et
λ ∈ R∗ . Alors :
∼
λf1 (x)
x→+∞
1
f1 (x)
x→+∞
f1 (x)
g1 (x)
x→+∞
f1 (λx)
Remarque
+∞
λf2 (x)
∼
1
f2 (x)
∼
f2 (x)
g2 (x)
∼
g1 (λx)
x→+∞
+∞
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
190 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.4. - Exercices types
Exercice 2.52. Exercice type : Équivalents : Calculer lim 1 +
x→+∞
x2 − 1
.
2x 2 + 1
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191 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.4. - Exercices de TD
Exercice 2.53. Limites de fractions rationnelles : Calculer les limites en +∞ et
en −∞ des fonctions f suivantes :
1 f (x) =
7x + 3
4x 2 − 3x + 13
2 f (x) =
2x − 3
x +5
3 f (x) =
2x + |2x + 5|
5x − 1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
192 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.5. - Croissance comparée
Théorème 207 (Règles de croissance comparée)
ln(x)
ex
= 0 et lim α = +∞ (avec α ∈ R∗+ ). On dit que :
α
x→+∞ x
x→+∞ x
ln << x α << e x en +∞
On a lim
On dit que ln croit moins vite que
les puissances, qui croissent moins
vite que l’expo vers +∞
y
50
x 7→ e x
40
30
Exercice 2.54. Exercice type : Limites
asymptotiques : Déterminer
ex
lim ln(x) 1 .
x→+∞
x2
x 7→ x 2
20
10
0
1
2
3
4
x 7→ ln(x)
x
5
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
193 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.5. - Exercices de TD
Exercice 2.55. Limites avec croissance comparée : Déterminer les limites quand
x tend vers +∞ et lorsqu’elle existe, lorsque x tend vers −∞, des fonctions f
suivantes :
ex
x2 + 1
e 2x − x 2
4 f (x) =
e 2x+12
e 1+x
7 f (x) = 2
x ln(x)
1 f (x) =
3 f (x) = (x + 1)e −x
√
6 f (x) = x + 1e −3x
2 f (x) = x 3 − 2x
5 f (x) =
3x
x4
8* f (x) = √
10x
x2 + 1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
194 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.5. - Exercices de TD
Exercice 2.56. Accroissements finis (pour les poursuites d’études longues) :
Cet exercice utilise la formule des accroissements finis donnée par : pour toute
fonction f continue sur [a, b], pour h = b − a, il existe un réel θ (avec
0 < θ < 1) tel que f (a + h) = f (a) + hf 0 (a + θh).
Déterminer la valeur prise par θ lorsque la fonction f est définie par :
1 f (x) = αx 2 + βx + γ
2 f (x) = e x
Calculer, dans chacun des cas, la limite de θ quand l’écart h tend vers 0.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
195 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.2.5. - Exercices de TD
Exercice 2.57. Série harmonique (pour les poursuites d’études longues) :
Cet exercice utilise la formule des accroissements finis donnée par : pour toute
fonction f continue sur [a, b], pour h = b − a, il existe un réel θ (avec
0 < θ < 1) tel que f (a + h) = f (a) + hf 0 (a + θh).
1
Donner un encadrement de ln(a + h) et l’appliquer lorsque a = 1 et h =
où n ∈ N∗ .
2
3
4
1
n
En déduire un encadrement de ln(n + 1) − ln(n), ln(n) − ln(n − 1), et ainsi
de suite jusqu’à ln(2) − ln(1).
1
1
1
Déduire aussi un encadrement de un = 1 + + + ... + .
2
3
n
Quelle est la limite de un quand n tend vers l’infini.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
196 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.3.1. - Application : Asymptotes et
branches paraboliques
Objectifs
Evaluer ”comment” une fonction f (x) tend vers +∞ lorsque x → +∞,
autrement dit quelle est sa direction dominante parmi :
1
les droites (0x), (0y )
2
les droites de la forme y = ax + b
3
les branches de la forme y = ax 2 guidées par une droite
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
197 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.3.1. - Application : Asymptotes et
branches paraboliques
Asymptotes
Branches paraboliques
y
y
20
10
f (x) =
x
2
+ ln(x)
15
5
10
f (x) = 3 + x +
1
x
Branche y =
0
5
2
4
6
x
2
8
x
Asymptote y = x + 3
0
1
2
3
4
x
−5
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
197 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.3.2. - Méthodologie
lim f (x) =?
x→∞
L∈R
±∞
Asymptote
horizontale
y = L
lim
x→∞
Branche
parabolique
de direction
(0x)
lim f (x) − ax =?
x→∞
Asymptote
oblique
y = ax + b
±∞
0
a ∈ R∗
b∈R
f (x)
=?
x
Branche
parabolique
de direction
(0y )
±∞
Branche
parabolique
de direction
y = ax
Remarque
Résultats identiques lorsque x → −∞
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
198 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.3.3. - Exercices type
Exercice 2.58. Exercice type : Asymptotes : Déterminer la branche
x 2 + 2x − 2
asymptotique en +∞ et en −∞ : g (x) =
.
x −2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
199 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.3.3. - Exercices de TD
Exercice 2.59. Asymptotes : Déterminer le comportement asymptotique de
5x 2 + 3x − 2
f (x) =
en +∞.
x +2
Exercice 2.60. Branches asymptotiques : Déterminer les branches
asymptotiques des fonctions suivantes :
1* f (x) =
1 x 2 + 3x − 1
2
x +3
2* f (x) = 2(2 − x) +
1 x
4x +2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
200 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 7.3.3. - Exercices de TD
Exercice 2.61. Etude d’un schéma électronique :
On considère le montage suivant :
R1 ≡ x
i1
R1 ≡ x
R2 ≡ 3
i2
où R1 sont deux résistances de x Ohms et R2 une de 3 Ohms.
1
2
3
Exprimer la résistance équivalente du circuit, notée R, en fonction de x.
Etudier les variations de R en fonction de x, ainsi que les branches infinies
(on envisagera la possibilité d’une asymptote en l’infinie). Tracer la courbe
C de R pour x variant entre 0 et 6 Ohms.
1
3 A partir de quelle valeur de x la différence R −
x+
est-elle
2
4 inférieure à 1/100 ? En déduire une valeur approchée de R lorsque
x = 120 Ohms.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
201 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
4
Généralités sur les fonctions
5
Continuité
6
Dérivation
7
Comportements asymptotiques
8
Comportements locaux
Limites en un point a
Calcul de limites
Développements limités
9
Synthèse : Étude de fonctions
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
202 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.1.1. - Notion de limites en un point a
(avec a ∈ R
Exemple 208 (Fonction inverse)
y
lim f (x) = +∞
x→0+
Table de valeurs
1
x
f (x) =
x
1
1
0.1
10
0.01
100
...
...
1.10−6
106
B
η
1
Ginv
x
1
Lorsque x → 0 (par valeurs supérieures), f (x) croit indéfiniment ; on dit
que lim+ f (x) = +∞
x→0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
202 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.1.1. - Définitions
Définitions 209 (Comportement local)
Le comportement local d’une fonction f de la variable x est la
”‘direction”’ de f lorsque x tend vers a, soit des deux côtés, soit par
valeurs inférieures (a− ), soit par valeurs supérieures a+ .
Elle prend la forme d’une limite L qui peut être un nombre ∈ R ou un
infini ±∞.
La limite L peut être atteinte ou approchée par la fonction, en arrivant par
valeurs inférieures (L− ) ou supérieures (L+ ).
On la note : lim f (x) = lim f = L
x→a
a
Remarque
Très souvent a = 0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
203 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.1.1. - Limite finie en un point a
Cas d’une limite finie L ∈ R en a ∈ R
lim f (x) = lim f = L
x→a
a
Exemple 210 (Sinus cardinal)
lim sinc (x) = lim
x→0
x→0
sin(x)
=1
x
y
1
lim f (x) = 1
x→0
η
−3π
−2π
−π
0
π
2π
x
3π
Gsinc
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
204 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.1.1. - Limite infinie en un point a
y
lim f (x) = +∞
x→0
Cas d’une limite +∞ en
un point a ∈ R
lim f (x) = lim f = +∞
x→a
a
Exemple 211 (f(x) =
B
1
|x|
)
η
1
G1/|x|
de limite +∞ lorsque x → 0
x
1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
205 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.1.1. - Limites par valeurs supérieures ou
inférieures
1
Si x → a+ , alors x → a et x ≥ a
2
Si x → a− , alors x → a et x ≤ a
De même, pour L ∈ R
1
lim f (x) = L+ , alors f (x) → L et f (x) ≥ L
x→a
2
lim f (x) = L− , alors f (x) → L et f (x) ≤ L
x→a
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
206 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.2.1. - Limites en 0 des fonctions usuelles
Fonction f (x)
Limite en 0
Fonction f (x)
Limite en 0
Constante c
Puissance x n (n ∈ N∗ )
√
Racine carrée x
c
sin(x)
0
0
cos(x)
1
0+
tan(x)
0
arcsin(x)
0
+∞ si x → 0+
1
Inverse
x
−∞ si x → 0−
Log népérien ln(x)
−∞ pour x → 0+
arccos(x)
Exponentielle e x
1
arctan(x)
π
2
0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
207 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.2.2. - Opérations algébriques sur les
limites
Remarques
Mêmes théorèmes que pour les comportements asymptotiques
Mêmes formes indéterminées
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
208 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.2.2. - Exercices type
Exercice 2.62. Exercice type : Limite locale : Calculer lim
x→0
tan(x)
.
2 + x1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
209 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.2.2. - Exercices de TD
Exercice 2.63. Limites en 0 : Calculer les limites en 0 des fonctions f suivantes :
p
p
arctan x
1 f (x) =
2 f (x) = x 2 + 1 − x 2 − 1
|x − 3|
2x + |2x + 5|
2x − 3
3 f (x) =
4 f (x) =
x +5
5x − 1
|x(x − 1)| ln(x)
5 f (x) =
x3
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
210 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.2.3. - Rappel sur la notion d’équivalence
y
Equivalence en 0
Deux fonctions f et g sont
équivalentes au voisinage de 0 si
elles sont égales au voisinage de 0 à
un epsilon près. Leurs graphes se
tangentent et elles ont la même
limite en 0. On le note :
f (x) ∼ g (x)
2
tan(x)
x
0
x
π/2
x→0
Exemple 213 (Equivalent de tan)
tan(x) ∼ x
x→0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
211 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.2.3. - Équivalences usuelles en 0
Pour tout x au voisinage de 0 et α ∈ R+∗
(1 + x)α ∼ 1 + αx
x→0
1
∼ 1 + αx
(1 − x)α x→0
(1 − x)α ∼ 1 − αx
x→0
1
∼ 1 − αx
(1 + x)α x→0
ln(1 + x) ∼ x
ln(1 − x) ∼ −x
sin(x) ∼ x
cos(x) ∼ 1
tan(x) ∼ x
ax ∼ 1 + x ln(a)
arcsin(x) ∼ x
arctan(x) ∼ x
x→0
x→0
x→0
x→0
x→0
x→0
x→0
x→0
P(x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a0 ∼ le monôme ai x i de plus petit
x→0
degré tel que ai soit non nul
P(x)
F (x) =
∼ le quotient des équivalents de P(x) et Q(x)
Q(x) x→0
Remarque
Même application au calcul de limites que pour les comportements
asymptotiques, même opérations licites
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
212 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.2.3. - Exercices types
Exercice 2.64. Exercice type : Limites via équivalences : Calculer :
1
1
tan(x)
(1 + x) 3 − (1 − x) 3
1 lim
2 lim
x→0
x→0
x
x
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213 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.2.4. - Limites en a 6= 0 d’une fonction f
Théorème 214 (Changement de variable (CV))
Etant donnée une variable x tendant vers a et une variable t choisie de
sorte que x = u(t) et t = v (x) avec u et v deux fonctions, alors :
lim f (x) = lim f (u(t)) avec b = lim v (x)
x→a
x→a
t→b
Méthodologie 215 (CV pour un calcul de lim f(x))
x→a
1
Poser le cv x = u(t) et inverser le cv pour obtenir t = v (x) ;
2
Réécrire l’expression de f (x) en fonction de t en remplaçant, dans la règle
de définition de f , tous les x par v (t), pour obtenir f (v (t)) ;
3
Calculer b = lim v (x) ;
4
Conclure que lim f (x) = lim f (u(t)).
x→a
x→a
t→b
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
214 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.2.4. - Exercices type
Exercice 2.65. Exercice type : Changement de variable : Calculer les limites
suivantes en utilisant les changements
de variables proposés :
x 1
1
1 x
1 lim
1+
y=
2 lim 2(2 − x) +
y =x +2
x→+∞
x→−2
x
4x +2
x Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
215 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.2.4. - Changements de variable usuels
Théorème 216 (Changements de variable usuels)
Les CV usuels sont :
y =x −a
x =y +a
x→a
y →0
lim f (x) = lim f (a − y )
y =a−x
x =a−y
x→a
y →0
lim f (x) = lim f (y + a)
1
y
1
lim f (x) = lim f
y →−∞
y
x→0−
lim f (x) = lim f
x→0+
y →+∞
y=
1
1
x=
x y
y=
1
1
x=
x y
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
216 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.2.4. - Exercices de TD
Exercice 2.66. Changements de variable : Déterminer les limites suivantes en
faisant les changements de variables proposés :
x 2 + 3x − 4
2x 2 − x − 1
1
3 lim
ln (x − 1)
x −2
x→2−
x +1
5 lim
x 3 ln
x→+∞
x
1 lim
x→1
u = x − 1 u = 2 − x u=
1
x 1
1
ln 1 +
x −2
x −2
1
4 lim
x tan
x→+∞
x
x
1
6* lim
1+
x→+∞
x
2
lim
x→2+
u =x −2 1
x 1
u=
x u=
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
217 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.1. - Principe des Développements
Limités (DLs)
Principe
Les DLs permettent d’approcher de plus en plus précisément et
localement (pour x autour de a) l’image f (x) par un polynôme P(x).
Un DL aura un ordre qui indique le degré d’approximation de la fonction
f.
Remarque
En général, a = 0 ; sinon, on effectue un changement de variable pour se
ramener en 0.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
218 / 354
Continuité
Généralités sur les fonctions
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.1. - Principe des Développements
Limités (DLs)
Exemple 217 (DLs de tan en 0)
tan(x) ∼ x : l’équivalent en 0 est aussi le DL à l’ordre 1
0
x3
+ x 3 (x) : DL à l’ordre 3 avec un polynôme de degré 3
3
x3
2x 5
tan(x) = x +
+
+ x 5 (x) : DL à l’ordre 5 avec un polynôme de
3
15
degré 5
tan(x) = x +
Remarque
Les DLs sont incrémentales avec l’ordre
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
218 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.1. - Développement limité (DL) à
l’ordre n
Définition 218 (DL à l’ordre n)
Le développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 d’une fonction
f prend la forme d’un polynôme à coefficients réels
Pn (x) = a0 + a1 x + ... + an x n de degré au plus égal à n, de sorte que
pour tout x proche de 0, il existe une fonction telle que
f (x) = Pn (x) + +x n (x) avec limx→0 (x) = 0.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
219 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.1. - Formule de Taylor-Young
Théorème 219 (Formule de Taylor-Young pour les DLs en 0)
Une fonction f dérivable n fois au voisinage de 0 admet un DL unique,
donné par :
f (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
x + ... +
x + x n (x)
2!
n!
où la factorielle de n est définie par :
1 × 2 × ... × (n − 1) × n , si n 6= 0
n! =
et est une fonction telle
1
, si n = 0
que lim (x) = 0.
x→0
Exercice 2.67. Exercice type : DL avec Taylor-Young : Donner le DL de e x à
l’ordre 5.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
220 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.1. - Décrémenter l’ordre
Théorème 220 (Décrémenter l’ordre d’un DL)
Pour passer d’un DL à l’ordre n à un DL à un ordre m inférieur, il suffit
de tronquer le polynôme à l’ordre m, c’est à dire d’effacer toutes les
puissances de x de degré supérieur à m.
Exemple 221 (DL à l’ordre 3 de ex )
x2
x3
x4
x5
+
+
+
+ x 5 (x) (DL à l’ordre 5),
2
6
24 120
x3
x2
+
+ +x 3 (x) à l’ordre 3
alors e x = 1 + x +
2
6
Sachant e x = 1 + x +
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
221 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.1. - Interprétation numérique
Exemple 231 (DL de ex )
x
x
Valeur exacte
e
DL à l’ordre 1
1+x
DL à l’ordre 2
DL à l’ordre 3
DL à l’ordre 4
x2
1+x +
2!
x3
x2
+
1+x +
2!
3!
x2
x3
x4
1+x +
+
+
2!
3!
4!
0.1
0.01
1.10517091
1.010050167
1.1
1.01
1.105
1.01005
1.105166
1.01005016
1.105170
1.0100501670
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
222 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.1. - Interprétation numérique et
graphique
Exemple 232 (f(x) =
1
1+x
)
f (x) admet pour DL à l’ordre n :
f (x) = Pn (x) = 1 − x + x 2 − x 3 + ... + (−1)n x n + x n (x)
y
y
P3 (x)
1
f (x) =
1
1+x
1
x
0
1
P2 (x)
f (x) =
1
1+x
P1 (x)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
223 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.2. - Développements limités usuels
f (x)
∼
Pn (x) du DL à l’ordre n
(1 + x)α
1 + αx
1 + αx + ... +
1
1+x
1−x
1 − x + x 2 − x 3 + . . . + (−1)n x n + x n (x)
ln(1 + x)
x
x−
ex
1+x
sin(x)
x
cos(x)
1
tan(x)
x
arcsin(x)
x
arctan(x)
x
0
α(α − 1) . . . (α − n + 1) n
x + x n (x)
n!
x2
x3
(−1)n+1 n
+
+ ... +
x + x n (x)
2
3
n
x2
x3
xn
+
+ ... +
+ x n (x)
1+x +
2
6
n!
x3
x5
(−1)p 2p+1
x−
+
− ... +
x
+ x 2p+1 (x)
6
120
(2p + 1)!
x2
x4
(−1)p 2p
1−
+
− ... +
x + x 2p (x)
2
24
(2p)!
x3
2x 5
x+
+
+ x 5 (x)
3
15
x3
3x 5
x+
+
+ x 5 (x)
6
8
x3
x5
x−
+
+ x 5 (x)
3
120
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
224 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.2. - DL d’une somme
Théorème 233 (DL d’une somme)
Soient u(x) = Pn (x) + x n (x) et v (x) = Qn (x) + x n (x). Alors
u(x) + v (x) = Sn (x) avec Sn (x) = Pn (x) + Qn (x) + x n (x) tronqué à
l’ordre n.
Exercice 2.68. Exercice type : DL d’une somme : Déterminer le DL à l’ordre 3
de f (x) = cos(x) + sin(x).
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
225 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.2. - DLs d’un produit
Théorème 234 (DL d’un produit)
Soient u(x) = Pn (x) + x n (x) et v (x) = Qn (x) + x n (x). Alors
u(x).v (x) = Sn (x) + x n (x) avec Sn (x) = Pn (x).Qn (x) tronqué à l’ordre
n.
Exercice 2.69. Exercice type : DL d’un produit : Déterminer le DL à à l’ordre 2
de f (x) = e x . cos(x).
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
226 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.2. - DLs d’un quotient
Théorème 235 (DL d’un quotient)
Soient u(x) = Pn (x) + x n (x) et v (x) = Qn (x) + x n (x). Alors
u(x)
= Sn (x) + x n (x) avec Sn (x) obtenu par division polynomiale
v (x)
suivant les puissances croissantes de Pn (x) par Qn (x) tronqué à l’ordre n.
Exercice 2.70. Exercice type : DL d’un quotient : Déterminer le DL à l’ordre 2
ln(1 + x)
de f (x) =
.
cos(x)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
227 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.2. - DLs d’une composée
Théorème 236 (DL d’une composée)
Soient u(x) = Pn (x) + x n (x) et v (x) = Qn (x) + x n (x). Alors
u v (x) = Sn (x) + x n (x) avec Sn (x) = Pn (Qn (x)) tronqué à l’ordre n.
Exercice 2.71. Exercice type : DL d’une composée : Déterminer le DL à l’ordre
2 de :
1 f (x) = ln(1 + sin(x))
2 g (x) = ln(1 + 3x)
3 h(x) = sin(−2x)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
228 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.2. - Exercices de TD
Exercice 2.72. DL d’une somme : Déterminer le DL à à l’ordre 3 de
u(x) + v (x) lorsque u(x) = e x et v (x) = sin(x).
Exercice 2.73. DL d’un produit : Déterminer le DL à l’ordre 2 de u(x).v (x)
avec u(x) = e x et v (x) = sin(x).
Exercice 2.74. Calcul de DLs : Donner le développement limité en 0 à l’ordre 2
des fonctions de la variable x suivantes :
1
sin(x)
1 + x2
6 sinc (x) =
2
sin(πx)
πx
1
1 + sin(x)
7 xe x
3 tan2 (x)
8
4
ln(1 + x)
1+x
x
1 − ex
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
229 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.3. - DL et limites
Théorème 237 (DL et limite)
Si une fonction f admet un DL en 0 à l’ordre n de la forme Pn (x) où
Pn (x) est un polynôme de degré n, alors : lim f (x) = lim Pn (x)
x→0
x→0
Exercice 2.75. Exercice type : Limite : Calculer la limite en 0 de
ln(1 − x)
f (x) =
.
x
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
230 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.3. - Exercices de TD
Exercice 2.76. Calcul de limites : Calculer les limites quand x tend vers 0 des
fonctions suivantes, en utilisant les DLs usuels :
x − arcsin(x)
x − sin(x)
2
1 − e −x
4 f (x) =
1 − cos(x)
1 f (x) =
x 2 sin(x)
x − sin(x)
ax − b x
5 f (x) =
x
2 f (x) =
√
√
2x + 1 − x + 1
x
ln (cos(ax))
6 f (x) =
ln (cos(bx))
3 f (x) =
où a et b sont deux paramètres réels strictement positifs.
Exercice 2.77. Calcul de limites (DS 2008) : Calculez les limites suivantes :
1
lim
x→+∞
p
3
1 + x 3 − (1 + x)
2
1
lim x 2 3(1+ x )
x→±∞
3 lim
x→0
1
ln
x
ex − 1
x
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
231 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 8.3.3. - Exercices de TD
Exercice 2.78. Limites (pour les poursuites d’études longues) :
Calculer les limites suivantes :
x +1
x→+∞
x −1
cos(πx/2)
4 lim
x→1
x − 1 n
n+1
7 lim
n→+∞
n
1
lim x ln
ln(x)
2 lim √
x→1
x −1
5 lim x 21/x − 1
x→±∞
cos( π2 x)
8 lim
x→+∞ x − 1
x − (n + 1)x n+1 +
x→1
(1 − x)2
1/x
6 lim x 2 − 1
3 lim
x→0±
9 lim
x→1
xn − 1
x −1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
232 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
4
Généralités sur les fonctions
5
Continuité
6
Dérivation
7
Comportements asymptotiques
8
Comportements locaux
9
Synthèse : Étude de fonctions
Techniques d’étude de fonctions
Exercices
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
233 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 9. - Objectif
Objectif de l’étude de fonction
Tracer le graphe de la fonction sans calculatrice
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
233 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 9.1. - Méthodologie
Méthodologie 238 (Étude d’une fonction)
1
Déterminer l’ensemble d’étude ;
2
Déterminer le tableau de variation sur l’ensemble d’étude ;
3
Étudier les branches asymptotiques de l’ensemble d’étude ;
4
Étudier quelques comportements locaux (dépendant du tableau de
variation) ;
5
Tracer le graphe.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
234 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 9.2. - Problème de synthèse
Exercice 2.79. Exercice type :Extrait du DS 2008-2009 :
x2 − 1
.
Etudier la fonction f (x) = x
6x 2 − 4
1
Ensemble de définition et de dérivabilité (1 pts).
2
Etude de la parité (0.5 pts) et ensemble d’étude (0.5 pts).
3
Dérivée de f (2 pts).
4
Sens de variation (on pourra au besoin poser u = x 2 ) (2 pts).
5
Limite de f en +∞ (1 pts)
6
√ 2
f (x) (2 pts) avec u = x − √ .
lim
f (x) et
lim
√ +
√ −
2
2
3
√
√
x→
x→
3
3
7
DL à l’ordre 1 de f (x) au voisinage du point x = 0 (1 pts).
8
Equation de l’asymptote au graphe de la fonction f en +∞ (1 pts).
r
2
= 0.81)
Graphe de f (sachant
3
9
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
235 / 354
Généralités sur les fonctions
Continuité
Dérivation
Comportements asymptotiques
Comportements locaux
Synthèse : Étude de fonctions
M2. 9.2. - Exercices de TD
Exercice 2.80. Etude de fonction
:
(DS 2005)
x +1
Soit la fonction f (x) = Arctan
. Donner le domaine de définition de f .
x
Calculer sa dérivée et donner les limites quand x tend vers ±∞, 0− et 0+ .
Tracer grossièrement son graphe.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
236 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
Module 3
Calcul intégral et équations
différentielles
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
236 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
10
Calcul intégral
Primitive
Intégrales propres dites intégrales de Riemann
Intégrales (impropres) généralisées
11
Équations différentielles
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
237 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.1. - Notion de primitive
Définition 239 (Primitive)
Soit f une fonction réelle de la variable réelle, définie et continue sur
l’intervalle [a; b]. Une primitive de la fonction f est une fonction F de
la variable x définie de [a; b] sur R tel que : pour tout x ∈ [a; b],
F 0 (x) = f (x).
Exemple 240 (Primitives de la fonction inverse)
F (x) = −
1
1
est une primitive de f (x) =
2
x
x
Corollaire 241 ()
Une primitive F de f sur [a; b] est nécessairement dérivable sur [a; b] et
de dérivée F 0 (x) = f (x) sur [a; b]
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
237 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.1. - Primitive et dérivée, deux
opérations inverses
Exercice 3.1. Exercice type : Primitives : Soit f une fonction. Donner une
primitive F de f 0 .
Théorème 242 (Primitive et dérivée)
Une primitive de la dérivée de f est f .
La dérivée d’une primitive de f est f .
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
238 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.1. - Condition d’existence d’une
primitive
Théorème 243 (Th. de Darboux : CNS a d’existence d’une
primitive)
a. Condition nécessaire et suffisante
Pour qu’une fonction f admette une primitive F sur l’intervalle [a; b], il
faut qu’elle soit continue sur [a; b].
Rappel M2
Une fonction f dérivable sur [a; b] est nécessairement continue ; elle
admettra donc une primitive sur [a; b].
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
239 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.1. - DES primitives ...
Théorème 244 (Ensemble des primitives de f)
f possède une infinité de primitives, toutes définies à une constante c
près, appelée constante d’intégration.
Les primitives de f forment donc
un ensemble des fonctions noté x 7→ F (x) + c/c ∈ R .
Démonstration.
Soit F1 une primitive de f sur [a; b]. Alors la fonction F2 définie par
F2 (x) = F1 (x) + c (avec c constante réelle quelconque) est aussi une
primitive de f sur [a; b].
Exemple 245 (Primitives de l’exponentielle)
Toutes les primitives de la fonction f (x) = e x sont les fonctions e x + c
avec c une constante réelle quelconque.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
240 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.1. - ... qui peuvent devenir LA
primitive QUI
Théorème 246 (Une seule primitive pour une condition de valeur
donnée)
Il n’existe qu’une seule et unique primitive de f dont la valeur en un
point
0 x0 est y0 : c’est la fonction F qui satisfait au système d’équations :
F =f
.
F (x0 ) = y0
Trouver LA primitive QUI
Connaissant une primitive F1 de f , trouver l’unique primitive F2 de f
dont la valeur en x0 est y0 consiste à trouver l’unique valeur de la
constante d’intégration c telle que y0 = F1 (x0 ) + c. Cette unique valeur
est copt = y0 − F1 (x0 ). F2 est donc définie pour
tout x ∈ [a, b] par
F2 (x) = F1 (x) + copt = F1 (x) + y0 − F1 (x0 ) .
Exercice 3.2. Exercice type : La primitive : Trouver la primitive de e x qui
s’annule en 2.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
241 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.1. - Une question de vocabulaire
Une question de vocabulaire
Attention donc au vocabulaire employé : Pour une fonction f , admettant
une primitive F :
Toutes les primitives de f sont toutes les fonctions de la forme F + c
avec c la constante d’intégration
La primitive de f qui vaut y0 en x0 est la seule fonction F + y0 − F (x0 )
Une primitive de f est par exemple F + 2
Ces primitives ne sont valables que sur un intervalle I où la fonction f
est continue (ou au moins dérivable).
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
242 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.2. - Primitives des fonctions usuelles
Fonction
f (x)
Primitives F (x)
Validité
Constante
k (avec k ∈ R)
kx + c
R
Terminale
Inverse
1
x
ln |x| + c
R∗
Terminale
R
Terminale
x n (avec n ∈ N)
Expo
Puissance
Monôme
Racine n-ième
Puissance d’inverse
√
n
1
n
x = x (avec n ∈ N∗ )
1
= x −n (avec n ∈ N \ {0, 1})
xn
α
Puissance
x (avec α ∈ R \ {−1})
Exponentielle
x
Expo. à base a
e
x
a =e
x ln(a)
(avec a ∈
x n+1
F (x) =
+c
n+1
1
x n +1
+c
1
n +1
1
(1 − n)x n−1
α+1
x
+c
α+1
x
R+
∗)
R+
R∗
Terminale
∗+
R
e +c
R
ax
+c
ln(a)
R
Terminale
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
243 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
Trigonométrie
M3. 10.1.2. - Primitives des fonctions usuelles
Fonction
f (x)
Primitives F (x)
Validité
Cosinus
cos(x)
sin(x) + c
R
Terminale
Sinus
sin(x)
− cos(x) + c
R
Terminale
1 + tan2 (x)
tan(x) + c
R
M2
arccos(x) + c
] − 1; 1[
M2
arcsin(x) + c
] − 1; 1[
M2
F (x) = arctan(x) + c
R
M2
1
1 − x2
1
√
1 − x2
1
1 + x2
−√
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
243 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.2. - Opérations sur les fonctions
Soient u une fonction de primitive U, v une fonction de primitive V et
λ ∈ R∗ .
Fonction
f (x)
Primitives
Somme
f (x) = u(x) + v (x)
F (x) = U(x) + V (x) + c
Difference
f (x) = u(x) − v (x)
F (x) = U(x) − V (x) + c
Amplification
f (x) = λu(x)
F (x) = λU(x) + c
Homothétie
f (x) = u(λx)
F (x) =
1
U(λx) + c
λ
Exercice 3.3. Exercice type : Primitives : Trouver toutes les primitives de :
1 f (x) =
2
+ 3x
x
2 g (x) = e 3x +
1
cos(2x)
5
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
244 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.2. - Opérations sur les fonctions
Si f peut s’écrire comme la dérivée d’un produit, d’un quotient ou d’une
composée faisant intervenir les fonctions u et v , on peut aisément donner
une primitive de f .
Dérivée
Fonction
f (x)
d’un produit
f = (u.v )0
u 0
f =
v
f (x) = u 0 (x)v (x) + u(x)v 0 (x)
d’un quotient
d’une composée
f = (u ◦ v )0
0
u(x) v (x) − u(x)v (x)
v (x)2
f (x) = v 0 (x)u 0 v (x)
f (x) =
Primitives
0
F (x) = u(x).v (x) + c
u(x)
+c
v (x)
F (x) = u v (x) + c
F (x) =
Exercice 3.4. Exercice type : Primitive de fractions rationnelles : Donner toutes
2x + 2
les primitives de f (x) = 2
.
x + 2x + 2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
245 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.3. - Techniques d’intégration - Cas
général
Méthodologie 247 (Recherche de primitives de f dans le cas
général)
1
Reconnaı̂tre les fonctions usuelles dans f et donner une de leur primitive
2
Reconnaı̂tre l’assemblage de fonctions utilisées (somme, dérivée,
amplification, composée, ...)
3
Intégrer en utilisant les tables en n’oubliant pas la constante d’intégration
Exercice 3.5. Exercice type : Primitives : Donner toutes les primitives de :
1 f (x) = 2x(1 + x 2 )2
2 P(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4
1
3 f (x) = 2 cos(3x) + 5 sin( x)
5
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
246 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.3. - Techniques d’intégration - Cas
particulier 1
Méthodologie 248 (Recherche des primitives de f lorsque f
contient des fonctions trigonométriques)
Linéariser la fonction en somme de cos et de sin (à la puissance 1) puis
appliquer la méthodologie 247 (cas général)
Exercice 3.6. Exercice type : Primitives : Donner toutes les primitives de :
1 f (x) = sin2 (x)
2 g (x) = cos2 (x)
3 h(x) = cos(3x) sin(2x)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
247 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.3. - Techniques d’intégration - Cas
particulier 2
Méthodologie 249 (Recherche des primitives de f lorsque f est une
fraction rationnelle )
1
2
u0
, alors F (x) = ln |u(x)| + c
u
0
u
1
1
Si f = n (avec n ∈ N∗ ), alors F (x) =
+c
u
1 − n u n−1 (x)
Si f =
u(x)
u 0 v − uv 0
, alors F (x) =
v2
v (x)
3
Si f =
4
Sinon, décomposer f en éléments simples M1 , pour obtenir
A
2x + b
f (x) = P(x) +
+B 2
et intégrer :
x −a
x + bx + c
le polynôme P(x)
A
ayant pour primitive A ln x − a
les éléments
x −a
2x + b
les éléments B 2
ayant pour primitive B ln x 2 + bx + c x + bx + c
puis ajouter toutes les primitives obtenues.Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
248 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.3. - Exercices type
Exercice 3.7. Exercice type : Primitives : Donner toutes les primitives de :
1 f (x) = 5
x2
x −1
+x −6
2 g (x) =
x3 + x + 1
x2 + 1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
249 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.3. - Exercices de TD
Exercice 3.8. Calcul de primitive : Pour chacune des fonctions f suivantes,
donner toutes les primitives F (x) de f et l’ensemble de définition des
primitives, en utilisant les règles d’opérations sur les fonctions :
1 f (x) = 2x 3 + 5x 2 − 4x + 1
2
3 f (x) = 2x x 2 + 1
5 f (x) =
1
(x + 1)5
7 f (x) = e x (x + 1)
x +3
9 f (x) = √
x 2 + 6x + 7
cos(x)
11 f (x) = p
9 − sin2 (x)
x +1
2 f (x) = √
x
3
2
4 f (x) = x + 1
6 f (x) =
sin(x)
cos2 (x)
8 f (x) = (x 2 + 1) sin(x 3 + 3x − 3)
x 2 + 2x + 2
10 f (x) = √
x 3 + 3x 2 + 6x + 1
p
12 f (x) = x 1 + x 2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
250 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.1.3. - Exercices de TD
Exercice 3.9. Primitives de fractions rationnelles : Trouver une primitive des
fractions rationnelles suivantes :
x +1
x2 + 1
x3 + 1
3 f (x) =
x −1
1 f (x) =
1
(x − 1)(x 2 + 1)
5x − 12
7 f (x) =
x(x − 4)
5 f (x) =
x2 + x + 1
x 2 − 3x + 2
1
4 f (x) = 2 2
x (x − 3x + 2)
x +3
6 f (x) =
x +2
2 f (x) =
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
251 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.1. - L’intégrale comme aire
algébrique
Définition 250 (Intégrale de f de a à b)
Soit f une fonction continue sur un
intervalle [a; b]. L’intégrale de f de a à b
est l’aire algébrique (signée) de la surface
dite ”sous” le graphe géométrique Gf de f
entre les droites d’équation x = a et x = b.
Z b
Z b
f ou
f (x)dx. f est alors
On la note
a
appelé intégrande.
y
B2 (b, f (b))
A2 (a, f (a))
Z
Gf
b
f (x)dx
a
a
A1 (a, 0)
B1 (b, 0)
x
Remarques
dx désigne la différentielle de x, autrement dit une petite variation de x.
x est la variable d’intégration. C’est une Mathématiques
variable muette
pour les RT, Modules M1, M2 et M3
252 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.1. - Approximation de l’intégrale par
une somme de rectangle
n mesures de la fonction : f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn−1 ) aux points x0 ,
x1 , x2 , ..., xn−1 espacés d’une distance δx = x1 − x0 ≈ b−a
n
y
f (xn−1 )
f (xn−1 )δx
f (x3 )δx
f (x1 )δx
Gf
f (x3 )
f (x2 )δx
f (x1 )
f (x0 )δx
f (x0 )
f (x2 )
...
x
x0
a
x1
x2
x3
xn−1
b
δx
δx
δx
δx
δx
f (x0 )δx + f (x1 )δx + f (x2 )δx + ... + f (xn−1 )δx ≈
Z
b
f (x)dx
a
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
253 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.1. - Approximation de l’intégrale par
une somme de rectangle
n−1
X
i=0
f (xi )δx ≈
Z
b
f (x)dx
a
Lorsqu’on fait tendre n vers +∞ (et f intégrable), alors :
Z b
n−1
X
lim
f (xi )δx =
f (x)dx
n→+∞
i=0
a
Conclusions
Une intégrale est la somme de toutes les valeurs f (x) que prend la
fonction f entre x = a et x = b pondérées par la quantité infiniment
petite dx.
Dans le calcul d’une intégrale, il faudra systématiquement prendre en
compte la règle de définition qui s’applique pour f dans l’intervalle
d’intégration [a; b].
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
254 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.1. - Exercices type
Exercice
3.10. Exercice type : Intégrale d’une porte : Calculer l’intégrale
Z 5
Π2 (x)dx où ΠT désigne la fonction porte de la largeur T
−5
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
255 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.1. - Intégrale (propre)
Définition 252 (Intégrale (propre))
Soit f une fonction continue sur [a; b] ayant pour primitive la fonction F
sur [a; b]. Alors f est intégrable sur [a; b] et son intégrale entre a et b
est le nombre réel :
Z b
b
f (x)dx = F (x) a = F (b) − F (a)
a
Remarques :
b
Z
f (x)dx ne dépend pas de la constante d’intégration c choisie pour F
a
F (x)
b
a
est une expression/notation mathématique
cette intégrale (par définition) est aussi la ”somme” de toutes les valeurs
f (x) prises par f lorsque x varie entre a et b. La règle de définition utilisée
pour f (x) dans le calcul de l’intégrale est donc celle valable pour
x ∈ [a; b].
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
256 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.1. - Exercices type
Exercice 3.11. Exercice type : Intégrales : Calculer :
Z 2
Z −1
1
sign(x)dx
2
|x|dx
−2
1
Exercice 3.12. Exercice type : Intégrales
Z a : Montrer que pour toute fonction f
continue au voisinage d’un réel a,
f (t)dt = 0
a
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
257 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.1. - Application de l’intégration à la
physique
Définition 253 (Grandeurs physiques en électronique)
Soit une tension U(t) fonction du temps t.
La valeur moyenne de U(t) entre l’instant t = a et l’instant t = b est :
Z b
1
Umoy =
U(t)dt
b−a a
a
La valeur
s efficace de U(t) entre l’instant t = a et l’instant t = b est :
Z b
1
Ueff =
U 2 (t)dt
b−a a
a. valeur de la tension continue qui provoquerait une même dissipation de puissance
que U(t) si elle était appliquée aux bornes d’une résistance
Exercice 3.13. Exercice type : Tension en électronique : Soit la tension
1
U(t) = U0 sin(2πωt) variable au cours du temps t avec T =
et ω deux
ω
constantes réelles. Donner la valeur moyenne puis la valeur efficace de U(t) sur
[0; T ].
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
258 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.2. - Propriétés des intégrales propres
Théorème 257 (Relation de Chasles)
Z b
Z c
Z b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx
a
a
c
Théorème 258 (Inversion des bornes)
Z b
Z a
f (x)dx = −
f (x)dx
a
b
Z
Exercice 3.14. Exercice type : Chasles : Calculer
2
(Π2 (x) + x)dx.
0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
259 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.2. - Propriétés de l’intégrale propre
Théorème 259 (Intégrale et symétrie graphique)
a
Z
a
Z
f (x)dx = 2
Si la fonction f est paire, alors
−a
Z
f (x)dx.
0
a
Si la fonction f est impaire, alors
f (x)dx = 0.
−a
Si la fonction f est périodique de période T , alors
Z a+T
Z T
Z T
2
f (x)dx =
f (x)dx =
f (x)dx.
a
0
− T2
Z
5π
Exercice 3.15. Exercice type : Période : Calculer
cos(x)dx.
3π
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
260 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Techniques d’intégration
Méthodologies
1
Rechercher une primitive F de f puis calculer F (b) − F (a).
2
Utiliser une intégration par partie pour se ramener à la méthodologie
précédente.
3
Effectuer un changement de variable pour se ramener à la méthodologie
précédente.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
261 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Méthodologie : Recherche de
primitives
Méthodologie 260 (Recherche de primitives)
Z b
f (x)dx se calcule en trouvant une primitive F de f puis en évaluant
a
b
F (x) a = F (b) − F (a). F est recherchée avec les méthodologies 247,
248 et 249, déjà vues pour le calcul de primitive et qui se résument de la
sorte :
f = assemblage de fonctions usuelles ⇒ tables des primitives usuelles et
opérations sur les fonctions
f = fonctions trigonométriques ⇒ Linéarisation
f = fraction rationnelle simple
u0
u 0 v − uv 0
u0
, du n ou du
puis intégrer
u
u
v2
A
2x
+b
→ sinon, faire une DES a de f puis intégrer les
et 2
x −a
x + bx + c
→ mettre f en relation avec du
a. Décomposition en éléments simples
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
262 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Exercices type
Exercice 3.16. Exercice type : Intégrales : Calculer :
Z 2
Z 2
dt
1
dx
1
2
2
2 (x + 1)
1
+
t
x
1
1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
263 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Exercices de TD
Exercice 3.17. BTS Groupement B 2003 : Soit f la fonction définie par
f (x) = (2x + 3)e −x .
1
Montrer que f admet une primitive sur R.
2
Montrer qu’une primitive de f sur R est la fonction F définie par :
F (x) = −(2x + 5)e −x .
Z 1
2
1
Montrer que
f (x)dx = 5 − 6e − 2 .
3
0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
264 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Exercices de TD
Exercice 3.18. Calcul d’intégrales : Calculer les intégrales suivantes :
Z 1
Z 2
1
(6x 2 − 5)(2x 3 − 5x + 1)dx
2
|x 2 + 2x − 3|dx
Z0 π/4
Z−2
π/4
3
tan(x)dx =
4
tan2 (x)dx
Z0 2π
Z0 e 2
1
5
| sin(t)|dt
6
dt
t
ln(t)
−2π
e
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
265 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Exercices de TD
Exercice 3.19. BTS Groupement E 2002 : Soit f et h deux fonctions définies
1
sur l’intervalle [0; 5] par : f (x) = (x 3 − 9x 2 + 24x) et h(x) = −x 2 + 6x.
4
1
Etudier et représenter graphiquement les fonctions f et h sur l’intervalle
[0; 5].
2
En notant Gf et Gh les graphes géométriques de f et h, intuitez la position
relative de Gf et Gh dans le plan. Justifier ensuite votre réponse par le
calcul.
3
Calculer l’aire S de la partie du plan comprise entre les deux graphes. On
donnera une valeur exacte.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
266 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - L’Intégration Par Partie (IPP)
pour le produit de fonctions
Théorème 261 (Intégration par partie)
Si la fonction f à intégrer s’écrit f (x) = u 0 (x)v (x) avec u, v deux
fonctions définies et dérivables sur [a; b] et de dérivées respectives u 0 et
v 0 elles-même continues sur [a; b] alors la formule de l’intégration par
partie consiste à écrire :
Z
b
Z
f (x)dx =
a
a
b
u(x)
b
u 0 (x) v (x) dx = u(x) · v (x) a −
v 0 (x)
Z
b
u(x)v 0 (x)dx
a
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
267 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Méthodologie : L’IPP
Méthodologie 262 (IPP)
1
Chercher u 0 et v tels qu’on puisse écrire f (x) = u 0 (x)v (x) ;
2
Déterminer une primitive u de u 0 ;
3
Calculer la dérivée v 0 de v ;
4
Appliquer
la formule de l’IPP Z
Z b
b
b
b
f (x)dx = u(x) · v (x) a −
u(x)v 0 (x)dx et calculer u(x) · v (x) a
a
a
Z b
0
puis intégrer
u(x)v (x)dx avec les différentes méthodologies.
a
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
268 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Choix des fonctions de l’IPP
Choix des fonctions u 0 et v de l’IPP
Ce choix est arbitraire et requiert de la pratique et de l’intuition.
Z b
Cependant, l’idée principale est que
u(x)v 0 (x)dx soit plus facile à
a
Z b
u 0 (x)v (x)dx : on aura donc souvent tendance à choisir :
calculer que
a
comme terme u 0 (x), les fonctions trigonométriques, les exponentielles ;
comme terme v (x), les polynômes, les logarithmes.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
269 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Exercices type
Exercice 3.20. Exercice type : IPP : Calculer avec une IPP :
Z 2
Z 3
(2x + 1)e x dx
x cos(x)dx
1
2
1
1
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
270 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Exercices de TD
Exercice 3.21. IPP : Calculer les intégrales suivantes en faisant une intégration
par partie :
π
Z
b
Z
1
x sin(x)dx
Z0 1 p
3
ln x + x 2 + 1 dx
x α ln(x)dx avec 0 < a < b et α > 1
2
Za 0
4
0
xe −x dx avec a ∈ R
a
Exercice 3.22. IPP : Soit t ∈ R+
∗ fixé. Calculer les intégrales suivantes en
utilisant une IPP :
t
Z
e 2x (3x 2 + 1)dx
1
Z0 t
4
1
x 2 ln(x)dx
t
Z
2
e −x (x 3 + 5x 2 )dx
Z0 t
5
t
Z
ln(x 2 + 1)dx
3
0
arctan(x)dx
0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
271 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Méthodologie : le Changement
de Variable (CV)
Théorème 263 (Le changement de variable)
Z b
Soit f (x) une fonction intégrable sur [a; b] et I =
f (x)dx. On pose
a
x=u(t) où u est une fonction de la variable t qui est :
définie et dérivable sur [α; β] de dérivée telle que dx = u 0 (t)dt ;
monotone sur [α; β] donc ayant une réciproque u −1 telle que t = u −1 (x) ;
telle que u(α) = a et u(β) = b et donc telle que α = u −1 (a) et
β = u −1 (b).
Alors :
Z
I =
b
Z
β
f ( x ) dx =
a
f
u(t)
u 0 (t)dt
α
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
272 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Méthodologie du CV par
l’exemple
Méthodologie 264 (CV)
1
Poser le CV x=u(t) et l’inverser pour avoir t = u −1 (x) ;
2
Règle de définition : réécrire la règle de définition de f (x) en remplaçant
l’ancienne variable x par la nouvelle t ;
3
Calcul des bornes α et β : calculer ce que vaut t lorsque x = a, puis
lorsque x = b ;
4
5
Calcul de la différentielle dx = u 0 (t)dt : en interprétant x comme une
dx
fonction de t, calculer u 0 (t) =
autrement dit la dérivée x 0 de x par
dt
rapport à t ; en déduire dx en fonction de dt ;
Appliquer la formule du CV, puis continuer le calcul de l’intégrale avec les
méthodologies du cours.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
273 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Exercices type
1
Z
Exercice 3.23. Exercice type : CV : Calculer
√ t= x .
√
exp( x)dx en faisant le CV
0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
274 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Choix du CV
Choix du CV
En général, le CV est suggéré par l’énoncé ; sinon
f (x) de la forme
p
1 − x2
1
x2 + 1
ex + α
ex + β
p
a2 x + bx + c
Changement de variable (CV)
x = cos(t) ou x = sin(t)
x = tan(t)
x = ln(t)
Ecrire a2 x + bx + c sous la forme
a
a2 (x + α)2 + β 2 puis t = (x + α)
β
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
275 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Exercices type
Exercice 3.24. Exercice type : CV : Calculer à l’aide d’un CV les intégrales
suivantes :
Z 1p
1
1 − x 2 dx avec x = cos(t)
Z0 1
1 x1
1
2
e dx avec t =
1 x3
x 2
Z 1
1
1
3
dx
avec
t
=
x
+
puis
u = 2t 2
2 0 x + x + 1/2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
276 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.2.3. - Exercices de TD
Exercice 3.25. CV : Calculer les intégrales suivantes en faisant le changement
de variable suggéré :
arcsin(x)
√
dx avec x = sin(u)
2
1−x
Z0 1
3x − 1
1
dx avec u = 2 (x − 1)
2 − 2x + 5
x
0
Z 1 x
e +1
x
dx
avec
u
=
e
e 2x + 1
Z0 1
√ x +1
√ dx avec u = x
x
Z1/4
a
1
x
+
dx
avec
u
=
e
et a ∈ R∗
−x
0 3+e
Z
1
3
5
7
9
1/2
q 1
dx
avec
u = 32 x
2
2
Z0 1 3x +
x
e
√
4
dx avec u = e x 2x
Z0 1 e√ − 1
√ x
6
dx avec u = x
2 +x
x
Z1/4
3
1
dx avec u = ln x 8
2 x ln(x)
Z
√
a
1
√
10
dx avec u = 1 + e x et a ∈ R+
∗
x
1+e
0
Z
1
2
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.3.1. - Introduction aux intégrales
impropres
Z
On cherche à calculer
b
f (x)dx lorsque :
a
1
2
3
4
f n’est pas définie ou continue sur tous les points de [a; b]
f n’est définie que sur ]a; b] avec f non définie en a
f n’est définie que sur [a; b[ avec f non définie en b
l’intervalle d’intégration est [a; +∞[ ou est ] − ∞; b]
Exemple 265 (Des intégrales impropres)
Z
1
sinc (x)dx alors que sinc n’est pas définie en 0
−1
Z
0
1
1
dx alors que
tend vers l’infini lorsque t → 0 et donc que l’aire
x
x
−1
sous la courbe est intuitivement infinie
Z +∞
1
x2
En Télécommunications, TEB = p
exp
−
dx
2σb2
2πσb2 0
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.3.1. - Un exemple
Exemple 266 (Banques)
Vous empruntez 1 euro à un banquier avec le plan de remboursement
suivant :
1er mois :
1
10
2ème mois :
3ème mois :
euro
1
euro
100
1
euro
1000
...
x-ème mois :
1
10x
euro
Le banquier calcule combien de mois il vous faudrait pour rembourser ce
1 euro ; et vous donne sa réponse : accepte-t-il votre proposition ?
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.3.1. - Intégrale impropre
Définition 267 (Intégrale impropre ou généralisée)
Soient a un réel, b un réel ou un infini (+∞ ou −∞) et f une fonction
définie et continue sur [a; b[.
T
Z
Si lim
f (x)dx existe et vaut une valeur réelle finie I (c’est à dire une
T →b
a
valeur 6= ∞), on dit que la fonction f est intégrable de a à b. Alors
Z b
l’intégrale impropre (ou généralisée) notée
f (x)dx existe et vaut I .
a
T
Z
Si lim
T →b
f (x)dx n’a pas de valeur réelle finie (par exemple vaut +∞),
a
alors on dit que f n’est pas intégrable. Alors l’intégrale impropre (ou
Z b
généralisée) notée
f (x)dx n’existe pas et n’a pas de valeur.
a
b est appelé la borne à risque
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.3.1. - Bornes à risques
Méthodologie 268 (Comment identifier la (ou les) borne(s) à
risque ?)
Z b
Dans l’intégrale
f (x)dx,
a
1
Etudier la dérivabilité (continuité) de f sur l’intervalle d’intégration
([a; b]) : si f n’est pas dérivable (continue) en différents points de
l’intervalle d’intégration, ces points sont des bornes à risque.
2
Si l’intervalle d’intégration inclut un infini (−∞, +∞), cet infini est une
borne à risque.
3
Dans tous les autres cas, l’intégrale ne présente pas de borne à risque. Ce
n’est pas une intégrale généralisée mais une intégrale propre.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.3.1. - Exercices type
Exercice 3.26. Exercice type : Bornes à risque d’intégrales impropres :
Identifier la ou les bornes à risques dans les intégrales suivantes :
Z +∞
Z +∞
1
x
√ dx
1
2
dx
2 +x +1
x
x
0
0
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.3.1. - Exercices de TD
Exercice 3.27. Bornes à risques : Pour chacune des intégrales suivantes,
préciser (si elles existent) les bornes à risques :
Z
+1
1
√ dx
x
0
Z π
π
2
3
tan
− x dx
π
2
Z 4+∞
1
1
5
sin
dt
t
t
1
Z +∞
x
8
dx avec n ∈ N∗
2 + x + 1)n
(x
0
1
Z
+∞
1
√ dx
x
+1
exp(arctan(x))
4
dx
x
Z−1
+∞ t
e
7
dt
t2
0
2
Z1
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.3.3. - Calcul de l’intégrale impropre
Z
Méthodologie 277 (Calcul d’une intégrale impropre
f(x)dx)
2
Déterminer la (ou les) borne(s) à risques dans l’intervalle d’intégration
Z b
Découper l’intégrale en somme d’intégrales
f (x)dx avec b une des
3
bornes à risques
Z b
f (x)dx en :
Calculer
1
a
a
T
Z
f (x)dx
Posant T un réel quelconque dans [a; b[, puis calculer F (T ) =
a
Calculant la limite quand T → b de F (T )
Z b
La limite trouvée est
f (x)dx : elle doit être réelle si l’intégrale existe,
sinon elle sera ∞
a
Z
4
Ajouter tous les résultats d’intégrales pour obtenir
f (x)dx
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.3.3. - Exercices-type
Exercice 3.31. Exercice type : Intégrales impropres : Calculer :
Z +∞
Z +∞
1
1
1 I =
dx
2
dx
x
10
x(x
+ 1)
1
1
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 10.3.3. - Exercices de TD
Exercice 3.32. Calcul d’intégrales généralisées : Calculer en suivant les
indications proposées :
+∞
Z
1
Z1 +∞
3
Z1 +∞
5
Z−∞
+∞
7
Z1 +∞
9
0
1
dx
x(x + 1)
x ln(x)
dx IPP 2
2
(1 + x )
1
dx
(|x| + 1)3
1
dx u = x + 1 2
x + 2x + 2
1
dx
(x + 1)2 (x + 2)2
Z
+∞
1
dx
1
+
x2
Z−∞
+∞
arctan(x)
4
dx IPP 2
x
Z1 +∞
x5
6
6
dx
u
=
x
12
Z0 +∞ x + 1
1
dx u =
8
x
−x
(e + 1)(e + 1)
0
Z
+∞
ln(x)
10
dx IPP 3
(1
+
x)
1
2
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Calcul intégral
10
Calcul intégral
11
Équations différentielles
Généralités
Équations différentielles du 1er ordre
Équation différentielle du 2ème ordre
Synthèse
Équations différentielles
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.1.1. - Équations différentielles
Définition 278 (Équation différentielle (équa diff, ED))
Une équation différentielle (ED) est :
1
une équation mathématique (E) ;
2
dont l’inconnue est une fonction y de la variable réelle t à valeurs réelles ;
3
liant l’inconnue y à ses dérivées y 0 , y 00 , ... y (n) (généralement notées avec
d ny
dy d 2 y
,
...,
) et des fonctions connues de la
la notation différentielle
,
dt dt 2
dt n
variable t.
Exemple 279 (Des équations différentielles)
dy
= 2y ou y 0 = 2y
dt
d 5y
1
1
+
y = sin(t) ou y (5) +
y = sin(t)
dt 5
1 + t2
1 + t2
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.1.1. - Ordre d’une équation
différentielle
Définition 280 (Ordre d’une ED)
L’ordre d’une ED de la fonction y est le rang de la dérivée de y de rang
le plus élevé apparaissant dans l’ED.
Exemple 281 (Des ED et leurs ordres)
dy
= 3 est une ED d’ordre 1
dt
2
d y
m 2 + ky = mg est une ED d’ordre 2
dt
ky = mg est une ED d’ordre 0
t
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.1.1. - Origine des ED
Exemple 282 (Un problème de mécanique Terminale )
y designe la position d’un mobile de masse m en fonction du temps t
P~
Loi de Newton :
Fext = m~aG soit mg + ky = my 00
Objectif du problème : Trouver y (t)
k
~ = −ky
F
m
~ = mg
P
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.1.1. - Origine des ED
Exemple 283 (Un problème d’électronique E1 )
UC désigne la tension du condensateur C en fonction du temps t
dq
L’intensité traversant C est i =
où q est la charge et vaut q = CUC
dt
dUC
Loi d’additivité des tensions : E = UR + UC donc E = RC
+ UC
dt
Objectif du problème : Trouver UC (t)
R
E
UC (t)
C
i
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.1.2. - Être solution d’une ED
Définition 284 (Une solution d’une ED)
Pour être solution d’une ED (E), y doit être une fonction vérifiant
l’équation différentielle.
Exemple 285 ()
dy
Pour être solution de
= 2y , y doit être une fonction de t vérifiant
dt
l’ED c’est à dire que pour un réel t quelconque, l’évaluation de la
partie gauche de l’égalité et de la partie droite de l’égalité donne le même
résultat (souvent fonction de t).
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.1.2. - Être ou ne pas être solution,
c’est la question !
Exercice 3.36. Exercice type : Etre une solution : Soit l’ED
(E)
Nom
mg + ky = m
d 2y
avec m, g et k trois constantes réelles. Montrer
dt 2
Equation
que 1 la fonction définie par y (t) = t 2!n’est pas solution,
! mais que 2 la
r
r
k
k
mg
fonction définie par y (t) = cos
t + sin
t +
est solution.
m
m
k
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.1.3. - Pas une mais des solutions à une
ED
Théorème 286 (L’espace vectoriel des solutions d’une ED)
Soit une ED (E) de la fonction y et soient y1 et y2 deux fonctions
solutions de (E). Alors, quel que soit le réel α, la fonction y1 + αy2 est
aussi une solution de (E). On dit que les solutions d’une ED forment un
espace vectoriel de fonctions (cf. MC1 ).
Exercice 3.37. Exercice type : Des solutions : Soit l’ED
dy
(E)
E = RC
+ y admettant pour solution les deux fonctions y1 et y2 .
dt
Nom
Equation
Soit α ∈ R. Montrer que y3 = y1 + αy2 est aussi solution de (E).
Conclusion
Une ED admet généralement une infinité de fonctions solutions.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.1.4. - Résoudre/Intégrer une ED
Définition 287 (Résolution/Intégration d’une ED)
Résoudre une ED , c’est trouver TOUTES les fonctions y solutions
de l’ED.
Théorème 288 (Famille de fonctions solutions)
Les solutions d’une ED forment une famille de fonctions : c’est un
ensemble de fonctions fλ (t) paramétrées par un (ou plusieurs)
paramètres appelés degrés de liberté et notés ici λ pouvant prendre
n’importe quelle valeur dans R. Cette famille est notée
F = {y (t) = fλ (t)/λ ∈ R}.
Définition 289 (Solution générale)
les fonctions y (t) = fλ (t) solutions ont toutes la même règle de
définition formant la solution générale de l’ED.
Remarque : En général, les solutions d’une ED auront autant de degrés
de liberté que l’ordre de l’ED.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.1.4. - Exemple de famille de fonctions
Exemple 290 (Famille de
fonctions exponentielles)
y
Cettefamille est :
F=
y (t) = e λt /λ ∈ R .
Règle de def
Elle est paramétrée par un degré de
liberté λ.
La règle de définition (paramétrée)
des fonctions de cette famille est :
y (t) = e λt .
En traçant plusieurs de ces
fonctions, on obtient un faisceau de
courbes .
exp(2t)
exp(t)
exp(t/3)
1
0
1
x
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.1.5. - Conditions limites
Les EDs peuvent être associées avec un certain nombre de conditions,
appelées Conditions Limites (CL), imposant que le graphe de la
fonction passe par certains points particuliers.
Exemple 291 (Des CL avec t0 , t1 , α, β ∈ R)
y (t0 ) = α et y 0 (t1 ) = β
y (t0 ) = α et y (t1 ) = β
Définition 292 (Résoudre/intégrer l’ED avec des CL)
Résoudre une ED (E) avec des CL consiste à résoudre un système
d’équations formées par l’ED (E) et les CL. Il s’agit alors de trouver les
fonctions y solutions de l’ED ET des CL.
Exemple 293 (Une ED avec CL)
(E)
y 0 = 2y
.
(CL) y (2) = 0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Méthodologie 294 (Résoudre une ED (E) avec les CL)
296 / 354
Calcul intégral
Équations différentielles
M3. 11.1.5. - Conditions limites : LA solution
Théorème 295 (Th. de Cauchy : LA solution d’une ED et des CL)
Lorsque les conditions limites (CL) sont fournies en nombre suffisant,
on peut trouver parmi les fonctions solutions d’une ED, s’écrivant sous la
forme paramétrée y (t) = fλ (t) avec λ ∈ R, LA ET LA SEULE
fonction solution de l’ED et des CI.
Ce problème revient à trouver la (les) valeurs du paramètre λ qui vérifie
les CLs.
Remarque : En général, il y aura autant de CL que l’ordre de l’ED,
garantissant que le problème n’a qu’une et une seule fonction solution.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
297 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.1.6. - Exercice type
Exercice 3.38. Exercice type : CL :
1
Soit une
n ED (E) dont lesosolutions forment la famille
F = y (t) = e λt /λ ∈ R . Trouver la fonction y solution de l’ED (E) et
de la CL donnée par : y (0) = 1.
2
Soit maintenant
une ED (E 0 )odont les solutions forment la famille
n
F = y (t) = αe λt /α, λ ∈ R . Trouver la fonction y solution de l’ED
(E 0 ) et des CLs données par : y (0) = 1 et y 0 (1) = e.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
298 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.1. - ED du 1er ordre
Définition 296 (ED du 1er ordre)
Une équation différentielle du 1er ordre est une équation fonctionnelle
dy
comportant une fonction y inconnue de la variable t, sa dérivée
(ou
dt
0
y ), et des fonctions connues de t.
Exemple 297 (Une ED du 1er ordre)
2
dy
+ 3y = ln(t)
dt
Remarques :
Une solution y d’une ED du 1er ordre sur un intervalle I est
nécessairement dérivable sur I .
Parmi les ED du 1er ordre, on dénombre : 1/ Les ED à variables séparées,
2/ Les ED linéaires, 3/ Les ED affines
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
299 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.2. - Exercices de TD
Exercice 3.39. ED du 1er ordre à variables séparées : Trouver toutes les
solutions de l’ED impliquant la fonction y de la variable t donnée par :
(E) y 0 + y 2 sin(t)
ensuite la solution de l’ED (E) vérifiant la
= 0. Donner
condition limite y (0) = 1 .
Exercice 3.40. ED à variables séparables : Résoudre y 0 = exp(x + y ) en
séparant les variables.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
300 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.3. - ED linéaire du 1er ordre à
coefficients non constants
Définition 302 (ED linéaire du 1er ordre à coefficients non
constants)
Les ED linéaires du 1er ordre à coefficients non constants de la fonction
yde la variable t sont
les équations (E2 ) de la forme
dy
a(t)
+ b(t)y = 0 avec a(t) et b(t) deux fonctions de la variable t.
dt
dy
Elles peuvent aussi s’écrire sous la forme
= p(t)y avec
dt
b(t)
une fonction de la variable t.
p(t) = −
a(t)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
301 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.3. - Exemples
Exemple 303 (Des ED)
√
t2 + 1
dy
+
dt
a(t)
t y = 0 est une ED linéaire du 1er ordre et peut se
0
b(t)
réécrire sous la forme
dy
t
= −√
y
dt
t2 + 1
p(t)
dy
= 0 est une ED du 1er ordre mais pas linéaire
dt
non linéaire
y
dy
+ ty =
dt
2 est une ED du 1er ordre mais pas linéaire
6= 0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
302 / 354
Calcul intégral
Équations différentielles
M3. 11.2.3. - Solutions
Théorème 304 (Solution générale d’une ED linéaire du 1er ordre à
coefficients non constants)
Les solutions d’une ED linéaire du 1er
ordre
à coefficients non constants
(E2 ) forment la famille de fonctions F = y (t) = λ exp P(t) /λ ∈ R
où P(t) est une primitive de p(t).
Remarque : λ pourra être déterminé dès lors qu’1 CL sera donnée.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
303 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.3. - Méthodologies de résolution
Méthodologie 305 (Résoudre une ED linéaire du 1er ordre à
coefficients non constants sans CL)
dy
= p(t)y ;
dt
1
Vérifier le type de l’ED et l’écrire sous la forme
2
Identifier la fonction p(t) et déterminer une de ses primitives P(t) ;
Déduire du th. que les solutions sont y (t) = λ exp P(t) avec λ un
3
degré de liberté réel quelconque.
Méthodologie 306 ( Idem avec CL)
1
Trouver, avec la méthodologie 305, la solution générale de l’ED
dépendante du degré de liberté λ indéterminé ;
2
Remplacer les données fournies par la CL dans la solution générale pour
obtenir une équation dépendante de λ ;
3
Résoudre cette équation pour déterminer λ.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
304 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.3. - Exercices type
Exercice 3.41. Exercice type : ED linéaire du 1er ordre à coefficients non
constants : 1 Résoudre l’ED (E) de la fonction y (t) donnée par
√ dy
+ y = 0. Donner ensuite 2 la solution de cette même ED vérifiant la
t
dt
CL y (0) = 1 , puis 3 la solution vérifiant y (0) = 0 .
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
305 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.3. - Exercices de TD
Exercice 3.42. ED linéaire : Donner l’ensemble des solutions des équations
différentielles suivantes portant
y de la variable t puis la solution
sur la fonction
vérifiant la condition limite y (0) = 1 . On pensera à chaque fois à spécifier le
type de l’ED et à détailler les étapes de la méthodologie utilisée pour les
résoudre.
1 (1 + t 2 )y 0 − ty = 0
2 (t + 1)
dy
+ (t − 1)y = 0
dt
3 ty 0 + 2y = 0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
306 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.4. - ED linéaire du 1er ordre à
coefficients constants
Définition 307 (ED linéaire du 1ère ordre à coefficients constants)
Les ED linéaires du 1er ordre à coefficients constants
de la fonction
y de
dy
la variable t sont les équations (E3 ) de la forme a
+ by = 0 avec a
dt
une constante réelle non nulle et b une constante réelle.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
307 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.4. - Exemples
Exemple 308 (Des ED)
dy
5
− y = 0 est une ED linéaire du 1er ordre à coefficients constants.
a dt b
0
t
dy
− y = 0 est une ED linéaire du 1er ordre mais pas à
dt
6 C te
=
coefficients constants.
dy
− y = 2 est une ED du 1er ordre à coefficients constants mais pas
dt
6= 0
linéaire.
Remarques :
Les ED linéaires du 1er ordre à coefficients constants sont des cas
particuliers des ED linéaires du 1er ordre à coefficients non constants
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.4. - Équation Caractéristique (EC)
Définition 309 (Équation caractéristique)
L’équation caractéristique (EC) associée à une ED linéaire à
coefficients constants est une équation polynômiale de la variable x
obtenu en remplaçant :
1
les dérivées de y (par exemple
l’ordre de la dérivée (ici x n )
2
d ny
) par le monôme de degré égal à
dt n
et y par 1
Exemple 310 (Des EC)
d 1y
d 3y
+
b
+ cy = 0 a pour EC ax 3 + bx 1 + c 1 = 0 dt 3
dt 1
d 1y
L’ED a 1 + by = 0 a pour EC ax 1 + b 1 = 0 dt
L’ED a
Remarques :
Les racines de l’EC vont intervenir dans les solutions de l’ED.
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Calcul intégral
Équations différentielles
M3. 11.2.4. - Solutions
Théorème 311 (Solutions générales d’une ED linéaire du 1er ordre
à coefficients constants)
Une ED linéaire du 1er ordre à coefficients constants (E3 ) de la forme
dy
a
+ by = 0 admet une EC de la forme ax + b = 0 .
dt
Les
de cette ED forment la
famille
solutions
b
F = y (t) = λ exp x0 t /λ ∈ R où x0 = − est la racine (réelle) de
a
l’EC associée à l’ED (E3 ).
Remarques : en physique, x0 est appelé coefficient d’amortissement.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.4. - Méthodologies de résolution
Méthodologie 312 (Résoudre une ED linéaire du 1er ordre à coeff.
constants sans CL)
dy
+ by = 0 ;
dt
1
Vérifier le type de l’ED et l’écrire sous la forme a
2
Écrire l’EC associée et trouver sa racine x0 ;
3
Déduire les solutions sous forme y (t) = λ exp x0 t
quelconque.
avec λ réel
Méthodologie 313 ( Idem avec CL)
1
Trouver, avec la méthodologie 312, la solution générale de l’ED
dépendante du degré de liberté λ indéterminé ;
2
Remplacer les données fournies par la CL dans la solution générale pour
obtenir une équation dépendante de λ ;
3
Résoudre cette équation pour déterminer λ.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.4. - Exercices type
Exercice 3.43. Exercice type : ED linéaire du 1er ordre à coefficients constants :
Résoudre l’ED (E) de la fonction y (t) donnéepar y 0 − y= 0. Donner ensuite
la solution de cette même ED vérifiant la CL y (0) = 1 , puis la solution
vérifiant y 0 (0) = 1 .
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.5. - ED affine du 1er ordre
Définition 314 (ED affine du 1er ordre)
Les ED affines du 1er ordre
de la fonction y de la variable
t sont les
dy
+ b(t)y = d(t) avec :
équations (E4 ) de la forme a(t)
dt
a(t) et b(t) deux fonctions de la variable t ;
d(t) une fonction de la variable t différente de la fonction nulle.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.5. - Exemples
Exemple 315 (Des ED du 1er ordre)
dy
+ t y = 2 − 4t 2 est une ED affine du 1er ordre
1
dt
a(t)
b(t)
d(t)
dy
+ ty =
dt
0
n’est pas une ED affine mais une ED linéaire
non 6= 0
dy
= 2 − 4t 2 n’est pas une ED affine (ni linéaire)
dt
non linéaire
y
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.5. - Solutions
Théorème 316 (Solutions d’une ED affine du 1er ordre)
Les
solutions d’une ED affine du 1er ordre
(E4 ) forment la famille
F = {y (t) = yg ,λ (t) + yp (t)/λ ∈ R} où :
1
yg ,λ (t) est la solution générale de l’ED homogène associée à l’ED
affine,
également appelée ED
sans second membre et notée (Ẽ4 ), définie
dy
par : a(t)
+ b(t)y = 0 . Elle se résout donc avec les méthodologies
dt
305 et 312 suivant sa nature (linéaire à coeff. non constants, linéaire à
coeff. constants ). yg ,λ (t) dépend du degré de liberté λ .
2
dy
yp (t) est une solution particulière de l’ED affine a(t)
+ b(t)y = d(t)
dt
Remarques :
Les solutions ne dépendent que d’un seul degré de liberté λ,
éventuellement fixé par les CL.
N’importe quelle fonction solution de l’ED affine fonctionne pour yp (t).
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.5. - Comment trouver une solution
particulière de l’ED ?
Pour trouver la solution générale y (t) d’une ED affine, on a déjà vu
comment trouver la solution générale yg ,λ (t) de l’ED homogène associée
à l’ED affine ; reste à
trouver une solution particulière
yp (t) pour finir de
dy
résoudre l’ED affine a(t)
+ b(t)y = d(t) . Il y a 3 techniques :
dt
1
Vérification d’une solution suggérée ou d’une solution évidente ;
2
Observation des fonctions coefficients ;
3
Méthode de Lagrange (dite méthode de variation de la constante).
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.5. - Technique 1 : Vérification d’une
solution suggérée
Méthodologie 317 (Recherche d’une solution particulière à une ED
affine par vérification d’une solution suggérée)
Évaluer la partie gauche et droite de l’ED en remplaçant la fonction
recherchée y par la solution suggérée et vérifier que l’égalité
gauche/droite est obtenue.
dy
1
+ y = − 2 . On
dt
t
1
pourra montrer qu’une solution particulière de cette équation est yp (t) = .
t
Exercice 3.44. Exercice type : Résoudre l’équation (t + 1)
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Calcul intégral
Équations différentielles
M3. 11.2.5. - Technique 2 : Observation des
coefficients
Méthodologie 318 (Recherche d’une solution particulière à une ED
affine par observations des fonctions coefficients)
1
Lorsque a(t), b(t) et d(t) sont
la solution particulière
des constantes,
est une fonction constante yp (t) = C te , la valeur de la constante étant
choisie pour que cette fonction soit solution de l’ED.
2
Lorsque d(t) est un polynôme, la solution particulière yp (t) est un
polynôme.
Le degré du polynôme est choisi pour être le maximum entre l’ordre de
l’ED et le degré du plus haut monôme présent dans l’ED ; les coefficients
du polynôme sont à déterminer pour que le polynôme recherché soit
solution de l’ED.
3
Lorsque d(t) est défini par des fonctions trigonométriques, autrement
dit,
+ β sin(ωt), la solution particulière est
de la forme d(t) = α cos(ωt)
yp (t) = θ cos(ωt) + µ sin(ωt) . La pulsation ω se lit directement sur la
fonction-coefficient d(t), tandis que les coefficients θ et µ sont à
déterminer pour que yp (t) soit solution de Mathématiques
l’ED.
pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.5. - Exercice type
Exercice 3.45. Exercice type : Résoudre les ED suivantes :
1
dy
+ 2y = 3
dt
2
dy
+ 2y = 2 − 4t 2
dt
3
dy
+ 2y = − sin(t)
dt
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Calcul intégral
Équations différentielles
M3. 11.2.5. - Technique 3 : Méthode de
variation de la constante ou de Lagrange
Théorème 319 (Méthode de variation de la constante ou de
Lagrange)
Soit yg ,λ (t) = λ exp P(t) l’expression de
l’ED
la solution générale de
dy
homogène associée à l’ED affine (E4 )
a(t)
+ b(t)y = d(t) avec λ
dt
une constante réelle et P(t) une fonction (qu’on rappelle être une
b(t)
primitive de p(t) = −
).
a(t)
Alors l’ED (E4 ) admet une
solution particulière de la forme
yp (t) = λ(t) exp P(t) avec λ(t) est une fonction de la variable t
dérivable.
d(t)
La fonction λ(t) est d’ailleurs une primitive de −
exp − P(t) .
a(t)
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.5. - Méthodologie
Méthodologie 320 (Recherche d’une solution particulière à une ED
affine par la méthode de variation de la constante)
Connaissant yg ,λ (t) = λ exp P(t) la solution générale de l’ED
homogène associée à l’ED affine,
1
poser yp (t) = λ(t) exp P(t) en remplaçant λ par une fonction inconnue
λ(t) ;
2
remplacer y (t) par yp (t) dans l’ED affine pour rechercher une seconde
(autre) ED portant sur la fonction λ(t) ;
3
résoudre l’ED portant sur λ(t) ;
4
conclure sur la solution particulière.
Exercice 3.46. Exercice type : Méthode de Lagrange : Résoudre l’ED
dy
+ 2y = 2e −t .
dt
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.5. - Conclusion : Résoudre une ED
affine du 1er ordre
Méthodologie 321 (Résoudre une ED affine du 1er ordre sans CL)
1
2
dy
+ b(t)y = 0 associée à l’ED affine ;
dt
identifier son type (parmi ED linéaire à coefficients constants, ED linéaire
à coefficients non constants ) puis la résoudre en utilisant la méthodologie
adéquate (312, 305 ) pour trouver la solution générale
yg ,λ (t) = λ exp P(t) ;
Introduire l’ED homogène a(t)
Déterminer une solution particulière yp (t) de l’ED affine en utilisant :
la méthodologie 317 de vérification d’une solution ;
la méthodologie 318 d’observations des coefficients ;
la méthodologie 320 de variation de la constante ;
3
Conclure sur toutes les solutions de l’ED en ajoutant les solutions
obtenues en (1) et (2).
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.5. - Conclusion : Résoudre une ED
affine du 1er ordre
Méthodologie 322 (Résoudre une ED affine du 1er ordre avec CL)
1
Trouver la solution générale de l’ED affine du 1er ordre en utilisant la
méthodologie 321 et dépendante d’un degré de liberté λ variant dans R ;
2
Remplacer les données fournies par la CL dans la solution générale pour
obtenir une équation dépendante de λ ;
3
Résoudre cette équation pour déterminer λ.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.5. - Exercices type
dy
Exercice 3.47. Exercice type : On considère l’ED (1 + t 2 )
− ty = 1. Trouver
dt
toutes
les
solutions
de
cette
ED,
puis
la
solution
lorsqu’on
impose
la CL
y (1) = 0 .
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.6. - Exercices de TD
Exercice 3.48. ED affine : On considère l’équation différentielle (E) donnée par
ty 0 − y = ln(t), où y désigne une fonction de la variable réelle, définie et
dérivable sur un intervalle ]0; +∞[ :
1
Quel est le type de l’équation différentielle (E) ?
2
Donner et résoudre, sur l’intervalle ]0; +∞[, l’équation différentielle
homogène.
3
Vérifier que la fonction h, définie pour tout réel t appartenant à
l’intervalle ]0; +∞[ par
h(t) = − ln(t) − 1 est une solution particulière de l’équation (E).
4
Déduire des questions précédentes l’ensemble des solutions de (E).
5
Donner finalement la solution y (t) de (E) telle que y (1) = 0.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.6. - Exercices de TD
Exercice 3.49. BTS 2005 : On considère l’équation différentielle (E) donnée
1
par (1 + t)y 0 + y =
, où y est une fonction de la variable réelle t, définie
1+t
et dérivable sur ] − 1; +∞[ et y 0 sa fonction dérivée.
1
2
Démontrer que les solutions de l’équation différentielle (E0 ) définies par
k
(1 + t)y 0 + y = 0 sont les fonctions définie par h(t) =
où k est une
1+t
constante réelle quelconque.
ln(1 + t)
Soit g la fonction définie sur ] − 1; +∞[ par : g (t) =
.
1+t
Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l’équation
différentielle (E).
3
En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4
Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie la
condition initiale f (0) = 2.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.6. - Exercices de TD
Exercice 3.50. ED affine
: On considère l’équation différentielle (E) donnée par
1
0
où y est une fonction de la variable t, définie et
(1 + t)y − y = ln
1+t
+
dérivable sur R .
1
Quel est le type de l’équation différentielle (E) ?
2
Déterminer les solutions de l’équation homogène associée à (E).
3
Soit h la fonction définie sur R+ par h(t) = ln(1 + t) + c où c est une
constante réelle. Déterminer c pour que h soit une solution particulière de
(E).
4
En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). Tracer
rapidement le graphe de quelques solutions.
5
Déterminer la solution de (E) dont la courbe représentative passe par
l’origine du repère.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.6. - Exercices de TD
Exercice 3.51. ED affine avec recherche de solutions particulières par
observation des coefficients : Résoudre les équations différentielles portant sur
la fonction y de la variable t suivantes :
1 y 0 − 2y = t + 1
3 y 0 + y = t 2 + 3t − 1
2 y 0 − 2y = cos(3t)
t 4 y 0 + y = 3 sin
2
Exercice 3.52. Autour de la variation de la constante : Dans cet exercice, y
désigne une fonction de la variable réelle t.
dy
1
+ y = e 2t
Résoudre
dt
dy
2
Résoudre
+ y = e −t
dt
dy
3
Résoudre
+ y = e 2t + e −t + 1 + t en utilisant le principe de linéarité
dt
des solutions
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.6. - Exercices de TD
Exercice 3.53. Un peu de mécanique : Un embrayage vient appliquer, à
l’instant t = 0, un couple résistant constant sur un moteur dont la vitesse à
vide est de 150 rad/s. On note ω(t) la vitesse de rotation du moteur à l’instant
t. La fonction ω(t) est solution de l’équation différentielle
1 0
(E)
y (t) + y (t) = 146, où y désigne une fonction dérivable de la variable
200
réelle positive t.
1
2
3
Déterminer la solution générale de l’ED (E). On cherchera une solution
particulière constante.
Sachant que ω(0) = 150, montrer que ω(t) = 146 + 4e −200t pour tout
t ∈ [0, +∞[.
On note ω∞ = lim ω(t). Déterminer la perte de vitesse ω(0) − ω∞ due
t→+∞
au couple résistant.
4
On considère que la vitesse du moteur est stabilisée lorsque l’écart relatif
ω(t) − ω∞ est inférieur à 1%. Calculer le temps mis par le moteur pour
ω∞
stabiliser sa vitesse.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.6. - Exercices de TD
Exercice 3.54. BTS Groupement A 2000 : Un système physique est régi par
dv
1
df
l’équation différentielle (E1 ) donnée par
+
v=
, où v est une
dt
RC
dt
fonction de la variable t à déterminer, R et C sont des constantes positives et
f est la fonction de la variable t connue.
Partie 1 : On suppose
dans cette partie que la fonction f est définie pour tout
0
si t < 0
réel t par f (t) =
où V0 est une constante réelle strictement
V0
si t ≥ 0
positive (V0 > 0).
df
1
Calculer
pour t appartenant à ] − ∞; 0[ puis résoudre l’ED (E1 ) sur
dt
] − ∞; 0[ avec la condition limite v (0− ) = lim v (t) = 0.
t→0−
2
df
Calculer
pour t appartenant à ]0; +∞[ puis résoudre l’ED (E1 ) sur
dt
]0; +∞[ avec la condition limite v (0+ ) = lim v (t) = V0 .
t→0+
3
Étudier sur ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ les variations de la fonction v . Tracer la
représentation graphique de v en fonction de t pour t réel non nul. On
pourra prendre pour réaliser ce graphique RC = 1 et V0 = 2.
Partie 2: La fonction échelon unité U est définie par
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
0 si t < 0
U(t) =
. On suppose maintenant que la fonction f est définie
1 si t ≥ 0
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.2.6. - Exercices de TD
Exercice 3.55. Changement de variable dans une ED : Résoudre les équations
différentielles de la fonction y suivantes en faisant le changement de variable
proposé (z(t) désignant une fonction de la variable t) :
1 ty 0 + t = 2t + 3
z(t) = ty (t)
2 ty 0 − y = t
y (t) = tz(t)
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.1. - ED du 2ème ordre
Définition 323 (ED du 2ème ordre)
Une équation différentielle du 2ème ordre est une équation
fonctionnelle comportant une fonction y inconnue de la variable t, sa
dy
d 2y
dérivée y 0 =
, sa dérivée seconde y 00 = 2 et des fonctions connues
dt
dt
de t.
Exemple 324 (Une ED de 2d ordre)
t
d 2y
dy
+3
+ (1 − t)y = cos(t)
dt 2
dt
Remarques :
Une solution y d’une ED du 2d ordre est nécessairement dérivable à
l’ordre 2.
Les solutions de l’ED auront 2 degrés de liberté λ et µ, qui pourront être
fixés par 2 CLs.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.1. - Classification des ED du 2ème
ordre
Définition 325 (Catégories d’ED du 2ème ordre)
On dénombre différentes catégories d’ED du 2ème ordre, parmi
lesquelles :
1
2
les ED linéaires (du 2ème ordre), qui sont les équations de la forme
d 2y
dy
a(t) 2 + b(t)
+ c(t)y = 0 ;
dt
dt
les ED affines (du 2ème ordre), qui sont de la forme
d 2y
dy
a(t) 2 + b(t)
+ c(t)y = d(t) ;
dt
dt
avec a(t), b(t), c(t), d(t) 4 fonctions telles que a(t) et d(t) ne soient pas
nulles.
Remarque : Ici, on ne s’intéresse qu’aux ED linéaires et affines du 2ème
ordre à coefficients constants. Ce sont les EDs pour lesquelles
a(t) = a = C te (non le b(t) = b = C te , c(t) = c = C te mais d(t) une
fonction (non nulle mais non nécessairement constante) de t.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.2. - ED linéaire du 2ème ordre à
coeffs constants
Définition 326 (ED linéaire du 2ème ordre à coeffs constants)
Les ED linéaires du 2ème ordre à coefficients constants sont les équations
d 2y
dy
(E5 ) de la forme a 2 + b
+ c = 0 avec :
dt
dt
a une constante réelle non nulle ;
b et c deux constantes réelles.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
334 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.2. - Exemples
Exemple 327 (Des ED)
d 2y
dy
1
+ 2
−3 y = 0 est une ED linéaire à coefficients constants.
2
dt
dt
a
c
0
b
y
dy
d 2y
+2
= 0 n’est pas linéaire.
dt 2
dt
non linéaire
d 2y
dy
+2
+
dt 2
dt
t2
y = 0 n’est à coefficients constants.
6= C te
dy
d 2y
+2
+ 3y =
dt 2
dt
2 n’est pas linéaire.
6= 0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
335 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.2. - Équation caractéristique
Définition 328 (Équation caractéristique (EC) associée à une ED
linéaire du 2ème ordre à coefficients constants)
L’équation caractéristique associée à une ED linéaire du 2ème ordre à
coefficients constants (E5 ) est l’équation polynômiale de la variable x
.
définie par ax 2 + bx + c = 0 Remarque : Les solutions de l’ED (E5 ) sont dépendantes des solutions
de l’EC (E6 ) (qui
sont les racines
d’un polynôme de degré 2) et donc du
discriminant ∆ = b 2 − 4ac .
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
336 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.2. - Solutions
Théorème 329 (Solutions d’une ED linéaire du 2ème ordre à
coefficients constants lorsque ∆ > 0)
2
Lorsque l’EC est de discriminant
> 0 et admet deux
√ ∆ = b − 4ac √
−b − ∆
−b + ∆
racines réelles x1 =
et x2 =
, les solutions de l’ED
2a
2a
linéaire
du
2ème
ordre
(E
)
forment
la
famille
de
fonctions
5
F = y (t) = λ exp (x1 t) + µ exp (x2 t) /λ, µ ∈ R .
Remarque : Les solutions sont dépendantes de deux degrés de liberté λ
et µ qui pourront être fixés à l’aide de 2 CLs.
Exercice 3.58. Exercice type : ED linéaire du 2ème ordre : 1 Trouver toutes
dy
d 2y
les solutions de l’ED
+2
− 3y = 0. 2 Quelle est la solution de l’ED
dt 2 dt
lorsqu’on impose les 2 CL y (0) = 0 et y 0 (0) = 1 ?
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
337 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.2. - Solutions
Théorème 330 (Solutions d’une ED linéaire du 2ème ordre à coeff.
constants lorsque ∆ = 0)
Lorsque l’EC est de discriminant ∆ = b 2 − 4ac = 0 et admet une unique
−b
, les solutions de l’ED linéaire du 2ème
racine réelle double x0 =
2a
ordre
(E5 ) forment la famille de fonctions
F = y (t) = (λ + µt) exp (x0 t) /λ, µ ∈ R .
Exercice 3.59. Exercice type : ED linéaire du 2ème ordre : 1 Trouver toutes
d 2y
dy
1
+ y = 0. 2 Quelle est la solution de l’ED
les solutions de l’ED
+
dt 2 dt
4 lorsqu’on impose les 2 CL y (0) = 0 et y 0 (0) = 1 ?
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
338 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.2. - Solutions
Théorème 331 (Solutions d’une ED linéaire du 2ème ordre à
coefficients constants lorsque ∆ < 0)
Lorsque l’EC est de discriminant p
∆ = b 2 − 4ac < 0 et p
admet deux
−b + i |∆|
−b − i |∆|
racines complexes x1 =
et ρ2 =
, les
2a
2a
solutions de
linéaire du 2ème ordre (E5 ) forment la famille de l’ED
fonctions F = y (t) = exp (τ t) (λ cos(ωt) + µ sin(ωt)) /λ, µ ∈ R
p
|∆|
b
et ω =
. Cette famille peut également s’écrire
avec τ = −
2a
2a
F = {y (t) = λ exp(τ t) cos (ωt + φ) /λ, φ ∈ R} .
Exercice 3.60. Exercice type : ED linéaire du 2ème ordre : 1 Trouver toutes
d 2y
dy
les solutions de l’ED
+ y = 0. 2 Quelle est la solution de l’ED
+
dt 2 dt
lorsqu’on impose les 2 CL y (0) = 0 et y 0 (0) = 1 ?
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
339 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.2. - Méthodologies de résolution
Méthodologie 332 (Résoudre une ED linéaire du 2ème ordre à
coeffs constants sans CL)
dy
d 2y
+b
+c =0 ;
2
dt
dt
1
Vérifier le type de l’ED et l’écrire de la forme a
2
Déterminer l’EC associé puis calculer son discriminant ∆ et ses racines ;
Suivant le signe de ∆, déduire que les solutions générales de l’ED sont :
3
Si ∆ > 0, y (t) = λ exp (x1 t) + µ exp (x2 t) avec x1 , x2 racines de l’EC ;
Si ∆ = 0, y (t) = (λ + µt) exp (x0 t) avec x0 racine de l’EC ;
Si ∆ < 0, y (t) = exp (τ t) (λ cos(ωt) + µ sin(ωt)) avec τ ± iω racines de
l’EC ;
où les deux degrés de liberté λ et µ sont des réels quelconques.
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Calcul intégral
Équations différentielles
M3. 11.3.2. - Méthodologies de résolution
Méthodologie 333 (Résoudre une ED linéaire du 2ème ordre à
coeffs constants avec CL)
1
Trouver toutes les solutions de l’ED en utilisant la méthodologie 332
dépendantes des deux degrés de liberté λ et µ ;
2
Remplacer les données fournies par les 2 CLs dans la solution générale
pour obtenir un système d’équations dont les inconnues sont λ et µ ;
3
Résoudre ce système pour trouver λ et µ et conclure sur la solution.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.2. - Exercices de TD
Exercice 3.61. ED linéaires : Résoudre les ED suivantes, où y est une fonction
de la variable réelle t :
1 3y 00 + y 0 − 4y = 0
2 y 00 + 2y 0 + y = 0
3 y 00 + y 0 + y = 0
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342 / 354
Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.2. - Exercices de TD
Exercice 3.62. ED linéaires : Résoudre les problèmes suivants, où y est une
fonction de la variable réelle t :

 00
00
0
0
 −y − y + 2y = 0
 y + 2y + y = 0
y (0) = 0
y (1) = −1
1
2
 0
 0
y (0) = 1
 y 00(1) =2 0

y +ω y =0

00
0

 4y + 4y + y = 0

y (0)
=1
y (0) = 0
3
4
avec ω ∈ R
1
 0

0

y (0) = 1
=0
 y
ω
 00
0
 y − y + 2y = 0
y (0) = 1
5
 0
y (0) = 0
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.3. - ED affine du 2ème ordre à coeff.
constants
Définition 334 (ED affine du 2ème ordre à coefficients constants)
Les équations différentielles affines du 2ème ordre à coefficents
constants
sont les équations
(E6 ) de la forme
2
dy
d y
+ cy = d(t) avec :
a 2 +b
dt
dt
a une constante réelle non nulle ;
b et c deux constantes réelles ;
d(t) une fonction de la variable t différente de la fonction nulle.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.3. - Exemples
Exemple 335 (Des ED)
d 2y
dy
2
−
+ 6 y = t 2 − 1 est une ED affine du 2d ordre à coeffs
2
dt
dt
a
c
b
d(t)
constants.
d 2y
dy
y
−t
+ 6y = 0 n’est pas une ED affine du
dt 2
dt
te
6= 0
non linéaire
6= C
2ème ordre à coeffs constants.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.3. - Solutions
Théorème 336 (Solutions d’une ED affine du 2ème ordre à
coefficients constants)
Les solutions d’uneED affine du 2ème ordre à coefficients constants
(E6 )
forment la famille F = {y (t) = yg ,λ,µ (t) + yp (t)/λ, µ ∈ R} où :
1
2
yg ,λ,µ (t) est la solution générale de l’ED homogène associée
à l’ED
2
d y
dy
affine notée (Ẽ6 ) et définie par a 2 + b
+ cy = 0 . Elle se résout
dt
dt
à l’aide de la méthodologie 332. yg ,λ,µ (t) est dépendante de 2 degrés de
liberté λ et µ (réels quelconques).
y
p (t) est une solution particulière
de l’ED affine
d 2y
dy
+b
+ cy = d(t) recherchée avec :
2
dt
dt
a
Méthodologie 317 de vérification d’une solution suggérée ou d’une solution
évidente.
Méthodologie 318 d’observation des fonctions coefficients.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.3. - Méthodologies de résolution
Méthodologie 337 (Résoudre une ED affine du 2ème ordre à
coefficients constants sans CL)
1
Vérifier
le type de l’ED et l’écrire
sous la forme
2
d y
dy
a 2 +b
+ cy = d(t) ;
dt
dt
2
3
dy
d 2y
Introduire l’ED homogène a 2 + b
+ cy = 0 (associée à l’ED
dt
dt
affine) puis la résoudre en utilisant la méthodologie 332 pour trouver la
solution générale yg ,λ,µ (t) ;
Déterminer une solution particulière yp (t) de l’ED affine en utilisant :
la méthodologie 317 de vérification d’une solution ;
la méthodologie 318 d’observations des coefficients ;
4
Conclure sur toutes les solutions de l’ED en ajoutant les solutions
obtenues en (1) et (2).
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.3. - Méthodologies de résolution
Méthodologie 338 (Résoudre une ED affine à coefficients
constants du 2ème ordre avec CL)
1
Trouver la solution générale de l’ED affine du 2eme ordre en utilisant la
méthodologie 321 et dépendante de deux degrés de liberté λ et µ variant
dans R ;
2
Remplacer les données fournies par la CL dans la solution générale pour
obtenir un système d’équations dont les inconnues sont λ et µ ;
3
Résoudre ce système pour déterminer λ et µ et trouver la solution.
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.3. - Exercice type
Exercice 3.63. Exercice type : ED affine du 2ème ordre : 1 Trouver toutes les
dy
d 2y
+2
solutions de l’ED
− 3y = te t . On pourra rechercher une solution
dt 2
dt
particulière sous la forme P(t)e t avec P(t) un polynôme. 2 Quelle est la
solution de l’ED lorsqu’on impose les 2 CL y (0) = 0 et y 0 (0) = 1 ?
Mathématiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.3. - Exercices de TD
Exercice 3.64. BTS 2006 : On considère l’équation différentielle (E) donnée
par y 00 − 3y 0 − 4y = −5e −t , où y est une fonction de sa variable t, définie et
deux fois dérivable sur R, y 0 la fonction dérivée de y et y 00 la fonction dérivée
seconde de y .
1
2
Donner l’équation homogène associée à (E) et déterminer ses solutions.
Soit h la fonction définie sur par h(t) = te −t . Démontrer que la fonction
h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3
En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4
Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les
conditions initiales f (0) = 2 et f 0 (0) = −1.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.3. - Exercices de TD
Exercice 3.65. ED du 2d ordre : Soit l’ED (E) y 00 + 2y 0 + 2y = sin(ωt) où y
désigne une fonction de la variable réelle t et ω un réel non nul.
1
Écrire et résoudre l’équation homogène associée à (E).
2
Montrer que (E) admet une solution particulière de la forme
y1 (t) = a cos(ωt) + b sin(ωt), en trouvant les valeurs de a et b en
fonction de ω.
3
Donner la solution générale de (E).
4
Trouver une solution qui vérifie les conditions initiales suivantes : y (0) = 0
et y 0 (0) = 0. Tracer la représentation graphique de la fonction solution
dans le cas particulier ω = 2.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.3. - Exercices de TD
Exercice 3.66. ED affines : Résoudre les problèmes suivants, où y est une
fonction de la variable réelle t :

00
0
 −y − y + 2y = 1
y (0) = 0
1
 0
=1
 y (0)
00
0
−t
 4y + 4y + y = 2(t − 4)e
y (0) = 1
3
 0
y (0) = 0
 00
 y + y 0 − 6y = −6t 2 + 2t − 4
y (0) = 0
2
 0
y (0) = 1
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.3.3. - Exercices de TD
Exercice 3.67. Une ED affine avec second membre exponentiel : Résoudre l’ED
y 00 − 2y 0 + y = e t . On pourra rechercher une solution particulière sous la forme
At 2 e t avec A une constante réelle à déterminer.
Exercice 3.68. Changement de variable : Résoudre l’ED
ty 00 + (t + 2)y 0 + (t + 1)y = 0 en faisant le changement de variable
z(t) = ty (t) où z(t) est une fonction de la variable t.
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Équations différentielles
Calcul intégral
M3. 11.4. - Synthèse
Les ED du M3
ED du 2d ordre
ED du 1er ordre
dy
avec y et
dt
avec y ,
dy
d 2y
et
dt
dt 2
ED à variables séparées (poursuites
d’études)
ED affine
ED linéaire (à coeffs non constants)
dy
(E2 ) a(t)
+ b(t)y = 0
dt
Solution gale avec méthod. 305 : y (t) =
λ exp P(t) avec P(t) primitive de p(t) =
b(t)
−
a(t)
Solution avec CL avec méthod. 306 : solution de la méthod. 305 avec λ déterminé
pour vérifier la CL
ED linéaire à coeffs constants
dy
(E3 ) a
+ by = 0
dt
Solution gale avec méthod. 312 : y (t) =
λ exp x0 t avec x0 solution de l’EC ax +
b=0
Solution avec CL avec méthod. 313 : solution de la méthod. 312 avec λ déterminé
pour vérifier la CL
(E4 ) a(t)
dy
+ b(t)y = d(t)
dt
Solution gale avec méthod. 321 : y (t) =
yg ,λ (t) + yp (t) avec :
• yg ,λ (t) solution gale de l’ED homogène
dy
associée a(t)
+ b(t)y = 0 (via
dt
méthod. 305 ou 312)
• yp (t) solution particulière de l’ED affine
recherchée avec :
Méthod. 317 : Vérification d’une solution
proposée,
Méthod. 318 : Observation des fonctionscoefficients,
Méthod. 320 : Variation de la constante
Solution avec CL avec méthod. 322 : solution de la méthod. 321 avec λ déterminé
pour vérifier la CL
ED linéaire à coeffs constants
(E5 ) a
d 2y
dy
+b
+c =0
dt 2
dt
Solution gale avec méthod. 332 : étant
donnée l’EC associée ax 2 + bx + c = 0
de discriminant ∆,
• Cas ∆ > 0 : y (t) = λ exp (x1 t) +
µ exp (x2 t) avec x1 , x2 solutions réelles de
l’EC
• Cas ∆ = 0 : y (t) = (λ + µt) exp (x0 t)
avec x0 solution de l’EC
• Cas ∆ < 0 : y (t) =
exp (τ t) (λ cos(ωt) + µ sin(ωt)) avec τ ± jω
solutions complexes de l’EC
Solution avec CL avec méthod. 333 : solution de la méthod. 332 avec λ et µ
déterminés par un système d’équations pour
vérifier les 2 CL
ED affine
(E6 ) a
d 2y
dy
+b
+ cy = d(t)
dt 2
dt
Solution gale avec méthod. 337 : y (t) =
yg ,λ,µ (t) + yp (t) avec
• yg ,λ,µ (t) solution gale de l’ED homogène
dy
d 2y
+ cy = 0
associée a 2 + b
dt
dt
• yp (t) solution particulière de l’ED affine
recherchée avec :
Méthod. 317 : Vérification d’une solution
proposée,
Méthod. 318 : Observation des fonctionscoefficients
Solution avec CL avec méthod. 338 : solution de la méthod. 337 avec λ et µ
déterminés par un système d’équations pour
vérifier les 2 CL
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Mathématiques pour les RT Modules M1, M2 et M3 - GIPSA-Lab

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