Polynômes et factorisation

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 3 1
POLYN ˆ OMES ET FACTORISATION
1 VOCABULAIRE DE BASE
Variable :
Exemples : t= temps d’utilisation d’un appareil en heures; x= taille d’un enfant en
m`etres, etc.
Constante :
Exemple : frais fixes de 5$
Monˆome :
Exemples : 3x2y3z, 8xet 2a2b4
5.
Polynˆome :
Exemples : 2x2−4x4−x3+ 7 est un polynˆome `a 1 variable comportant 4 termes.
a2b3+ 9cest un binˆome `a 3 variables.
Terme constant :
Exemple : Dans le polynˆome a3b2+ 2a2b4−5ab5+ 8, le terme 8 correspond au terme
constant.
Coefficient :
Exemple : Dans le polynˆome 12x7+8xy
3−6, 12 et 8 3sont les coefficients respectifs des
deux premiers termes.
Degr´e d’un terme :
Exemple : Les degr´es des termes du polynˆome 9 −5xy + 7x3−x6sont respectivement
0, 2, 3 et 6.
Degr´e d’un polynˆome :
Exemple : Le degr´e du polynˆome 9 −5xy + 7x3−x6est donc 6.

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 3 2
2 OP´ ERATIONS SUR LES POLYN ˆ OMES
La somme de polynˆomes
Pour additionner deux ou plusieurs polynˆomes, il suffit d’additionner les coefficients
de leurs termes semblables, i.e. des termes qui ont les mˆemes variables affect´ees des
mˆemes exposants.
Exemple : (x3+ 6x−8) + (−x3+ 4x2+ 3x−11) =
La soustraction de polynˆomes
Pour soustraire deux polynˆomes, il suffit de soustraire les coefficients de leurs termes
semblables, i.e. des termes qui ont les mˆemes variables affect´ees des mˆemes exposants.
Exemple : (x3+ 6x−8) −(−x3+ 4x2+ 3x−11) =
Le produit de polynˆomes
Pour multiplier deux polynˆomes, il suffit de multiplier chaque terme du premier par
chaque terme du second.
Exemple : (x3+ 6x−8) ×(−x3+ 4x2+ 3x−11) =
Le quotient de polynˆomes
Pour diviser deux monˆomes, il s’agit de diviser d’abord les coefficients, puis de diviser
les variables semblables en soustrayant les exposants.
Exemple 1 : (6x4−3x3+ 2x2)÷(2x2) = 6x4−3x3+ 2x2
2x2=
Exemple 2 : (12x8y2z3)÷(4x5yz3) = 12x8y2z3
4x5yz3=
Note:
- Pour diviser un polynˆome par un monˆome, on divise chaque terme du polynˆome
par ce monˆome.
- Pour que le r´esultat de la division soit un monˆome, il faut que pour chaque
variable, l’exposant qui l’affecte au num´erateur soit sup´erieur ou ´egal `a
l’exposant qui l’affecte au d´enominateur.
Algorithme de division des polynˆomes : Comparable `a celui de la division de
deux entiers, en cherchant un quotient et, ´eventuellement, un reste (voir Annexe A).

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 3 3
3 FACTORISATION
D´efinition : D´ecomposition en facteurs qui consiste `a exprimer un polynˆome sous la
forme d’un produit de polynˆomes de degr´es inf´erieurs.
Mise en ´evidence simple
Condition d’application : Tous les termes contiennent un facteur commun.
Illustration : ax +ay =
Exemple : 15ax2−6a2x2+ 9ax =
Mise en ´evidence double
Condition d’application : Il n’existe pas de facteur commun `a tous les termes, mais en
regroupant les termes par deux (ou par trois), chaque paire (ou triplet) contient un
facteur commun.
Illustration : ax +ay +bx +by =
Exemple 1 : 2x2+ 4x−5ax −10a=
Exemple 2 : x6+x5−x4−3x2−3x+ 3 =
Trinˆome carr´e parfait
Condition d’application : Le polynˆome est compos´e de la somme des carr´es de deux
termes et du double produit de ces termes.
Illustration 1 : 2+ 24+42=
Illustration 2 : 2−24+42=

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 3 4
Exemple 1 : 4x2+ 20xy + 25y2=
Exemple 2 : x2y6−12xy3+ 9 =
Trinˆome de la forme x2+bx +c
Principe d’application : Trouver deux nombres uet vdont la somme u+v=bet le
produit u×v=c.
Illustration : x2+bx +c=
Exemple : x2−5x−66 =
Trinˆome de la forme g´en´erale ax2+bx +c
Principe d’application : Trouver deux nombres uet vdont la somme est bet dont le
produit est ac. On remplace bpar la somme de ces deux nombres et on effectue une
double mise en ´evidence.
Exemple 1 : 2x2+ 3x+ 1 =
Exemple 2 : 15a2−77a+ 10 =

Math´ematiques appliqu´ees `a la construction - Cours 3 5
Diff´erence de deux carr´es
Principe d’application : Un binˆome compos´e de la diff´erence de deux carr´es peut ˆetre
exprim´e comme le produit de la somme et de la diff´erence des deux racines carr´ees.
Illustration : 2− 42=
Exemple 1 : b2−81 =
Exemple 2 : 9x2y4−121z6=
Somme de deux carr´es
La somme de deux carr´es n’est pas d´ecomposable en facteurs. On ne peut donc pas
factoriser des expressions de la forme 2+42.
Somme ou diff´erence de deux cubes
Conditions d’application : Binˆome dont chacun des termes est le cube d’un nombre ou
d’une expression alg´ebrique.
Cas 1 : 43+3= (4+)(42− 4+2)
Cas 2 : 43−3= (4 − )(42+4+2)
Exemple 1 : x6−27 =
Exemple 2 : 27z3+ 8 =