Polynômes et factorisation

Mathématiques appliquées à la construction - Cours 3
1
POLYNÔMES ET FACTORISATION
1
VOCABULAIRE DE BASE
Variable :
Exemples : t = temps d’utilisation d’un appareil en heures; x = taille d’un enfant en
mètres, etc.
Constante :
Exemple : frais fixes de 5$
Monôme :
Exemples : 3x2 y 3 z, 8x et
2a2 b4
.
5
Polynôme :
Exemples : 2x2 − 4x4 − x3 + 7 est un polynôme à 1 variable comportant 4 termes.
a2 b3 + 9c est un binôme à 3 variables.
Terme constant :
Exemple : Dans le polynôme a3 b2 + 2a2 b4 − 5ab5 + 8, le terme 8 correspond au terme
constant.
Coefficient :
Exemple : Dans le polynôme 12x7 +
deux premiers termes.
8xy
3
− 6, 12 et
8
3
sont les coefficients respectifs des
Degré d’un terme :
Exemple : Les degrés des termes du polynôme 9 − 5xy + 7x3 − x6 sont respectivement
0, 2, 3 et 6.
Degré d’un polynôme :
Exemple : Le degré du polynôme 9 − 5xy + 7x3 − x6 est donc 6.
Mathématiques appliquées à la construction - Cours 3
2
2
OPÉRATIONS SUR LES POLYNÔMES
La somme de polynômes
Pour additionner deux ou plusieurs polynômes, il suffit d’additionner les coefficients
de leurs termes semblables, i.e. des termes qui ont les mêmes variables affectées des
mêmes exposants.
Exemple : (x3 + 6x − 8) + (−x3 + 4x2 + 3x − 11) =
La soustraction de polynômes
Pour soustraire deux polynômes, il suffit de soustraire les coefficients de leurs termes
semblables, i.e. des termes qui ont les mêmes variables affectées des mêmes exposants.
Exemple : (x3 + 6x − 8) − (−x3 + 4x2 + 3x − 11) =
Le produit de polynômes
Pour multiplier deux polynômes, il suffit de multiplier chaque terme du premier par
chaque terme du second.
Exemple : (x3 + 6x − 8) × (−x3 + 4x2 + 3x − 11) =
Le quotient de polynômes
Pour diviser deux monômes, il s’agit de diviser d’abord les coefficients, puis de diviser
les variables semblables en soustrayant les exposants.
Exemple 1 : (6x4 − 3x3 + 2x2 ) ÷ (2x2 ) =
Exemple 2 : (12x8 y 2 z 3 ) ÷ (4x5 yz 3 ) =
6x4 − 3x3 + 2x2
=
2x2
12x8 y 2 z 3
=
4x5 yz 3
Note:
- Pour diviser un polynôme par un monôme, on divise chaque terme du polynôme
par ce monôme.
- Pour que le résultat de la division soit un monôme, il faut que pour chaque
variable, l’exposant qui l’affecte au numérateur soit supérieur ou égal à
l’exposant qui l’affecte au dénominateur.
Algorithme de division des polynômes : Comparable à celui de la division de
deux entiers, en cherchant un quotient et, éventuellement, un reste (voir Annexe A).
Mathématiques appliquées à la construction - Cours 3
3
3
FACTORISATION
Définition : Décomposition en facteurs qui consiste à exprimer un polynôme sous la
forme d’un produit de polynômes de degrés inférieurs.
Mise en évidence simple
Condition d’application : Tous les termes contiennent un facteur commun.
Illustration : ax + ay =
Exemple : 15ax2 − 6a2 x2 + 9ax =
Mise en évidence double
Condition d’application : Il n’existe pas de facteur commun à tous les termes, mais en
regroupant les termes par deux (ou par trois), chaque paire (ou triplet) contient un
facteur commun.
Illustration : ax + ay + bx + by =
Exemple 1 : 2x2 + 4x − 5ax − 10a =
Exemple 2 : x6 + x5 − x4 − 3x2 − 3x + 3 =
Trinôme carré parfait
Condition d’application : Le polynôme est composé de la somme des carrés de deux
termes et du double produit de ces termes.
Illustration 1 : 2 + 2 4 +42 =
Illustration 2 : 2 − 2 4 +42 =
Mathématiques appliquées à la construction - Cours 3
Exemple 1 : 4x2 + 20xy + 25y 2 =
Exemple 2 : x2 y 6 − 12xy 3 + 9 =
Trinôme de la forme x2 + bx + c
Principe d’application : Trouver deux nombres u et v dont la somme u + v = b et le
produit u × v = c.
Illustration : x2 + bx + c =
Exemple : x2 − 5x − 66 =
Trinôme de la forme générale ax2 + bx + c
Principe d’application : Trouver deux nombres u et v dont la somme est b et dont le
produit est ac. On remplace b par la somme de ces deux nombres et on effectue une
double mise en évidence.
Exemple 1 : 2x2 + 3x + 1 =
Exemple 2 : 15a2 − 77a + 10 =
4
Mathématiques appliquées à la construction - Cours 3
5
Différence de deux carrés
Principe d’application : Un binôme composé de la différence de deux carrés peut être
exprimé comme le produit de la somme et de la différence des deux racines carrées.
Illustration : 2 − 42 =
Exemple 1 : b2 − 81 =
Exemple 2 : 9x2 y 4 − 121z 6 =
Somme de deux carrés
La somme de deux carrés n’est pas décomposable en facteurs. On ne peut donc pas
factoriser des expressions de la forme 2 + 42 .
Somme ou différence de deux cubes
Conditions d’application : Binôme dont chacun des termes est le cube d’un nombre ou
d’une expression algébrique.
Cas 1 : 43 + 3 = (4 + )(42 − 4 + 2 )
Cas 2 : 43 − 3 = (4 − )(42 + 4 + 2 )
Exemple 1 : x6 − 27 =
Exemple 2 : 27z 3 + 8 =
Mathématiques appliquées à la construction - Cours 3
4
6
Exercices
Question 1
Effectuer les opérations suivantes sur les polynômes donnés.
a) (x3 + 6x − 8) + (−x3 + 4x2 + 3x − 11)
1 2 1
1
1 2 2
2
b)
x + x−
+
x − x+
2
3
4
5
5
3
3
3
2 2
3
c) (2x y + 5xy − 4x + x y ) + (xy − x2 y 2 + 5x3 − x + 10)
d) (−x3 y − 7x2 y 2 − y 4 − 1) − (x3 y + 7x2 y 2 − y 4 + 17)
1
2
1 2 2
3
−
x − x+1
e) x − x +
8
9
4
3
4
7 2
4 2
2 2 5
f)
− xy + x −
xy − x +
3 5
3
3
5
2
g) (a + b + c) × (a + b − c)
h) (2x − 1) × (3x + 2) × (x − 7)
3
2
1
5
x− y ×
x+ y
i)
6
3
2
4
2
5
3
j) (3x + x + x + 47 − 28x) ÷ (x3 − 1)
k) (x4 − 1) ÷ (x − 1)
l) (x5 + x4 y + x3 y 2 + x2 y 3 + xy 4 + y 5 ) ÷ (y 2 + xy + x2 )
Question 2
Factoriser complètement les polynômes suivants, si possible.
a) 16a2 − 81
b) x3 y 3 − 1
c) ♥2 + 15♥ + 56
d) y 2 + 25
e) b2 − cb − 2db + 2cd
j) 4♠4 − 32♠
k) 54 + 53 +4 52 +325
l) 18t5 − 32t3
m) g 4 − 16
n) 7 −84
f) 9♦2 + 42♦ + 49
o) ~3 +3 ~2 −4 ~ −12
g) 3♣3 − 108♣
h) F3 + F2 − 42F
i) 16α3 + 8βα2 + β 2 α
p) 9m2 + 64n2
q) θρ3 + 27θ4
r) 18h5 + 32h3
s) 2703 − 4502 + 120
t) (u + v)2 − w2
u) ♂4 − 5♂2 + 4
v) 6♀6 − ♀3 − 2
w) ,2 − /2 + , − /
x) ☼2 + 2☼$ + $2 − 25
y) 1 − b2 − 2b_ − _2
z) [3 + ]3 + [ + ]
Mathématiques appliquées à la construction - Cours 3
5
Solutions
1a) 4x2 + 9x − 19
7 2
1
5
1b)
x − x+
10
15
12
3
3
1c) 2x y + 5xy + x + xy 3 − x + 10
1d) − 2x3 y − 14x2 y 2 − 18
1
13
7
1e) x3 − x2 + x −
4
24
9
26 2 26
1
1f)
x − xy −
15
15
6
2
2
1g) a + 2ab + b − c2
1h) 6x3 − 41x2 − 9x + 14
5
19
1
1i) x2 − xy − y 2
4
24
6
2
2
1j) x + 1 reste 4x − 28x + 48
1k) x3 + x2 + x + 1
1l) x3 + y 3
2a) (4a − 9)(4a + 9)
2b) (xy − 1)(x2 y 2 + xy + 1)
2c) (♥ + 8)(♥ + 7)
2d) Ne se factorise pas
2e) (b − c)(b − 2d)
2f) (3♦ + 7)2
2g) 3♣(♣ − 6)(♣ + 6)
2h) F(F + 7)(F − 6)
2i) α(4α + β)2
2j) 4♠(♠ − 2)(♠2 + 2♠ + 4)
2k) 5 (53 + 52 + 4 5 +32)
2l) 2t3 (3t + 4)(3t − 4)
2m) (g 2 + 4)(g − 2)(g + 2)
2n) 4 ( − 2)(2 + 2 +4)
2o) (~ + 3)(~ + 2)(~ − 2)
2p) Ne se factorise pas
2q) θ(ρ + 3θ)(ρ2 − 3θρ + 9θ2 )
2r) 2h3 (9h2 + 16)
2s) 30(30 − 1)(30 − 4)
2t) (u + v + w)(u + v − w)
2u) (♂ + 2)(♂ − 2)(♂ + 1)(♂ − 1)
2v) (3♀3 − 2)(2♀3 + 1)
2w) (, − /)(, + / + 1)
2x) (☼ + $ + 5)(☼ + $ − 5)
2y) (1 − b − _)(1 + b + _)
2z) ([ + ])([2 − [] + ]2 + 1)
7