Topologie (2) - denischoimet.com

MP*1 2016/2017
Topologie (2)
Continuité
Exercice 1 (Projection stéréographique).L’espace Rn+1 est muni de sa structure euclidienne naturelle.
On note (e1, . . . , en+1)la base canonique de Rn+1, et on pose
H=e⊥
n+1 ={x∈Rn+1/hx, en+1i= 0}.
1. Montrer que Hest homéomorphe à Rn.
2. On note Sla sphère unité de Rn+1. Ainsi, en+1 est le « pôle nord » de S. Montrer que S\{en+1}
est homéomorphe à H(donc à Rn).
Exercice 2 (Lemme d’Urysohn).Soit (E, d)un espace métrique.
1. Soit F1et F2deux fermés disjoints de E.
(a) Montrer qu’il existe une fonction continue f:E→Rvérifiant :
f= 1 sur F1,f= 0 sur F2et 0≤f≤1.
(b) En déduire qu’il existe des ouverts disjoints U1et U2de Econtenant F1et F2respectivement.
2. Soit Fun fermé de E,Uun ouvert de Etels que F⊂U. Montrer qu’il existe une fonction
continue g:E→Rvérifiant
g= 1 sur F,g= 0 sur E\Uet 0≤g≤1.
Exercice 3. Soit Eet Fdes espaces normés réels, et T:E→Fune application continue qui préserve
le milieu, au sens où
Tx+y
2=T(x) + T(y) 2pour x, y ∈E.
Montrer que Test affine.
Exercice 4 (Théorème d’Ulam (rigidité des isométries)).Soit Eun espace normé réel, et T:E→E
une application telle que T(0) = 0 et vérifiant
kT(x)−T(y)k=kx−ykpour x, y ∈E.
1. On fixe a, b ∈Eet on pose m=1
2(a+b). On se propose de donner une caractérisation métrique
du point m. Pour cela, on pose
X1=x∈E/kx−ak=kx−bk=1
2ka−bk
et, pour n≥1:
Xn=x∈Xn−1/kx−yk ≤ 1
2diam(Xn−1)pour tout y∈Xn−1
où la notation diam désigne le diamètre. L’ensemble Xnest donc, en un sens, l’ensemble des
« centres » de Xn−1. Montrer que
\
n≥1
Xn={m}.
2. Dans cette question, on suppose de plus Tsurjective. Montrer que Test linéaire.
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3. Montrer que, sans l’hypothèse de surjectivité, Tpeut ne pas être linéaire.
Exercice 5. Soit f:R→Rune fonction continue.
1. Montrer que son graphe est fermé dans R2.
2. La réciproque est-elle exacte ?
3. Reprendre la question précédente en supposant fbornée.
Exercice 6. Dans chaque cas, étudier la continuité de l’application f:R2→Rdéfinie par :
1. (x, y)7→ (x2y
x4+y2si (x, y)6= (0,0)
0si x=y= 0.
2. (x, y)7→ (x2sin y
exy −1si xy 6= 0
xsinon.
Exercice 7 (Fonctions semi-continues inférieurement).Soit (E, d)un espace métrique. Une fonction
f:E→Rest dite semi-continue inférieurement (s.c.i.) si, pour chaque a∈R,
{x∈E/f(x)> a}est un ouvert de E.
1. Soit Xune partie de E. À quelle condition nécessaire et suffisante la fonction indicatrice de X
est-elle s.c.i. ?
2. Soit (fn)n≥0une suite croissante de fonctions continues sur E, à valeurs réelles, convergeant
simplement vers f:E→R. Montrer que fest s.c.i..
3. Réciproquement, soit f:E→Rune fonction s.c.i., à valeurs strictement positives. Pour n≥0
et x∈E, on pose
fn(x) = inf
a∈E(f(a) + nd(x, a)).
Montrer que (fn)n≥0est une suite croissante de fonctions continues à valeurs strictement posi-
tives, qui converge en croissant vers f.
4. Soit f:E→Rune fonction s.c.i., qu’on ne suppose plus à valeurs strictement positives.
Montrer qu’il existe une suite croissante (fn)n≥0de fonctions continues de Evers Rqui converge
simplement vers f.
Exercice 8. Soit (E, k·k)un espace vectoriel normé et φune forme linéaire non nulle sur E.
1. Montrer que si φest continue, alors ker φest fermé dans E.
2. Inversement, on suppose φdiscontinue.
(a) Montrer l’existence d’une suite (un)n≥1de points de Evérifiant
kunk ≤ 1et φ(un) = npour n≥1.
(b) En déduire que ker φn’est pas fermé dans E.
Exercice 9. L’espace E=C([0,1],R)est muni de la norme k · k∞. On fixe (ai)0≤i≤nune famille de
n+ 1 points de [0,1] avec 0≤a0< . . . < an≤1. On note Tl’endomorphisme linéaire de Equi à
fdans Eassocie son polynôme de Lagrange en a0, . . . , an. Montrer que Test continu, et calculer sa
norme.
Exercice 10. On munit l’espace vectoriel E=C[X]de la norme définie par kPk= supn≥0|an|si
P=Pn∈NanXn. On fixe a∈C, et on considère la forme linéaire
Φa:E→C, P 7→ P(a).
Étudier la continuité de Φa, et le cas échéant calculer sa norme subordonnée.
Exercice 11 (Opérateur de Cesàro).On note El’ensemble des fonctions continues de [0,1] vers R, et
on définit l’opérateur T:E→Edéfini par
T f(x) = 1
xZx
0
f(t)dt si x6= 0 et T f(0) = f(0).
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1. Vérifier que Test bien défini.
2. On munit Ede la norme k·k2. Montrer que Test continu et calculer sa norme subordonnée.
Exercice 12. Soit E=C([0,1],R)muni du produit scalaire défini par hf, gi=R1
0f(t)g(t)dt. On pose
H=(f∈E.Z1/2
0
f(t)dt = 0).
1. Montrer que Hest un hyperplan fermé de E.
2. Montrer que H⊥={0}.
Exercice 13 (Compacité faible de la boule unité du dual d’un espace normé séparable).Soit Eun
espace normé séparable, c’est-à-dire possédant une partie Ddénombrable et dense, et (fn)n≥0une suite
de formes linéaires continues sur E, telles que
kfnksub ≤1pour n≥0.
Montrer qu’il existe une extraction φtelle que, pour chaque x∈E, la suite (fφ(n)(x))n≥0soit conver-
gente.
Exercice 14.
1. On considère la suite de matrices (W2k)k≥0définie par
W1= [1] ∈M1(R)et W2k+1 =1
√2W2kW2k
W2k−W2k,
et on pose I={2k, k ∈N∗}. Vérifier que, si n∈I, alors la matrice Wnest une matrice de
symétrie orthogonale, de trace nulle, et à coefficients tous égaux en module à n−1/2.
2. On fixe n∈I, et on note `n
1l’espace vectoriel Rnmuni de la norme k·k1. On pose Pn=In+Wn
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(c’est une projection orthogonale) et En=Im Pn.
(a) Calculer la dimension de En.
(b) Montrer que toute projection Psur En(parallèlement à un supplémentaire) vérifie
kPksub ≥√n
2.
On pourra commencer par calculer tr (WnP).
3. On note à présent Xl’espace vectoriel des suites x= (xn)n≥1, où xn∈`n
1pour n≥1, vérifiant
kxk:=
∞
X
n=1 kxnk1<+∞.
On note également Ele sous-espace vectoriel des suites x∈Xtelles que xn∈Enpour n≥1.
(a) Montrer que Eest un sous-espace fermé de X.
(b) Montrer qu’il n’existe aucune projection continue P:X→Xd’image E.On peut en déduire
que Ene possède aucun supplémentaire fermé dans X.
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