Topologie (2) - denischoimet.com

MP*1
2016/2017
Topologie (2)
Continuité
Exercice 1 (Projection stéréographique). L’espace Rn+1 est muni de sa structure euclidienne naturelle.
On note (e1 , . . . , en+1 ) la base canonique de Rn+1 , et on pose
n+1
H = e⊥
/hx, en+1 i = 0}.
n+1 = {x ∈ R
1. Montrer que H est homéomorphe à Rn .
2. On note S la sphère unité de Rn+1 . Ainsi, en+1 est le « pôle nord » de S. Montrer que S \ {en+1 }
est homéomorphe à H (donc à Rn ).
Exercice 2 (Lemme d’Urysohn). Soit (E, d) un espace métrique.
1. Soit F1 et F2 deux fermés disjoints de E.
(a) Montrer qu’il existe une fonction continue f : E → R vérifiant :
f = 1 sur F1 , f = 0 sur F2 et 0 ≤ f ≤ 1.
(b) En déduire qu’il existe des ouverts disjoints U1 et U2 de E contenant F1 et F2 respectivement.
2. Soit F un fermé de E, U un ouvert de E tels que F ⊂ U . Montrer qu’il existe une fonction
continue g : E → R vérifiant
g = 1 sur F , g = 0 sur E \ U et 0 ≤ g ≤ 1.
Exercice 3. Soit E et F des espaces normés réels, et T : E → F une application continue qui préserve
le milieu, au sens où
x+y
T (x) + T (y)
T
=
pour x, y ∈ E.
2
2
Montrer que T est affine.
Exercice 4 (Théorème d’Ulam (rigidité des isométries)). Soit E un espace normé réel, et T : E → E
une application telle que T (0) = 0 et vérifiant
kT (x) − T (y)k = kx − yk pour x, y ∈ E.
1. On fixe a, b ∈ E et on pose m = 21 (a + b). On se propose de donner une caractérisation métrique
du point m. Pour cela, on pose
1
X1 = x ∈ E/kx − ak = kx − bk = ka − bk
2
et, pour n ≥ 1 :
1
Xn = x ∈ Xn−1 /kx − yk ≤ diam(Xn−1 ) pour tout y ∈ Xn−1
2
où la notation diam désigne le diamètre. L’ensemble Xn est donc, en un sens, l’ensemble des
« centres » de Xn−1 . Montrer que
\
Xn = {m}.
n≥1
2. Dans cette question, on suppose de plus T surjective. Montrer que T est linéaire.
1
3. Montrer que, sans l’hypothèse de surjectivité, T peut ne pas être linéaire.
Exercice 5. Soit f : R → R une fonction continue.
1. Montrer que son graphe est fermé dans R2 .
2. La réciproque est-elle exacte ?
3. Reprendre la question précédente en supposant f bornée.
Exercice 6. Dans chaque cas, étudier la continuité de l’application f : R2 → R définie par :
( 2
x y
si (x, y) 6= (0, 0)
x4 +y 2
1. (x, y) 7→
0 si x = y = 0.
( 2
x sin y
exy −1 si xy 6= 0
2. (x, y) 7→
x sinon.
Exercice 7 (Fonctions semi-continues inférieurement). Soit (E, d) un espace métrique. Une fonction
f : E → R est dite semi-continue inférieurement (s.c.i.) si, pour chaque a ∈ R,
{x ∈ E/f (x) > a} est un ouvert de E.
1. Soit X une partie de E. À quelle condition nécessaire et suffisante la fonction indicatrice de X
est-elle s.c.i. ?
2. Soit (fn )n≥0 une suite croissante de fonctions continues sur E, à valeurs réelles, convergeant
simplement vers f : E → R. Montrer que f est s.c.i..
3. Réciproquement, soit f : E → R une fonction s.c.i., à valeurs strictement positives. Pour n ≥ 0
et x ∈ E, on pose
fn (x) = inf (f (a) + nd(x, a)).
a∈E
Montrer que (fn )n≥0 est une suite croissante de fonctions continues à valeurs strictement positives, qui converge en croissant vers f .
4. Soit f : E → R une fonction s.c.i., qu’on ne suppose plus à valeurs strictement positives.
Montrer qu’il existe une suite croissante (fn )n≥0 de fonctions continues de E vers R qui converge
simplement vers f .
Exercice 8. Soit (E, k · k) un espace vectoriel normé et φ une forme linéaire non nulle sur E.
1. Montrer que si φ est continue, alors ker φ est fermé dans E.
2. Inversement, on suppose φ discontinue.
(a) Montrer l’existence d’une suite (un )n≥1 de points de E vérifiant
kun k ≤ 1 et φ(un ) = n pour n ≥ 1.
(b) En déduire que ker φ n’est pas fermé dans E.
Exercice 9. L’espace E = C([0, 1], R) est muni de la norme k · k∞ . On fixe (ai )0≤i≤n une famille de
n + 1 points de [0, 1] avec 0 ≤ a0 < . . . < an ≤ 1. On note T l’endomorphisme linéaire de E qui à
f dans E associe son polynôme de Lagrange en a0 , . . . , an . Montrer que T est continu, et calculer sa
norme.
Exercice
10. On munit l’espace vectoriel E = C[X] de la norme définie par kP k = supn≥0 |an | si
P
P = n∈N an X n . On fixe a ∈ C, et on considère la forme linéaire
Φa : E → C, P 7→ P (a).
Étudier la continuité de Φa , et le cas échéant calculer sa norme subordonnée.
Exercice 11 (Opérateur de Cesàro). On note E l’ensemble des fonctions continues de [0, 1] vers R, et
on définit l’opérateur T : E → E défini par
Z
1 x
T f (x) =
f (t)dt si x 6= 0 et T f (0) = f (0).
x 0
2
1. Vérifier que T est bien défini.
2. On munit E de la norme k · k2 . Montrer que T est continu et calculer sa norme subordonnée.
R1
Exercice 12. Soit E = C([0, 1], R) muni du produit scalaire défini par hf, gi = 0 f (t)g(t)dt. On pose
)
(
. Z 1/2
f (t)dt = 0 .
H= f ∈E
0
1. Montrer que H est un hyperplan fermé de E.
2. Montrer que H ⊥ = {0}.
Exercice 13 (Compacité faible de la boule unité du dual d’un espace normé séparable). Soit E un
espace normé séparable, c’est-à-dire possédant une partie D dénombrable et dense, et (fn )n≥0 une suite
de formes linéaires continues sur E, telles que
kfn ksub ≤ 1 pour n ≥ 0.
Montrer qu’il existe une extraction φ telle que, pour chaque x ∈ E, la suite (fφ(n) (x))n≥0 soit convergente.
Exercice 14.
1. On considère la suite de matrices (W2k )k≥0 définie par
W1 = [1] ∈ M1 (R) et W2k+1
1
=√
2
W2k
W2k
W2k
−W2k
,
et on pose I = {2k , k ∈ N∗ }. Vérifier que, si n ∈ I, alors la matrice Wn est une matrice de
symétrie orthogonale, de trace nulle, et à coefficients tous égaux en module à n−1/2 .
2. On fixe n ∈ I, et on note `n1 l’espace vectoriel Rn muni de la norme k · k1 . On pose Pn =
(c’est une projection orthogonale) et En = Im Pn .
In +Wn
2
(a) Calculer la dimension de En .
(b) Montrer que toute projection P sur En (parallèlement à un supplémentaire) vérifie
√
n
kP ksub ≥
.
2
On pourra commencer par calculer tr (Wn P ).
3. On note à présent X l’espace vectoriel des suites x = (xn )n≥1 , où xn ∈ `n1 pour n ≥ 1, vérifiant
kxk :=
∞
X
kxn k1 < +∞.
n=1
On note également E le sous-espace vectoriel des suites x ∈ X telles que xn ∈ En pour n ≥ 1.
(a) Montrer que E est un sous-espace fermé de X.
(b) Montrer qu’il n’existe aucune projection continue P : X → X d’image E. On peut en déduire
que E ne possède aucun supplémentaire fermé dans X.
3