espaces vectoriels normés I

espaces vectoriels normés I
1. Soit Eun evn et Fun sev de Ed’intérieur non vide. Montrer que F=E.
2. Soit El’espace des suites réelles bornées muni de la norme ||(an)n|| =sup|an|. Montrer que
l’adhérence de l’ensemble des suites presque nulles est l’ensemble des suites tendant vers 0en
l’infini.
3. Soit El’espace vectoriel C0([0,1],R)normé par la norme infini. Soit fle sous-espace affine de
Edes fonctions fvérifiant f(0) = f(1) = 0 et R1
0f= 1. Montrer que Fest fermé dans E.
Montrer que la distance de 0àFn’est pas atteinte.
4. Soit El’espace vectoriel C0([0,1],R)et Fle sous-espace vectoriel de Eformé des fonctions f
vérifiant f(0) = f(1) = 0. Déterminer l’intérieur et l’adhérence de Fpour les normes ∞et 1.
5. Soit Cun convexe d’un espace vectoriel normé E.
(a) Montrer que l’adhérence et l’intérieur de Csont convexes.
(b) On suppose Cfermé d’intérieur non vide. Montrer que Cest égal à l’adhérence de son
intérieur.
6. Soit n≥1. Déterminer si les ensembles de matrices suivants, de Mn(R)ou Mn(C), sont
ouverts, fermés, denses, compacts. Déterminer leur adhérence et leur intérieur : matrices de rang
inférieur ou égal à p, matrices de rang strictement supérieur à p, matrices inversibles, matrices
de projecteurs, matrices nilpotentes, matrices diagonalisables (cas K=Cuniquement).
7. Soit El’ensemble des applications de [0,1] dans Rlipschtziennes et nulles en 0. Pour f∈Eon
pose
N(f) = inf {k∈R+∀(x, y)∈[0,1]2|f(x)−f(y)| ≤ k|x−y| }.
Montrer que Nest une norme sur E, non équivalente à la norme infini.
8. Soit E=C0([0,1],R). Pour α∈[0,1] et f∈E, on pose
Nα(f) = Zα
0
|f(t)|dt + sup
[α,1]
|f|.
Montrer que Nαest une norme. Comparer les Nαentre elles : sont-elles équivalentes ?
On pourra remarquer que pour deux valeurs de αon a (presque) une norme classique.
9. Soit
N:(R2→R
(x, y)→R1
0|x+ty|dt
Montrer que Nest une norme et déterminer sa sphère unité.
On pourra admettre que le polynôme de degré deux qui apparaît dans les calculs correspond à
une ellipse.
10. Soit E=C1([0,1],R). On le munit des normes || ||∞,|| ||1et || ||den posant ||f||d=
|f(0)|+||f0||∞.
(a) Comparer ces trois normes.
(b) Etudier pour chacune si
Ω = {f∈E / ∀t∈[0,1], f(t)>0}
est un ouvert.
1/2

11. Soit n≥1. On munit l’espace Mn(C)de la norme N(A) = sup1≤i≤nPn
j=1 |ai,j |. Déterminer la
norme subordonnée de l’application linéaire trace.
12. Soit Cnmuni de la norme 1et A∈Mn(C). Déterminer la norme subordonnée de A. Même
question en prenant la norme infini sur Cn.
13. Soit Eun C-espace vectoriel normé de dimension finie. On appelle rayon spectral d’un endo-
morphisme ude Eet on note r(u)le sup des modules des valeurs propres de u. Montrer que
l’on a r(u)≤ |||u|||.
14. Soit El’espace vectoriel C0([0,1],R)normé par la norme infini. Pour chacune des formes
linéaires suivantes, prouver sa continuité et déterminer sa norme :
(a) f→g1(f) = R1
0f(t)dt.
(b) f→g2(f) = f(a)(a∈[0,1] fixé).
(c) f→g3(f) = f(a)−f(b)(a6=bfixés).
15. Soit n≥1et Nune norme sur Mn(R). On suppose que Nvérifie
∀(A, P )∈Mn(R)∗GLn(R)N(P AP −1) = N(A) (∗)
(a) Montrer que
∀(A, B)∈Mn(R)2N(AB) = N(BA).
(b) En déduire une impossibilité.
On pourra utiliser les matrices élémentaires Ei,j .
On appelle semi-norme sur Mn(R)une application N:Mn(R)→R+vérifiant
∀(λ, A)∈R∗Mn(R)N(λA) = |λ|N(A)
∀(A, B)∈Mn(R)2N(A+B)≤N(A) + N(B)
(c) Soit α∈R∗
+. Montrer que M→α|Tr(M)|est une semi-norme sur Mn(R)vérifiant la
propriété (∗).
On note dorénavant Nune semi-norme sur Mn(R)vérifiant (∗).
(d) Montrer que si i6=jalors N(Ei,j ) = 0.
(e) En déduire que si A∈Mn(R)est à diagonale nulle alors N(A) = 0.
(f) Soit A∈Mn(R)vérifiant Tr(A) = 0. Montrer que Aest semblable à une matrice à
diagonale nulle.
Raisonner par récurrence sur net utiliser la caractérisation des homothéties.
(g) En déduire que Nest nulle sur l’hyperplan H={A∈Mn(R)Tr(A) = 0}.
(h) En déduire qu’il existe α∈R+tel que N=αTr.
Utiliser le fait que toute matrice Ase décompose de manière unique sous la forme A=
A0+λE1,1avec A0∈Het λ∈R.
2