espaces vectoriels normés I

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espaces vectoriels normés I
1. Soit E un evn et F un sev de E d’intérieur non vide. Montrer que F = E.
2. Soit E l’espace des suites réelles bornées muni de la norme ||(an )n || = sup|an |. Montrer que
l’adhérence de l’ensemble des suites presque nulles est l’ensemble des suites tendant vers 0 en
l’infini.
3. Soit E l’espace vectoriel C 0 ([0, 1], R) normé par laR norme infini. Soit f le sous-espace affine de
1
E des fonctions f vérifiant f (0) = f (1) = 0 et 0 f = 1. Montrer que F est fermé dans E.
Montrer que la distance de 0 à F n’est pas atteinte.
4. Soit E l’espace vectoriel C 0 ([0, 1], R) et F le sous-espace vectoriel de E formé des fonctions f
vérifiant f (0) = f (1) = 0. Déterminer l’intérieur et l’adhérence de F pour les normes ∞ et 1.
5. Soit C un convexe d’un espace vectoriel normé E.
(a) Montrer que l’adhérence et l’intérieur de C sont convexes.
(b) On suppose C fermé d’intérieur non vide. Montrer que C est égal à l’adhérence de son
intérieur.
6. Soit n ≥ 1. Déterminer si les ensembles de matrices suivants, de Mn (R) ou Mn (C), sont
ouverts, fermés, denses, compacts. Déterminer leur adhérence et leur intérieur : matrices de rang
inférieur ou égal à p, matrices de rang strictement supérieur à p, matrices inversibles, matrices
de projecteurs, matrices nilpotentes, matrices diagonalisables (cas K = C uniquement).
7. Soit E l’ensemble des applications de [0, 1] dans R lipschtziennes et nulles en 0. Pour f ∈ E on
pose
N (f ) = inf { k ∈ R+ ∀(x, y) ∈ [0, 1]2 |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y| }.
Montrer que N est une norme sur E, non équivalente à la norme infini.
8. Soit E = C 0 ([0, 1], R). Pour α ∈ [0, 1] et f ∈ E, on pose
Z α
Nα (f ) =
|f (t)|dt + sup |f |.
0
[α,1]
Montrer que Nα est une norme. Comparer les Nα entre elles : sont-elles équivalentes ?
On pourra remarquer que pour deux valeurs de α on a (presque) une norme classique.
9. Soit
(
R2 → R
R1
N:
(x, y) → 0 |x + ty|dt
Montrer que N est une norme et déterminer sa sphère unité.
On pourra admettre que le polynôme de degré deux qui apparaît dans les calculs correspond à
une ellipse.
10. Soit E = C 1 ([0, 1], R). On le munit des normes || ||∞ , || ||1 et || ||d en posant ||f ||d =
|f (0)| + ||f 0 ||∞ .
(a) Comparer ces trois normes.
(b) Etudier pour chacune si
Ω = { f ∈ E / ∀t ∈ [0, 1], f (t) > 0 }
est un ouvert.
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11. Soit n ≥ 1. On munit l’espace Mn (C) de la norme N (A) = sup1≤i≤n
norme subordonnée de l’application linéaire trace.
Pn
j=1
|ai,j |. Déterminer la
12. Soit Cn muni de la norme 1 et A ∈ Mn (C). Déterminer la norme subordonnée de A. Même
question en prenant la norme infini sur Cn .
13. Soit E un C-espace vectoriel normé de dimension finie. On appelle rayon spectral d’un endomorphisme u de E et on note r(u) le sup des modules des valeurs propres de u. Montrer que
l’on a r(u) ≤ |||u|||.
14. Soit E l’espace vectoriel C 0 ([0, 1], R) normé par la norme infini. Pour chacune des formes
linéaires suivantes, prouver sa continuité et déterminer sa norme :
R1
(a) f → g1 (f ) = 0 f (t)dt.
(b) f → g2 (f ) = f (a) (a ∈ [0, 1] fixé).
(c) f → g3 (f ) = f (a) − f (b) (a 6= b fixés).
15. Soit n ≥ 1 et N une norme sur Mn (R). On suppose que N vérifie
∀(A, P ) ∈ Mn (R) ∗ GLn (R) N (P AP −1 ) = N (A) (∗)
(a) Montrer que
∀(A, B) ∈ Mn (R)2 N (AB) = N (BA).
(b) En déduire une impossibilité.
On pourra utiliser les matrices élémentaires Ei,j .
On appelle semi-norme sur Mn (R) une application N : Mn (R) → R+ vérifiant
∀(λ, A) ∈ R ∗ Mn (R) N (λA) = |λ|N (A)
∀(A, B) ∈ Mn (R)2 N (A + B) ≤ N (A) + N (B)
(c) Soit α ∈ R∗+ . Montrer que M → α|Tr(M )| est une semi-norme sur Mn (R) vérifiant la
propriété (∗).
On note dorénavant N une semi-norme sur Mn (R) vérifiant (∗).
(d) Montrer que si i 6= j alors N (Ei,j ) = 0.
(e) En déduire que si A ∈ Mn (R) est à diagonale nulle alors N (A) = 0.
(f) Soit A ∈ Mn (R) vérifiant Tr(A) = 0. Montrer que A est semblable à une matrice à
diagonale nulle.
Raisonner par récurrence sur n et utiliser la caractérisation des homothéties.
(g) En déduire que N est nulle sur l’hyperplan H = {A ∈ Mn (R) Tr(A) = 0}.
(h) En déduire qu’il existe α ∈ R+ tel que N = αTr.
Utiliser le fait que toute matrice A se décompose de manière unique sous la forme A =
A0 + λE1,1 avec A0 ∈ H et λ ∈ R.
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